Equations of circle Questions in Hindi

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर $a = 6$ तथा $y$-अक्ष पर $b = 4$ लंबाई के अंतःखंड बनाने वाले वृत्त का केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ होता है।
चूंकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए निर्देशांक $(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}) = (3, 2)$ होंगे।
मूल बिंदु से गुजरने वाले और $(h, k)$ केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ होता है।
$h = 3$ और $k = 2$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2(3)x - 2(2)y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 4y = 0$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए बिंदुओं $(1, \sqrt{2})$,$(7, \sqrt{2})$ और $(1, 3)$ का उपयोग करने पर:
हमें $g = -4$,$f = -\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ और $c = 7 + 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 8x - (3 + \sqrt{2})y + 7 + 3\sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
तुलना करने पर,$g = \frac{\lambda}{2}$,$f = \frac{1 - \lambda}{2}$,और $c = 5$ है।
वृत्त के लिए $g^2 + f^2 - c > 0$ होना चाहिए,जिससे $2\lambda^2 - 2\lambda - 19 > 0$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r \leq 5$ होने के कारण $r^2 \leq 25$,अर्थात $2\lambda^2 - 2\lambda - 119 \leq 0$।
हल करने पर,$-7.23 \leq \lambda \leq 8.23$ प्राप्त होता है।
शर्त $2\lambda^2 - 2\lambda - 19 > 0$ की जाँच करने पर,मान्य पूर्णांक मान $\{-7, -6, -5, -4, -3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ हैं।
कुल $10$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(-2, 0)$,$B(2, 0)$ और $C(0, 2\sqrt{3})$ हैं।
समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र उसके केंद्रक के समान होता है।
केंद्रक $G = \left(\frac{-2+2+0}{3}, \frac{0+0+2\sqrt{3}}{3}\right) = \left(0, \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ है।
त्रिज्या $R$ केंद्रक से किसी भी शीर्ष की दूरी है,उदा. $B(2, 0)$:
$R^2 = (2-0)^2 + (0 - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.
वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{16}{3}$ है।
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{3}x^2 + \sqrt{3}y^2 - 4y - 4\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $k - 4h + 3 = 0$,या $k = 4h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से बिंदुओं $(2, 3)$ और $(4, 5)$ की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होनी चाहिए।
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \Rightarrow h + k = 7$।
$h + k = 7$ में $k = 4h - 3$ रखने पर:
$h + (4h - 3) = 7$ $\Rightarrow 5h = 10$ $\Rightarrow h = 2$।
अतः $k = 4(2) - 3 = 5$।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या $r$,$(2, 5)$ और $(2, 3)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$।

(A) माना वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $y-$अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(r, 2)$ या $(-r, 2)$ है।
चूंकि वृत्त $(-2, 4)$ से गुजरता है,केंद्र $(-r, 2)$ होना चाहिए।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(-r, 2)$ से बिंदु $(0, 2)$ तक की दूरी है,जो $r$ है।
केंद्र $(-r, 2)$ से $(-2, 4)$ तक की दूरी भी $r$ है।
अतः,$(-r - (-2))^2 + (2 - 4)^2 = r^2$
$(2 - r)^2 + (-2)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 4 = r^2$
$8 - 4r = 0 \Rightarrow r = 2.$
इस प्रकार,केंद्र $(-2, 2)$ है।
वृत्त का व्यास केंद्र $(-2, 2)$ से होकर गुजरना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए: $2(-2) - 3(2) + 10 = -4 - 6 + 10 = 0.$
चूंकि केंद्र $(-2, 2)$ समीकरण $2x - 3y + 10 = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए यह रेखा एक व्यास है।

(A) एक समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और परिकेंद्र एक ही बिंदु $(1, 1)$ पर स्थित होते हैं।
अंतःत्रिज्या $r$,अंतःकेंद्र $(1, 1)$ से भुजा $3x + 4y + 3 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है:
$R = 2r = 2(2) = 4$.
केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $R = 4$ वाले परिवृत्त का समीकरण है:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 16$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 14 = 0$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, 2)$ है और इसकी त्रिज्या $|h|$ है। चूंकि वृत्त $y-$ अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(h, 2)$ से $y-$ अक्ष की दूरी $|h|$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 0)$ से होकर गुजरता है,केंद्र $(h, 2)$ से $(-1, 0)$ की दूरी त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$(h - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
केंद्र $(-\frac{5}{2}, 2)$ है और त्रिज्या $r = |h| = \frac{5}{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ है।
$x-$ अक्ष पर जीवा ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$(x + \frac{5}{2})^2 + (0 - 2)^2 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 + 4 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$
$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$.
अतः,$x_1 = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$ और $x_2 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$.
जीवा की लंबाई $|x_1 - x_2| = |-1 - (-4)| = 3$ है।

(D) दो रेखाओं $5x + 8y = 13$ और $4x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।
$4x - y = 3$ से $y = 4x - 3$ मिलता है। पहले समीकरण में रखने पर: $5x + 8(4x - 3) = 13$ $\Rightarrow 37x = 37$ $\Rightarrow x = 1$. अतः $y = 1$। केंद्र $(1, 1)$ है।
वृत्त का व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
यहाँ,$-g = a^2 - 7a + 11 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 7a + 10 = 0$ $\Rightarrow a = 2, 5$।
और $-f = a^2 - 6a + 6 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 6a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1, 5$।
दोनों शर्तों के लिए $a = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 - b^3$ हो जाता है।
वास्तविक वृत्त के लिए,त्रिज्या का वर्ग धनात्मक होना चाहिए: $1 - b^3 > 0 \Rightarrow b < 1$।

(A) शीर्ष $A(-a, 0)$ और $B(a, 0)$ हैं। समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $2a$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,तीसरे शीर्ष $C$ का $x$-निर्देशांक $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $0$ है।
$2a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2a) = \sqrt{3}a$ है।
चूंकि $C$ $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है,इसके निर्देशांक $C(0, \sqrt{3}a)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ मान लें।
चूंकि $A(-a, 0)$ और $B(a, 0)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$a^2 - 2ga + c = 0$ और $a^2 + 2ga + c = 0$।
इनको घटाने पर $4ga = 0$,अतः $g = 0$।
तब $a^2 + c = 0$,अर्थात $c = -a^2$।
चूंकि $C(0, \sqrt{3}a)$ वृत्त पर स्थित है:
$0^2 + (\sqrt{3}a)^2 + 2f(\sqrt{3}a) - a^2 = 0$
$3a^2 + 2\sqrt{3}af - a^2 = 0$
$2a^2 + 2\sqrt{3}af = 0$
$f = -\frac{a^2}{\sqrt{3}a} = -\frac{a}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $x^2 + y^2 - \frac{2a}{\sqrt{3}}y - a^2 = 0$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay - 3a^2 = 0$,या $3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay = 3a^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P = (1, 0)$ और $Q = (-1, 0)$ है। माना एक बिंदु $X = (x, y)$ शर्त $\frac{XP}{XQ} = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है $2XP = XQ$,या $4XP^2 = XQ^2$ है।
निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर: $4((x - 1)^2 + y^2) = (x + 1)^2 + y^2$ है।
विस्तार करने पर: $4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$ है।
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$ है।
$3x^2 + 3y^2 - 10x + 3 = 0$ है।
$3$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$ है।
यह एक वृत्त का समीकरण है। चूंकि बिंदु $A, B, C$ इस शर्त को संतुष्ट करते हैं,वे इस वृत्त पर स्थित हैं।
$\Delta ABC$ का परिकेंद्र इस वृत्त का केंद्र है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2g = -\frac{10}{3} \Rightarrow g = -\frac{5}{3}$ और $f = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ है।

(A) $(h, k)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (0, 0)$ और त्रिज्या $r$ दी गई है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$
$x^{2} + y^{2} = r^{2}$.

(A) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (-3, 2)$ और त्रिज्या $r = 4$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x - (-3))^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$
$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$.

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}+8x+10y-8=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x^{2}+8x) + (y^{2}+10y) = 8$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,दोनों पक्षों में $(8/2)^{2} = 16$ और $(10/2)^{2} = 25$ जोड़ने पर:
$(x^{2}+8x+16) + (y^{2}+10y+25) = 8+16+25$.
यह $(x+4)^{2} + (y+5)^{2} = 49$ में सरल हो जाता है।
इसकी तुलना मानक रूप $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ से करने पर,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है:
$h = -4$,$k = -5$,और $r^{2} = 49$,अतः $r = 7$.
इस प्रकार,केंद्र $(-4, -5)$ है और त्रिज्या $7$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त $(2, -2)$ और $(3, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(2 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2$ --- $(1)$
$(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$ --- $(2)$
साथ ही,केंद्र $(h, k)$ रेखा $x + y = 2$ पर स्थित है,इसलिए:
$h + k = 2$ --- $(3)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$2h + 12k = 17$ --- $(4)$
$(3)$ से,$h = 2 - k$ को $(4)$ में रखने पर:
$10k = 13 \implies k = 1.3$
$h = 0.7$
$(1)$ में मान रखने पर $r^2 = 12.58$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - 0.7)^2 + (y - 1.3)^2 = 12.58$ है।

(A) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण इस प्रकार है:
$(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$
दिया गया है कि केंद्र $(h, k) = (0, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ है,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-0)^{2} + (y-2)^{2} = 2^{2}$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$x^{2} + (y^{2} - 4y + 4) = 4$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^{2} + y^{2} - 4y + 4 = 4$
$x^{2} + y^{2} - 4y = 0$

(A) $(h, k)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ होता है।
दिया गया है कि केंद्र $(h, k) = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x - (-2))^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}$
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^{2} + 4x + 4) + (y^{2} - 6y + 9) = 16$
$x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 13 = 16$
$x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 3 = 0$.

(A) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ होता है।
दिया गया केंद्र $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ और त्रिज्या $r = \frac{1}{12}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{1}{4}\right)^{2} = \left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
$x^{2} - x + \frac{1}{4} + y^{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{16} = \frac{1}{144}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $144$ से गुणा करने पर:
$144x^{2} - 144x + 36 + 144y^{2} - 72y + 9 = 1$
$144x^{2} + 144y^{2} - 144x - 72y + 45 - 1 = 0$
$144x^{2} + 144y^{2} - 144x - 72y + 44 = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$36x^{2} + 36y^{2} - 36x - 18y + 11 = 0$.

(A) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण है:
$(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$
दिया गया है कि केंद्र $(h, k) = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = (\sqrt{2})^{2}$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^{2} - 2x + 1) + (y^{2} - 2y + 1) = 2$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 2$
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y = 0$

(A) $(h, k)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (-a, -b)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ दी गई है।
इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
दोनों पक्षों से $a^{2}$ घटाने और $b^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=36$ है।
इसकी तुलना वृत्त के मानक समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ से करने पर,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है:
$(x-(-5))^{2}+(y-3)^{2}=6^{2}$.
यहाँ,$h = -5$,$k = 3$,और $r = 6$ है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-5, 3)$ है और त्रिज्या $6$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x-8y-45=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x^{2}-4x) + (y^{2}-8y) = 45$ प्राप्त होता है।
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-4x+4) + (y^{2}-8y+16) = 45 + 4 + 16$।
यह सरल होकर $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 65$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (2, 4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{65}$ प्राप्त होती है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-8x+10y-12=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x^{2}-8x) + (y^{2}+10y) = 12$.
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-8x+16) + (y^{2}+10y+25) = 12+16+25$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$(x-4)^{2} + (y+5)^{2} = 53$.
इसे मानक रूप $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (4, -5)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{53}$ प्राप्त होती है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $2x^{2} + 2y^{2} - x = 0$ है।
$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + y^{2} - \frac{x}{2} = 0$.
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2} - \frac{x}{2} + (\frac{1}{4})^{2}) + y^{2} = (\frac{1}{4})^{2}$.
इसे सरल करने पर:
$(x - \frac{1}{4})^{2} + (y - 0)^{2} = (\frac{1}{4})^{2}$.
इसे मानक रूप $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (\frac{1}{4}, 0)$ और त्रिज्या $r = \frac{1}{4}$ प्राप्त होती है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ है।
चूंकि वृत्त बिंदुओं $(4, 1)$ और $(6, 5)$ से होकर गुजरता है:
$(4 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = r^{2}$ $(1)$
$(6 - h)^{2} + (5 - k)^{2} = r^{2}$ $(2)$
चूंकि केंद्र $(h, k)$ रेखा $4x + y = 16$ पर स्थित है:
$4h + k = 16$ $(3)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$(4 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = (6 - h)^{2} + (5 - k)^{2}$
$16 - 8h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = 36 - 12h + h^{2} + 25 - 10k + k^{2}$
$17 - 8h - 2k = 61 - 12h - 10k$
$4h + 8k = 44 \Rightarrow h + 2k = 11$ $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को हल करने पर:
$(3)$ से,$k = 16 - 4h$. $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h + 2(16 - 4h) = 11$ $\Rightarrow h + 32 - 8h = 11$ $\Rightarrow -7h = -21$ $\Rightarrow h = 3$.
अतः $k = 16 - 4(3) = 4$.
$h=3, k=4$ को $(1)$ में रखने पर:
$(4 - 3)^{2} + (1 - 4)^{2} = r^{2}$ $\Rightarrow 1^{2} + (-3)^{2} = r^{2}$ $\Rightarrow 1 + 9 = 10 = r^{2}$.
समीकरण $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ है।
$x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 = 10 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 15 = 0$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ है।
चूंकि वृत्त $(2, 3)$ और $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है:
$(2 - h)^{2} + (3 - k)^{2} = r^{2}$ $(1)$
$(-1 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = r^{2}$ $(2)$
केंद्र $(h, k)$ रेखा $x - 3y - 11 = 0$ पर स्थित है:
$h - 3k = 11$ $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से:
$6h + 4k = 11$ $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को हल करने पर,$h = \frac{7}{2}$ और $k = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर $r^{2} = \frac{130}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - \frac{7}{2})^{2} + (y + \frac{5}{2})^{2} = \frac{130}{4}$ है।
सरल करने पर,$x^{2} + y^{2} - 7x + 5y - 14 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ है।
चूँकि त्रिज्या $r=5$ है और केंद्र $x-$अक्ष पर स्थित है,इसलिए $k=0$ है। अतः,समीकरण $(x-h)^{2}+y^{2}=25$ है।
चूँकि वृत्त बिंदु $(2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $(2-h)^{2}+3^{2}=25$ होगा।
$(2-h)^{2}+9=25 \Rightarrow (2-h)^{2}=16$.
$2-h = \pm 4$.
यदि $2-h=4$ है,तो $h=-2$ है। समीकरण $(x+2)^{2}+y^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-21=0$ प्राप्त होता है।
यदि $2-h=-4$ है,तो $h=6$ है। समीकरण $(x-6)^{2}+y^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x+11=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ है।
चूंकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $(0-h)^{2}+(0-k)^{2}=r^{2}$ है,जिसका अर्थ है $h^{2}+k^{2}=r^{2}$।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों पर $a$ और $b$ अंतःखंड बनाता है,यह $(a,0)$ और $(0,b)$ से गुजरता है।
$(a,0)$ को समीकरण में रखने पर: $(a-h)^{2}+(0-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow a^{2}-2ah+h^{2}+k^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow a^{2}-2ah=0$। चूंकि $a \neq 0$,हमें $h=\frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
$(0,b)$ को समीकरण में रखने पर: $(0-h)^{2}+(b-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow h^{2}+b^{2}-2bk+k^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow b^{2}-2bk=0$। चूंकि $b \neq 0$,हमें $k=\frac{b}{2}$ प्राप्त होता है।
$h$ और $k$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(x-\frac{a}{2})^{2}+(y-\frac{b}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}$।
इसका विस्तार करने पर: $x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}+y^{2}-by+\frac{b^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}$।
सरल करने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-ax-by=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, 2)$ दिया गया है।
चूंकि वृत्त $(4, 5)$ बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $(r)$,$(2, 2)$ और $(4, 5)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ है।
$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = (\sqrt{13})^{2}$.
$x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 4y + 4 = 13$.
$x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 8 = 13$.
$x^{2} + y^{2} - 4x - 4y - 5 = 0$.

(B) वृत्त $x^{2}+y^{2}+px+(1-p)y+5=0$ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2p^{2} - 2p - 19}}{2}$ है।
चूंकि $r \in (0, 5]$,इसलिए $0 < 2p^{2} - 2p - 19 \leq 100$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को हल करने पर,$q = p^{2}$ के पूर्णांक मान $8$ से $68$ तक प्राप्त होते हैं।
पूर्णांक मानों की कुल संख्या $68 - 8 + 1 = 61$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ है।
$36$ से भाग देने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{5}{3})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{h^{2}+k^{2}-\frac{C}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}}$ है।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए।
$|h| > r$ $\Rightarrow \frac{3}{2} > r$ $\Rightarrow \frac{9}{4} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{25}{9}$ $\Rightarrow C > 100$.
$|k| > r$ $\Rightarrow \frac{5}{3} > r$ $\Rightarrow \frac{25}{9} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{9}{4}$ $\Rightarrow C > 81$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $C > 100$ प्राप्त होता है।
अब,$x-2 y=4$ और $2 x-y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।
बिंदु $(2, -1)$ वृत्त $S$ के अंदर स्थित है,इसलिए $S(2, -1) < 0$.
$x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36} < 0 \Rightarrow 4+1-3(2)+\frac{10}{3}(-1)+\frac{C}{36} < 0$.
$5-6-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow -1-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow \frac{C}{36} < \frac{13}{3}$ $\Rightarrow C < 156$.
अतः,$100 < C < 156$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण: $\operatorname{Re}(z^{2})+2(\operatorname{Im}(z))^{2}+2 \operatorname{Re}(z)=0$ है।
चूंकि $z=x+iy$,हमारे पास $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ है,इसलिए $\operatorname{Re}(z^{2})=x^{2}-y^{2}$ और $\operatorname{Im}(z)=y$ है।
समीकरण $(x^{2}-y^{2})+2y^{2}+2x=0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^{2}+y^{2}+2x=0$ बनता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-1, 0)$ है।
दिया गया परवलय: $x^{2}-6x-y+13=0$ है।
इसे $(x-3)^{2}-9-y+13=0$ के रूप में लिखने पर,हमें $(x-3)^{2}=y-4$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(3, 4)$ है।
रेखा $(-1, 0)$ और $(3, 4)$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{4-0}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1$ है।
रेखा का समीकरण $y-0=1(x+1)$ है,जो $y=x+1$ है।
$y$-अंतःखंड वह $y$ का मान है जब $x=0$ होता है,जो $1$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ हैं।
भुज $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $2x^{2}-rx+p=0$ के मूल हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2} = \frac{r}{2}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{p}{2}$ है।
कोटियाँ $y_{1}, y_{2}$ समीकरण $y^{2}-sy-q=0$ के मूल हैं,इसलिए $y_{1}+y_{2} = s$ और $y_{1}y_{2} = -q$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ होता है।
$x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$.
मान रखने पर: $x^{2} - \frac{r}{2}x + \frac{p}{2} + y^{2} - sy - q = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2(x^{2}+y^{2}) - rx - 2sy + p - 2q = 0$.
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $2(x^{2}+y^{2}) - 11x - 14y - 22 = 0$ से करने पर:
$r = 11$,$2s = 14 \implies s = 7$,और $p-2q = -22$.
हमें $2r+s-2q+p = 2(11) + 7 + (-22) = 22 + 7 - 22 = 7$ का मान ज्ञात करना है।

(A) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विस्तार $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ है।
दिया गया है कि $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $x^{2}-4x-6=0$ के मूल हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2} = 4$ और $x_{1}x_{2} = -6$ है।
दिया गया है कि $y_{1}, y_{2}$ समीकरण $y^{2}+2y-7=0$ के मूल हैं,इसलिए $y_{1}+y_{2} = -2$ और $y_{1}y_{2} = -7$ है।
इन मानों को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} - 4x - 6 + y^{2} + 2y - 7 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 13 = 0$.
इसकी तुलना $x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2a = -4 \implies a = -2$
$2b = 2 \implies b = 1$
$c = -13$
अतः,$a+b-c = -2 + 1 - (-13) = -1 + 13 = 12$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2gx+6y-19c=0$ है।
चूंकि वृत्त $(6,1)$ से गुजरता है,इसलिए:
$6^{2}+1^{2}-2g(6)+6(1)-19c=0$
$43-12g-19c=0 \implies 12g+19c=43$ $(1)$
वृत्त का केंद्र $(g, -3)$ है। केंद्र रेखा $x-2cy=8$ पर स्थित है,इसलिए:
$g-2c(-3)=8 \implies g+6c=8$ $(2)$
$(2)$ से,$g=8-6c$। $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$12(8-6c)+19c=43$
$96-53c=43 \implies c=1$
$c=1$ रखने पर,$g=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x+6y-19=0$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^{2}-c'}$ है,जहाँ $c'=-19$ है।
लंबाई $= 2\sqrt{2^{2}-(-19)} = 2\sqrt{23}$.

(C) बिंदु $(0, 0), (1, 0)$ और $(0, 1)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर समकोण बनाने वाला एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
चूंकि ये तीनों बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $(1, 0)$ और $(0, 1)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होगा।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$(1, 0)$ और $(0, 1)$ को व्यास के अंत बिंदुओं के रूप में लेने पर:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु भिन्न हैं,इसलिए $k = 0$ संभव नहीं है (क्योंकि यह बिंदु $(0, 0)$ देता है,जो पहले से ही दिया गया है)। अतः,$k = \frac{5}{13}$।

(A) दी गई रेखाएँ $3x + 5y = 1$ और $(2+c)x + 5c^2y = 1$ हैं।
पहली रेखा से,$y = \frac{1-3x}{5}$। इस मान को दूसरी रेखा में रखने पर:
$(2+c)x + 5c^2(\frac{1-3x}{5}) = 1$
$(2+c)x + c^2(1-3x) = 1$
$x(2+c-3c^2) = 1-c^2$
$x_c = \frac{1-c^2}{2+c-3c^2} = \frac{(1-c)(1+c)}{(1-c)(2+3c)} = \frac{1+c}{2+3c}$.
$h = \lim_{c \to 1} x_c = \frac{1+1}{2+3(1)} = \frac{2}{5}$.
अब,$y_c = \frac{1-3x_c}{5} = \frac{1 - 3(\frac{1+c}{2+3c})}{5} = \frac{2+3c-3-3c}{5(2+3c)} = \frac{-1}{5(2+3c)}$.
$k = \lim_{c \to 1} y_c = \frac{-1}{5(2+3)} = -\frac{1}{25}$.
केंद्र $(h, k) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{25})$ है।
वृत्त $(2, 0)$ से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - \frac{2}{5})^2 + (0 - (-\frac{1}{25}))^2 = (\frac{8}{5})^2 + (\frac{1}{25})^2 = \frac{64}{25} + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$ है।
समीकरण $(x - \frac{2}{5})^2 + (y + \frac{1}{25})^2 = \frac{1601}{625}$ है।
$x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} + y^2 + \frac{2}{25}y + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$।
$625$ से गुणा करने पर: $625x^2 - 500x + 100 + 625y^2 + 50y + 1 = 1601$।
$625x^2 + 625y^2 - 500x + 50y - 1500 = 0$।
$25$ से भाग देने पर: $25x^2 + 25y^2 - 20x + 2y - 60 = 0$।

(D) माना $(h, k)$ वृत्त का केंद्र है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 2$ होगा और त्रिज्या $r = |h|$ होगी।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
वृत्त का समीकरण $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ है।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 5x - 4y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(-4, 0)$ के लिए:
$(-4)^2 + (0)^2 + 5(-4) - 4(0) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
अतः,वृत्त $(-4, 0)$ से गुजरता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) - 4 - 1 - 4 = 0$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3^2$
इसे मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ प्राप्त होती है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = -1 + 3 \cos \theta$ और $y = 2 + 3 \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(0, y)$ है।
चूंकि वृत्त $(4, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
$\sqrt{(4-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (2-y)^2}$
$16 + y^2 = (2-y)^2$
$16 + y^2 = 4 - 4y + y^2$
$16 = 4 - 4y$
$4y = -12$
$y = -3$
अतः केंद्र $(0, -3)$ है।
त्रिज्या $r$,$(0, -3)$ से $(0, 2)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(0-0)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
अब,$r^2 - r + 1$ का मान:
$r^2 - r + 1 = 5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

(C) रेखाओं का युग्म $x^2 - y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$ द्वारा दिया गया है।
इसे $(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः रेखाएँ $x - y + 1 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(h, k)$ इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $h - k = -1$ और $h + k = 3$।
हल करने पर $h = 1$ और $k = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1$ है।
अतः वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2+kx+(1-k)y+5=0$ है।
वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=k/2$ और $f=(1-k)/2$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{(1-k)^2}{4} - 5}$ है।
वृत्त के लिए $r^2 > 0$ होना चाहिए,अतः $2k^2 - 2k - 19 > 0$।
$r \le 5$ के लिए $r^2 \le 25$,अतः $2k^2 - 2k - 119 \le 0$।
हल करने पर $k$ के पूर्णांक मान $12$ प्राप्त होते हैं।

(D) वृत्त $C_1$ का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
मानक रूप में लिखने पर: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$.
अतः,केंद्र $(3,2)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$C_1$ का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = 25\pi$.
माना अभीष्ट संकेंद्रित वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है कि अभीष्ट वृत्त का क्षेत्रफल $C_1$ के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\pi R^2 = 2 \times (25\pi) = 50\pi$.
$R^2 = 50$.
केंद्र $(3,2)$ वाले संकेंद्रित वृत्त का समीकरण: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 50$.
$x^2-6x+9 + y^2-4y+4 = 50$.
$x^2+y^2-6x-4y = 37$.

(B) वृत्त $x^2+y^2+6x-14y+5=0$ का केंद्र $(-3, 7)$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x+10y-4=0$ का केंद्र $(2, -5)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
केंद्रों $(-3, 7)$ और $(2, -5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - (-3))(x - 2) + (y - 7)(y - (-5)) = 0$
$(x+3)(x-2) + (y-7)(y+5) = 0$
$x^2 - 2x + 3x - 6 + y^2 + 5y - 7y - 35 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 2y - 41 = 0$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-3$ और $f=-2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त संकेंद्रीय है,इसलिए इसका केंद्र भी $(3, 2)$ होगा।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ इसके केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होगी,अतः $r = |2| = 2$।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = 4$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $A \equiv (x_1, y_1)$ और $B \equiv (x_2, y_2)$ है।
दिए गए समीकरणों से,द्विघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
$x_1+x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
$y_1+y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर:
$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$।
$x^2 + y^2 + 2ax + 2py - (b^2+q^2) = 0$।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-ax-by=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2-ax+\frac{a^2}{4})+(y^2-by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$
$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b}{2})^2 = (\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2})^2$.
यह $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ के रूप में है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cos \theta$ और $y = \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(C) भुजाओं के दिए गए समीकरण $x=-2, x=6, y=-2$ और $y=5$ हैं।
आयत के शीर्ष $A(-2, -2)$,$B(6, -2)$,$C(6, 5)$ और $D(-2, 5)$ हैं।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है।
विकर्ण $AC$ के अंतिम बिंदुओं $A(-2, -2)$ और $C(6, 5)$ को लेते हुए,व्यास रूप में वृत्त का समीकरण इस प्रकार है:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - (-2))(x - 6) + (y - (-2))(y - 5) = 0$
$(x + 2)(x - 6) + (y + 2)(y - 5) = 0$
$x^2 - 6x + 2x - 12 + y^2 - 5y + 2y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 22 = 0$

(D) आयत $x=-2, x=4, y=-2, y=5$ द्वारा परिबद्ध है। शीर्ष $A(-2, -2), D(4, -2), B(4, 5), C(-2, 5)$ हैं।
आयत का केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $AC$ या $BD$ का मध्यबिंदु है।
केंद्र $P = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+5}{2}\right) = \left(1, \frac{3}{2}\right)$ है।
आयत की चौड़ाई $4 - (-2) = 6$ इकाई है,इसलिए ऊर्ध्वाधर भुजाओं को स्पर्श करने के लिए त्रिज्या $r_1 = 3$ इकाई है।
आयत की ऊँचाई $5 - (-2) = 7$ इकाई है,इसलिए क्षैतिज भुजाओं को स्पर्श करने के लिए त्रिज्या $r_2 = 3.5 = \frac{7}{2}$ इकाई है।
स्थिति $1$: त्रिज्या $r = 3$। समीकरण $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 5.75 = 0$ है।
स्थिति $2$: त्रिज्या $r = 3.5$। समीकरण $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = (3.5)^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 9 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x^2+y^2-2x-3y-9=0$ विकल्प में मौजूद है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) माना $A \equiv (x_1, y_1)$ और $B \equiv (x_2, y_2)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$x^2+2ax-b^2=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं,इसलिए $x_1+x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
इसी प्रकार,$y^2+2py-q^2=0$ के मूल $y_1, y_2$ हैं,इसलिए $y_1+y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
$A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को व्यास के अंत बिंदुओं के रूप में रखने वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - x(x_1+x_2) + x_1x_2 + y^2 - y(y_1+y_2) + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - x(-2a) - b^2 + y^2 - y(-2p) - q^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2+2ax+2py-(b^2+q^2) = 0$ है।