अऋणात्मक पूर्णांको s तथा r के लिये, माना bino | vedclass

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Question

Solving

$f( m , n , p )=\sum_{ i =0}^{ p }{ }_{ m } C _{ i }^{ n + i } C _{ p } \cdot{ }^{ p + n } C _{ p - i }$

${ }^{ m } C _{ i } \cdot{ }^{

Vedclass · Accepted Answer

$A,B,D$

Vedclass · Answer

Solving

$f( m , n , p )=\sum_{ i =0}^{ p }{ }_{ m } C _{ i }^{ n + i } C _{ p } \cdot{ }^{ p + n } C _{ p - i }$

${ }^{ m } C _{ i } \cdot{ }^{ n + i } C _{ p \cdot}{ }^{ p + n } C _{ p - i }$

${ }^{ m } C _{ i } \cdot \frac{( n + i )!}{ p !( n - p + i )!} 	imes \frac{( n + p )!}{( p - i )!( n + i )!}$

${ }^{ m } C _1 	imes \frac{( n + p )!}{ p !} 	imes \frac{1}{( n - p + i )!( p - i )!}$

${ }^{ m } C _{ i } 	imes \frac{( n + p )!}{ p ! n !} 	imes \frac{ n !}{( n - p + i )!( p - i )!}$

${ }^{ m } C _1{ }^{ n + p } C _{ p } \cdot{ }^{ n } C _{ p -1}\left\{{ }^{ m } C _{ e } \cdot{ }^{ n } C _{ p - i }={ }^{ m + n } C _{ p }ight\}$

$f( m , n , p )={ }^{ n + p } C _{ p } \cdot{ }^{ m + n } C _{ p }$

$\frac{f( m , n , p )}{{ }^{ n + p } C _{ p }}={ }^{ m + n } C _{ p }$

Now

$g ( m , n )=\sum_{ p =0}^{ m + n } \frac{f( m , n , p )}{{ }^{ n + p } C _{ p }}$

$g ( m , n )=\sum_{ p =0}^{ m + n + m + n } C _{ p }$

$g ( m , n )=2^{ m + n }$

$(A)$ $g(m, n)=q(n, m)$

$(B)$ $g(m, n+1)=2^{m+n+1}$

$g ( m + n , n )=2^{ m +1+ n }$

$(D)$ $g (2 m , 2 n )=2^{2 m +2 n }$

$=\left(2^{ m + n }ight)^2$

$=( g ( m , n ))^2$

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