मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ और $F(0) = 0$ है।हमें निम्नलिखित समाकल समीकरण दिया गया है:$\in

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$4$

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(A) दिया गया है $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ और $F(0) = 0$ है।हमें निम्नलिखित समाकल समीकरण दिया गया है:$\int_0^\pi (f'(x) + F(x)) \cos x dx = 2$समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:$\int_0^\pi f'(x) \cos x dx + \int_0^\pi F(x) \cos x dx = 2$प्रथम समाकल $I_1 = \int_0^\pi f'(x) \cos x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$I_1 = [f(x) \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi f(x) (-\sin x) dx$$I_1 = f(\pi) \cos(\pi) - f(0) \cos(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$चूंकि $f(\pi) = -6$,$\cos(\pi) = -1$,और $\cos(0) = 1$ है:$I_1 = (-6)(-1) - f(0)(1) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx = 6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$अब,दूसरे समाकल $I_2 = \int_0^\pi F(x) \cos x dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I_2 = [F(x) \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi F'(x) \sin x dx$चूंकि $F(0) = 0$ और $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ है,सीमा पद $0$ हो जाएगा।$I_2 = - \int_0^\pi f(x) \sin x dx$$I_1$ और $I_2$ के मानों को मूल समीकरण में रखने पर:$(6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx) + (- \int_0^\pi f(x) \sin x dx) = 2$$6 - f(0) = 2$$f(0) = 4$.

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