PhysicsQ1–37 of 37 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$1.6 \,kg$ દળ અને $l$ લંબાઈનો એક સમાન લાકડાનો સળિયો $h$ < $l$ ઊંચાઈની લીસી, ઉભી દીવાલ પર એવી રીતે નમેલો છે કે સળિયાનો થોડો ભાગ દીવાલની બહાર નીકળે છે। દીવાલ દ્વારા સળિયા પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ સળિયાને લંબ છે। સળિયો દીવાલ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને સળિયાનો નીચેનો છેડો ખરબચડા ભોંયતળિયા પર છે। દીવાલની સળિયા પરની પ્રતિક્રિયા અને ભોંયતળિયાની સળિયા પરની પ્રતિક્રિયા સમાન મૂલ્યની છે। ગુણોત્તર $h/l$ અને સળિયાના નીચેના છેડે ઘર્ષણ બળ $f$ શોધો। $(g=10 \,m \,s^{-2})$
A
$\frac{h}{l}=\frac{\sqrt{3}}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
B
$\frac{h}{l}=\frac{3}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
C
$\frac{h}{l}=\frac{3 \sqrt{3}}{16}, f=\frac{8 \sqrt{3}}{3} \,N$
D
$\frac{h}{l}=\frac{3 \sqrt{3}}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
Solution
(D) ધારો કે ભોંયતળિયા અને દીવાલની લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ છે।
શિરોલંબ સંતુલન પરથી: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
ક્ષૈતિજ સંતુલન પરથી: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
નીચેના બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, જ્યાં $x$ એ નીચેના છેડાથી દીવાલના સંપર્ક બિંદુ સુધીનું અંતર છે।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ભૂમિતિ પરથી, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
આમ, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ અને $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
શિરોલંબ સંતુલન પરથી: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
ક્ષૈતિજ સંતુલન પરથી: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
નીચેના બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, જ્યાં $x$ એ નીચેના છેડાથી દીવાલના સંપર્ક બિંદુ સુધીનું અંતર છે।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ભૂમિતિ પરથી, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
આમ, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ અને $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
0 likesView Solution
2
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
$120$ લિટરની સંગ્રહ ક્ષમતા ધરાવતું વોટર કુલર $P$ વોટના અચળ દરે પાણીને ઠંડુ કરી શકે છે. બંધ પરિભ્રમણ સિસ્ટમમાં (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),કુલરમાંથી પાણીનો ઉપયોગ બાહ્ય ઉપકરણને ઠંડુ કરવા માટે થાય છે જે સતત $3 \text{ kW}$ ગરમી (થર્મલ લોડ) ઉત્પન્ન કરે છે. ઉપકરણમાં દાખલ થતા પાણીનું તાપમાન $30^{\circ}\text{C}$ થી વધુ ન હોવું જોઈએ અને સમગ્ર $120$ લિટર સંગ્રહિત પાણી શરૂઆતમાં $10^{\circ}\text{C}$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે. સમગ્ર સિસ્ટમ થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ છે. $P$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (વોટમાં) જેના માટે ઉપકરણ $3$ કલાક સુધી ચલાવી શકાય છે તે શોધો. (પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $4.2 \text{ kJ kg}^{-1} \text{K}^{-1}$ છે અને પાણીની ઘનતા $1000 \text{ kg m}^{-3}$ છે)
A
$1600$
B
$2067$
C
$2533$
D
$3933$
Solution
(B) $t = 3 \text{ કલાક} = 3 \times 3600 \text{ સેકન્ડ} = 10800 \text{ સેકન્ડ}$ માં ઉપકરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી કુલ ગરમી:
$Q_{\text{gen}} = P_{\text{device}} \times t = 3000 \text{ W} \times 10800 \text{ s} = 3.24 \times 10^7 \text{ J}$.
જ્યારે પાણીનું તાપમાન $10^{\circ}\text{C}$ થી વધીને $30^{\circ}\text{C}$ થાય ત્યારે $120 \text{ લિટર}$ $(120 \text{ kg})$ પાણી દ્વારા શોષાયેલી ગરમી:
$Q_{\text{water}} = m \cdot c \cdot \Delta T = 120 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (30 - 10) \text{ K} = 120 \times 4200 \times 20 = 1.008 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલર દ્વારા દૂર કરવામાં આવતી ગરમી:
$Q_{\text{cooler}} = Q_{\text{gen}} - Q_{\text{water}} = 3.24 \times 10^7 \text{ J} - 1.008 \times 10^7 \text{ J} = 2.232 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલરનો ન્યૂનતમ પાવર $P$:
$P = \frac{Q_{\text{cooler}}}{t} = \frac{2.232 \times 10^7 \text{ J}}{10800 \text{ s}} \approx 2066.67 \text{ W} \approx 2067 \text{ W}$.
$Q_{\text{gen}} = P_{\text{device}} \times t = 3000 \text{ W} \times 10800 \text{ s} = 3.24 \times 10^7 \text{ J}$.
જ્યારે પાણીનું તાપમાન $10^{\circ}\text{C}$ થી વધીને $30^{\circ}\text{C}$ થાય ત્યારે $120 \text{ લિટર}$ $(120 \text{ kg})$ પાણી દ્વારા શોષાયેલી ગરમી:
$Q_{\text{water}} = m \cdot c \cdot \Delta T = 120 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (30 - 10) \text{ K} = 120 \times 4200 \times 20 = 1.008 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલર દ્વારા દૂર કરવામાં આવતી ગરમી:
$Q_{\text{cooler}} = Q_{\text{gen}} - Q_{\text{water}} = 3.24 \times 10^7 \text{ J} - 1.008 \times 10^7 \text{ J} = 2.232 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલરનો ન્યૂનતમ પાવર $P$:
$P = \frac{Q_{\text{cooler}}}{t} = \frac{2.232 \times 10^7 \text{ J}}{10800 \text{ s}} \approx 2066.67 \text{ W} \approx 2067 \text{ W}$.
0 likesView Solution
3
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
બે લાઉડસ્પીકર $M$ અને $N$ એકબીજાથી $20 \ m$ દૂર આવેલા છે અને અનુક્રમે $118 \ Hz$ અને $121 \ Hz$ ની આવૃત્તિ પર અવાજ ઉત્સર્જિત કરે છે. એક કાર શરૂઆતમાં $MN$ રેખાના મધ્યબિંદુ $Q$ થી $1800 \ m$ દૂર બિંદુ $P$ પર છે અને $MN$ ના લંબ દ્વિભાજક પર $60 \ km/h$ ની ઝડપે $Q$ તરફ ગતિ કરે છે. તે $Q$ ને ઓળંગે છે અને અંતે $Q$ થી $1800 \ m$ દૂર બિંદુ $R$ પર પહોંચે છે. ધારો કે $v(t)$ એ સમય $t$ પર કારમાં બેઠેલી વ્યક્તિ દ્વારા માપવામાં આવતી બીટ આવૃત્તિ દર્શાવે છે. ધારો કે $v_P, v_Q$ અને $v_R$ એ અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ સ્થાનો પર માપવામાં આવતી બીટ આવૃત્તિઓ છે. હવામાં અવાજની ઝડપ $330 \ m/s$ છે. વ્યક્તિ દ્વારા સંભળાતા અવાજ અંગે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $v_P + v_R = 2v_Q$
$(B)$ જ્યારે કાર $Q$ માંથી પસાર થાય છે ત્યારે બીટ આવૃત્તિમાં થતો ફેરફારનો દર મહત્તમ હોય છે
$(C)$ નીચેનો આલેખ સમય સાથે બીટ આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારને યોજનાબદ્ધ રીતે રજૂ કરે છે (ડાબો આલેખ)
$(D)$ નીચેનો આલેખ સમય સાથે બીટ આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારને યોજનાબદ્ધ રીતે રજૂ કરે છે (જમણો આલેખ)
$(A)$ $v_P + v_R = 2v_Q$
$(B)$ જ્યારે કાર $Q$ માંથી પસાર થાય છે ત્યારે બીટ આવૃત્તિમાં થતો ફેરફારનો દર મહત્તમ હોય છે
$(C)$ નીચેનો આલેખ સમય સાથે બીટ આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારને યોજનાબદ્ધ રીતે રજૂ કરે છે (ડાબો આલેખ)
$(D)$ નીચેનો આલેખ સમય સાથે બીટ આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારને યોજનાબદ્ધ રીતે રજૂ કરે છે (જમણો આલેખ)
Solution
(A) ધારો કે કારની ઝડપ $v_0$ છે અને અવાજની ઝડપ $v$ છે. $Q$ તરફ ગતિ કરતી કાર દ્વારા $M$ અને $N$ થી અવલોકન કરાયેલ આવૃત્તિઓ $f_M = f_M^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ અને $f_N = f_N^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કારના વેગ સદિશ અને કારને સ્પીકર્સ સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીટ આવૃત્તિ $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
બિંદુ $P$ પર,$\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta > 0$,આમ $v_P > 3$. બિંદુ $Q$ પર,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\cos \theta = 0$,આમ $v_Q = 3$. બિંદુ $R$ પર,$\theta$ ગુરુકોણ છે,તેથી $\cos \theta < 0$,આમ $v_R < 3$.
કારણ કે $v_P = 3(1 + k)$ અને $v_R = 3(1 - k)$ જ્યાં $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,આપણી પાસે $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
બીટ આવૃત્તિમાં ફેરફારનો દર $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ છે. આ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \theta$ મહત્તમ હોય,જે $Q$ પર થાય છે જ્યાં $\theta = 90^{\circ}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
જેમ કાર $P$ થી $R$ તરફ ગતિ કરે છે તેમ સમય સાથે $\cos \theta$ માં થતો ફેરફાર સિગ્મોઇડ જેવા વળાંકને અનુસરે છે,જે ડાબા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
બીટ આવૃત્તિ $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
બિંદુ $P$ પર,$\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta > 0$,આમ $v_P > 3$. બિંદુ $Q$ પર,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\cos \theta = 0$,આમ $v_Q = 3$. બિંદુ $R$ પર,$\theta$ ગુરુકોણ છે,તેથી $\cos \theta < 0$,આમ $v_R < 3$.
કારણ કે $v_P = 3(1 + k)$ અને $v_R = 3(1 - k)$ જ્યાં $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,આપણી પાસે $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
બીટ આવૃત્તિમાં ફેરફારનો દર $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ છે. આ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \theta$ મહત્તમ હોય,જે $Q$ પર થાય છે જ્યાં $\theta = 90^{\circ}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
જેમ કાર $P$ થી $R$ તરફ ગતિ કરે છે તેમ સમય સાથે $\cos \theta$ માં થતો ફેરફાર સિગ્મોઇડ જેવા વળાંકને અનુસરે છે,જે ડાબા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
એક લંબાઈ-માપદંડ $(l)$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થની પરમિટિવિટી $(\varepsilon)$,બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$,નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$,અમુક વિદ્યુતભારીત કણોની એકમ કદ દીઠ સંખ્યા $(n)$,અને દરેક કણ પરના વિદ્યુતભાર $(q)$ પર આધાર રાખે છે. $l$ માટે નીચેનામાંથી કયું/કયા સમીકરણ(ઓ) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું(સાચા) છે?
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
A
$A, B$
B
$B, C$
C
$C, A$
D
$B, D$
Solution
(D) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
પ્રથમ,પદ $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ ધ્યાનમાં લો:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[L^{-2}]$ અને $[L^{3/2}]$ મળે છે,જે લંબાઈ માટે ખોટા છે. તેથી,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
પ્રથમ,પદ $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ ધ્યાનમાં લો:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. આ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[L^{-2}]$ અને $[L^{3/2}]$ મળે છે,જે લંબાઈ માટે ખોટા છે. તેથી,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$m$ દળ ધરાવતા કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$
જ્યાં $\alpha = 10/3 \ m \ s^{-3}$,$\beta = 5 \ m \ s^{-2}$ અને $m = 0.1 \ kg$. $t = 1 \ s$ સમયે,કણ વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ વેગ $\vec{v} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$ છે.
$(B)$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $\vec{L} = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$ છે.
$(C)$ બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$ છે.
$(D)$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ ટોર્ક $\vec{\tau} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$ છે.
$\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$
જ્યાં $\alpha = 10/3 \ m \ s^{-3}$,$\beta = 5 \ m \ s^{-2}$ અને $m = 0.1 \ kg$. $t = 1 \ s$ સમયે,કણ વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ વેગ $\vec{v} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$ છે.
$(B)$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $\vec{L} = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$ છે.
$(C)$ બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$ છે.
$(D)$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ ટોર્ક $\vec{\tau} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$ છે.
A
$A, B, C$
B
$A, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$ છે.
વેગ $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$t = 1 \ s$ સમયે સ્થાન: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,$(C)$ અને $(D)$ બધા સાચા છે.
વેગ $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$t = 1 \ s$ સમયે સ્થાન: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,$(C)$ અને $(D)$ બધા સાચા છે.
0 likesView Solution
6
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
એક ધાતુને ભઠ્ઠીમાં ગરમ કરવામાં આવે છે જ્યાં ધાતુની સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $(P)$ વાંચવા માટે ધાતુની સપાટીની ઉપર એક સેન્સર રાખવામાં આવ્યું છે. સેન્સર પાસે એક સ્કેલ છે જે $\log_{2}(P / P_0)$ દર્શાવે છે,જ્યાં $P_0$ એક અચળાંક છે. જ્યારે ધાતુની સપાટી $487^{\circ} C$ તાપમાને હોય છે,ત્યારે સેન્સર $1$ નું મૂલ્ય દર્શાવે છે. ધારો કે ધાતુની સપાટીની ઉત્સર્જકતા (emissivity) અચળ રહે છે. જ્યારે ધાતુની સપાટીનું તાપમાન વધારીને $2767^{\circ} C$ કરવામાં આવે ત્યારે સેન્સર દ્વારા કયું મૂલ્ય દર્શાવવામાં આવશે?
A
$9$
B
$8$
C
$7$
D
$6$
Solution
(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A e T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઉત્સર્જકતા છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
જેহেতু $A$,$e$,અને $\sigma$ અચળ છે,આપણે $P = k T^4$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સેન્સર $S = \log_{2}(P / P_0) = \log_{2}(k T^4 / P_0)$ દર્શાવે છે.
ધારો કે $C = k / P_0$,તો $S = \log_{2}(C T^4) = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(T)$.
$T_1 = 487^{\circ} C = 487 + 273 = 760 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_1 = 1$ છે.
તેથી,$1 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(760)$.
$T_2 = 2767^{\circ} C = 2767 + 273 = 3040 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_2 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(3040)$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(3040) - 4 \log_{2}(760) = 4 \log_{2}(3040 / 760)$.
કારણ કે $3040 / 760 = 4$,તેથી $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(4) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$S_2 = 8 + 1 = 9$.
જેহেতু $A$,$e$,અને $\sigma$ અચળ છે,આપણે $P = k T^4$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સેન્સર $S = \log_{2}(P / P_0) = \log_{2}(k T^4 / P_0)$ દર્શાવે છે.
ધારો કે $C = k / P_0$,તો $S = \log_{2}(C T^4) = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(T)$.
$T_1 = 487^{\circ} C = 487 + 273 = 760 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_1 = 1$ છે.
તેથી,$1 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(760)$.
$T_2 = 2767^{\circ} C = 2767 + 273 = 3040 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_2 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(3040)$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(3040) - 4 \log_{2}(760) = 4 \log_{2}(3040 / 760)$.
કારણ કે $3040 / 760 = 4$,તેથી $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(4) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$S_2 = 8 + 1 = 9$.
0 likesView Solution
7
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
$8 \ g \ cm^{-3}$ ની ઘનતા અને અનુક્રમે $1 \ cm$ અને $0.5 \ cm$ વ્યાસ ધરાવતા બે ઘન ગોળાઓ $P$ અને $Q$ ધ્યાનમાં લો. ગોળા $P$ ને $0.8 \ g \ cm^{-3}$ ઘનતા અને $\eta = 3 \ \text{poiseuille}$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં નાખવામાં આવે છે. ગોળા $Q$ ને $1.6 \ g \ cm^{-3}$ ઘનતા અને $\eta = 2 \ \text{poiseuille}$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં નાખવામાં આવે છે. $P$ અને $Q$ ના ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર કેટલો છે?
A
$4$
B
$2$
C
$1$
D
$3$
Solution
(D) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2gr^2(\rho - \sigma)}{9\eta}$,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
આપેલ કિંમતો:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
આમ,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $3$ છે.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
આપેલ કિંમતો:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
આમ,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $3$ છે.
0 likesView Solution
8
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2016
$300 \ K$ તાપમાને રહેલા એક મોલ આદર્શ વાયુનું પર્યાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંપર્કમાં રહીને $3.0 \ atm$ ના અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ $1.0 \ L$ થી $2.0 \ L$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ થાય છે. આ પ્રક્રિયામાં પર્યાવરણની એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta S_{\text{surr}})$ $J \ K^{-1}$ માં કેટલો હશે? $(1 \ L \ atm = 101.3 \ J)$
A
$5.763$
B
$1.013$
C
$-1.013$
D
$-5.763$
Solution
(C) પર્યાવરણની એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{q_{\text{sys}}}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુનું $P_{\text{ext}}$ જેટલા અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ થતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = q + W$. આદર્શ વાયુની સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = 0$ હોવાથી,$q = -W = P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ થાય.
અહીં $P_{\text{ext}} = 3.0 \ atm$,$V_1 = 1.0 \ L$,$V_2 = 2.0 \ L$ અને $T = 300 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$q = 3.0 \ atm \times (2.0 \ L - 1.0 \ L) = 3.0 \ L \ atm$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $q = 3.0 \times 101.3 \ J = 303.9 \ J$.
પર્યાવરણ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $-q = -303.9 \ J$ છે.
તેથી,$\Delta S_{\text{surr}} = \frac{-303.9 \ J}{300 \ K} = -1.013 \ J \ K^{-1}$.
વાયુનું $P_{\text{ext}}$ જેટલા અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ થતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = q + W$. આદર્શ વાયુની સમતાપી પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = 0$ હોવાથી,$q = -W = P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ થાય.
અહીં $P_{\text{ext}} = 3.0 \ atm$,$V_1 = 1.0 \ L$,$V_2 = 2.0 \ L$ અને $T = 300 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$q = 3.0 \ atm \times (2.0 \ L - 1.0 \ L) = 3.0 \ L \ atm$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $q = 3.0 \times 101.3 \ J = 303.9 \ J$.
પર્યાવરણ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $-q = -303.9 \ J$ છે.
તેથી,$\Delta S_{\text{surr}} = \frac{-303.9 \ J}{300 \ K} = -1.013 \ J \ K^{-1}$.
1 likesView Solution
9
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
એક ગેસને ગતિશીલ ઘર્ષણરહિત પિસ્ટન ધરાવતા સિલિન્ડરમાં બંધ કરવામાં આવ્યો છે. તેની પ્રારંભિક થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિ $P_i = 10^5 \text{ Pa}$ અને કદ $V_i = 10^{-3} \text{ m}^3$ થી બદલાઈને અંતિમ સ્થિતિ $P_f = (1/32) \times 10^5 \text{ Pa}$ અને $V_f = 8 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ થાય છે, જે એક એડિબેટિક ક્વોસી-સ્ટેટિક પ્રક્રિયા છે, જેમાં $P^3 V^5 = \text{constant}$ છે. બીજી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાનો વિચાર કરો જે સિસ્ટમને સમાન પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી સમાન અંતિમ સ્થિતિમાં બે તબક્કામાં લાવે છે: $P_i$ પર આઇસોબેરિક વિસ્તરણ, ત્યારબાદ $V_f$ કદ પર આઇસોકોરિક (આઇસોવોલ્યુમેટ્રિક) પ્રક્રિયા. બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ગરમી આશરે કેટલી છે: ($\text{ J}$ માં)
A
$112$
B
$294$
C
$588$
D
$83$
Solution
(C) આપેલ એડિબેટિક પ્રક્રિયા $P^3 V^5 = \text{constant}$ ને અનુસરે છે, જેને $P V^{5/3} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે. આને $P V^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\gamma = 5/3$ મળે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $\Delta Q = 0$, તેથી $\Delta U = -W$. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$.
આમ, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$.
બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં:
$1$. $(P_i, V_i)$ થી $(P_i, V_f)$ સુધી આઇસોબેરિક વિસ્તરણ:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$.
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$.
$2$. $(P_i, V_f)$ થી $(P_f, V_f)$ સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા:
$W_2 = 0$.
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$.
કુલ ગરમી $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $\Delta Q = 0$, તેથી $\Delta U = -W$. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$.
આમ, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$.
બે-તબક્કાની પ્રક્રિયામાં:
$1$. $(P_i, V_i)$ થી $(P_i, V_f)$ સુધી આઇસોબેરિક વિસ્તરણ:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$.
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$.
$2$. $(P_i, V_f)$ થી $(P_f, V_f)$ સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા:
$W_2 = 0$.
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$.
કુલ ગરમી $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$.
0 likesView Solution
10
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2016
બે પાતળા તાર $PQ$ અને $RS$ ના છેડા $Q$ અને $R$ ને એકસાથે જોડવામાં આવ્યા છે. શરૂઆતમાં દરેક તારની લંબાઈ $10^{\circ} C$ તાપમાને $1 \,m$ છે. હવે છેડા $P$ ને $10^{\circ} C$ પર રાખવામાં આવે છે,જ્યારે છેડા $S$ ને ગરમ કરીને $400^{\circ} C$ પર રાખવામાં આવે છે. આ સિસ્ટમ તેની આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ (insulated) છે. જો તાર $PQ$ ની ઉષ્મીય વાહકતા તાર $RS$ કરતા બમણી હોય અને $PQ$ નો રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણાંક $1.2 \times 10^{-5} \,K^{-1}$ હોય,તો તાર $PQ$ ની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે ($\,mm$ માં)?
A
$0.78$
B
$0.90$
C
$1.56$
D
$2.34$
Solution
(A) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે.
સિસ્ટમ સ્થાયી અવસ્થામાં અને ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,$PQ$ માંથી વહેતો ઉષ્માનો દર $RS$ માંથી વહેતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હશે.
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
આપેલ છે કે $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,તેથી:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
તાર $PQ$ માટે,તાપમાનનો ઢાળ $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ છે.
$P$ થી $x$ અંતરે તાપમાન $T(x) = 10 + 130x$ છે.
$dx$ લંબાઈના તત્વમાં લંબાઈનો ફેરફાર $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = 1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
સિસ્ટમ સ્થાયી અવસ્થામાં અને ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,$PQ$ માંથી વહેતો ઉષ્માનો દર $RS$ માંથી વહેતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હશે.
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
આપેલ છે કે $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,તેથી:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
તાર $PQ$ માટે,તાપમાનનો ઢાળ $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ છે.
$P$ થી $x$ અંતરે તાપમાન $T(x) = 10 + 130x$ છે.
$dx$ લંબાઈના તત્વમાં લંબાઈનો ફેરફાર $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = 1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
0 likesView Solution
11
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
બે વર્નિયર કેલિપર્સ છે,જે બંનેના મુખ્ય સ્કેલ પર $1 \ cm$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે. એક કેલિપર $(C_1)$ ના વર્નિયર સ્કેલ પર $10$ સમાન ભાગો છે જે મુખ્ય સ્કેલના $9$ ભાગોને અનુરૂપ છે. બીજા કેલિપર $(C_2)$ ના વર્નિયર સ્કેલ પર $10$ સમાન ભાગો છે જે મુખ્ય સ્કેલના $11$ ભાગોને અનુરૂપ છે. બંને કેલિપર્સના અવલોકનો આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. કેલિપર્સ $C_1$ અને $C_2$ દ્વારા માપવામાં આવેલા મૂલ્યો ($cm$ માં) અનુક્રમે છે:
A
$2.85$ અને $2.82$
B
$2.87$ અને $2.83$
C
$2.87$ અને $2.86$
D
$2.87$ અને $2.87$
Solution
(B) $C_1$: $1$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ $= 0.9/10 = 0.09 \ cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ $= 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.1 - 0.09 = 0.01 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ સાથે મળતો વર્નિયર વિભાગ $n = 7$.
અવલોકન $R_1 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 7 \times 0.01 = 2.87 \ cm$.
$C_2$: $1$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ $= 1.1/10 = 0.11 \ cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ $= 1 \text{ VSD} - 1 \text{ MSD} = 0.11 - 0.1 = 0.01 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
વર્નિયર સ્કેલ વિભાગનું કદ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ કરતા મોટું હોવાથી,મળતો વિભાગ પાછળથી ગણવામાં આવે છે. આકૃતિમાં,$7$મો વર્નિયર વિભાગ મળે છે,તેથી આપણે $n = 10 - 7 = 3$ લઈશું.
અવલોકન $R_2 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 3 \times 0.01 = 2.83 \ cm$.
$1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ $= 0.9/10 = 0.09 \ cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ $= 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.1 - 0.09 = 0.01 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ સાથે મળતો વર્નિયર વિભાગ $n = 7$.
અવલોકન $R_1 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 7 \times 0.01 = 2.87 \ cm$.
$C_2$: $1$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ $= 1.1/10 = 0.11 \ cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ $= 1 \text{ VSD} - 1 \text{ MSD} = 0.11 - 0.1 = 0.01 \ cm$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
વર્નિયર સ્કેલ વિભાગનું કદ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ કરતા મોટું હોવાથી,મળતો વિભાગ પાછળથી ગણવામાં આવે છે. આકૃતિમાં,$7$મો વર્નિયર વિભાગ મળે છે,તેથી આપણે $n = 10 - 7 = 3$ લઈશું.
અવલોકન $R_2 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 3 \times 0.01 = 2.83 \ cm$.
0 likesView Solution
12
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$m$ અને $4m$ દળ ધરાવતી બે પાતળી વર્તુળાકાર તકતીઓ,જેની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $2a$ છે,તેમને તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતા $l=\sqrt{24}a$ લંબાઈના દળરહિત સખત સળિયા વડે મજબૂત રીતે જોડવામાં આવી છે. આ રચનાને એક સપાટ સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે અને તેને સરક્યા વિના ગબડાવવામાં આવે છે જેથી સળિયાની ધરીની આસપાસ કોણીય ઝડપ $\omega$ થાય. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે સમગ્ર રચનાનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ છે (આકૃતિ જુઓ). નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ રચનાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $z$-ધરીની આસપાસ $\omega/5$ ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે
$(B)$ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે રચનાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન $81ma^2\omega$ છે
$(C)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે રચનાનું કોણીય વેગમાન $17ma^2\omega/2$ છે
$(D)$ $\vec{L}$ ના $z$-ઘટકનું મૂલ્ય $55ma^2\omega$ છે
$(A)$ રચનાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $z$-ધરીની આસપાસ $\omega/5$ ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે
$(B)$ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે રચનાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન $81ma^2\omega$ છે
$(C)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે રચનાનું કોણીય વેગમાન $17ma^2\omega/2$ છે
$(D)$ $\vec{L}$ ના $z$-ઘટકનું મૂલ્ય $55ma^2\omega$ છે
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$D, C$
Solution
(A) ધારો કે તકતીઓનું સ્થાન $x_1 = 0$ અને $x_2 = l = \sqrt{24}a$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm} = (m(0) + 4m(l)) / 5m = 4l/5 = 4\sqrt{24}a/5$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની શરત: $v_1 = \omega a$ અને $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ છે.
$z$-ધરીની આસપાસ રચનાની કોણીય ઝડપ $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ છે.
ભૂમિતિનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે જ્યાં $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$.
$O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા આ ચોક્કસ ગોઠવણી માટે પ્રમાણભૂત રોટેશનલ ડાયનેમિક્સ વિશ્લેષણના આધારે વિકલ્પો $A$ અને $C$ સાચા મળે છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની શરત: $v_1 = \omega a$ અને $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ છે.
$z$-ધરીની આસપાસ રચનાની કોણીય ઝડપ $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ છે.
ભૂમિતિનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે જ્યાં $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$.
$O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા આ ચોક્કસ ગોઠવણી માટે પ્રમાણભૂત રોટેશનલ ડાયનેમિક્સ વિશ્લેષણના આધારે વિકલ્પો $A$ અને $C$ સાચા મળે છે.
0 likesView Solution
13
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નક્કી કરવાના પ્રયોગમાં,આવર્ત ગતિના આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર $T=2 \pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5 g}}$ છે. $R$ અને $r$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $(60 \pm 1) \text{ mm}$ અને $(10 \pm 1) \text{ mm}$ માપવામાં આવ્યા છે. પાંચ ક્રમિક માપનમાં,આવર્તકાળ $0.52 \text{ s}, 0.56 \text{ s}, 0.57 \text{ s}, 0.54 \text{ s}$ અને $0.59 \text{ s}$ મળે છે. આવર્તકાળ માપવા માટે વપરાયેલી ઘડિયાળનું લઘુત્તમ માપન $0.01 \text{ s}$ છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $r$ ના માપનમાં ત્રુટિ $10 \%$ છે
$(B)$ $T$ ના માપનમાં ત્રુટિ $3.57 \%$ છે
$(C)$ $T$ ના માપનમાં ત્રુટિ $2 \%$ છે
$(D)$ $g$ ના નિર્ધારિત મૂલ્યમાં ત્રુટિ $11 \%$ છે
$(A)$ $r$ ના માપનમાં ત્રુટિ $10 \%$ છે
$(B)$ $T$ ના માપનમાં ત્રુટિ $3.57 \%$ છે
$(C)$ $T$ ના માપનમાં ત્રુટિ $2 \%$ છે
$(D)$ $g$ ના નિર્ધારિત મૂલ્યમાં ત્રુટિ $11 \%$ છે
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(B) આવર્તકાળના અવલોકિત મૂલ્યો $T_1=0.52 \text{ s}, T_2=0.56 \text{ s}, T_3=0.57 \text{ s}, T_4=0.54 \text{ s}, T_5=0.59 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળનું સરેરાશ મૂલ્ય $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળમાં સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ છે.
$T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$r$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ પરથી,આપણને $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ છે.
$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(D)$ સાચા છે.
આવર્તકાળનું સરેરાશ મૂલ્ય $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ છે.
આવર્તકાળમાં સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ છે.
$T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$r$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ પરથી,આપણને $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ છે.
$g$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
14
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$M$ દળનો એક બ્લોક $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ વડે દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે અને ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરે છે. બ્લોક સંતુલન સ્થાન $x_0$ ની આસપાસ $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલનો કરે છે. બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લો: $(i)$ જ્યારે બ્લોક $x_0$ પર હોય; અને $(ii)$ જ્યારે બ્લોક $x = x_0 + A$ પર હોય. બંને કિસ્સામાં, $m$ દળનો એક કણ $M$ દળ પર મૂકવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
A
$A, B$
B
$B, D$
C
$A, B, D$
D
$A, B, C$
Solution
(C) કિસ્સો $(i)$: બ્લોક $x_0$ પર છે, જ્યાં તેનો વેગ મહત્તમ છે $(v_{max} = \omega A = \sqrt{k/M} A)$. જ્યારે $m$ દળ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $M v_{max} = (M + m) v'_{max}$. તેથી, $v'_{max} = \frac{M}{M+m} \sqrt{\frac{k}{M}} A$. નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{k/(M+m)}$ છે. $v'_{max} = \omega' A'$ હોવાથી, $A' = \frac{v'_{max}}{\omega'} = \sqrt{\frac{M}{M+m}} A$. કંપવિસ્તાર $\sqrt{\frac{M}{M+m}}$ ના ગુણાંકમાં બદલાય છે.
કિસ્સો $(ii)$: બ્લોક $x = x_0 + A$ પર છે, જ્યાં તેનો વેગ $0$ છે. $m$ દળ મૂકવાથી વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(0)$. નવું સંતુલન સ્થાન $x_0$ જ રહે છે, અને બ્લોક સમાન કંપવિસ્તાર $A$ થી નવી આવૃત્તિ $\omega'$ સાથે દોલન શરૂ કરે છે. આમ, કંપવિસ્તાર બદલાતો નથી.
સમયગાળો: બંને કિસ્સામાં, નવો સમયગાળો $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ છે, જે સમાન છે.
ઉર્જા: કિસ્સા $(i)$ માં, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણને કારણે ગતિ ઉર્જા ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, સ્થિતિ ઉર્જા સમાન રહે છે, અને કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ઝડપ: કિસ્સા $(i)$ માં, $x_0$ પર ઝડપ ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, $x_0$ પરની ઝડપ $(v'_{max})$ મૂળ $v_{max}$ કરતા ઓછી છે કારણ કે નવો કંપવિસ્તાર સમાન છે પણ આવૃત્તિ ઓછી છે. આમ, $A, B, D$ સાચા છે.
કિસ્સો $(ii)$: બ્લોક $x = x_0 + A$ પર છે, જ્યાં તેનો વેગ $0$ છે. $m$ દળ મૂકવાથી વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(0)$. નવું સંતુલન સ્થાન $x_0$ જ રહે છે, અને બ્લોક સમાન કંપવિસ્તાર $A$ થી નવી આવૃત્તિ $\omega'$ સાથે દોલન શરૂ કરે છે. આમ, કંપવિસ્તાર બદલાતો નથી.
સમયગાળો: બંને કિસ્સામાં, નવો સમયગાળો $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ છે, જે સમાન છે.
ઉર્જા: કિસ્સા $(i)$ માં, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણને કારણે ગતિ ઉર્જા ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, સ્થિતિ ઉર્જા સમાન રહે છે, અને કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ઝડપ: કિસ્સા $(i)$ માં, $x_0$ પર ઝડપ ઘટે છે. કિસ્સા $(ii)$ માં, $x_0$ પરની ઝડપ $(v'_{max})$ મૂળ $v_{max}$ કરતા ઓછી છે કારણ કે નવો કંપવિસ્તાર સમાન છે પણ આવૃત્તિ ઓછી છે. આમ, $A, B, D$ સાચા છે.
0 likesView Solution
15
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
એક સંદર્ભ ફ્રેમ જે જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં પ્રવેગિત હોય તેને અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ કહેવામાં આવે છે. અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે નિશ્ચિત ધરી પર ફરતી ગોળાકાર ડિસ્ક પર નિશ્ચિત કરેલી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એ અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમનું ઉદાહરણ છે. ફરતી ડિસ્ક પર ગતિ કરતા $m$ દળના કણ દ્વારા અનુભવાતા બળ $\vec{F}_{\text{rot}}$ અને જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં કણ દ્વારા અનુભવાતા બળ $\vec{F}_{\text{in}}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{F}_{\text{rot}} = \vec{F}_{\text{in}} + 2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) + m(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{\omega}$ છે,જ્યાં $\vec{v}_{\text{rot}}$ એ ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં કણનો વેગ છે અને $\vec{r}$ એ ડિસ્કના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં કણનો સ્થાન સદિશ છે. હવે $R$ ત્રિજ્યાની ડિસ્કના વ્યાસ પર એક લીસી સ્લોટ ધ્યાનમાં લો જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઉભી ધરીની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. આપણે ડિસ્કના કેન્દ્ર પર ઉગમબિંદુ,સ્લોટની સાથે $x$-અક્ષ,સ્લોટને લંબ $y$-અક્ષ અને પરિભ્રમણ ધરીની સાથે $z$-અક્ષ $(\vec{\omega} = \omega \hat{k})$ ધરાવતી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ નક્કી કરીએ છીએ. $m$ દળનો એક નાનો બ્લોક $t=0$ સમયે $\vec{r} = (R/2) \hat{i}$ પર સ્લોટમાં હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે અને તે ફક્ત સ્લોટની સાથે જ ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત છે.
$(1)$ $t$ સમયે બ્લોકનું અંતર $r$ કેટલું હશે?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ બ્લોક પર ડિસ્કની ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(1)$ $t$ સમયે બ્લોકનું અંતર $r$ કેટલું હશે?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ બ્લોક પર ડિસ્કની ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
Solution
(A,A) ભાગ $(1)$: ફરતી ફ્રેમમાં,સ્લોટ ($x$-અક્ષ) ની સાથે ગતિનું સમીકરણ $m \ddot{r} = m \omega^2 r$ છે. આ દ્વિતીય ક્રમનું વિકલન સમીકરણ $\ddot{r} - \omega^2 r = 0$ છે. સામાન્ય ઉકેલ $r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}$ છે. $t=0$ સમયે,$r(0) = R/2$ અને $\dot{r}(0) = 0$. અચળાંકો માટે ઉકેલતા,$A+B = R/2$ અને $A-B = 0$,તેથી $A=B=R/4$. આમ,$r(t) = \frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
ભાગ $(2)$: ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા $\vec{N}$ માં સ્લોટની દિવાલોમાંથી મળતું લંબબળ (કોરિઓલિસ બળ) અને ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરતું ઉભું લંબબળ સામેલ છે. કોરિઓલિસ બળ $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ છે. કારણ કે $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$. ગુરુત્વાકર્ષણને ઉમેરતા,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
ભાગ $(2)$: ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા $\vec{N}$ માં સ્લોટની દિવાલોમાંથી મળતું લંબબળ (કોરિઓલિસ બળ) અને ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરતું ઉભું લંબબળ સામેલ છે. કોરિઓલિસ બળ $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ છે. કારણ કે $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$. ગુરુત્વાકર્ષણને ઉમેરતા,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
0 likesView Solution
16
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
પ્લાન્કનો અચળાંક નક્કી કરવાના ઐતિહાસિક પ્રયોગમાં, ધાતુની સપાટી પર અલગ-અલગ તરંગલંબાઇનો પ્રકાશ આપાત કરવામાં આવ્યો. ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ લગાવીને માપવામાં આવી. આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અને તેને અનુરૂપ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ માટેનો ડેટા નીચે મુજબ છે:
જો $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ હોય, તો આવા પ્રયોગ પરથી મળતો પ્લાન્કનો અચળાંક ($J \ s$ એકમમાં) કેટલો હશે?
| $\lambda (\mu m)$ | $V_0$ (Volt) |
| $0.3$ | $2.0$ |
| $0.4$ | $1.0$ |
| $0.5$ | $0.4$ |
જો $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ હોય, તો આવા પ્રયોગ પરથી મળતો પ્લાન્કનો અચળાંક ($J \ s$ એકમમાં) કેટલો હશે?
A
$6.0 \times 10^{-34}$
B
$6.4 \times 10^{-34}$
C
$6.6 \times 10^{-34}$
D
$6.8 \times 10^{-34}$
Solution
(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = eV_0$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ અને $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ માટેના ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ અને $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ માટેના ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
હવામાંથી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ $n=\sqrt{2}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણીય પ્રિઝમની $PQ$ બાજુ પર $\alpha$ ખૂણે આપાત થાય છે. જ્યારે $\alpha$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $45^{\circ}$ હોય ત્યારે પ્રકાશ પ્રિઝમની $PR$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. પ્રિઝમનો ખૂણો $\theta$ કેટલો હશે ($^{\circ}$ માં)?
A
$15$
B
$22.5$
C
$30$
D
$45$
Solution
(A) $PQ$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $n = \sqrt{2}$,તેથી:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
પ્રકાશના માર્ગ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$PR$ સપાટી પર આપાતકોણ $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ છે.
$PR$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $\gamma$ એ ન્યૂનતમ $\alpha$ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^{\circ}$.
આમ,$\gamma = 45^{\circ}$.
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ માં કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $n = \sqrt{2}$,તેથી:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
પ્રકાશના માર્ગ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$PR$ સપાટી પર આપાતકોણ $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ છે.
$PR$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $\gamma$ એ ન્યૂનતમ $\alpha$ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^{\circ}$.
આમ,$\gamma = 45^{\circ}$.
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ માં કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
18
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
એક સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતો અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતવાહક અનંત નળાકાર કવચની અક્ષ પર રહેલો છે. $t=0$ સમયે,નળાકારની અંદરની જગ્યાને $\varepsilon$ પરમિટિવિટી અને $\sigma$ વિદ્યુત વાહકતા ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે છે. પદાર્થમાં વિદ્યુત વહન ઓહ્મના નિયમનું પાલન કરે છે. નીચેનામાંથી કયો આલેખ પદાર્થમાં કોઈપણ બિંદુએ પ્રવાહ ઘનતા $j(t)$ ના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારને શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે?
A
B
C
D
Solution
(C) ધારો કે $t=0$ સમયે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_0$ છે અને કોઈપણ સમયે $t$ પર $\lambda(t)$ છે.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $j = \sigma E = \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફારનો દર એ $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈની નળાકાર સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો હોય છે:
$\frac{dq}{dt} = -j(2 \pi r l) = -\left( \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r} \right) (2 \pi r l) = -\frac{\sigma \lambda l}{\varepsilon}$.
કારણ કે $q = \lambda l$,તેથી $\frac{d\lambda}{dt} = -\frac{\sigma \lambda}{\varepsilon}$ મળે છે.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $\lambda(t) = \lambda_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ મળે છે.
આ કિંમતને પ્રવાહ ઘનતાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $j(t) = \frac{\sigma \lambda_0}{2 \pi \varepsilon r} e^{-\sigma t / \varepsilon} = j_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ મળે છે.
આ એક ઘાતાંકીય રીતે ઘટતું વિધેય છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $j = \sigma E = \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફારનો દર એ $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈની નળાકાર સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો હોય છે:
$\frac{dq}{dt} = -j(2 \pi r l) = -\left( \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r} \right) (2 \pi r l) = -\frac{\sigma \lambda l}{\varepsilon}$.
કારણ કે $q = \lambda l$,તેથી $\frac{d\lambda}{dt} = -\frac{\sigma \lambda}{\varepsilon}$ મળે છે.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $\lambda(t) = \lambda_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ મળે છે.
આ કિંમતને પ્રવાહ ઘનતાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $j(t) = \frac{\sigma \lambda_0}{2 \pi \varepsilon r} e^{-\sigma t / \varepsilon} = j_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ મળે છે.
આ એક ઘાતાંકીય રીતે ઘટતું વિધેય છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$Ze$ ન્યુક્લિયર ચાર્જ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે અત્યંત ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ (જેને રિડબર્ગ અવસ્થાઓ પણ કહેવાય છે) તેમના મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $n \gg 1$ છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $Z$ પર આધાર રાખતો નથી
$(B)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n$ મુજબ બદલાય છે
$(C)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ઉર્જામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n^3$ મુજબ બદલાય છે
$(D)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓના કોણીય વેગમાનમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n$ મુજબ બદલાય છે
$(A)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $Z$ પર આધાર રાખતો નથી
$(B)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n$ મુજબ બદલાય છે
$(C)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓની ઉર્જામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n^3$ મુજબ બદલાય છે
$(D)$ બે ક્રમિક કક્ષાઓના કોણીય વેગમાનમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $1/n$ મુજબ બદલાય છે
A
$A, B, D$
B
$B, C, D$
C
$A, B, C$
D
$A, C, D$
Solution
(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે.
બે ક્રમિક કક્ષાઓ માટે ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} \approx \frac{dr}{r} = \frac{2n \, dn}{n^2} = \frac{2 \Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta r}{r} \propto \frac{1}{n}$. આ $Z$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -E_0 \frac{Z^2}{n^2}$ છે.
ઉર્જામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{dE}{E} = \frac{2n^{-3} \, dn}{n^{-2}} = \frac{2 \Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta E}{E} \propto \frac{1}{n}$. આમ,$(C)$ ખોટું છે.
કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta L}{L} \propto \frac{1}{n}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$,$(B)$ અને $(D)$ છે.
બે ક્રમિક કક્ષાઓ માટે ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} \approx \frac{dr}{r} = \frac{2n \, dn}{n^2} = \frac{2 \Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta r}{r} \propto \frac{1}{n}$. આ $Z$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -E_0 \frac{Z^2}{n^2}$ છે.
ઉર્જામાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{dE}{E} = \frac{2n^{-3} \, dn}{n^{-2}} = \frac{2 \Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta E}{E} \propto \frac{1}{n}$. આમ,$(C)$ ખોટું છે.
કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta n}{n}$ છે. કારણ કે $\Delta n = 1$,તેથી $\frac{\Delta L}{L} \propto \frac{1}{n}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$,$(B)$ અને $(D)$ છે.
0 likesView Solution
20
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
એક ઇન્કેન્ડેસન્ટ બલ્બમાં ટંગસ્ટનનો પાતળો ફિલામેન્ટ હોય છે જે વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર કરીને ઉચ્ચ તાપમાન સુધી ગરમ થાય છે. ગરમ ફિલામેન્ટ બ્લેક-બોડી રેડિયેશન ઉત્સર્જિત કરે છે. ફિલામેન્ટમાંથી ટંગસ્ટનના અસમાન બાષ્પીભવનને કારણે લાંબા સમય સુધી કાર્ય કર્યા પછી ફિલામેન્ટ રેન્ડમ સ્થાનો પર તૂટી જાય છે. જો બલ્બને અચળ વોલ્ટેજ પર પાવર આપવામાં આવે, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ફિલામેન્ટ પર તાપમાનનું વિતરણ સમાન છે
$(B)$ ફિલામેન્ટના નાના વિભાગો પર અવરોધ સમય સાથે ઘટે છે
$(C)$ ફિલામેન્ટ તૂટી જાય તે પહેલાં ઉચ્ચ આવર્તનના બેન્ડ પર વધુ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે
$(D)$ બલ્બના આયુષ્યના અંત તરફ ફિલામેન્ટ ઓછો વિદ્યુત પાવર વાપરે છે
$(A)$ ફિલામેન્ટ પર તાપમાનનું વિતરણ સમાન છે
$(B)$ ફિલામેન્ટના નાના વિભાગો પર અવરોધ સમય સાથે ઘટે છે
$(C)$ ફિલામેન્ટ તૂટી જાય તે પહેલાં ઉચ્ચ આવર્તનના બેન્ડ પર વધુ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે
$(D)$ બલ્બના આયુષ્યના અંત તરફ ફિલામેન્ટ ઓછો વિદ્યુત પાવર વાપરે છે
A
$A, D$
B
$A, C$
C
$C, D$
D
$B, D$
Solution
(C) $1$. જેમ ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટ અસમાન રીતે બાષ્પીભવન પામે છે, તેમ તેનો આડછેદનો વિસ્તાર વિવિધ બિંદુઓ પર ઘટે છે, જેનાથી અવરોધ $(R = \rho L / A)$ માં વધારો થાય છે.
$2$. બલ્બ અચળ વોલ્ટેજ $(V)$ પર કાર્યરત હોવાથી, વપરાતો પાવર $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $R$ વધે છે, તેમ વપરાતો પાવર $P$ ઘટે છે. તેથી, વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$3$. અસમાન બાષ્પીભવનને કારણે, ફિલામેન્ટ અમુક બિંદુઓ પર પાતળો થઈ જાય છે, જેનાથી તાપમાનનું વિતરણ અસમાન બને છે. તેથી, વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$4$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ તેનો અવરોધ વધે છે, ઘટતો નથી. તેથી, વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$5$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ સૌથી પાતળા બિંદુઓ પર તાપમાન વધે છે, જે બ્લેક-બોડી રેડિયેશન સ્પેક્ટ્રમના શિખરને ઉચ્ચ આવર્તન તરફ ખસેડે છે (વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ, $\lambda_{max} T = \text{constant}$). તેથી, તે તૂટતા પહેલા ઉચ્ચ આવર્તન બેન્ડમાં વધુ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેથી, વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$6$. આમ, વિધાન $(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
$2$. બલ્બ અચળ વોલ્ટેજ $(V)$ પર કાર્યરત હોવાથી, વપરાતો પાવર $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $R$ વધે છે, તેમ વપરાતો પાવર $P$ ઘટે છે. તેથી, વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$3$. અસમાન બાષ્પીભવનને કારણે, ફિલામેન્ટ અમુક બિંદુઓ પર પાતળો થઈ જાય છે, જેનાથી તાપમાનનું વિતરણ અસમાન બને છે. તેથી, વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$4$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ તેનો અવરોધ વધે છે, ઘટતો નથી. તેથી, વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$5$. જેમ ફિલામેન્ટ પાતળો થાય છે, તેમ સૌથી પાતળા બિંદુઓ પર તાપમાન વધે છે, જે બ્લેક-બોડી રેડિયેશન સ્પેક્ટ્રમના શિખરને ઉચ્ચ આવર્તન તરફ ખસેડે છે (વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ, $\lambda_{max} T = \text{constant}$). તેથી, તે તૂટતા પહેલા ઉચ્ચ આવર્તન બેન્ડમાં વધુ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેથી, વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$6$. આમ, વિધાન $(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
એક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા દ્રવ્યનો બનેલો છે. જ્યારે એક નાની વસ્તુને લેન્સની વક્ર સપાટીની સામે $30 \ cm$ દૂર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુના કદ કરતા બમણા કદનું પ્રતિબિંબ મળે છે. લેન્સની વક્ર સપાટી પરથી પરાવર્તનને કારણે,લેન્સથી $10 \ cm$ દૂર બીજું એક ઝાંખું પ્રતિબિંબ જોવા મળે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ લેન્સનો વક્રીભવનાંક $2.5$ છે
$(B)$ બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $45 \ cm$ છે
$(C)$ ઝાંખું પ્રતિબિંબ ચત્તું અને વાસ્તવિક છે
$(D)$ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ છે
$(A)$ લેન્સનો વક્રીભવનાંક $2.5$ છે
$(B)$ બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $45 \ cm$ છે
$(C)$ ઝાંખું પ્રતિબિંબ ચત્તું અને વાસ્તવિક છે
$(D)$ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ છે
A
$A, B$
B
$A, D$
C
$A, C$
D
$B, D$
Solution
(B) વક્રીભવનના કિસ્સામાં,મોટવણી $m = -v/u = 2$. વસ્તુ વાસ્તવિક હોવાથી,$u = -30 \ cm$,તેથી $v = -2u = 60 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $1/v - 1/u = 1/f_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1/60 - 1/(-30) = 1/f_1$,જે $f_1 = 20 \ cm$ આપે છે.
પરાવર્તનના કિસ્સામાં,વક્ર સપાટી અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $10 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાના સૂત્ર $1/v + 1/u = 1/f_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30 \ cm$ અને $v = -10 \ cm$,આપણને $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ મળે છે,તેથી $f_2 = -7.5 \ cm$. $f_2 = -R/2$ હોવાથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 15 \ cm$ મળે છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્ર $1/f_1 = (n-1)/R$ નો ઉપયોગ કરતા,$f_1 = 20 \ cm$ અને $R = 15 \ cm$ મૂકતા,$1/20 = (n-1)/15$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n-1 = 0.75$,તેથી $n = 1.75$.
આમ,સાચું વિધાન $D$ છે.
પરાવર્તનના કિસ્સામાં,વક્ર સપાટી અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $10 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાના સૂત્ર $1/v + 1/u = 1/f_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30 \ cm$ અને $v = -10 \ cm$,આપણને $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ મળે છે,તેથી $f_2 = -7.5 \ cm$. $f_2 = -R/2$ હોવાથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 15 \ cm$ મળે છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્ર $1/f_1 = (n-1)/R$ નો ઉપયોગ કરતા,$f_1 = 20 \ cm$ અને $R = 15 \ cm$ મૂકતા,$1/20 = (n-1)/15$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n-1 = 0.75$,તેથી $n = 1.75$.
આમ,સાચું વિધાન $D$ છે.
0 likesView Solution
22
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
$10 \ cm$ ઊંચાઈ ધરાવતા કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના આકારનું એક વાહક લૂપ એવી રીતે રાખવામાં આવ્યું છે કે તેનો $90^{\circ}$ વાળો શિરોબિંદુ એક અનંત લંબાઈના વાહક તારની ખૂબ નજીક છે (આકૃતિ જુઓ). તાર લૂપથી વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ અલગ કરેલ છે. ત્રિકોણનો કર્ણ તારને સમાંતર છે. ત્રિકોણાકાર લૂપમાં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં છે અને $10 \ As^{-1}$ ના અચળ દરે વધે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ તારમાં પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ છે
$(B)$ જો લૂપને તારની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપે ફેરવવામાં આવે,તો તારમાં $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ નું વધારાનું emf પ્રેરિત થાય છે
$(C)$ તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ કર્ણ પરના પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં છે
$(D)$ તાર અને લૂપ વચ્ચે અપાકર્ષી બળ લાગે છે
$(A)$ તારમાં પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ છે
$(B)$ જો લૂપને તારની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપે ફેરવવામાં આવે,તો તારમાં $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ નું વધારાનું emf પ્રેરિત થાય છે
$(C)$ તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ કર્ણ પરના પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં છે
$(D)$ તાર અને લૂપ વચ્ચે અપાકર્ષી બળ લાગે છે
Solution
(A) ધારો કે અનંત લંબાઈના તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે. તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ છે.
તારથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $2x$ છે (કારણ કે ત્રિકોણ $10 \ cm = 0.1 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે).
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi x}\right) (2x \ dx) = \frac{\mu_0 I}{\pi} dx$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \int_0^{0.1} \frac{\mu_0 I}{\pi} dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [x]_0^{0.1} = \frac{0.1 \mu_0 I}{\pi} = \frac{\mu_0 I}{10 \pi}$ છે.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0}{10 \pi}$ છે.
તારમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = M \frac{dI}{dt} = \left(\frac{\mu_0}{10 \pi}\right) \times 10 = \frac{\mu_0}{\pi} \ V$ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. લૂપમાં પ્રવાહ વધતો હોવાથી,ફ્લક્સ વધે છે. તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે લૂપના ક્ષેત્રનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે,જેના પરિણામે અપાકર્ષી બળ લાગે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તારથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $2x$ છે (કારણ કે ત્રિકોણ $10 \ cm = 0.1 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે).
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi x}\right) (2x \ dx) = \frac{\mu_0 I}{\pi} dx$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \int_0^{0.1} \frac{\mu_0 I}{\pi} dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [x]_0^{0.1} = \frac{0.1 \mu_0 I}{\pi} = \frac{\mu_0 I}{10 \pi}$ છે.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0}{10 \pi}$ છે.
તારમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = M \frac{dI}{dt} = \left(\frac{\mu_0}{10 \pi}\right) \times 10 = \frac{\mu_0}{\pi} \ V$ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. લૂપમાં પ્રવાહ વધતો હોવાથી,ફ્લક્સ વધે છે. તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે લૂપના ક્ષેત્રનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે,જેના પરિણામે અપાકર્ષી બળ લાગે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$d$ જાડાઈ ધરાવતા એક પારદર્શક સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $n(z)$ છે જે $z$ સાથે વધે છે. અહીં $z$ એ સ્લેબની અંદરનું ઊભું અંતર છે,જે ઉપરથી માપવામાં આવે છે. આ સ્લેબને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાન વક્રીભવનાંક $n_1$ અને $n_2 (> n_1)$ ધરાવતા બે માધ્યમોની વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યો છે. પ્રકાશનું એક કિરણ માધ્યમ $1$ માંથી $\theta_i$ ખૂણે આપાત થાય છે અને માધ્યમ $2$ માં $\theta_f$ વક્રીભવન કોણ સાથે $l$ જેટલા પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર (lateral displacement) સાથે બહાર આવે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$
$(B)$ $n_1 \sin \theta_i = (n_2 - n_1) \sin \theta_f$
$(C)$ $l$ એ $n_2$ થી સ્વતંત્ર છે
$(D)$ $l$ એ $n(z)$ પર આધારિત છે
$(A)$ $n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$
$(B)$ $n_1 \sin \theta_i = (n_2 - n_1) \sin \theta_f$
$(C)$ $l$ એ $n_2$ થી સ્વતંત્ર છે
$(D)$ $l$ એ $n(z)$ પર આધારિત છે
A
$A, B, D$
B
$A, C, D$
C
$A, C$
D
$A, B, C$
Solution
(B) સતત બદલાતા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,પ્રકાશના કિરણના માર્ગ દરમિયાન $n(z) \sin \theta(z)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
માધ્યમ $1$ અને સ્લેબ વચ્ચેની સપાટી પર,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
સ્લેબ અને માધ્યમ $2$ વચ્ચેની સપાટી પર,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
સ્લેબમાં $n(z) \sin \theta(z)$ અચળ હોવાથી,$n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
તેથી,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $l$ એ સ્લેબમાંથી પસાર થતા કિરણનું આડું સ્થાનાંતર છે. આ સ્થાનાંતર જાડાઈ $d$ પર $\tan \theta(z)$ ના સંકલન દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$. આ સંકલન માત્ર $n_1, \theta_i, d$ અને વિધેય $n(z)$ પર આધારિત હોવાથી,સ્થાનાંતર $l$ એ $n_2$ થી સ્વતંત્ર છે અને $n(z)$ પર આધારિત છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
માધ્યમ $1$ અને સ્લેબ વચ્ચેની સપાટી પર,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
સ્લેબ અને માધ્યમ $2$ વચ્ચેની સપાટી પર,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
સ્લેબમાં $n(z) \sin \theta(z)$ અચળ હોવાથી,$n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
તેથી,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $l$ એ સ્લેબમાંથી પસાર થતા કિરણનું આડું સ્થાનાંતર છે. આ સ્થાનાંતર જાડાઈ $d$ પર $\tan \theta(z)$ ના સંકલન દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$. આ સંકલન માત્ર $n_1, \theta_i, d$ અને વિધેય $n(z)$ પર આધારિત હોવાથી,સ્થાનાંતર $l$ એ $n_2$ થી સ્વતંત્ર છે અને $n(z)$ પર આધારિત છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.
1 likesView Solution
24
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
આઈસોટોપ ${}_{5}^{12}B$ જેનું દળ $12.014 \text{ u}$ છે, તે ${}_{6}^{12}C$ માં $\beta$-ક્ષય પામે છે. ${}_{6}^{12}C$ ન્યુક્લિયસ તેના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટથી $4.041 \text{ MeV}$ ઉપર ઉત્તેજિત અવસ્થા $({}_{6}^{12}C^*)$ ધરાવે છે. જો ${}_{5}^{12}B$ એ ${}_{6}^{12}C^*$ માં ક્ષય પામે, તો $\beta$-કણની મહત્તમ ગતિઊર્જા $\text{MeV}$ એકમમાં કેટલી હશે? ($1 \text{ u} = 931.5 \text{ MeV}/c^2$, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે).
A
$5$
B
$9$
C
$3$
D
$1$
Solution
(B) $\beta$-ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${}_{5}^{12}B \to {}_{6}^{12}C^* + e^- + \bar{\nu}_e$.
${}_{6}^{12}C$ ના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ક્ષય માટેનું $Q$-મૂલ્ય દળ તફાવતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $Q = [M({}_{5}^{12}B) - M({}_{6}^{12}C)] \times 931.5 \text{ MeV/u}$.
ધારો કે ${}_{6}^{12}C$ નું દળ આશરે $12.000 \text{ u}$ છે, તો કુલ ઉપલબ્ધ ઊર્જા $Q = (12.014 - 12.000) \times 931.5 \text{ MeV} = 0.014 \times 931.5 \text{ MeV} \approx 13.041 \text{ MeV}$ છે.
ક્ષય એ ઉત્તેજિત અવસ્થા ${}_{6}^{12}C^*$ માં થાય છે, જે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટથી $4.041 \text{ MeV}$ ઉપર છે, તેથી $\beta$-કણ અને એન્ટિન્યુટ્રિનો માટે ઉપલબ્ધ ઊર્જા $Q' = Q - 4.041 \text{ MeV} = 13.041 - 4.041 = 9 \text{ MeV}$ છે.
$\beta$-કણની મહત્તમ ગતિઊર્જા ત્યારે મળે છે જ્યારે એન્ટિન્યુટ્રિનોની ઊર્જા શૂન્ય હોય, જે $Q'$ જેટલી હોય છે.
તેથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા $9 \text{ MeV}$ છે.
${}_{6}^{12}C$ ના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ક્ષય માટેનું $Q$-મૂલ્ય દળ તફાવતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $Q = [M({}_{5}^{12}B) - M({}_{6}^{12}C)] \times 931.5 \text{ MeV/u}$.
ધારો કે ${}_{6}^{12}C$ નું દળ આશરે $12.000 \text{ u}$ છે, તો કુલ ઉપલબ્ધ ઊર્જા $Q = (12.014 - 12.000) \times 931.5 \text{ MeV} = 0.014 \times 931.5 \text{ MeV} \approx 13.041 \text{ MeV}$ છે.
ક્ષય એ ઉત્તેજિત અવસ્થા ${}_{6}^{12}C^*$ માં થાય છે, જે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટથી $4.041 \text{ MeV}$ ઉપર છે, તેથી $\beta$-કણ અને એન્ટિન્યુટ્રિનો માટે ઉપલબ્ધ ઊર્જા $Q' = Q - 4.041 \text{ MeV} = 13.041 - 4.041 = 9 \text{ MeV}$ છે.
$\beta$-કણની મહત્તમ ગતિઊર્જા ત્યારે મળે છે જ્યારે એન્ટિન્યુટ્રિનોની ઊર્જા શૂન્ય હોય, જે $Q'$ જેટલી હોય છે.
તેથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા $9 \text{ MeV}$ છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
હાઇડ્રોજન પરમાણુ તેની ધરા-સ્થિતિમાં છે અને તેને $970 \mathring A$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા પ્રકાશ વડે ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે. જો $hc/e = 1.237 \times 10^{-6} \text{ eV m}$ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિની ઉર્જા $-13.6 \text{ eV}$ હોય,તો ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં મળતી રેખાઓની સંખ્યા કેટલી હશે?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) $H$-પરમાણુની ધરા-સ્થિતિમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન વિકિરણનું શોષણ કરીને $n$-મી કક્ષામાં જાય છે.
વિકિરણની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
તેથી,$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$.
સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
ઉત્સર્જન વર્ણપટની રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ રેખાઓ.
વિકિરણની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
તેથી,$n$-મી કક્ષાની ઉર્જા,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$.
સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
ઉત્સર્જન વર્ણપટની રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ રેખાઓ.
0 likesView Solution
26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
બે ઇન્ડક્ટર $L_1$ (ઇન્ડક્ટન્સ $1 \text{ mH}$,આંતરિક અવરોધ $3 \text{ } \Omega$) અને $L_2$ (ઇન્ડક્ટન્સ $2 \text{ mH}$,આંતરિક અવરોધ $4 \text{ } \Omega$),અને એક અવરોધ $R$ (અવરોધ $12 \text{ } \Omega$) ને $5 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવ્યા છે. સર્કિટને $t=0$ સમયે ચાલુ કરવામાં આવે છે. બેટરીમાંથી ખેંચાતા મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પ્રવાહનો ગુણોત્તર $(I_{\max} / I_{\min})$ કેટલો હશે?
A
$6$
B
$8$
C
$7$
D
$5$
Solution
(B) $t=0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેઓ પ્રવાહના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી,પ્રવાહ ફક્ત $12 \text{ } \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
$I_{\min} = \frac{V}{R} = \frac{5}{12} \text{ A}$.
$t \rightarrow \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ આદર્શ વાહક તાર (શોર્ટ સર્કિટ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે. હવે સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે: $3 \text{ } \Omega$,$4 \text{ } \Omega$,અને $12 \text{ } \Omega$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4+3+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ } \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{\text{eff}} = 1.5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{V}{R_{\text{eff}}} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3} \text{ A}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{10/3}{5/12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 2 \times 4 = 8$ થાય છે.
$I_{\min} = \frac{V}{R} = \frac{5}{12} \text{ A}$.
$t \rightarrow \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ આદર્શ વાહક તાર (શોર્ટ સર્કિટ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે. હવે સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે: $3 \text{ } \Omega$,$4 \text{ } \Omega$,અને $12 \text{ } \Omega$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4+3+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ } \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{\text{eff}} = 1.5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{V}{R_{\text{eff}}} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3} \text{ A}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{10/3}{5/12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 2 \times 4 = 8$ થાય છે.
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2016
$P$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુના $1s$ ઇલેક્ટ્રોનને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા અતિ સૂક્ષ્મ જાડાઈ $dr$ ના ગોળાકાર કવચમાં શોધવાની સંભાવના છે. આ કવચનું કદ $4\pi r^2 dr$ છે. $P$ ની $r$ પરની નિર્ભરતાનો ગુણાત્મક આલેખ નીચેનામાંથી કયો છે?
A
B
C
D
Solution
(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $1s$ કક્ષક માટે, ત્રિજ્યાવર્તી તરંગ વિધેય $R(r) = 2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વિધેય $P(r)$ ને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈના ગોળાકાર કવચમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P(r) = 4\pi r^2 R^2(r) dr$.
$R(r)$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને મળે છે $P(r) = 4\pi r^2 [2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}]^2 dr = 16\pi (Z/a_0)^3 r^2 e^{-2Zr/a_0} dr$.
$r = 0$ પર, $r^2$ પદને કારણે $P(r) = 0$ થાય છે.
જેમ $r \to \infty$, ઘાતાંકીય ક્ષય પદ $e^{-2Zr/a_0}$ ને કારણે $P(r) \to 0$ થાય છે.
વિધેય $P(r)$ શૂન્યથી શરૂ થાય છે, $r = a_0/Z$ પર મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે, અને પછી શૂન્ય તરફ ઘટે છે.
આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વિધેય $P(r)$ ને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈના ગોળાકાર કવચમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P(r) = 4\pi r^2 R^2(r) dr$.
$R(r)$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને મળે છે $P(r) = 4\pi r^2 [2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}]^2 dr = 16\pi (Z/a_0)^3 r^2 e^{-2Zr/a_0} dr$.
$r = 0$ પર, $r^2$ પદને કારણે $P(r) = 0$ થાય છે.
જેમ $r \to \infty$, ઘાતાંકીય ક્ષય પદ $e^{-2Zr/a_0}$ ને કારણે $P(r) \to 0$ થાય છે.
વિધેય $P(r)$ શૂન્યથી શરૂ થાય છે, $r = a_0/Z$ પર મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે, અને પછી શૂન્ય તરફ ઘટે છે.
આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
28
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2016
સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ વિરુદ્ધ પ્રોટોનની સંખ્યા $(Z)$ નો આલેખ પરમાણુ ક્રમાંક $Z > 20$ માટે રેખીયતાથી ઉપરની તરફ વિચલન દર્શાવે છે. $1$ કરતા ઓછો $N/Z$ ગુણોત્તર ધરાવતા અસ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે,ક્ષયના શક્ય પ્રકાર(ઓ) કયા છે?
$(A)$ $\beta^{-}$-ક્ષય ($\beta$ ઉત્સર્જન)
$(B)$ ઓર્બિટલ અથવા $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર
$(C)$ ન્યુટ્રોન ઉત્સર્જન
$(D)$ $\beta^{+}$-ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન)
$(A)$ $\beta^{-}$-ક્ષય ($\beta$ ઉત્સર્જન)
$(B)$ ઓર્બિટલ અથવા $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર
$(C)$ ન્યુટ્રોન ઉત્સર્જન
$(D)$ $\beta^{+}$-ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન)
A
$B, C$
B
$B, A$
C
$B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) $Z > 20$ ધરાવતા સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે,$N/Z$ ગુણોત્તર $1$ કરતા વધારે હોય છે. $1$ કરતા ઓછો $N/Z$ ગુણોત્તર ધરાવતા અસ્થાયી ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનનું પ્રમાણ વધારે હોય છે.
$N/Z$ ગુણોત્તર વધારવા અને સ્થિરતાની રેખા તરફ જવા માટે,ન્યુક્લિયસે પ્રોટોનની સંખ્યા ઘટાડવી અથવા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા વધારવી પડે.
$1$. $\beta^{+}$-ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. અહીં,એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી $N/Z$ ગુણોત્તર વધે છે.
$2$. $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. અહીં,ન્યુક્લિયસ દ્વારા કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન પકડવામાં આવે છે,જે પ્રોટોનને ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે $N/Z$ ગુણોત્તર પણ વધારે છે.
બંને પ્રક્રિયાઓ અસરકારક રીતે $N/Z$ ગુણોત્તરને $1$ ની નજીક લાવે છે,જેથી ન્યુક્લિયસ સ્થિર થાય છે. આમ,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $D$ છે.
$N/Z$ ગુણોત્તર વધારવા અને સ્થિરતાની રેખા તરફ જવા માટે,ન્યુક્લિયસે પ્રોટોનની સંખ્યા ઘટાડવી અથવા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા વધારવી પડે.
$1$. $\beta^{+}$-ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. અહીં,એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી $N/Z$ ગુણોત્તર વધે છે.
$2$. $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. અહીં,ન્યુક્લિયસ દ્વારા કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન પકડવામાં આવે છે,જે પ્રોટોનને ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે $N/Z$ ગુણોત્તર પણ વધારે છે.
બંને પ્રક્રિયાઓ અસરકારક રીતે $N/Z$ ગુણોત્તરને $1$ ની નજીક લાવે છે,જેથી ન્યુક્લિયસ સ્થિર થાય છે. આમ,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $D$ છે.
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ન્યુક્લિયસમાં સમાન રીતે વિતરિત $Z$ પ્રોટોનની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $E = \frac{3}{5} \frac{Z(Z-1) e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ન્યુટ્રોન,${ }_1^1 H$,${ }_7^{15} N$ અને ${ }_8^{15} O$ ના માપેલા દળ અનુક્રમે $1.008665 \ u$,$1.007825 \ u$,$15.000109 \ u$ અને $15.003065 \ u$ છે. જો ${ }_7^{15} N$ અને ${ }_8^{15} O$ બંને ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા સમાન હોય,$1 \ u = 931.5 \ MeV/c^2$ અને $e^2 / (4 \pi \varepsilon_0) = 1.44 \ MeV \ fm$ હોય,તો બંને ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધો. (ધારો કે બંધન ઉર્જાનો તફાવત માત્ર સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જાને કારણે છે). ($fm$ માં)
A
$2.85$
B
$3.03$
C
$3.42$
D
$3.80$
Solution
(C) ${ }_8^{15} O$ $(Z=8)$ અને ${ }_7^{15} N$ $(Z=7)$ વચ્ચેની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_c = E_O - E_N = \frac{3}{5} \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} [8(7) - 7(6)] = \frac{3}{5} \frac{1.44}{R} [56 - 42] = \frac{3}{5} \times \frac{1.44 \times 14}{R} = \frac{12.096}{R} \ MeV$ છે.
ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ દ્વારા મળે છે.
${ }_7^{15} N$ માટે: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ માટે: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
બંધન ઉર્જામાં તફાવત $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ છે.
$\Delta E_c = \Delta B$ લેતા: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.
ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ દ્વારા મળે છે.
${ }_7^{15} N$ માટે: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ માટે: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
બંધન ઉર્જામાં તફાવત $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ છે.
$\Delta E_c = \Delta B$ લેતા: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.
0 likesView Solution
30
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2016
એક ન્યુક્લિયર પ્રયોગશાળામાં અકસ્માતને કારણે $18$ દિવસના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો અમુક જથ્થો પ્રયોગશાળામાં જમા થયો. પરીક્ષણોમાં જાણવા મળ્યું કે રેડિયેશનનું સ્તર પ્રયોગશાળાના સુરક્ષિત સંચાલન માટે જરૂરી સ્તર કરતા $64$ ગણું વધારે હતું. કેટલા દિવસો પછી પ્રયોગશાળાને ઉપયોગ માટે સુરક્ષિત ગણી શકાય?
A
$64$
B
$90$
C
$108$
D
$120$
Solution
(C) સમય $t$ પર કિરણોત્સર્ગી નમૂનાની પ્રવૃત્તિ (activity) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક પ્રવૃત્તિ એ સ્વીકાર્ય સ્તર કરતા $64$ ગણી છે $(R = 64 R_0)$,તેથી સુરક્ષિત મર્યાદા સુધી પહોંચવા માટે અંતિમ પ્રવૃત્તિ $R_0$ હોવી જોઈએ.
આમ,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$.
તેથી,$n = 6$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 18$ દિવસ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ દિવસ થાય.
આમ,$108$ દિવસ પછી પ્રયોગશાળા સુરક્ષિત રહેશે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક પ્રવૃત્તિ એ સ્વીકાર્ય સ્તર કરતા $64$ ગણી છે $(R = 64 R_0)$,તેથી સુરક્ષિત મર્યાદા સુધી પહોંચવા માટે અંતિમ પ્રવૃત્તિ $R_0$ હોવી જોઈએ.
આમ,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$.
તેથી,$n = 6$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 18$ દિવસ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ દિવસ થાય.
આમ,$108$ દિવસ પછી પ્રયોગશાળા સુરક્ષિત રહેશે.
0 likesView Solution
31
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$30 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સની ડાબી બાજુએ $50 \ cm$ અંતરે એક નાની વસ્તુ મૂકવામાં આવી છે. $100 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો બહિર્ગોળ ગોલીય અરીસો લેન્સની જમણી બાજુએ $50 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. અરીસો એવી રીતે નમેલો છે કે અરીસાની અક્ષ લેન્સની અક્ષ સાથે $\theta=30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જો યામ પદ્ધતિનું ઉગમબિંદુ લેન્સના કેન્દ્ર પર લેવામાં આવે,તો જે બિંદુ $(x, y)$ પર પ્રતિબિંબ રચાય છે તેના યામ ($cm$ માં) શોધો.
A
$(0,0)$
B
$(50-25 \sqrt{3}, 25)$
C
$(25, 25 \sqrt{3})$
D
$(125/3, 25/\sqrt{3})$
Solution
(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -50 \ cm$ અને $f = +30 \ cm$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$. આમ,$v = 75 \ cm$.
$2$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો $x = 50 \ cm$ પર છે. લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ $x = 75 \ cm$ પર છે,જે અરીસાની પાછળ $25 \ cm$ અંતરે છે. તેથી,અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u = +25 \ cm$ છે.
$3$. બહિર્ગોળ અરીસા માટે: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = +25 \ cm$ અને $f_m = +50 \ cm$.
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$. આમ,$v_m = -50 \ cm$.
$4$. પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે તેની નમેલી અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસાના ધ્રુવના યામ $(50, 0)$ છે. પ્રતિબિંબ ધ્રુવથી $30^{\circ}$ ના ખૂણે અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે છે.
$5$. ધ્રુવની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબના યામ: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ અને $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$.
$6$. નિરપેક્ષ યામ $x = 50 - 25\sqrt{3}$ અને $y = 25$ છે. આમ,યામ $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ છે.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$. આમ,$v = 75 \ cm$.
$2$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો $x = 50 \ cm$ પર છે. લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ $x = 75 \ cm$ પર છે,જે અરીસાની પાછળ $25 \ cm$ અંતરે છે. તેથી,અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u = +25 \ cm$ છે.
$3$. બહિર્ગોળ અરીસા માટે: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = +25 \ cm$ અને $f_m = +50 \ cm$.
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$. આમ,$v_m = -50 \ cm$.
$4$. પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે તેની નમેલી અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે રચાય છે. અરીસાની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. અરીસાના ધ્રુવના યામ $(50, 0)$ છે. પ્રતિબિંબ ધ્રુવથી $30^{\circ}$ ના ખૂણે અક્ષ પર $50 \ cm$ અંતરે છે.
$5$. ધ્રુવની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબના યામ: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ અને $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$.
$6$. નિરપેક્ષ યામ $x = 50 - 25\sqrt{3}$ અને $y = 25$ છે. આમ,યામ $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ છે.
0 likesView Solution
32
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\lambda_{\text{ph}}$ તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ શૂન્યાવકાશ નળીમાં રહેલી કેથોડ પ્લેટ પર પડે છે. કેથોડ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ છે અને એનોડ એ વાહક પદાર્થની વાયર મેશ છે જે કેથોડથી $d$ અંતરે રાખવામાં આવી છે. ઇલેક્ટ્રોડ્સ વચ્ચે $V$ જેટલો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવવામાં આવે છે. જો એનોડમાંથી પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની લઘુત્તમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
A
$\phi$ અને $\lambda_{\text{ph}}$ માં વધારો થવાથી $\lambda_e$ ઘટે છે
B
જો $d$ બમણું કરવામાં આવે તો $\lambda_e$ આશરે અડધું થાય છે
C
મોટા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V \gg \phi / e)$ માટે,જો $V$ ને ચાર ગણું કરવામાં આવે તો $\lambda_e$ આશરે અડધું થાય છે
D
$\lambda_{\text{ph}} < hc / \phi$ માટે $\lambda_e$ એ $\lambda_{\text{ph}}$ જેટલા જ દરે વધે છે
Solution
(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થયા પછી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ હોવાથી,આપણને $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
મોટા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V \gg \phi/e)$ માટે,આપણે $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ લઈ શકીએ.
આમ,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,જે સૂચવે છે કે $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સંબંધ પરથી,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
જો $V$ ને ચાર ગણું કરવામાં આવે,તો $\lambda_e$ તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ ગણું થાય છે,એટલે કે તે અડધું થાય છે.
તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ હોવાથી,આપણને $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
મોટા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V \gg \phi/e)$ માટે,આપણે $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ લઈ શકીએ.
આમ,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,જે સૂચવે છે કે $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સંબંધ પરથી,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
જો $V$ ને ચાર ગણું કરવામાં આવે,તો $\lambda_e$ તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ ગણું થાય છે,એટલે કે તે અડધું થાય છે.
તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
બે સમાન ગેલ્વેનોમીટર અને $R$ અવરોધ ધરાવતા બે સમાન અવરોધકો ધ્યાનમાં લો. જો ગેલ્વેનોમીટરનો આંતરિક અવરોધ $R_G < R/2$ હોય,તો નીચેનામાંથી કઈ ગોઠવણી મહત્તમ વોલ્ટેજ રેન્જ અને મહત્તમ કરંટ રેન્જ આપે છે?
A
$B, D$
B
$B, A$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(D) વોલ્ટમીટર માટે,રેન્જ $V = I_g(R_G + R_{ext})$ છે. $V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે કુલ અવરોધ $R_{total}$ ને મહત્તમ કરવાની જરૂર છે. બધા ઘટકોને શ્રેણીમાં જોડવાથી $R_{total} = 2R_G + 2R$ મળે છે. આ શક્ય મહત્તમ અવરોધ છે,તેથી વોલ્ટેજ રેન્જ માટે વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
એમીટર માટે,રેન્જ $I = I_g(1 + R_G/R_s)$ છે. $I$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે શંટ $R_s$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ન્યૂનતમ કરવાની જરૂર છે. બધા ઘટકોને સમાંતર જોડવાથી ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે,જે કરંટ રેન્જને મહત્તમ કરે છે. તેથી,કરંટ રેન્જ માટે વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
એમીટર માટે,રેન્જ $I = I_g(1 + R_G/R_s)$ છે. $I$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે શંટ $R_s$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ન્યૂનતમ કરવાની જરૂર છે. બધા ઘટકોને સમાંતર જોડવાથી ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે,જે કરંટ રેન્જને મહત્તમ કરે છે. તેથી,કરંટ રેન્જ માટે વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
નીચે દર્શાવેલ સર્કિટમાં,કી (key) ને $t=0$ સમયે દબાવવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ કી દબાવતાની સાથે જ વોલ્ટમીટર $-5 \ V$ દર્શાવે છે,અને લાંબા સમય પછી $+5 \ V$ દર્શાવે છે.
$(B)$ વોલ્ટમીટર $t=\ln 2 \ s$ સમયે $0 \ V$ દર્શાવશે.
$(C)$ એમીટરમાં પ્રવાહ $1 \ s$ પછી પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/e$ જેટલો થાય છે.
$(D)$ લાંબા સમય પછી એમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$(A)$ કી દબાવતાની સાથે જ વોલ્ટમીટર $-5 \ V$ દર્શાવે છે,અને લાંબા સમય પછી $+5 \ V$ દર્શાવે છે.
$(B)$ વોલ્ટમીટર $t=\ln 2 \ s$ સમયે $0 \ V$ દર્શાવશે.
$(C)$ એમીટરમાં પ્રવાહ $1 \ s$ પછી પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/e$ જેટલો થાય છે.
$(D)$ લાંબા સમય પછી એમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
A
$A, B, C$
B
$A, B, C, D$
C
$A, C, D$
D
$B, C, D$
Solution
(B) $t=0$ સમયે,કેપેસિટર્સ ચાર્જ થયેલા નથી,તેથી તેઓ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. વોલ્ટમીટર બે શાખાઓના જંકશન પર જોડાયેલ છે. શરૂઆતમાં,ઉપરના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $0 \ V$ છે અને નીચેના નોડ પર $5 \ V$ છે,તેથી વોલ્ટમીટર $-5 \ V$ વાંચે છે. લાંબા સમય પછી,કેપેસિટર્સ સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ વોલ્ટેજ ડિવાઈડર તરીકે વર્તે છે. ઉપરના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $5 \ V$ અને નીચેના નોડ પર $0 \ V$ થાય છે,તેથી વોલ્ટમીટર $+5 \ V$ વાંચે છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
વોલ્ટમીટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_v = V_{top} - V_{bottom}$ છે. $RC$ સર્કિટ માટે સમય-આધારિત ચાર્જિંગ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $V_v(t) = 5(2e^{-t} - 1)$ મેળવીએ છીએ. $V_v = 0$ લેતા $2e^{-t} = 1$,અથવા $t = \ln 2 \ s$ મળે છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
કુલ પ્રવાહ $I(t) = I_1(t) + I_2(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ છે. બંને શાખાઓ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = (50 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 1 \ s$ છે. આમ,$I(t) = I_0 e^{-t}$. $t = 1 \ s$ પર,$I = I_0/e$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
લાંબા સમય પછી,કેપેસિટર્સ સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી એમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $(A, B, C, D)$ સાચા છે.
વોલ્ટમીટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_v = V_{top} - V_{bottom}$ છે. $RC$ સર્કિટ માટે સમય-આધારિત ચાર્જિંગ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $V_v(t) = 5(2e^{-t} - 1)$ મેળવીએ છીએ. $V_v = 0$ લેતા $2e^{-t} = 1$,અથવા $t = \ln 2 \ s$ મળે છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
કુલ પ્રવાહ $I(t) = I_1(t) + I_2(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ છે. બંને શાખાઓ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = (50 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 1 \ s$ છે. આમ,$I(t) = I_0 e^{-t}$. $t = 1 \ s$ પર,$I = I_0/e$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
લાંબા સમય પછી,કેપેસિટર્સ સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી એમીટરમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $(A, B, C, D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
35
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
યંગનો ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ કરતી વખતે,એક વિદ્યાર્થીએ બે સ્લિટને $x-y$ સમતલમાં એક મોટી અપારદર્શક પ્લેટ સાથે બદલી નાખી,જેમાં બે નાના છિદ્રો છે જે $600 \ nm$ તરંગલંબાઇનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતા બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદગમો $(S_1, S_2)$ તરીકે કાર્ય કરે છે. વિદ્યાર્થીએ ભૂલથી સ્ક્રીનને $x-z$ સમતલને સમાંતર ($z>0$ માટે) $S_1 S_2$ ના મધ્યબિંદુથી $D=3 \ m$ ના અંતરે મૂકી,જે આકૃતિમાં યોજનાબદ્ધ રીતે દર્શાવેલ છે. ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d=0.6003 \ mm$ છે. ઉગમબિંદુ $O$ એ સ્ક્રીન અને $S_1 S_2$ ને જોડતી રેખાનું છેદબિંદુ છે. સ્ક્રીન પરની તીવ્રતાની ભાત (pattern) વિશે નીચેનામાંથી કયું (કયા) વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $x$-અક્ષને સમાંતર સીધી પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
$(B)$ બિંદુ $O$ ની ખૂબ નજીકનો વિસ્તાર અંધકારમય (dark) હશે
$(C)$ $x$-દિશામાં $O$ ની આસપાસ સપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવેલા નાભિઓ સાથેની અતિવલયાકાર (hyperbolic) પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
$(D)$ બિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
$(A)$ $x$-અક્ષને સમાંતર સીધી પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
$(B)$ બિંદુ $O$ ની ખૂબ નજીકનો વિસ્તાર અંધકારમય (dark) હશે
$(C)$ $x$-દિશામાં $O$ ની આસપાસ સપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવેલા નાભિઓ સાથેની અતિવલયાકાર (hyperbolic) પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
$(D)$ બિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓ
A
$B, C$
B
$B, D$
C
$B, A$
D
$A, C$
Solution
(B) ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ એ $y$-અક્ષ પર સ્થિત છે. સ્ક્રીન $y=D$ પર $x-z$ સમતલમાં છે.
સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, 0, z)$ માટે,પથ તફાવત $\Delta p = S_2P - S_1P$ છે.
ઉદગમો $y$-અક્ષ પર હોવાથી,અચળ પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ હાઇપરબોલોઇડ ઓફ રિવોલ્યુશન છે. આ હાઇપરબોલોઇડનું સ્ક્રીન (જે $y$-અક્ષને લંબ સમતલ છે) સાથેનું છેદન ઉગમબિંદુ $O$ (સ્ક્રીન સાથે $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ) પર કેન્દ્રિત સમકેન્દ્રીય વર્તુળોમાં પરિણમે છે.
આમ,વ્યતિકરણ ભાત $O$ પર કેન્દ્રિત અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓની બનેલી છે. આથી વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$O$ પરની તીવ્રતા તપાસવા માટે,પથ તફાવત $\Delta p = S_1O - S_2O = d = 0.6003 \ mm$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p = \frac{2\pi}{600 \times 10^{-9} \ m} \times 0.6003 \times 10^{-3} \ m = \frac{2\pi \times 600.3 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 2001\pi$.
કળા તફાવત $\pi$ નો એકી ગુણાંક (ખાસ કરીને $2001\pi$) હોવાથી,બિંદુ $O$ વિનાશક વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $O$ ની નજીકનો વિસ્તાર અંધકારમય છે. આથી વિધાન $(B)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, 0, z)$ માટે,પથ તફાવત $\Delta p = S_2P - S_1P$ છે.
ઉદગમો $y$-અક્ષ પર હોવાથી,અચળ પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ હાઇપરબોલોઇડ ઓફ રિવોલ્યુશન છે. આ હાઇપરબોલોઇડનું સ્ક્રીન (જે $y$-અક્ષને લંબ સમતલ છે) સાથેનું છેદન ઉગમબિંદુ $O$ (સ્ક્રીન સાથે $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ) પર કેન્દ્રિત સમકેન્દ્રીય વર્તુળોમાં પરિણમે છે.
આમ,વ્યતિકરણ ભાત $O$ પર કેન્દ્રિત અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટીઓની બનેલી છે. આથી વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$O$ પરની તીવ્રતા તપાસવા માટે,પથ તફાવત $\Delta p = S_1O - S_2O = d = 0.6003 \ mm$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p = \frac{2\pi}{600 \times 10^{-9} \ m} \times 0.6003 \times 10^{-3} \ m = \frac{2\pi \times 600.3 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 2001\pi$.
કળા તફાવત $\pi$ નો એકી ગુણાંક (ખાસ કરીને $2001\pi$) હોવાથી,બિંદુ $O$ વિનાશક વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $O$ ની નજીકનો વિસ્તાર અંધકારમય છે. આથી વિધાન $(B)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$L$ લંબાઈની બાજુ અને $R$ અવરોધ ધરાવતો એક ચોરસ આકારનો સખત વાયરનો લૂપ કાગળના સમતલમાં $v_0$ જેટલા અચળ વેગથી $x$-અક્ષ પર ગતિ કરી રહ્યો છે. $t=0$ સમયે,લૂપની જમણી ધાર $3L$ લંબાઈના એવા વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે જ્યાં કાગળના સમતલમાં અંદરની તરફ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પૂરતા મોટા $v_0$ માટે,લૂપ અંતે આ વિસ્તારને ઓળંગી જાય છે. ધારો કે $x$ એ લૂપની જમણી ધારનું સ્થાન છે. ધારો કે $v(x)$,$I(x)$ અને $F(x)$ અનુક્રમે લૂપનો વેગ,લૂપમાં પ્રવાહ અને લૂપ પર લાગતું બળ દર્શાવે છે,જે $x$ ના વિધેય તરીકે છે. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશાના પ્રવાહને ધન લેવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયો આલેખ સાચો છે? (ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણો)
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A) $1$. જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે $(0 < x < L)$: જમણી ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે,જેનાથી $EMF$ $\epsilon = BLv$ પ્રેરિત થાય છે. પ્રવાહ $I = \frac{BLv}{R}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (ઋણ) વહે છે. ચુંબકીય બળ $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ ડાબી તરફ લાગે છે,જે મંદન પેદા કરે છે. આમ,$v$ ઘટે છે,$I$ ઋણ છે,અને $F$ ઋણ છે.
$2$. જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય $(L < x < 2L)$: લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અચળ છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ શૂન્ય છે. આમ,$I = 0$ અને $F = 0$. વેગ $v$ અચળ રહે છે.
$3$. જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે $(3L < x < 4L)$: ડાબી ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે. પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = BLv$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ $I = \frac{BLv}{R}$ (ધન) ઉત્પન્ન કરે છે. ચુંબકીય બળ $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ ડાબી તરફ લાગે છે,જે વધુ મંદન પેદા કરે છે. આમ,$v$ ઘટે છે,$I$ ધન છે,અને $F$ ઋણ છે.
$4$. આલેખનું વિશ્લેષણ: આલેખ $A$ માં $v$ ઘટતો,પછી અચળ,પછી ઘટતો દર્શાવેલ છે,જે સાચું છે. આલેખ $C$ માં $I$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ધન છે,જે ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે મેળ ખાય છે. આલેખ $D$ માં $F$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ઋણ છે,જે પણ સાચું છે. તેથી,$A, C, D$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$A$ અને $C$ સાચા છે.
$2$. જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય $(L < x < 2L)$: લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અચળ છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ શૂન્ય છે. આમ,$I = 0$ અને $F = 0$. વેગ $v$ અચળ રહે છે.
$3$. જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે $(3L < x < 4L)$: ડાબી ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે. પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = BLv$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ $I = \frac{BLv}{R}$ (ધન) ઉત્પન્ન કરે છે. ચુંબકીય બળ $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ ડાબી તરફ લાગે છે,જે વધુ મંદન પેદા કરે છે. આમ,$v$ ઘટે છે,$I$ ધન છે,અને $F$ ઋણ છે.
$4$. આલેખનું વિશ્લેષણ: આલેખ $A$ માં $v$ ઘટતો,પછી અચળ,પછી ઘટતો દર્શાવેલ છે,જે સાચું છે. આલેખ $C$ માં $I$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ધન છે,જે ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે મેળ ખાય છે. આલેખ $D$ માં $F$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ઋણ છે,જે પણ સાચું છે. તેથી,$A, C, D$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$A$ અને $C$ સાચા છે.
0 likesView Solution
37
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
એક $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા શૂન્યાવકાશિત નળાકાર ચેમ્બરનો વિચાર કરો,જેના છેડાઓ પર સખત વાહક પ્લેટો અને વક્ર સપાટી અવાહક છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. હલકા અને નરમ પદાર્થમાંથી બનેલી અને વાહક પદાર્થથી કોટેડ ઘણી ગોળાકાર બોલને નીચેની પ્લેટ પર મૂકવામાં આવી છે. બોલની ત્રિજ્યા $r \ll h$ છે. હવે એક હાઈ વોલ્ટેજ સોર્સ $(HV)$ ને વાહક પ્લેટો સાથે એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી નીચેની પ્લેટ $+V_0$ પર અને ઉપરની પ્લેટ $-V_0$ પર રહે. તેમની વાહક સપાટીને કારણે,બોલ ચાર્જ થશે,પ્લેટ સાથે સમાન સ્થિતિમાન ધરાવશે અને તેના દ્વારા અપાકર્ષિત થશે. બોલ આખરે ઉપરની પ્લેટ સાથે અથડાશે,જ્યાં બોલના નરમ સ્વભાવને કારણે પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક શૂન્ય લઈ શકાય છે. ચેમ્બરમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર જેવું ગણી શકાય. ધારો કે બોલ વચ્ચે કોઈ અથડામણ થતી નથી અને તેમની વચ્ચેની આંતરક્રિયા નગણ્ય છે. (ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણો)
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ બોલ ઉપરની પ્લેટ પર ચોંટી જશે અને ત્યાં જ રહેશે
$(B)$ બોલ ઉપર ગયા હતા તે જ ચાર્જ લઈને નીચેની પ્લેટ પર પાછા આવશે
$(C)$ બોલ ઉપર ગયા હતા તેનાથી વિરુદ્ધ ચાર્જ લઈને નીચેની પ્લેટ પર પાછા આવશે
$(D)$ બોલ બે પ્લેટો વચ્ચે સરળ આવર્ત ગતિ કરશે
$(2)$ સર્કિટમાં એમીટર દ્વારા નોંધાયેલ સ્થિર સ્થિતિમાં સરેરાશ પ્રવાહ કેટલો હશે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ પોટેન્શિયલ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $V_0^{1/2}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ $V_0^2$ ના પ્રમાણમાં
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ બોલ ઉપરની પ્લેટ પર ચોંટી જશે અને ત્યાં જ રહેશે
$(B)$ બોલ ઉપર ગયા હતા તે જ ચાર્જ લઈને નીચેની પ્લેટ પર પાછા આવશે
$(C)$ બોલ ઉપર ગયા હતા તેનાથી વિરુદ્ધ ચાર્જ લઈને નીચેની પ્લેટ પર પાછા આવશે
$(D)$ બોલ બે પ્લેટો વચ્ચે સરળ આવર્ત ગતિ કરશે
$(2)$ સર્કિટમાં એમીટર દ્વારા નોંધાયેલ સ્થિર સ્થિતિમાં સરેરાશ પ્રવાહ કેટલો હશે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ પોટેન્શિયલ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $V_0^{1/2}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ $V_0^2$ ના પ્રમાણમાં
Solution
(C, D) $1.$ સાચો વિકલ્પ $C$ છે. જ્યારે બોલ નીચેની પ્લેટ (જે $+V_0$ પર છે) ને સ્પર્શે છે,ત્યારે તે ધન ચાર્જ $q$ મેળવે છે. ત્યારબાદ તે નીચેની પ્લેટ દ્વારા અપાકર્ષિત થાય છે અને ઉપરની પ્લેટ (જે $-V_0$ પર છે) દ્વારા આકર્ષાય છે. ઉપરની પ્લેટ સાથે અથડાતા,બોલ તેનો ધન ચાર્જ ગુમાવે છે અને સંપર્કને કારણે ઋણ ચાર્જ $-q$ મેળવે છે. ત્યારબાદ તે ઉપરની પ્લેટ દ્વારા અપાકર્ષિત થાય છે અને નીચેની પ્લેટ દ્વારા આકર્ષાય છે. આમ,બોલ વિરુદ્ધ ચાર્જ લઈને પાછા ફરે છે.
$2.$ સાચો વિકલ્પ $D$ છે. દરેક બોલ પરનો ચાર્જ $q \propto V_0$ છે. બોલ પરનું બળ $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ છે. પ્રવેગ $a = F/m \propto V_0^2$ છે. $h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ છે. સરેરાશ પ્રવાહ $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$. આમ,$I_{av} \propto V_0^2$.
$2.$ સાચો વિકલ્પ $D$ છે. દરેક બોલ પરનો ચાર્જ $q \propto V_0$ છે. બોલ પરનું બળ $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ છે. પ્રવેગ $a = F/m \propto V_0^2$ છે. $h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ છે. સરેરાશ પ્રવાહ $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$. આમ,$I_{av} \propto V_0^2$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2016?
There are 37 Physics questions from the IIT JEE 2016 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2016 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2016 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2016 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.