मान लीजिए कि b एक शून्येतर वास्तविक संख्या है | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त

Vedclass · Accepted Answer

$A, C$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{b^2+x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|f(x)| = \frac{1}{b} 	an^{-1}\left(\frac{x}{b}ight) + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = \frac{1}{b} 	an^{-1}(0) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{x}{b})}$ है।
अब,$f(x)f(-x) = e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{x}{b})} \cdot e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{-x}{b})} = e^{\frac{1}{b} (	an^{-1}(\frac{x}{b}) - 	an^{-1}(\frac{x}{b}))} = e^0 = 1$ है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$b>0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2} > 0$ क्योंकि $f(x) = e^{\dots} > 0$ और $b^2+x^2 > 0$ है। अतः,$f$ एक वर्धमान फलन है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

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