मान लीजिए F_1(-1, 0) और F_2(1, 0) दीर्घवृत्त | vedclass

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Question

(C) $1.$ सही विकल्प $A \left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ है।दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$। यहाँ $a^2=9, b^2=8$। उत्केंद्रता $e =

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$A, C$

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(C) $1.$ सही विकल्प $A \left(-\frac{9}{10}, 0ight)$ है।दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$। यहाँ $a^2=9, b^2=8$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।शीर्ष $(0,0)$ और नाभि $F_2(1,0)$ वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।दीर्घवृत्त के समीकरण में $y^2=4x$ रखने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{8} = 1 \Rightarrow 2x^2 + 9x - 18 = 0 \Rightarrow (2x-3)(x+6)=0$। चूँकि $x>0$,इसलिए $x=\frac{3}{2}$। तब $y^2 = 4(\frac{3}{2}) = 6$,अतः $y = \pm \sqrt{6}$। इस प्रकार $M = (\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ और $N = (\frac{3}{2}, -\sqrt{6})$।$	riangle F_1 M N$ में,$M$ से $F_1 N$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{3/2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$। शीर्षलंब की ढाल $m_{alt} = -\frac{1}{-2\sqrt{6}/5} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$।$M$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - \sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2})$। लंबकेंद्र $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $y=0$ रखने पर: $-\sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow -12 = 5x - 7.5 \Rightarrow 5x = -4.5 \Rightarrow x = -\frac{9}{10}$।$2.$ $M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा $\frac{x}{6} + \frac{y\sqrt{6}}{8} = 1$ है। $y=0$ के लिए $x=6$,अतः $R(6,0)$।$M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर परवलय का अभिलंब: स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{\sqrt{6}}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ है। समीकरण: $y - \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - \frac{3}{2})$। $y=0$ के लिए $x = \frac{7}{2}$। अतः $Q(\frac{7}{2}, 0)$।क्षेत्रफल $	riangle MQR = \frac{1}{2} 	imes |6 - 3.5| 	imes \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$।चतुर्भुज $MF_1NF_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 2 	imes 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$।अनुपात $= \frac{5\sqrt{6}/4}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{8}$।

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