एक अंतरिक्ष यान जो पृथ्वी के सापेक्ष $x$-दिशा में $u$ की गति से चल रहा है,एक बहुत अधिक विशाल ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्रवेश करता है जो ऋणात्मक $x$-दिशा में $3u$ की गति से चल रहा है। अंतरिक्ष यान नीचे दिखाए गए प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करते हुए बाहर निकलता है। ग्रह के गुरुत्वाकर्षण से बाहर निकलने के काफी समय बाद पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान की गति क्या होगी?

$(a)$ पृथ्वी को $6400 \, km$ त्रिज्या का एक गोला माना जा सकता है। पृथ्वी के घूर्णन (आवर्तकाल $1 \, \text{दिन}$) के कारण कोई भी वस्तु (या व्यक्ति) पृथ्वी की धुरी के चारों ओर वृत्तीय गति कर रही है। पृथ्वी की सतह पर (भूमध्य रेखा पर) वस्तु का उसके केंद्र की ओर त्वरण क्या है? अक्षांश $\theta$ पर यह कितना है? इन त्वरणों की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?
$(b)$ पृथ्वी भी हर साल $1.5 \times 10^{11} \, m$ की कक्षीय त्रिज्या के साथ सूर्य के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमती है। सूर्य के केंद्र की ओर पृथ्वी (या पृथ्वी की सतह पर किसी भी वस्तु) का त्वरण क्या है? इस त्वरण की तुलना $g = 9.8 \, m/s^2$ से कैसे की जा सकती है?

समान द्रव्यमान $m$ के दो कण अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमते हैं। उनके द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष प्रत्येक कण की गति है

समान घनत्व और $4$ इकाई त्रिज्या वाला एक ठोस गोला निर्देशांकों के मूल बिंदु $O$ पर स्थित है। चित्र में दिखाए अनुसार $A(-2, 0, 0)$ और $B(2, 0, 0)$ पर केंद्रों वाले $1$ इकाई त्रिज्या के दो समान गोलों को ठोस से बाहर निकाल लिया जाता है,जिससे गोलाकार कोटर (cavities) बन जाते हैं।

निम्नलिखित चार आवर्तकालों में:
$(i)$ पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर उपग्रह के परिक्रमण का समय $({T_{st}})$
$(ii)$ पृथ्वी के व्यास के अनुदिश खोदी गई सुरंग के अंदर द्रव्यमान के दोलन का आवर्तकाल $({T_{ma}})$
$(iii)$ $9.8 \; N/kg$ के एकसमान क्षेत्र में पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले सरल लोलक का आवर्तकाल $({T_{sp}})$
$(iv)$ पृथ्वी के वास्तविक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अनंत लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल $({T_{is}})$

$m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्रीय विभव क्षेत्र $U(r) = -\frac{C}{r}$ के अंतर्गत एक वृत्ताकार कक्षा में गति करता है,जहाँ $C$ एक धनात्मक नियतांक है। कण की गति के लिए सही त्रिज्या-वेग ग्राफ कौन सा है?