वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद g(x) के लिए,m_g | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ ह

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$5$

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(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ हैं जिनकी बहुलता कम से कम $2$ है।अतः,$f(1)=0, f(-1)=0$ और $f'(1)=0, f'(-1)=0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$(-1, 1)$ के बीच एक $\alpha$ ऐसा मौजूद है कि $f'(\alpha)=0$ हो।इसलिए $f'(x)$ के मूल $-1, \alpha, 1$ हैं,जिसका अर्थ है $m_{f'} \ge 3$।यदि हम $f(x) = (x^2-1)^2$ लें,तो इसके मूल $1, -1$ हैं,इसलिए $m_f = 2$ है।अतः,$m_f + m_{f'} = 2 + 3 = 5$ है।इसलिए,न्यूनतम मान $5$ है।

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मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$,$I_2=[0,1]$,$I_3=[1,2]$,$I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

मान लीजिए $f(x)$,$[0, 2]$ में एक अवकलनीय फलन है,$f(0) = 0$ और $f'(x) \le \frac{1}{2}$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए। तो:

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