IIT JEE 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$।
समीकरण $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ के लिए,मूल $\alpha_1, \beta_1 = \sec \theta \pm \tan \theta$ हैं।
चूंकि $\theta \in (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12})$,$\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$ है। इसलिए,$\alpha_1 = \sec \theta - \tan \theta$।
समीकरण $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ के लिए,मूल $\alpha_2, \beta_2 = -\tan \theta \pm \sec \theta$ हैं।
चूंकि $\alpha_2 > \beta_2$,इसलिए $\beta_2 = -\tan \theta - \sec \theta$।
अतः,$\alpha_1 + \beta_2 = (\sec \theta - \tan \theta) + (-\tan \theta - \sec \theta) = -2 \tan \theta$।

(A) स्थिति $1$: $0$ लड़के शामिल हैं।
$6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन ${}^6C_4 = 15$ प्रकार से होता है।
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ प्रकार से होता है।
स्थिति $1$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $2$: $1$ लड़का शामिल है।
$6$ लड़कियों में से $3$ और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ प्रकार से होता है।
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ प्रकार से होता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
कुल तरीके $= 60 + 320 = 380$.

(D) दिया गया है $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.
तब $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.
इनका योग करने पर: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow 3s - 2s = 9k \Rightarrow s = 9k$.
अतः,$x = 5k, y = 6k, z = 7k$.
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \frac{8\pi}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\Delta = rs = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $r^2 s^2 = s(4k)(3k)(2k) = s(24k^3)$.
चूंकि $s=9k$,$r^2 s^2 = 9k(24k^3) = 216k^4$. साथ ही $r^2 s^2 = \frac{8}{3} (81k^2) = 216k^2$.
इसलिए $216k^4 = 216k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$.
अतः $s = 9, x = 5, y = 6, z = 7$.
क्षेत्रफल $\Delta = rs = \sqrt{\frac{8}{3}} \times 9 = 3\sqrt{8} \times 3 = 6\sqrt{6}$. (विकल्प $A$ सही है)।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{xyz}{4\Delta} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$. (विकल्प $B$ सही है)।
$\sin \frac{X}{2} \sin \frac{Y}{2} \sin \frac{Z}{2} = \frac{r}{4R} = \frac{\sqrt{8/3}}{4 \times (35\sqrt{6}/24)} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{35\sqrt{6}/6} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{6}{35\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{2}}{35\sqrt{18}} = \frac{12\sqrt{2}}{35 \times 3\sqrt{2}} = \frac{4}{35}$. (विकल्प $C$ सही है)।
$\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \cos^2 \frac{Z}{2} = \frac{1+\cos Z}{2}$. $\cos Z = \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = \frac{25+36-49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ का उपयोग करते हुए।
इसलिए $\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1+1/5}{2} = \frac{6/5}{2} = \frac{3}{5}$. (विकल्प $D$ सही है)।

(A, B, C) वृत्त $x^2+y^2=3$ और परवलय $x^2=2y$ है। $x^2=2y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y^2=3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2+2y-3=0$,जिसके गुणनखंड $(y+3)(y-1)=0$ हैं। चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$y=1$ और $x^2=2(1)=2$,अतः $x=\sqrt{2}$। इस प्रकार,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$।
$(\sqrt{2}, 1)$ पर $x^2+y^2=3$ की स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x + y = 3$ है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। $L$ की ढाल $m = -\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो रेखा $L$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाती है,अतः $\tan \theta = -\sqrt{2}$। रेखा $L$ और $y$-अक्ष के बीच के कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = |\cot \theta| = \frac{1}{|\tan \theta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
मान लीजिए $T$,$L$ और $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\sqrt{2}x+y=3$ में $x=0$ रखने पर $T \equiv (0, 3)$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r=2\sqrt{3}$ वाले वृत्तों $C_2, C_3$ के लिए जो $L$ को $R_2, R_3$ पर स्पर्श करते हैं और केंद्र $Q_2, Q_3$ $y$-अक्ष पर हैं,दूरी $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$ है। चूँकि $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अतः $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$। चूँकि $Q_2, Q_3$ $T$ के सापेक्ष $y$-अक्ष पर सममित हैं,$Q_2Q_3 = 2 \times 6 = 12$। (विकल्प $A$ सही है)।
$R_3T = \frac{r}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$। अतः $R_2R_3 = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$। (विकल्प $B$ सही है)।
$O(0,0)$ से $L$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है। $\triangle OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{6}) \times \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $C$ सही है)।
$\triangle PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (Q_2Q_3) \times |x_P| = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $D$ गलत है)।

(C) दिया है,$RS$ वृत्त $x^2+y^2=1$ का व्यास है। माना $P = (\cos \theta, \sin \theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ है। $S(1,0)$ पर स्पर्श रेखा $x = 1$ है।
इन्हें हल करने पर,$Q = \left(1, \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \left(1, \tan \frac{\theta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
$Q$ से होकर जाने वाली और $RS$ ($x$-अक्ष) के समांतर रेखा $y = \tan \frac{\theta}{2}$ है।
$P$ पर अभिलंब $y = x \tan \theta$ है।
माना $E = (h, k)$ है। तब $k = \tan \frac{\theta}{2}$ और $k = h \tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$k = h \frac{2k}{1-k^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1-k^2 = 2h$,या बिंदुपथ $2x = 1-y^2$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर:
$x = 1/3$ के लिए,$1-y^2 = 2/3$ $\Rightarrow y^2 = 1/3$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{3}$ है।
अतः,बिंदु $(1/3, 1/\sqrt{3})$ और $(1/3, -1/\sqrt{3})$ बिंदुपथ पर स्थित हैं।
$x = 1/4$ के लिए,$1-y^2 = 2/4 = 1/2$ $\Rightarrow y^2 = 1/2$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{2} \neq \pm 1/2$ है।
इसलिए,बिंदुपथ $A$ और $C$ से होकर गुजरता है।

(C) विस्तार में $x^2$ का गुणांक इस प्रकार है:
$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$
सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${^2C_2} = {^3C_3}$.
अतः,योग ${^3C_3} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = {^4C_3} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ हो जाता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,पहले $49$ पदों का योग ${^{50}C_3}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल गुणांक ${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ है।
हमें दिया गया है कि यह $(3n+1) \cdot {^{51}C_3}$ के बराबर है।
ध्यान दें कि ${^{51}C_3} = {^{50}C_3} + {^{50}C_2}$.
अतः,${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = (3n+1)({^{50}C_3} + {^{50}C_2})$.
सरल करने पर,$16 + m^2 = 51n + 17$ प्राप्त होता है।
$m^2 = 51n + 1$.
$n=5$ के लिए,$m^2 = 256 = 16^2$,अतः $m=16$.
इस प्रकार,$n$ का मान $5$ है।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.
$\sin(x)$ और $\sin(\beta x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\beta x - \frac{\beta^3 x^3}{6} + \dots)}{\alpha x - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)} = 1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{(\alpha - 1)x + \frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
सीमा के अस्तित्व के लिए,हर में $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
$\alpha = 1$ रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{\frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\beta}{1/6} = 1$ $\Rightarrow 6\beta = 1$ $\Rightarrow \beta = \frac{1}{6}$.
अतः,$6(\alpha + \beta) = 6(1 + \frac{1}{6}) = 7$.

(B) दिया गया है कि $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b_1, b_2, \ldots, b_{101}$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r = 2$ है।
$a_1 = b_1 = a$ और $a_{51} = b_{51}$ होने के कारण,$a + 50d = a \cdot 2^{50}$,अर्थात $d = \frac{a(2^{50} - 1)}{50}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $51$ पदों का योग $t = a(2^{51} - 1)$ है।
$A.P.$ के प्रथम $51$ पदों का योग $s = \frac{51}{2}(2a + 50d) = \frac{51}{2}a(2^{50} + 1)$ है।
तुलना करने पर,$s > t$ प्राप्त होता है।
$101$ वें पदों के लिए: $a_{101} = a(2^{51} - 1)$ और $b_{101} = a \cdot 2^{100}$ है।
अतः,$b_{101} > a_{101}$ है।

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
अंश और हर को $\sin(\frac{\pi}{6})$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})} \sum_{k=1}^{13} \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
चूंकि $\frac{\pi}{6} = (\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}) - (\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6})$,हम $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हैं:
$S = 2 \sum_{k=1}^{13} \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 2 \left[ \cot \frac{\pi}{4} - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right]$.
चूंकि $\cot \frac{\pi}{4} = 1$ और $\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}) = \cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2-\sqrt{3}$:
$S = 2 [1 - (2-\sqrt{3})] = 2(\sqrt{3}-1)$.

(D) दिया गया है $z = \frac{1}{a+ibt}$.
$x+iy = \frac{a-ibt}{a^2+b^2t^2}$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = \frac{a}{a^2+b^2t^2}$ और $y = \frac{-bt}{a^2+b^2t^2}$ प्राप्त होता है।
यदि $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है,तो $a^2+b^2t^2 = \frac{a}{x}$,अतः $b^2t^2 = \frac{a}{x} - a^2 = \frac{a(1-ax)}{x}$।
साथ ही $y^2 = \frac{b^2t^2}{(a^2+b^2t^2)^2} = \frac{a(1-ax)/x}{(a/x)^2} = \frac{x(1-ax)}{a} = \frac{x}{a} - x^2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 - \frac{x}{a} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2$ है। यह $|\frac{1}{2a}|$ त्रिज्या और $(\frac{1}{2a}, 0)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।
यदि $b=0$ है,तो $z = \frac{1}{a}$,अतः $y=0$,जो $x$-अक्ष है।
यदि $a=0$ है,तो $z = \frac{1}{ibt} = -i(\frac{1}{bt})$,अतः $x=0$,जो $y$-अक्ष है।
अतः,विकल्प $A, C, D$ सही हैं।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ का केंद्र $S(2, 8)$ है और त्रिज्या $r = 2$ है।
परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $P = (t^2, 2t)$ है।
$P$ के $S$ के निकटतम होने के लिए,$SP$ को $P$ पर परवलय का अभिलंब होना चाहिए।
अभिलंब की ढाल $-t$ है।
$SP$ की ढाल $\frac{2t-8}{t^2-2}$ है।
$\frac{2t-8}{t^2-2} = -t$ रखने पर,$t=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (4, 4)$ है।
$(A)$ $SP = \sqrt{(4-2)^2+(4-8)^2} = 2\sqrt{5}$। यह सही है।
$(C)$ $P(4, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -2x+12$ है। $x$-अंतःखंड $6$ है। यह सही है।
$(D)$ $SQ$ वृत्त का अभिलंब है,अतः स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{2}$ है। यह सही है।
अतः,सही विकल्प $A, C, D$ हैं।

(C) $1.$ सही विकल्प $A \left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$। यहाँ $a^2=9, b^2=8$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$ और नाभि $F_2(1,0)$ वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y^2=4x$ रखने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{8} = 1 \Rightarrow 2x^2 + 9x - 18 = 0 \Rightarrow (2x-3)(x+6)=0$। चूँकि $x>0$,इसलिए $x=\frac{3}{2}$। तब $y^2 = 4(\frac{3}{2}) = 6$,अतः $y = \pm \sqrt{6}$। इस प्रकार $M = (\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ और $N = (\frac{3}{2}, -\sqrt{6})$।
$\triangle F_1 M N$ में,$M$ से $F_1 N$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{3/2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$। शीर्षलंब की ढाल $m_{alt} = -\frac{1}{-2\sqrt{6}/5} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$।
$M$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - \sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2})$। लंबकेंद्र $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $y=0$ रखने पर: $-\sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow -12 = 5x - 7.5 \Rightarrow 5x = -4.5 \Rightarrow x = -\frac{9}{10}$।
$2.$ $M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा $\frac{x}{6} + \frac{y\sqrt{6}}{8} = 1$ है। $y=0$ के लिए $x=6$,अतः $R(6,0)$।
$M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर परवलय का अभिलंब: स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{\sqrt{6}}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ है। समीकरण: $y - \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - \frac{3}{2})$। $y=0$ के लिए $x = \frac{7}{2}$। अतः $Q(\frac{7}{2}, 0)$।
क्षेत्रफल $\triangle MQR = \frac{1}{2} \times |6 - 3.5| \times \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$।
चतुर्भुज $MF_1NF_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$।
अनुपात $= \frac{5\sqrt{6}/4}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{8}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ से भाग देने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ और $\cos x$ में बदलने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ से गुणा करने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ और $\cos 2x$ सूत्रों का उपयोग करने पर: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
व्यापक हल: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
स्थिति $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ के लिए,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
स्थिति $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ के लिए,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ के लिए,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
हलों का योग: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) मान लीजिए $T_1$ और $T_2$ वे घटनाएं हैं कि कंप्यूटर क्रमशः प्लांट $T_1$ और $T_2$ में उत्पादित होता है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि कंप्यूटर खराब है।
दिया गया है $P(T_1) = 0.2$,$P(T_2) = 0.8$,और $P(D) = 0.07$।
हमें दिया गया है $P(D | T_1) = 10 P(D | T_2)$। मान लीजिए $P(D | T_2) = p$,तो $P(D | T_1) = 10p$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए: $P(D) = P(D | T_1)P(T_1) + P(D | T_2)P(T_2)$।
$0.07 = (10p)(0.2) + (p)(0.8) = 2p + 0.8p = 2.8p$।
$p = \frac{0.07}{2.8} = \frac{7}{280} = \frac{1}{40}$।
अतः,$P(D | T_2) = \frac{1}{40}$ और $P(D | T_1) = 10 \times \frac{1}{40} = \frac{1}{4}$।
कंप्यूटर के खराब न होने की प्रायिकता $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.07 = 0.93$ है।
हमें $P(T_2 | \bar{D}) = \frac{P(\bar{D} | T_2)P(T_2)}{P(\bar{D})}$ ज्ञात करना है।
$P(\bar{D} | T_2) = 1 - P(D | T_2) = 1 - \frac{1}{40} = \frac{39}{40}$।
$P(T_2 | \bar{D}) = \frac{(\frac{39}{40}) \times 0.8}{0.93} = \frac{0.78}{0.93} = \frac{78}{93}$।

(C) माना $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,जहाँ $x > 0$ है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 8 \alpha x - \frac{1}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$8 \alpha x = \frac{1}{x^2}$ $\Rightarrow x^3 = \frac{1}{8 \alpha}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2 \alpha^{1/3}}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए इस मान को $f(x)$ में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{2 \alpha^{1/3}}\right) = 4 \alpha \left(\frac{1}{4 \alpha^{2/3}}\right) + 2 \alpha^{1/3} = \alpha^{1/3} + 2 \alpha^{1/3} = 3 \alpha^{1/3}$.
दिया गया है कि $f(x) \geq 1$,इसलिए $3 \alpha^{1/3} \geq 1$ $\Rightarrow \alpha^{1/3} \geq \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \alpha \geq \frac{1}{27}$.
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{27}$ है।

(B) आधार $OPQR$,$xy$-समतल में एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0,0)$,$P(3,0,0)$,$Q(3,3,0)$,और $R(0,3,0)$ हैं।
$OQ$ का मध्य-बिंदु $T$ $(\frac{3+0}{2}, \frac{3+0}{2}, 0) = (1.5, 1.5, 0)$ है।
चूँकि $S$,$T$ के ठीक ऊपर $TS=3$ दूरी पर है,$S$ के निर्देशांक $(1.5, 1.5, 3)$ हैं।
$(A)$ सदिश $\vec{OQ} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{OS} = 1.5\hat{i} + 1.5\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$|\vec{OQ}| = 3\sqrt{2}$ और $|\vec{OS}| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ है।
$\vec{OQ} \cdot \vec{OS} = 9$ है। $\cos \theta = \frac{9}{(3\sqrt{2})(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। अतः $\theta \neq \frac{\pi}{3}$।
$(B)$ $\triangle OQS$ युक्त समतल का समीकरण: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OQ} \times \vec{OS} = 9(\hat{i} - \hat{j})$ है। समीकरण $x-y=0$ है।
$(C)$ $P(3,0,0)$ से $x-y=0$ समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|3-0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
$(D)$ रेखा $RS$ से $O$ की लंबवत दूरी $\sqrt{\frac{15}{2}}$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ है।
समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(x f(x)) = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x f(x) = x^2 + c$,जो सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f(x) = x + \frac{c}{x}$ देता है।
दिया गया है कि $f(1) \neq 1$,इसलिए $1 + c \neq 1$,अर्थात $c \neq 0$.
अब,$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{c}{x^2}$.
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 - c x^2) = 1$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} x \left(\frac{1}{x} + cx\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 + cx^2) = 1 \neq 2$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0+} x^2 f^{\prime}(x) = \lim _{x \rightarrow 0+} x^2 (1 - \frac{c}{x^2}) = \lim _{x \rightarrow 0+} (x^2 - c) = -c \neq 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $PQ = kI$,अतः $Q = kP^{-1}$।
चूंकि $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{adj}(P)$,इसलिए $Q = \frac{k}{\det(P)} \text{adj}(P)$।
पहले,$\det(P) = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 15\alpha - 3\alpha + 20 = 12\alpha + 20$।
अवयव $q_{23}$,$Q$ का $(2,3)$-वाँ अवयव है।
$q_{23} = \frac{k}{\det(P)} \times (\text{adj}(P))_{23} = \frac{k}{12\alpha + 20} \times (-1)^{2+3} M_{32} = \frac{-k(3\alpha + 4)}{4(3\alpha + 5)}$।
चूंकि $q_{23} = -\frac{k}{8}$,इसलिए $\frac{3\alpha + 4}{4(3\alpha + 5)} = \frac{1}{8} \implies 6\alpha + 8 = 3\alpha + 5 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha = -1$।
अतः $\det(P) = 8$।
चूंकि $Q = kP^{-1}$,इसलिए $\det(Q) = \frac{k^3}{\det(P)} = \frac{k^3}{8}$।
चूंकि $\det(Q) = \frac{k^2}{2}$,इसलिए $\frac{k^3}{8} = \frac{k^2}{2} \implies k = 4$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(B)$ $4\alpha - k + 8 = 4(-1) - 4 + 8 = 0$। (सही)
$(C)$ $\det(P \text{adj}(Q)) = \det(P) (\det(Q))^2 = 8 \times (8)^2 = 512 = 2^9$। (सही)

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2)(x+2+y) \frac{dy}{dx}-y^2=0$ है।
$y=(x+2)t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx}=(x+2) \frac{dt}{dx}+t$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $(x+2)^2(1+t) \frac{dy}{dx}-(x+2)^2t^2=0$.
$(1+t)(x+2) \frac{dt}{dx}+t=0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1+t}{t} dt = -\frac{dx}{x+2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|t|+t = -\ln|x+2|+C$.
$t=\frac{y}{x+2}$ रखने पर: $\ln y + \frac{y}{x+2} = C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1,3)$ से गुजरता है,$C = \ln 3 + 1$.
हल वक्र $\ln y + \frac{y}{x+2} = \ln 3 + 1$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$y=x+2$ के साथ प्रतिच्छेदन: $\ln(x+2) + 1 = \ln 3 + 1 \Rightarrow x=1$. केवल एक बिंदु पर।
विकल्प $(D)$ के लिए,$y=(x+3)^2$ को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

(D) दिया गया है $f(x)=x^3+3x+2$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g$ फलन $f$ का प्रतिलोम है।
$g(f(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ प्राप्त होता है।
$g'(2)$ के लिए,हम $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ रखते हैं,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।
अतः $g'(2) \cdot f'(0)=1$. चूँकि $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(0)=3$.
अतः $g'(2) = \frac{1}{3}$. विकल्प $A$ गलत है।
दिया गया है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(f(x))=x$,$g(g(f(f(x))))=x$,जो दर्शाता है कि $g(g(x))=f(f(x))$।
अतः $h(f(f(x)))=x$. इसका अर्थ है कि $h$ फलन $f(f(x))$ का प्रतिलोम है।
हालाँकि,प्रश्न कहता है $h(g(g(x)))=x$. चूँकि $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$,हमारे पास $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ है।
मान लीजिए $f^{-1}(x)=y$,तो $f(y)=x$. समीकरण $h(f^{-1}(y))=f(y)$ बन जाता है।
मान लीजिए $f^{-1}(y)=z$,तो $y=f(z)$. अतः $h(z)=f(f(z))$.
इस प्रकार $h(x)=f(f(x))$.
अब,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. चूँकि $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ और $f'(x)=3x^2+3$,इसलिए $f'(1)=6$ और $f'(6)=3(6^2)+3=111$.
$h'(1)=111 \times 6=666$. विकल्प $B$ सही है।
$h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. विकल्प $C$ सही है।
$h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. विकल्प $D$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(A) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1+x^3 \\ 2x & 4x^2 & 1+8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 1+27x^3 \end{array}\right| = 10$
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके हम इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ 2x & 4x^2 & 1 \\ 3x & 9x^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & x^3 \\ 2x & 4x^2 & 8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 27x^3 \end{array}\right| = 10$
दूसरे सारणिक में $C_1$ से $x$,$C_2$ से $x^2$ और $C_3$ से $x^3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| + x^6 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 10$
सारणिक का मान $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 1(108-72) - 1(54-24) + 1(18-12) = 36 - 30 + 6 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$12x^3 + 12x^6 = 10 \Rightarrow 6x^6 + 6x^3 - 5 = 0$.
माना $t = x^3$. तब $6t^2 + 6t - 5 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(6)(-5)}}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{156}}{12} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{6}$.
चूँकि $x^3 = t$,$t$ के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए $x = \sqrt[3]{t}$ का केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$t$ के दो भिन्न वास्तविक मान होने के कारण,$x$ के कुल $2$ भिन्न वास्तविक मान प्राप्त होंगे।

(A) माना $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$ प्राप्त होता है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $x^4 + 1 \geq 2x^2$ होता है,इसलिए $\frac{x^2}{1+x^4} \leq \frac{1}{2}$ है।
अतः,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2 \leq \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} < 0$ है।
सभी $x \in [0, 1]$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
अंत बिंदुओं का मूल्यांकन करने पर:
$f(0) = \int_0^0 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(0) + 1 = 1$ है।
$f(1) = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(1) + 1 = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 1$ है।
चूँकि $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{t^2}{1+t^4} < 1$ है,इसलिए समाकलन $\int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt < 1$ होगा,अतः $f(1) < 0$ है।
चूँकि $f(0) > 0$ और $f(1) < 0$ है तथा $f(x)$ सतत और निरंतर ह्रासमान है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार $[0, 1]$ में $f(x) = 0$ का ठीक एक मूल $x$ विद्यमान है।

(C) दिया गया है $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः, $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.
$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \\ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण के अतिरिक्त अवयवों के शून्य होने के लिए: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$। चूँकि $\omega \neq 0$, इसलिए $(-1)^r + 1 = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $r$ एक विषम संख्या होनी चाहिए। अतः, $r \in \{1, 3\}$।
स्थिति $1$: $r = 1$। विकर्ण अवयवों से $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$, इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$। अतः, $\omega^{4s} = \omega$, जिसका अर्थ है $4s \equiv 1 \pmod 3$, इसलिए $s \equiv 1 \pmod 3$। $s \in \{1, 2, 3\}$ के लिए, $s = 1$।
स्थिति $2$: $r = 3$। विकर्ण अवयवों से $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ प्राप्त होता है। चूँकि $\omega^3 = 1$, इसलिए $1 + \omega^{4s} = -1$, अर्थात $\omega^{4s} = -2$। यह असंभव है क्योंकि $|\omega^{4s}| = 1$।
अतः, केवल एक ही मान्य युग्म $(r, s) = (1, 1)$ है। युग्मों की कुल संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$. मान लीजिए $P = I + A$,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = O$ (शून्य आव्यूह)।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P^n = (I+A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$.
$n=50$ के लिए,$P^{50} = I + 50A + \frac{50 \times 49}{2}A^2 = I + 50A + 1225A^2$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 50 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix} + 1225 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 800 + 19600 & 200 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 20400 & 200 & 1 \end{bmatrix}$.
चूँकि $P^{50}-Q=I$,इसलिए $Q = P^{50}-I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 200 & 0 & 0 \\ 20400 & 200 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$q_{31} = 20400$,$q_{32} = 200$,और $q_{21} = 200$.
इसलिए,$\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}} = \frac{20400+200}{200} = \frac{20600}{200} = 103$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = 0$ है।
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x (1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$
चूँकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$ होगा।
अतः $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = [x^2 \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x dx$
$I = (\frac{\pi^2}{4} - 0) - 2 [x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) dx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [-x \cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [1 - 0] = \frac{\pi^2}{4} - 2$.

(C) दिया गया क्षेत्र $y \geq \sqrt{|x+3|}$ और $5y \leq x+9 \leq 15$ द्वारा परिबद्ध है।
$5y \leq x+9 \leq 15$ से,हमें $y \leq \frac{x+9}{5}$ और $-6 \leq x \leq 6$ प्राप्त होता है।
दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्र ऊपर की ओर रेखा $y = \frac{x+9}{5}$ और नीचे की ओर वक्रों $y = \sqrt{-x-3}$ (जहाँ $x \in [-4, -3]$) और $y = \sqrt{x+3}$ (जहाँ $x \in [-3, 1]$) द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx - \int_{-4}^{-3} \sqrt{-x-3} dx - \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
रेखा का समाकलन: $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx = \frac{1}{5} [\frac{x^2}{2} + 9x]_{-4}^{1} = \frac{15}{2}$.
वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल: $\int_{-4}^{-3} \sqrt{-(x+3)} dx = \frac{2}{3}$ और $\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx = \frac{16}{3}$.
आवश्यक क्षेत्रफल $= \frac{15}{2} - \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = \frac{15}{2} - 6 = \frac{3}{2}$.

(C) मान लीजिए कि दिया गया बिंदु $Q(3, 1, 7)$ है। समतल $x-y+z=3$ के लंबवत और $Q$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।
इसका समीकरण $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3+\lambda, 1-\lambda, 7+\lambda)$ है।
यह बिंदु समतल $x-y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(3+\lambda) - (1-\lambda) + (7+\lambda) = 3$ है।
$3+\lambda-1+\lambda+7+\lambda=3 \Rightarrow 3\lambda+9=3 \Rightarrow 3\lambda=-6 \Rightarrow \lambda=-2$.
लंबपाद $R$ का मान $(3-2, 1-(-2), 7-2) = (1, 3, 5)$ है।
मान लीजिए $P(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $Q$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $R$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_1+3}{2}=1, \frac{y_1+1}{2}=3, \frac{z_1+7}{2}=5$ है।
$x_1 = -1, y_1 = 5, z_1 = 3$. अतः $P$ का मान $(-1, 5, 3)$ है।
समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है।
समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-5) + c(z-3) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा को समाहित करता है,यह $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(1) + b(-5) + c(-3) = 0 \Rightarrow a-5b-3c=0$ है।
साथ ही,अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा की दिशा $(1, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $a+2b+c=0$ है।
$a-5b-3c=0$ और $a+2b+c=0$ को हल करने पर: $-7b-4c=0 \Rightarrow b = -4c/7$ प्राप्त होता है।
तब $a = 5(-4c/7) + 3c = -20c/7 + 21c/7 = c/7$ है।
$c=7$ लेने पर,हमें $a=1, b=-4$ प्राप्त होता है। समीकरण $1(x+1) - 4(y-5) + 7(z-3) = 0$ है।
$x+1-4y+20+7z-21 = 0 \Rightarrow x-4y+7z=0$ प्राप्त होता है।

(B,C) दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{x + n/r}{x^2 + n^2/r^2} \cdot \frac{n}{r} \right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{1 + \frac{r}{n}x}{1 + (\frac{r}{n}x)^2} \right)$
$= x \int_0^1 \ln \left( \frac{1 + tx}{1 + (tx)^2} \right) dt$
माना $u = tx$,तब $du = x dt$:
$\ln f(x) = \int_0^x \ln \left( \frac{1+u}{1+u^2} \right) du$
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \ln \left( \frac{1+x}{1+x^2} \right)$
$0 < x < 1$ के लिए,$\frac{1+x}{1+x^2} > 1$,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ वर्धमान है।
$x > 1$ के लिए,$\frac{1+x}{1+x^2} < 1$,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ ह्रासमान है।
अतः,$f(1/3) < f(2/3)$ (विकल्प $B$ सही है)।
चूंकि $f(x)$ $x > 1$ के लिए ह्रासमान है,$f^{\prime}(2) < 0$ (विकल्प $C$ सही है)।
इसलिए,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = a \cos (|x^3-x|) + b|x| \sin (|x^3+x|)$.
चूंकि $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$,हमारे पास $\cos(|x^3-x|) = \cos(x^3-x)$ है।
साथ ही,सभी $x \in R$ के लिए $|x| \sin(|x^3+x|) = x \sin(x^3+x)$ है क्योंकि यदि $x \ge 0$,तो $|x|=x$ और $|x^3+x|=x^3+x$,और यदि $x < 0$,तो $|x|=-x$ और $|x^3+x|=-(x^3+x)$,इसलिए $-x \sin(-(x^3+x)) = -x(-\sin(x^3+x)) = x \sin(x^3+x)$.
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = a \cos(x^3-x) + b x \sin(x^3+x)$.
चूंकि $\cos(x^3-x)$ और $x \sin(x^3+x)$ $R$ पर अवकलनीय फलन हैं,इसलिए $f(x)$ किसी भी $a, b \in R$ के लिए सभी $x \in R$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,$f$ किसी भी $a, b \in R$ के लिए $x=0$ और $x=1$ पर अवकलनीय है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ यदि $a=0, b=1$ है तो $x=0$ पर अवकलनीय है (सही)।
$(B)$ यदि $a=1, b=0$ है तो $x=1$ पर अवकलनीय है (सही)।
$(C)$ यदि $a=1, b=0$ है तो $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है (गलत)।
$(D)$ यदि $a=1, b=1$ है तो $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है (गलत)।
अतः,विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।

(A,D) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$। चूँकि $f^{\prime}(2) = 0$ और $g(2) = 0$,यह $\frac{0}{0}$ रूप है। एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)} = 1$.
$x=2$ रखने पर और $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$ का उपयोग करने पर:
$\frac{0 + f(2) g^{\prime}(2)}{f^{\prime \prime}(2) g^{\prime}(2) + 0} = 1 \implies \frac{f(2)}{f^{\prime \prime}(2)} = 1 \implies f(2) = f^{\prime \prime}(2)$.
चूँकि $f: R \rightarrow (0, \infty)$,$f(2) > 0$,इसलिए $f^{\prime \prime}(2) > 0$ है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है (विकल्प $A$)।
$h(x) = f(x) - f^{\prime \prime}(x)$ लें। चूँकि $f(2) = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है। अतः,कम से कम $x=2$ के लिए $f(x) - f^{\prime \prime}(x) = 0$ है (विकल्प $D$)।
अतः,$A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(B, C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ वहाँ असतत है जहाँ $x^2 - 3$ एक पूर्णांक है।
अंतराल $[-\frac{1}{2}, 2]$ में,$x^2$ का मान $0$ से $4$ तक है,इसलिए $x^2 - 3$ का मान $-3$ से $1$ तक है।
$x^2 - 3$ के मान पूर्णांक तब होते हैं जब $x^2 - 3 \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}$,जिसका अर्थ है $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
चूंकि $x \in [-\frac{1}{2}, 2]$,$f(x)$ के लिए असतत बिंदु $x = 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ हैं। इस प्रकार,$f$,$[-\frac{1}{2}, 2]$ में $4$ बिंदुओं पर असतत है। विकल्प $B$ सही है।
अब $g(x) = (|x| + |4x - 7|)f(x)$ पर विचार करें।
$f(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ पर असतत है।
$|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$|4x-7|$,$x=7/4 = 1.75$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=0$ पर,$f(x) = [-3] = -3 \neq 0$,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$x=1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ पर,$f(x)$ असतत है,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$x=7/4$ पर,$f(x) = [(7/4)^2 - 3] = [49/16 - 3] = [3.0625 - 3] = [0.0625] = 0$. चूंकि $f(7/4) = 0$,गुणनफल $g(x) = (|x| + |4x-7|)f(x)$,$x=7/4$ पर अवकलनीय हो जाता है क्योंकि $f$ की असततता $0$ से गुणा हो जाती है।
इस प्रकार,$g(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ पर अवकलनीय नहीं है,जो कि $4$ बिंदु हैं। विकल्प $C$ सही है।

(C) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$ax + 2y = \lambda$
$3x - 2y = \mu$
गुणांक आव्यूह का सारणिक:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2a - 6 = -2(a + 3)$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $a \neq -3$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
यदि $a = -3$ है,तो $\Delta = 0$। प्रणाली का या तो कोई हल नहीं होगा या अनंत हल होंगे।
हम $\Delta_1 = \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ \mu & -2 \end{vmatrix} = -2\lambda - 2\mu = -2(\lambda + \mu)$ की गणना करते हैं।
यदि $\lambda + \mu = 0$ है,तो $\Delta_1 = 0$। चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = 0$,इसलिए प्रणाली के अनंत हल हैं। अतः,कथन $(C)$ सही है।
यदि $\lambda + \mu \neq 0$ है,तो $\Delta_1 \neq 0$। चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,इसलिए प्रणाली का कोई हल नहीं है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$,$(C)$,और $(D)$ सही हैं।

(D) दिया गया है $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$। चूंकि $\hat{u}$ और $\vec{w}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{u} \times \vec{w}| = |\hat{u}| |\vec{w}| \sin \theta = \sin \theta$। साथ ही,$|\hat{v}| = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = 1$। अतः,$\sin \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।
चूंकि $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$,$\hat{v}$ सदिश $\hat{u}$ और $\vec{w}$ दोनों के लंबवत है।
एक निश्चित $\hat{u}$ के लिए,ऐसे अनंत सदिश $\vec{w}$ मौजूद हैं जो $\hat{u}$ के लंबवत हैं और जिनका $\hat{u}$ के साथ सदिश गुणनफल $\hat{v}$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
चूंकि $\hat{v} \cdot \hat{u} = 0$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{6}}(u_1 + u_2 + 2u_3) = 0$ है,इसलिए $u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$।
यदि $\hat{u}$,$xy$-समतल में स्थित है,तो $u_3 = 0$,इसलिए $u_1 + u_2 = 0$,जिसका अर्थ है $|u_1| = |u_2|$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
यदि $\hat{u}$,$xz$-समतल में स्थित है,तो $u_2 = 0$,इसलिए $u_1 + 2u_3 = 0$,जिसका अर्थ है $|u_1| = 2|u_3|$। अतः,विकल्प $D$ गलत है क्योंकि इसमें $2|u_1| = |u_3|$ दिया गया है।

(C) मान लीजिए $W, D, L$ क्रमशः $T_1$ के लिए जीत,ड्रा और हार को दर्शाते हैं। $P(W) = \frac{1}{2}, P(D) = \frac{1}{6}, P(L) = \frac{1}{3}$.
$(1)$ $X > Y$ तब होता है यदि $T_1$ को $T_2$ से अधिक अंक मिलते हैं। दो मैचों के लिए संभावित परिणाम:
- $T_1$ दोनों जीतती है: $(W, W) \implies X=6, Y=0, P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- $T_1$ एक जीतती है,एक ड्रा करती है: $(W, D) \text{ या } (D, W) \implies X=4, Y=1, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$
$X>Y$ के लिए प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$. सही विकल्प $(B)$ है.
$(2)$ $X=Y$ तब होता है यदि:
- दोनों ड्रा होते हैं: $(D, D) \implies X=2, Y=2, P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
- $T_1$ एक जीतती है,एक हारती है: $(W, L) \text{ या } (L, W) \implies X=3, Y=3, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}$
$X=Y$ के लिए प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{36} + \frac{12}{36} = \frac{13}{36}$. सही विकल्प $(C)$ है.