IIT JEE 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$.
સમીકરણ $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ માટે,બીજ $\alpha_1, \beta_1 = \sec \theta \pm \tan \theta$ છે.
$\theta \in (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12})$ હોવાથી,$\sec \theta > 0$ અને $\tan \theta < 0$ છે. તેથી,$\alpha_1 = \sec \theta - \tan \theta$.
સમીકરણ $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ માટે,બીજ $\alpha_2, \beta_2 = -\tan \theta \pm \sec \theta$ છે.
$\alpha_2 > \beta_2$ હોવાથી,$\beta_2 = -\tan \theta - \sec \theta$.
તેથી,$\alpha_1 + \beta_2 = (\sec \theta - \tan \theta) + (-\tan \theta - \sec \theta) = -2 \tan \theta$.

(A) કિસ્સો $1$: $0$ છોકરાઓ સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓની પસંદગી ${}^6C_4 = 15$ રીતે થાય.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટનની પસંદગી ${}^4C_1 = 4$ રીતે થાય.
કિસ્સા $1$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $2$: $1$ છોકરો સામેલ છે.
$6$ છોકરીઓમાંથી $3$ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરાની પસંદગી ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ રીતે થાય.
પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટનની પસંદગી ${}^4C_1 = 4$ રીતે થાય.
કિસ્સા $2$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
કુલ રીતો $= 60 + 320 = 380$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.
તેથી $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.
આનો સરવાળો કરતા: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow 3s - 2s = 9k \Rightarrow s = 9k$.
આમ,$x = 5k, y = 6k, z = 7k$.
અંતઃવૃતનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \frac{8\pi}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\Delta = rs = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $r^2 s^2 = s(4k)(3k)(2k) = s(24k^3)$.
કારણ કે $s=9k$,$r^2 s^2 = 9k(24k^3) = 216k^4$. તેમજ $r^2 s^2 = \frac{8}{3} (81k^2) = 216k^2$.
તેથી $216k^4 = 216k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$.
આમ $s = 9, x = 5, y = 6, z = 7$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs = \sqrt{\frac{8}{3}} \times 9 = 3\sqrt{8} \times 3 = 6\sqrt{6}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{xyz}{4\Delta} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$\sin \frac{X}{2} \sin \frac{Y}{2} \sin \frac{Z}{2} = \frac{r}{4R} = \frac{\sqrt{8/3}}{4 \times (35\sqrt{6}/24)} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{35\sqrt{6}/6} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{6}{35\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{2}}{35\sqrt{18}} = \frac{12\sqrt{2}}{35 \times 3\sqrt{2}} = \frac{4}{35}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \cos^2 \frac{Z}{2} = \frac{1+\cos Z}{2}$. $\cos Z = \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = \frac{25+36-49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1+1/5}{2} = \frac{6/5}{2} = \frac{3}{5}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).

(A, B, C) વર્તુળ $x^2+y^2=3$ અને પરવલય $x^2=2y$ છે. $x^2=2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $2y+y^2=3$ મળે,તેથી $y^2+2y-3=0$,જેના અવયવો $(y+3)(y-1)=0$ થાય. $P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $y=1$ અને $x^2=2(1)=2$,તેથી $x=\sqrt{2}$. આમ,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$.
$(\sqrt{2}, 1)$ આગળ $x^2+y^2=3$ નો સ્પર્શક $\sqrt{2}x + y = 3$ છે. આ રેખા $L$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખા $L$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = -\sqrt{2}$. રેખા $L$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = |\cot \theta| = \frac{1}{|\tan \theta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $T$ એ $L$ અને $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ છે. $\sqrt{2}x+y=3$ માં $x=0$ મૂકતા $T \equiv (0, 3)$ મળે.
ત્રિજ્યા $r=2\sqrt{3}$ વાળા વર્તુળો $C_2, C_3$ માટે જે $L$ ને $R_2, R_3$ પર સ્પર્શે છે અને કેન્દ્રો $Q_2, Q_3$ $y$-અક્ષ પર છે,અંતર $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$. $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$. $Q_2, Q_3$ એ $T$ ની સાપેક્ષે $y$-અક્ષ પર સંમિત હોવાથી,$Q_2Q_3 = 2 \times 6 = 12$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$R_3T = \frac{r}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$. તેથી $R_2R_3 = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$O(0,0)$ થી $L$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\triangle OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{6}) \times \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$\triangle PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (Q_2Q_3) \times |x_P| = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).

(C) આપેલ છે કે,$RS$ એ $x^2+y^2=1$ નો વ્યાસ છે. ધારો કે $P = (\cos \theta, \sin \theta)$.
$P$ આગળનો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ છે. $S(1,0)$ આગળનો સ્પર્શક $x = 1$ છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,$Q = \left(1, \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \left(1, \tan \frac{\theta}{2}\right)$ મળે.
$Q$ માંથી પસાર થતી અને $RS$ ($x$-અક્ષ) ને સમાંતર રેખા $y = \tan \frac{\theta}{2}$ છે.
$P$ આગળનો અભિલંબ $y = x \tan \theta$ છે.
ધારો કે $E = (h, k)$. તો $k = \tan \frac{\theta}{2}$ અને $k = h \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = h \frac{2k}{1-k^2}$ મળે.
આમ,$1-k^2 = 2h$,અથવા બિંદુપથ $2x = 1-y^2$ છે.
બિંદુઓ ચકાસતા:
$x = 1/3$ માટે,$1-y^2 = 2/3$ $\Rightarrow y^2 = 1/3$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{3}$.
તેથી,બિંદુઓ $(1/3, 1/\sqrt{3})$ અને $(1/3, -1/\sqrt{3})$ બિંદુપથ પર છે.
$x = 1/4$ માટે,$1-y^2 = 2/4 = 1/2$ $\Rightarrow y^2 = 1/2$ $\Rightarrow y = \pm 1/\sqrt{2} \neq \pm 1/2$.
તેથી,બિંદુપથ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$
નિત્યસમ ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ${^2C_2} = {^3C_3}$.
આમ,સરવાળો ${^3C_3} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = {^4C_3} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ થાય.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,પ્રથમ $49$ પદોનો સરવાળો ${^{50}C_3}$ મળે છે.
તેથી,કુલ સહગુણક ${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ $(3n+1) \cdot {^{51}C_3}$ બરાબર છે.
નોંધો કે ${^{51}C_3} = {^{50}C_3} + {^{50}C_2}$.
તેથી,${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = (3n+1)({^{50}C_3} + {^{50}C_2})$.
$16 + m^2 = 51n + 17$ મળે છે.
$m^2 = 51n + 1$.
$n=5$ માટે,$m^2 = 256 = 16^2$,તેથી $m=16$.
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.
$\sin(x)$ અને $\sin(\beta x)$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\beta x - \frac{\beta^3 x^3}{6} + \dots)}{\alpha x - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)} = 1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{(\alpha - 1)x + \frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
સીમાનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,છેદમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
$\alpha = 1$ મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{\frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$\frac{\beta}{1/6} = 1$ $\Rightarrow 6\beta = 1$ $\Rightarrow \beta = \frac{1}{6}$.
તેથી,$6(\alpha + \beta) = 6(1 + \frac{1}{6}) = 7$.

(B) આપેલ છે કે $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $b_1, b_2, \ldots, b_{101}$ એ $G.P.$ માં છે જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
$a_1 = b_1 = a$ અને $a_{51} = b_{51}$ હોવાથી,$a + 50d = a \cdot 2^{50}$,એટલે કે $d = \frac{a(2^{50} - 1)}{50}$.
$G.P.$ ના પ્રથમ $51$ પદોનો સરવાળો $t = a(2^{51} - 1)$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $51$ પદોનો સરવાળો $s = \frac{51}{2}(2a + 50d) = \frac{51}{2}a(2^{50} + 1)$ છે.
સરખામણી કરતા,$s > t$ મળે છે.
$101$ માં પદો માટે: $a_{101} = a(2^{51} - 1)$ અને $b_{101} = a \cdot 2^{100}$ છે.
તેથી,$b_{101} > a_{101}$ થાય છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
અંશ અને છેદને $\sin(\frac{\pi}{6})$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})} \sum_{k=1}^{13} \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.
અહીં $\frac{\pi}{6} = (\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}) - (\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6})$ હોવાથી,$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \sum_{k=1}^{13} \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 2 \left[ \cot \frac{\pi}{4} - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right]$.
$\cot \frac{\pi}{4} = 1$ અને $\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}) = \cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2-\sqrt{3}$ હોવાથી:
$S = 2 [1 - (2-\sqrt{3})] = 2(\sqrt{3}-1)$.

(D) આપેલ છે $z = \frac{1}{a+ibt}$.
$x+iy = \frac{a-ibt}{a^2+b^2t^2}$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x = \frac{a}{a^2+b^2t^2}$ અને $y = \frac{-bt}{a^2+b^2t^2}$ મળે.
જો $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ હોય,તો $a^2+b^2t^2 = \frac{a}{x}$,તેથી $b^2t^2 = \frac{a}{x} - a^2 = \frac{a(1-ax)}{x}$.
વળી $y^2 = \frac{b^2t^2}{(a^2+b^2t^2)^2} = \frac{a(1-ax)/x}{(a/x)^2} = \frac{x(1-ax)}{a} = \frac{x}{a} - x^2$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $x^2 - \frac{x}{a} + y^2 = 0$ મળે,જે $(x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2$ છે. આ $|\frac{1}{2a}|$ ત્રિજ્યા અને $(\frac{1}{2a}, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે.
જો $b=0$ હોય,તો $z = \frac{1}{a}$,તેથી $y=0$,જે $x$-અક્ષ છે.
જો $a=0$ હોય,તો $z = \frac{1}{ibt} = -i(\frac{1}{bt})$,તેથી $x=0$,જે $y$-અક્ષ છે.
આમ,વિકલ્પો $A, C, D$ સાચા છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ નું કેન્દ્ર $S(2, 8)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ પરનું બિંદુ $P = (t^2, 2t)$ છે.
$P$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોવાથી,$SP$ એ $P$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે.
$SP$ નો ઢાળ $\frac{2t-8}{t^2-2}$ છે.
$\frac{2t-8}{t^2-2} = -t$ લેતા,$t=2$ મળે છે.
તેથી,$P = (4, 4)$.
$(A)$ $SP = \sqrt{(4-2)^2+(4-8)^2} = 2\sqrt{5}$. આ સાચું છે.
$(C)$ $P(4, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -2x+12$ છે. $x$-અંતઃખંડ $6$ છે. આ સાચું છે.
$(D)$ $SQ$ એ વર્તુળનો અભિલંબ છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે. આ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $A, C, D$ છે.

(C) $1.$ સાચો વિકલ્પ $A \left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$. અહીં $a^2=9, b^2=8$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને નાભિ $F_2(1,0)$ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2=4x$ મૂકતા: $\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{8} = 1 \Rightarrow 2x^2 + 9x - 18 = 0 \Rightarrow (2x-3)(x+6)=0$. $x>0$ હોવાથી,$x=\frac{3}{2}$. તેથી $y^2 = 4(\frac{3}{2}) = 6$,એટલે કે $y = \pm \sqrt{6}$. આમ $M = (\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ અને $N = (\frac{3}{2}, -\sqrt{6})$.
$\triangle F_1 M N$ માં,$M$ માંથી $F_1 N$ પરના વેધનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{3/2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$. વેધનો ઢાળ $m_{alt} = -\frac{1}{-2\sqrt{6}/5} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$.
$M$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y - \sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2})$. લંબકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$y=0$ મૂકતા: $-\sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow -12 = 5x - 7.5 \Rightarrow 5x = -4.5 \Rightarrow x = -\frac{9}{10}$.
$2.$ $M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક $\frac{x}{6} + \frac{y\sqrt{6}}{8} = 1$ છે. $y=0$ માટે $x=6$,તેથી $R(6,0)$.
$M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ: સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{6}}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ છે. સમીકરણ: $y - \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - \frac{3}{2})$. $y=0$ માટે $x = \frac{7}{2}$. તેથી $Q(\frac{7}{2}, 0)$.
ક્ષેત્રફળ $\triangle MQR = \frac{1}{2} \times |6 - 3.5| \times \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$.
ચતુષ્કોણ $MF_1NF_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
ગુણોત્તર $= \frac{5\sqrt{6}/4}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{8}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ અને $\cos x$ માં રૂપાંતર કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ વડે ગુણતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ અને $\cos 2x$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
વ્યાપક ઉકેલ: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
કિસ્સો $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ માટે,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
કિસ્સો $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ માટે,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ માટે,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
ઉકેલોનો સરવાળો: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઘટનાઓ છે કે કમ્પ્યુટર અનુક્રમે પ્લાન્ટ $T_1$ અને $T_2$ માં ઉત્પાદિત થાય છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે કમ્પ્યુટર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ છે કે $P(T_1) = 0.2$,$P(T_2) = 0.8$,અને $P(D) = 0.07$.
આપણને આપેલ છે કે $P(D | T_1) = 10 P(D | T_2)$. ધારો કે $P(D | T_2) = p$,તો $P(D | T_1) = 10p$.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(D) = P(D | T_1)P(T_1) + P(D | T_2)P(T_2)$.
$0.07 = (10p)(0.2) + (p)(0.8) = 2p + 0.8p = 2.8p$.
$p = \frac{0.07}{2.8} = \frac{7}{280} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$P(D | T_2) = \frac{1}{40}$ અને $P(D | T_1) = 10 \times \frac{1}{40} = \frac{1}{4}$.
કમ્પ્યુટર ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.07 = 0.93$ છે.
આપણે $P(T_2 | \bar{D}) = \frac{P(\bar{D} | T_2)P(T_2)}{P(\bar{D})}$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(\bar{D} | T_2) = 1 - P(D | T_2) = 1 - \frac{1}{40} = \frac{39}{40}$.
$P(T_2 | \bar{D}) = \frac{(\frac{39}{40}) \times 0.8}{0.93} = \frac{0.78}{0.93} = \frac{78}{93}$.

(C) ધારો કે $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,જ્યાં $x > 0$.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 8 \alpha x - \frac{1}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$8 \alpha x = \frac{1}{x^2}$ $\Rightarrow x^3 = \frac{1}{8 \alpha}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2 \alpha^{1/3}}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે આ કિંમત $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{2 \alpha^{1/3}}\right) = 4 \alpha \left(\frac{1}{4 \alpha^{2/3}}\right) + 2 \alpha^{1/3} = \alpha^{1/3} + 2 \alpha^{1/3} = 3 \alpha^{1/3}$.
આપેલ છે કે $f(x) \geq 1$,તેથી $3 \alpha^{1/3} \geq 1$ $\Rightarrow \alpha^{1/3} \geq \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \alpha \geq \frac{1}{27}$.
આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{27}$ છે.

(B) પાયો $OPQR$ એ $xy$-સમતલમાં $O(0,0,0)$,$P(3,0,0)$,$Q(3,3,0)$,અને $R(0,3,0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ છે.
$OQ$ નું મધ્યબિંદુ $T$ એ $(\frac{3+0}{2}, \frac{3+0}{2}, 0) = (1.5, 1.5, 0)$ છે.
$S$ એ $T$ ની ઉપર $TS=3$ અંતરે હોવાથી,$S$ ના યામ $(1.5, 1.5, 3)$ છે.
$(A)$ સદિશ $\vec{OQ} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{OS} = 1.5\hat{i} + 1.5\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|\vec{OQ}| = 3\sqrt{2}$ અને $|\vec{OS}| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{OQ} \cdot \vec{OS} = 9$. $\cos \theta = \frac{9}{(3\sqrt{2})(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી $\theta \neq \frac{\pi}{3}$.
$(B)$ $\triangle OQS$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OQ} \times \vec{OS} = 9(\hat{i} - \hat{j})$. સમીકરણ $x-y=0$ છે.
$(C)$ $P(3,0,0)$ થી $x-y=0$ સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|3-0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
$(D)$ રેખા $RS$ માંથી $O$ નું લંબ અંતર $\sqrt{\frac{15}{2}}$ મળે છે.

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx}(x f(x)) = 2x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$x f(x) = x^2 + c$,જે તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) = x + \frac{c}{x}$ આપે છે.
આપેલ છે કે $f(1) \neq 1$,તેથી $1 + c \neq 1$,એટલે કે $c \neq 0$.
હવે,$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{c}{x^2}$.
વિકલ્પ $A$ ચકાસતા: $\lim _{x \rightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 - c x^2) = 1$.
વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $\lim _{x \rightarrow 0+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} x \left(\frac{1}{x} + cx\right) = \lim _{x \rightarrow 0+} (1 + cx^2) = 1 \neq 2$.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $\lim _{x \rightarrow 0+} x^2 f^{\prime}(x) = \lim _{x \rightarrow 0+} x^2 (1 - \frac{c}{x^2}) = \lim _{x \rightarrow 0+} (x^2 - c) = -c \neq 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $PQ = kI$,તેથી $Q = kP^{-1}$.
$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{adj}(P)$ હોવાથી,$Q = \frac{k}{\det(P)} \text{adj}(P)$.
પ્રથમ,$\det(P) = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 15\alpha - 3\alpha + 20 = 12\alpha + 20$.
ઘટક $q_{23}$ એ $Q$ નો $(2,3)$-મો ઘટક છે.
$q_{23} = \frac{k}{\det(P)} \times (\text{adj}(P))_{23} = \frac{k}{12\alpha + 20} \times (-1)^{2+3} M_{32} = \frac{-k(3\alpha + 4)}{4(3\alpha + 5)}$.
$q_{23} = -\frac{k}{8}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3\alpha + 4}{4(3\alpha + 5)} = \frac{1}{8} \implies 6\alpha + 8 = 3\alpha + 5 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha = -1$.
તેથી $\det(P) = 8$.
$Q = kP^{-1}$ હોવાથી,$\det(Q) = \frac{k^3}{\det(P)} = \frac{k^3}{8}$.
$\det(Q) = \frac{k^2}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{k^3}{8} = \frac{k^2}{2} \implies k = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(B)$ $4\alpha - k + 8 = 4(-1) - 4 + 8 = 0$. (સાચું)
$(C)$ $\det(P \text{adj}(Q)) = \det(P) (\det(Q))^2 = 8 \times (8)^2 = 512 = 2^9$. (સાચું)

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+2)(x+2+y) \frac{dy}{dx}-y^2=0$ છે.
$y=(x+2)t$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx}=(x+2) \frac{dt}{dx}+t$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(x+2)^2(1+t) \frac{dy}{dx}-(x+2)^2t^2=0$.
$(1+t)((x+2) \frac{dt}{dx}+t)-t^2=0$.
$(1+t)(x+2) \frac{dt}{dx}+t=0$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{1+t}{t} dt = -\frac{dx}{x+2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|t|+t = -\ln|x+2|+C$.
$t=\frac{y}{x+2}$ મૂકતા: $\ln y + \frac{y}{x+2} = C$.
બિંદુ $(1,3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$C = \ln 3 + 1$.
ઉકેલ વક્ર $\ln y + \frac{y}{x+2} = \ln 3 + 1$ છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$y=x+2$ સાથે છેદનબિંદુ: $\ln(x+2) + 1 = \ln 3 + 1 \Rightarrow x=1$. માત્ર એક બિંદુ.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$y=(x+3)^2$ સાથે છેદતું નથી.

(D) આપેલ છે $f(x)=x^3+3x+2$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે.
$g(f(x))=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $g'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ મળે છે.
$g'(2)$ માટે,આપણે $f(x)=2 \implies x^3+3x+2=2 \implies x^3+3x=0 \implies x(x^2+3)=0$ લઈએ,તેથી $x=0$.
આમ $g'(2) \cdot f'(0)=1$. $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(0)=3$.
તેથી $g'(2) = \frac{1}{3}$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
આપેલ છે $h(g(g(x)))=x$. $g(f(x))=x$ હોવાથી,$g(g(f(f(x))))=x$,જે સૂચવે છે કે $g(g(x))=f(f(x))$.
તેથી $h(f(f(x)))=x$. આનો અર્થ એ છે કે $h$ એ $f(f(x))$ નું પ્રતિવિધેય છે.
પરંતુ,પ્રશ્ન કહે છે કે $h(g(g(x)))=x$. $g(g(x))=f^{-1}(f^{-1}(x))$ હોવાથી,આપણી પાસે $h(f^{-1}(f^{-1}(x)))=x$ છે.
ધારો કે $f^{-1}(x)=y$,તો $f(y)=x$. સમીકરણ $h(f^{-1}(y))=f(y)$ બને છે.
ધારો કે $f^{-1}(y)=z$,તો $y=f(z)$. તેથી $h(z)=f(f(z))$.
આમ $h(x)=f(f(x))$.
હવે,$h'(x)=f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$h'(1)=f'(f(1)) \cdot f'(1)$. $f(1)=1^3+3(1)+2=6$ અને $f'(x)=3x^2+3$ હોવાથી,$f'(1)=6$ અને $f'(6)=3(6^2)+3=111$.
$h'(1)=111 \times 6=666$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$h(0)=f(f(0))=f(2)=2^3+3(2)+2=16$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$h(g(3))=f(f(g(3)))=f(3)=3^3+3(3)+2=38$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $C$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1+x^3 \\ 2x & 4x^2 & 1+8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 1+27x^3 \end{array}\right| = 10$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1 \\ 2x & 4x^2 & 1 \\ 3x & 9x^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & x^3 \\ 2x & 4x^2 & 8x^3 \\ 3x & 9x^2 & 27x^3 \end{array}\right| = 10$
બીજા નિશ્ચાયકમાં $C_1$ માંથી $x$,$C_2$ માંથી $x^2$ અને $C_3$ માંથી $x^3$ સામાન્ય લેતા:
$x^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| + x^6 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 10$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 27 \end{array}\right| = 1(108-72) - 1(54-24) + 1(18-12) = 36 - 30 + 6 = 12$ મળે છે.
તેથી,$12x^3 + 12x^6 = 10 \Rightarrow 6x^6 + 6x^3 - 5 = 0$.
ધારો કે $t = x^3$. તો $6t^2 + 6t - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(6)(-5)}}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{156}}{12} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{6}$.
$x^3 = t$ હોવાથી,$t$ ની દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે $x = \sqrt[3]{t}$ ની એક જ વાસ્તવિક કિંમત મળે.
આમ,$t$ ની બે ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,$x$ ની કુલ $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો મળે.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $x^4 + 1 \geq 2x^2$ હોવાથી,$\frac{x^2}{1+x^4} \leq \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2 \leq \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} < 0$.
બધા $x \in [0, 1]$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ તપાસતા:
$f(0) = \int_0^0 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(0) + 1 = 1$.
$f(1) = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(1) + 1 = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 1$.
$t \in [0, 1]$ માટે $\frac{t^2}{1+t^4} < 1$ હોવાથી,સંકલન $\int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt < 1$ થાય,તેથી $f(1) < 0$.
$f(0) > 0$ અને $f(1) < 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત તથા ચુસ્ત ઘટતું હોવાથી,'Intermediate Value Theorem' મુજબ $[0, 1]$ માં $f(x) = 0$ થાય તેવું બરાબર એક જ બીજ $x$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$, જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી, $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$P = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix}$.
$P^2 = \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-1)^r \omega^r & \omega^{2s} \\ \omega^{2s} & \omega^r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)^{2r} \omega^{2r} + \omega^{4s} & (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} \\ (-1)^r \omega^{r+2s} + \omega^{r+2s} & \omega^{4s} + \omega^{2r} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્ય થવા માટે: $((-1)^r + 1) \omega^{r+2s} = 0$. કારણ કે $\omega \neq 0$, તેથી $(-1)^r + 1 = 0$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $r$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ। આમ, $r \in \{1, 3\}$.
કિસ્સો $1$: $r = 1$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^2 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$, તેથી $\omega^2 + \omega = -1$. આમ, $\omega^{4s} = \omega$, જેનો અર્થ છે કે $4s \equiv 1 \pmod 3$, તેથી $s \equiv 1 \pmod 3$. $s \in \{1, 2, 3\}$ માટે, $s = 1$.
કિસ્સો $2$: $r = 3$. વિકર્ણ ઘટકો પરથી $\omega^6 + \omega^{4s} = -1$ મળે છે. કારણ કે $\omega^3 = 1$, તેથી $1 + \omega^{4s} = -1$, એટલે કે $\omega^{4s} = -2$. આ અશક્ય છે કારણ કે $|\omega^{4s}| = 1$.
આમ, માત્ર એક જ માન્ય જોડ $(r, s) = (1, 1)$ છે. કુલ જોડોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $P = I + A$,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક).
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P^n = (I+A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$.
$n=50$ માટે,$P^{50} = I + 50A + \frac{50 \times 49}{2}A^2 = I + 50A + 1225A^2$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 50 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 16 & 4 & 0 \end{bmatrix} + 1225 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$P^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 800 + 19600 & 200 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 200 & 1 & 0 \\ 20400 & 200 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $P^{50}-Q=I$,તેથી $Q = P^{50}-I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 200 & 0 & 0 \\ 20400 & 200 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$q_{31} = 20400$,$q_{32} = 200$,અને $q_{21} = 200$.
તેથી,$\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}} = \frac{20400+200}{200} = \frac{20600}{200} = 103$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = 0$ છે.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1} dx$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x (1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$
$x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$ થાય.
તેથી $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [x^2 \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x dx$
$I = (\frac{\pi^2}{4} - 0) - 2 [x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) dx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [-x \cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 [1 - 0] = \frac{\pi^2}{4} - 2$.

(C) આપેલ પ્રદેશ $y \geq \sqrt{|x+3|}$ અને $5y \leq x+9 \leq 15$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$5y \leq x+9 \leq 15$ પરથી,આપણને $y \leq \frac{x+9}{5}$ અને $-6 \leq x \leq 6$ મળે છે.
આપેલ આલેખ મુજબ,પ્રદેશ ઉપરની તરફ રેખા $y = \frac{x+9}{5}$ અને નીચેની તરફ વક્રો $y = \sqrt{-x-3}$ (જ્યાં $x \in [-4, -3]$) અને $y = \sqrt{x+3}$ (જ્યાં $x \in [-3, 1]$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx - \int_{-4}^{-3} \sqrt{-x-3} dx - \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx$ દ્વારા મળે છે.
રેખાનું સંકલન: $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx = \frac{1}{5} [\frac{x^2}{2} + 9x]_{-4}^{1} = \frac{15}{2}$.
વક્રો નીચેનું ક્ષેત્રફળ: $\int_{-4}^{-3} \sqrt{-(x+3)} dx = \frac{2}{3}$ અને $\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx = \frac{16}{3}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{15}{2} - \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = \frac{15}{2} - 6 = \frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $Q(3, 1, 7)$ છે. સમતલ $x-y+z=3$ ને લંબ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, -1, 1)$ છે.
તેનું સમીકરણ $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3+\lambda, 1-\lambda, 7+\lambda)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x-y+z=3$ પર આવેલું છે,તેથી $(3+\lambda) - (1-\lambda) + (7+\lambda) = 3$.
$3+\lambda-1+\lambda+7+\lambda=3 \Rightarrow 3\lambda+9=3 \Rightarrow 3\lambda=-6 \Rightarrow \lambda=-2$.
લંબપાદ $R$ એ $(3-2, 1-(-2), 7-2) = (1, 3, 5)$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1, z_1)$ એ $Q$ નું પ્રતિબિંબ છે. $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_1+3}{2}=1, \frac{y_1+1}{2}=3, \frac{z_1+7}{2}=5$.
$x_1 = -1, y_1 = 5, z_1 = 3$. તેથી $P$ એ $(-1, 5, 3)$ છે.
સમતલ $P(-1, 5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવે છે.
સમતલનું સમીકરણ $a(x+1) + b(y-5) + c(z-3) = 0$ છે.
તે રેખાને સમાવે છે,તેથી તે $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $a(1) + b(-5) + c(-3) = 0 \Rightarrow a-5b-3c=0$.
વળી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાની દિશા $(1, 2, 1)$ ને લંબ છે,તેથી $a+2b+c=0$.
$a-5b-3c=0$ અને $a+2b+c=0$ ને ઉકેલતા: $-7b-4c=0 \Rightarrow b = -4c/7$.
તેથી $a = 5(-4c/7) + 3c = -20c/7 + 21c/7 = c/7$.
$c=7$ લેતા,આપણને $a=1, b=-4$ મળે છે. સમીકરણ $1(x+1) - 4(y-5) + 7(z-3) = 0$ છે.
$x+1-4y+20+7z-21 = 0 \Rightarrow x-4y+7z=0$.

(B,C) બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{x + n/r}{x^2 + n^2/r^2} \cdot \frac{n}{r} \right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{1 + \frac{r}{n}x}{1 + (\frac{r}{n}x)^2} \right)$
$= x \int_0^1 \ln \left( \frac{1 + tx}{1 + (tx)^2} \right) dt$
ધારો કે $u = tx$,તો $du = x dt$:
$\ln f(x) = \int_0^x \ln \left( \frac{1+u}{1+u^2} \right) du$
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \ln \left( \frac{1+x}{1+x^2} \right)$
$0 < x < 1$ માટે,$\frac{1+x}{1+x^2} > 1$,તેથી $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} > 0$,એટલે કે $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
$x > 1$ માટે,$\frac{1+x}{1+x^2} < 1$,તેથી $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} < 0$,એટલે કે $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,$f(1/3) < f(2/3)$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
જેમ કે $f(x)$ એ $x > 1$ માટે ઘટતું વિધેય છે,$f^{\prime}(2) < 0$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = a \cos (|x^3-x|) + b|x| \sin (|x^3+x|)$.
કેમ કે $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$,તેથી $\cos(|x^3-x|) = \cos(x^3-x)$.
વળી,તમામ $x \in R$ માટે $|x| \sin(|x^3+x|) = x \sin(x^3+x)$ થાય છે,કારણ કે જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x|=x$ અને $|x^3+x|=x^3+x$,અને જો $x < 0$ હોય,તો $|x|=-x$ અને $|x^3+x|=-(x^3+x)$,તેથી $-x \sin(-(x^3+x)) = -x(-\sin(x^3+x)) = x \sin(x^3+x)$.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = a \cos(x^3-x) + b x \sin(x^3+x)$.
કારણ કે $\cos(x^3-x)$ અને $x \sin(x^3+x)$ એ $R$ પર વિકલનીય વિધેયો છે,તેથી $f(x)$ એ કોઈપણ $a, b \in R$ માટે તમામ $x \in R$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,$f$ એ કોઈપણ $a, b \in R$ માટે $x=0$ અને $x=1$ પર વિકલનીય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $a=0, b=1$ હોય ત્યારે $x=0$ પર વિકલનીય છે (સાચું).
$(B)$ $a=1, b=0$ હોય ત્યારે $x=1$ પર વિકલનીય છે (સાચું).
$(C)$ $a=1, b=0$ હોય ત્યારે $x=0$ પર વિકલનીય નથી (ખોટું).
$(D)$ $a=1, b=1$ હોય ત્યારે $x=1$ પર વિકલનીય નથી (ખોટું).
આમ,વિકલ્પો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(A,D) આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$. $f^{\prime}(2) = 0$ અને $g(2) = 0$ હોવાથી,આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે. લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)} = 1$.
$x=2$ મૂકતા અને $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{0 + f(2) g^{\prime}(2)}{f^{\prime \prime}(2) g^{\prime}(2) + 0} = 1 \implies \frac{f(2)}{f^{\prime \prime}(2)} = 1 \implies f(2) = f^{\prime \prime}(2)$.
$f: R \rightarrow (0, \infty)$ હોવાથી,$f(2) > 0$,તેથી $f^{\prime \prime}(2) > 0$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે (વિકલ્પ $A$).
$h(x) = f(x) - f^{\prime \prime}(x)$ લો. $f(2) = f^{\prime \prime}(2)$ હોવાથી,$h(2) = 0$. આમ,ઓછામાં ઓછા $x=2$ માટે $f(x) - f^{\prime \prime}(x) = 0$ થાય છે (વિકલ્પ $D$).
આમ,$A$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(B, C) વિધેય $f(x) = [x^2 - 3]$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $x^2 - 3$ પૂર્ણાંક હોય.
અંતરાલ $[-\frac{1}{2}, 2]$ માં,$x^2$ ની કિંમત $0$ થી $4$ સુધીની છે,તેથી $x^2 - 3$ ની કિંમત $-3$ થી $1$ સુધીની છે.
$x^2 - 3$ ની કિંમતો $x^2 - 3 \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}$ હોય ત્યારે પૂર્ણાંક બને છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
$x \in [-\frac{1}{2}, 2]$ હોવાથી,$f(x)$ માટે અસતત બિંદુઓ $x = 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ છે. આમ,$f$ એ $[-\frac{1}{2}, 2]$ માં $4$ બિંદુઓ પર અસતત છે. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
હવે $g(x) = (|x| + |4x - 7|)f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
$f(x)$ એ $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ પર અસતત છે.
$|x|$ એ $x=0$ પર વિકલનીય નથી.
$|4x-7|$ એ $x=7/4 = 1.75$ પર વિકલનીય નથી.
$x=0$ પર,$f(x) = [-3] = -3 \neq 0$,તેથી $g(x)$ વિકલનીય નથી.
$x=1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ પર,$f(x)$ અસતત છે,તેથી $g(x)$ વિકલનીય નથી.
$x=7/4$ પર,$f(x) = [(7/4)^2 - 3] = [49/16 - 3] = [3.0625 - 3] = [0.0625] = 0$. $f(7/4) = 0$ હોવાથી,ગુણાકાર $g(x) = (|x| + |4x-7|)f(x)$ એ $x=7/4$ પર વિકલનીય બને છે કારણ કે $f$ ની અસતતતા $0$ સાથે ગુણાય છે.
આમ,$g(x)$ એ $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ પર વિકલનીય નથી,જે $4$ બિંદુઓ છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$ax + 2y = \lambda$
$3x - 2y = \mu$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2a - 6 = -2(a + 3)$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \neq -3$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
જો $a = -3$ હોય,તો $\Delta = 0$. સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નહીં હોય અથવા અનંત ઉકેલો હશે.
આપણે $\Delta_1 = \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ \mu & -2 \end{vmatrix} = -2\lambda - 2\mu = -2(\lambda + \mu)$ ગણીએ છીએ.
જો $\lambda + \mu = 0$ હોય,તો $\Delta_1 = 0$. કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = 0$,તેથી સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
જો $\lambda + \mu \neq 0$ હોય,તો $\Delta_1 \neq 0$. કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$,તેથી સિસ્ટમને કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$,$(C)$,અને $(D)$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$. $\hat{u}$ અને $\vec{w}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\hat{u} \times \vec{w}| = |\hat{u}| |\vec{w}| \sin \theta = \sin \theta$. વળી,$|\hat{v}| = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = 1$. તેથી,$\sin \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
$\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$ હોવાથી,$\hat{v}$ એ $\hat{u}$ અને $\vec{w}$ બંનેને લંબ છે.
ચોક્કસ $\hat{u}$ માટે,અસંખ્ય સદિશો $\vec{w}$ એવા મળે જે $\hat{u}$ ને લંબ હોય અને તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\hat{v}$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$\hat{v} \cdot \hat{u} = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{6}}(u_1 + u_2 + 2u_3) = 0$,એટલે કે $u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$.
જો $\hat{u}$ એ $xy$-સમતલમાં હોય,તો $u_3 = 0$,તેથી $u_1 + u_2 = 0$,એટલે કે $|u_1| = |u_2|$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
જો $\hat{u}$ એ $xz$-સમતલમાં હોય,તો $u_2 = 0$,તેથી $u_1 + 2u_3 = 0$,એટલે કે $|u_1| = 2|u_3|$. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે તેમાં $2|u_1| = |u_3|$ આપેલ છે.

(C) ધારો કે $W, D, L$ એ $T_1$ માટે જીત,ડ્રો અને હાર દર્શાવે છે. $P(W) = \frac{1}{2}, P(D) = \frac{1}{6}, P(L) = \frac{1}{3}$.
$(1)$ $X > Y$ ત્યારે થાય જો $T_1$ ને $T_2$ કરતા વધુ પોઈન્ટ મળે. બે મેચ માટે શક્ય પરિણામો:
- $T_1$ બંને જીતે: $(W, W) \implies X=6, Y=0, P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- $T_1$ એક જીતે,એક ડ્રો કરે: $(W, D) \text{ અથવા } (D, W) \implies X=4, Y=1, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$
$X>Y$ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$(2)$ $X=Y$ ત્યારે થાય જો:
- બંને ડ્રો થાય: $(D, D) \implies X=2, Y=2, P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
- $T_1$ એક જીતે,એક હારે: $(W, L) \text{ અથવા } (L, W) \implies X=3, Y=3, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}$
$X=Y$ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{36} + \frac{12}{36} = \frac{13}{36}$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.