अवकल समीकरण (x^2+xy+4x+2y+4) frac{dy}{dx}-y^2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2)(x+2+y) \frac{dy}{dx}-y^2=0$ है।$y=(x+2)t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx}=(x+2) \frac{dt}{dx}+t$ प्राप्त होता है।स

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$A, D$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2)(x+2+y) \frac{dy}{dx}-y^2=0$ है।$y=(x+2)t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx}=(x+2) \frac{dt}{dx}+t$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $(x+2)^2(1+t) \frac{dy}{dx}-(x+2)^2t^2=0$.$(1+t)(x+2) \frac{dt}{dx}+t=0$.चरों को अलग करने पर: $\frac{1+t}{t} dt = -\frac{dx}{x+2}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|t|+t = -\ln|x+2|+C$.$t=\frac{y}{x+2}$ रखने पर: $\ln y + \frac{y}{x+2} = C$.चूंकि वक्र बिंदु $(1,3)$ से गुजरता है,$C = \ln 3 + 1$.हल वक्र $\ln y + \frac{y}{x+2} = \ln 3 + 1$ है।विकल्प $(A)$ के लिए,$y=x+2$ के साथ प्रतिच्छेदन: $\ln(x+2) + 1 = \ln 3 + 1 \Rightarrow x=1$. केवल एक बिंदु पर।विकल्प $(D)$ के लिए,$y=(x+3)^2$ को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

अवकल समीकरण $(x^2+xy+4x+2y+4) \frac{dy}{dx}-y^2=0, x>0$ का एक हल वक्र बिंदु $(1,3)$ से होकर गुजरता है। तो हल वक्र

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मान लीजिए $f(x) = e^{ax} + e^{bx},$ जहाँ $a \neq b,$ और सभी $x$ के लिए $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ है। तो गुणनफल $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $y$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है। तब,$y$ संतुष्ट करता है:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 x + x e^x$ का हल ज्ञात कीजिए।

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