sum_{k=1}^{13} frac{1}{sin left(frac{pi}{4}+f | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.अंश और हर

Vedclass · Accepted Answer

$2(\sqrt{3}-1)$

Vedclass · Answer

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.अंश और हर को $\sin(\frac{\pi}{6})$ से गुणा करने पर:$S = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})} \sum_{k=1}^{13} \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$.चूंकि $\frac{\pi}{6} = (\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}) - (\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6})$,हम $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हैं:$S = 2 \sum_{k=1}^{13} \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}+(k-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right) \right]$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S = 2 \left[ \cot \frac{\pi}{4} - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right]$.चूंकि $\cot \frac{\pi}{4} = 1$ और $\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}) = \cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2-\sqrt{3}$:$S = 2 [1 - (2-\sqrt{3})] = 2(\sqrt{3}-1)$.

$\sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{(k-1) \pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ का योग है :-

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श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ का $(n + 1)$ पदों तक का योग क्या है?

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