वृत्त C_1: x^2+y^2=3,जिसका केंद्र O है,परवलय | vedclass

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Question

(A, B, C) वृत्त $x^2+y^2=3$ और परवलय $x^2=2y$ है। $x^2=2y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y^2=3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2+2y-3=0$,जिस

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$A, B, D$

Vedclass · Answer

(A, B, C) वृत्त $x^2+y^2=3$ और परवलय $x^2=2y$ है। $x^2=2y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y^2=3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2+2y-3=0$,जिसके गुणनखंड $(y+3)(y-1)=0$ हैं। चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$y=1$ और $x^2=2(1)=2$,अतः $x=\sqrt{2}$। इस प्रकार,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$।$(\sqrt{2}, 1)$ पर $x^2+y^2=3$ की स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x + y = 3$ है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। $L$ की ढाल $m = -\sqrt{2}$ है।मान लीजिए $	heta$ वह कोण है जो रेखा $L$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाती है,अतः $	an 	heta = -\sqrt{2}$। रेखा $L$ और $y$-अक्ष के बीच के कोण $\alpha$ के लिए $	an \alpha = |\cot 	heta| = \frac{1}{|	an 	heta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।मान लीजिए $T$,$L$ और $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\sqrt{2}x+y=3$ में $x=0$ रखने पर $T \equiv (0, 3)$ प्राप्त होता है।त्रिज्या $r=2\sqrt{3}$ वाले वृत्तों $C_2, C_3$ के लिए जो $L$ को $R_2, R_3$ पर स्पर्श करते हैं और केंद्र $Q_2, Q_3$ $y$-अक्ष पर हैं,दूरी $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$ है। चूँकि $	an \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अतः $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$। चूँकि $Q_2, Q_3$ $T$ के सापेक्ष $y$-अक्ष पर सममित हैं,$Q_2Q_3 = 2 	imes 6 = 12$। (विकल्प $A$ सही है)।$R_3T = \frac{r}{	an \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$। अतः $R_2R_3 = 2 	imes 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$। (विकल्प $B$ सही है)।$O(0,0)$ से $L$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है। $	riangle OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (4\sqrt{6}) 	imes \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $C$ सही है)।$	riangle PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (Q_2Q_3) 	imes |x_P| = \frac{1}{2} 	imes 12 	imes \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $D$ गलत है)।

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माना रेखा $x-y+1=0$ वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $AB$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ का व्यास है,तो $g+f=$

बिंदु $(0,1)$ से गुजरने वाले और परवलय $y=x^{2}$ को बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

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