वृत्त x^2+y^2-8x=0 और अतिपरवलय frac{x^2}{9}-f | vedclass

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Question

(A) $1.$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ की स्पर्शरेखा $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ है,जहाँ $m>0$ है।यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-8x=0$ को भी स्पर्श करती ह

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$(B, A)$

Vedclass · Answer

(A) $1.$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ की स्पर्शरेखा $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ है,जहाँ $m>0$ है।यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-8x=0$ को भी स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(4, 0)$ और त्रिज्या $r=4$ है।केंद्र $(4, 0)$ से रेखा $mx-y+\sqrt{9m^2-4}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।$\frac{|4m-0+\sqrt{9m^2-4}|}{\sqrt{m^2+1}}=4 \Rightarrow |4m+\sqrt{9m^2-4}|=4\sqrt{m^2+1}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16m^2 + 9m^2 - 4 + 8m\sqrt{9m^2-4} = 16(m^2+1) = 16m^2+16$.$8m\sqrt{9m^2-4} = 20-9m^2$.पुनः वर्ग करने पर: $64m^2(9m^2-4) = (20-9m^2)^2 \Rightarrow 576m^4 - 256m^2 = 400 - 360m^2 + 81m^4$.$495m^4 + 104m^2 - 400 = 0$. $m^2$ के लिए हल करने पर,$m^2 = 4/5$,अतः $m = 2/\sqrt{5}$ है।$m$ का मान रखने पर,स्पर्शरेखा $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \sqrt{9(\frac{4}{5})-4} = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{4}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होती है।अतः,$2x-\sqrt{5}y+4=0$,जो विकल्प $(B)$ है।$2.$ अतिपरवलय पर एक बिंदु $(3\sec	heta, 2	an	heta)$ है।वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(3\sec	heta)^2 + (2	an	heta)^2 - 8(3\sec	heta) = 0$.$9\sec^2	heta + 4(\sec^2	heta-1) - 24\sec	heta = 0 \Rightarrow 13\sec^2	heta - 24\sec	heta - 4 = 0$.$(13\sec	heta+2)(\sec	heta-2) = 0$. चूँकि $\sec	heta=2$,$	an^2	heta = 2^2-1=3$,इसलिए $	an	heta = \pm\sqrt{3}$ है।बिंदु $A(6, 2\sqrt{3})$ और $B(6, -2\sqrt{3})$ हैं।$AB$ व्यास वाले वृत्त का केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $2\sqrt{3}$ है।समीकरण: $(x-6)^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^2-12x+36+y^2=12 \Rightarrow x^2+y^2-12x+24=0$,जो विकल्प $(A)$ है।

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