PhysicsQ1–37 of 37 questions
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$1.6 \,kg$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान लकड़ी की छड़ $h$ < $l$ ऊँचाई की एक चिकनी, ऊर्ध्वाधर दीवार पर इस प्रकार झुकी हुई है कि छड़ का एक छोटा हिस्सा दीवार से बाहर निकला हुआ है। दीवार द्वारा छड़ पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल छड़ के लंबवत है। छड़ दीवार के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है और छड़ का निचला सिरा एक खुरदरे फर्श पर है। दीवार की छड़ पर प्रतिक्रिया, फर्श की छड़ पर प्रतिक्रिया के परिमाण में बराबर है। अनुपात $h/l$ और छड़ के निचले सिरे पर घर्षण बल $f$ ज्ञात कीजिए। $(g=10 \,m \,s^{-2})$
A
$\frac{h}{l}=\frac{\sqrt{3}}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
B
$\frac{h}{l}=\frac{3}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
C
$\frac{h}{l}=\frac{3 \sqrt{3}}{16}, f=\frac{8 \sqrt{3}}{3} \,N$
D
$\frac{h}{l}=\frac{3 \sqrt{3}}{16}, f=\frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$
Solution
(D) मान लीजिए कि फर्श और दीवार की सामान्य प्रतिक्रिया $N$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन से: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
क्षैतिज संतुलन से: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
निचले बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, जहाँ $x$ निचले सिरे से दीवार के संपर्क बिंदु तक की दूरी है।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ज्यामिति से, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
अतः, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ और $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
ऊर्ध्वाधर संतुलन से: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
क्षैतिज संतुलन से: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
निचले बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, जहाँ $x$ निचले सिरे से दीवार के संपर्क बिंदु तक की दूरी है।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ज्यामिति से, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
अतः, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ और $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
$120$ लीटर की भंडारण क्षमता वाला एक वाटर कूलर $P$ वाट की निरंतर दर से पानी को ठंडा कर सकता है। एक बंद परिसंचरण प्रणाली में (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),कूलर से पानी का उपयोग एक बाहरी उपकरण को ठंडा करने के लिए किया जाता है जो लगातार $3 \text{ kW}$ गर्मी (थर्मल लोड) उत्पन्न करता है। उपकरण में जाने वाले पानी का तापमान $30^{\circ}\text{C}$ से अधिक नहीं हो सकता है और पूरा $120$ लीटर संग्रहीत पानी शुरू में $10^{\circ}\text{C}$ तक ठंडा किया जाता है। पूरी प्रणाली थर्मल रूप से इंसुलेटेड है। $P$ का न्यूनतम मान (वाट में) जिसके लिए उपकरण को $3$ घंटे तक संचालित किया जा सकता है,वह है (पानी की विशिष्ट ऊष्मा $4.2 \text{ kJ kg}^{-1} \text{K}^{-1}$ है और पानी का घनत्व $1000 \text{ kg m}^{-3}$ है)
A
$1600$
B
$2067$
C
$2533$
D
$3933$
Solution
(B) $t = 3 \text{ घंटे} = 3 \times 3600 \text{ सेकंड} = 10800 \text{ सेकंड}$ में उपकरण द्वारा उत्पन्न कुल ऊष्मा:
$Q_{\text{gen}} = P_{\text{device}} \times t = 3000 \text{ W} \times 10800 \text{ s} = 3.24 \times 10^7 \text{ J}$.
$120 \text{ लीटर}$ $(120 \text{ kg})$ पानी द्वारा अवशोषित ऊष्मा जब इसका तापमान $10^{\circ}\text{C}$ से $30^{\circ}\text{C}$ तक बढ़ता है:
$Q_{\text{water}} = m \cdot c \cdot \Delta T = 120 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (30 - 10) \text{ K} = 120 \times 4200 \times 20 = 1.008 \times 10^7 \text{ J}$.
कूलर द्वारा हटाई जाने वाली ऊष्मा:
$Q_{\text{cooler}} = Q_{\text{gen}} - Q_{\text{water}} = 3.24 \times 10^7 \text{ J} - 1.008 \times 10^7 \text{ J} = 2.232 \times 10^7 \text{ J}$.
कूलर की न्यूनतम शक्ति $P$:
$P = \frac{Q_{\text{cooler}}}{t} = \frac{2.232 \times 10^7 \text{ J}}{10800 \text{ s}} \approx 2066.67 \text{ W} \approx 2067 \text{ W}$.
$Q_{\text{gen}} = P_{\text{device}} \times t = 3000 \text{ W} \times 10800 \text{ s} = 3.24 \times 10^7 \text{ J}$.
$120 \text{ लीटर}$ $(120 \text{ kg})$ पानी द्वारा अवशोषित ऊष्मा जब इसका तापमान $10^{\circ}\text{C}$ से $30^{\circ}\text{C}$ तक बढ़ता है:
$Q_{\text{water}} = m \cdot c \cdot \Delta T = 120 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (30 - 10) \text{ K} = 120 \times 4200 \times 20 = 1.008 \times 10^7 \text{ J}$.
कूलर द्वारा हटाई जाने वाली ऊष्मा:
$Q_{\text{cooler}} = Q_{\text{gen}} - Q_{\text{water}} = 3.24 \times 10^7 \text{ J} - 1.008 \times 10^7 \text{ J} = 2.232 \times 10^7 \text{ J}$.
कूलर की न्यूनतम शक्ति $P$:
$P = \frac{Q_{\text{cooler}}}{t} = \frac{2.232 \times 10^7 \text{ J}}{10800 \text{ s}} \approx 2066.67 \text{ W} \approx 2067 \text{ W}$.
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PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
दो लाउडस्पीकर $M$ और $N$ एक-दूसरे से $20 \ m$ की दूरी पर स्थित हैं और क्रमशः $118 \ Hz$ और $121 \ Hz$ की आवृत्तियों पर ध्वनि उत्सर्जित करते हैं। एक कार शुरू में $MN$ रेखा के मध्य बिंदु $Q$ से $1800 \ m$ दूर बिंदु $P$ पर है और $MN$ के लंब समद्विभाजक के साथ $60 \ km/h$ की गति से $Q$ की ओर बढ़ती है। यह $Q$ को पार करती है और अंततः $Q$ से $1800 \ m$ दूर बिंदु $R$ पर पहुँचती है। मान लीजिए $v(t)$ समय $t$ पर कार में बैठे व्यक्ति द्वारा मापी गई बीट आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। मान लीजिए $v_P, v_Q$ और $v_R$ क्रमशः $P, Q$ और $R$ स्थानों पर मापी गई बीट आवृत्तियाँ हैं। हवा में ध्वनि की गति $330 \ m/s$ है। व्यक्ति द्वारा सुनी गई ध्वनि के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $v_P + v_R = 2v_Q$
$(B)$ जब कार $Q$ से गुजरती है तो बीट आवृत्ति में परिवर्तन की दर अधिकतम होती है
$(C)$ नीचे दिया गया आलेख समय के साथ बीट आवृत्ति में परिवर्तन को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है (बायां आलेख)
$(D)$ नीचे दिया गया आलेख समय के साथ बीट आवृत्ति में परिवर्तन को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है (दायां आलेख)
$(A)$ $v_P + v_R = 2v_Q$
$(B)$ जब कार $Q$ से गुजरती है तो बीट आवृत्ति में परिवर्तन की दर अधिकतम होती है
$(C)$ नीचे दिया गया आलेख समय के साथ बीट आवृत्ति में परिवर्तन को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है (बायां आलेख)
$(D)$ नीचे दिया गया आलेख समय के साथ बीट आवृत्ति में परिवर्तन को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है (दायां आलेख)
Solution
(A) मान लीजिए कार की गति $v_0$ है और ध्वनि की गति $v$ है। $Q$ की ओर बढ़ती कार द्वारा $M$ और $N$ से देखी गई आवृत्तियाँ $f_M = f_M^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ और $f_N = f_N^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ हैं,जहाँ $\theta$ कार के वेग सदिश और कार को स्पीकर से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
बीट आवृत्ति $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
बिंदु $P$ पर,$\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta > 0$,अतः $v_P > 3$. बिंदु $Q$ पर,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 0$,अतः $v_Q = 3$. बिंदु $R$ पर,$\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$,अतः $v_R < 3$.
चूंकि $v_P = 3(1 + k)$ और $v_R = 3(1 - k)$ जहाँ $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,हमारे पास $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
बीट आवृत्ति में परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ है। यह तब अधिकतम होती है जब $\sin \theta$ अधिकतम होता है,जो $Q$ पर होता है जहाँ $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।
जैसे-जैसे कार $P$ से $R$ तक चलती है,समय के साथ $\cos \theta$ का परिवर्तन एक सिग्मॉइड-जैसे वक्र का अनुसरण करता है,जिसे बाएं आलेख द्वारा दर्शाया गया है। अतः,$(C)$ सत्य है।
बीट आवृत्ति $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
बिंदु $P$ पर,$\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta > 0$,अतः $v_P > 3$. बिंदु $Q$ पर,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 0$,अतः $v_Q = 3$. बिंदु $R$ पर,$\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$,अतः $v_R < 3$.
चूंकि $v_P = 3(1 + k)$ और $v_R = 3(1 - k)$ जहाँ $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,हमारे पास $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
बीट आवृत्ति में परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ है। यह तब अधिकतम होती है जब $\sin \theta$ अधिकतम होता है,जो $Q$ पर होता है जहाँ $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।
जैसे-जैसे कार $P$ से $R$ तक चलती है,समय के साथ $\cos \theta$ का परिवर्तन एक सिग्मॉइड-जैसे वक्र का अनुसरण करता है,जिसे बाएं आलेख द्वारा दर्शाया गया है। अतः,$(C)$ सत्य है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
एक लंबाई-पैमाना $(l)$ एक परावैद्युत पदार्थ की विद्युतशीलता $(\varepsilon)$,बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $(k_B)$,निरपेक्ष तापमान $(T)$,कुछ आवेशित कणों के प्रति इकाई आयतन संख्या $(n)$,और प्रत्येक कण पर आवेश $(q)$ पर निर्भर करता है। $l$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा/से व्यंजक विमीय रूप से सही है/हैं?
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
$(A)$ $l=\sqrt{\left(\frac{n q^2}{\varepsilon k_B T}\right)}$
$(B)$ $l=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}\right)}$
$(C)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{2 / 3} k_B T}\right)}$
$(D)$ $l=\sqrt{\left(\frac{q^2}{\varepsilon n^{1 / 3} k_B T}\right)}$
A
$A, B$
B
$B, C$
C
$C, A$
D
$B, D$
Solution
(D) विमीय रूप से सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए,हम दी गई भौतिक राशियों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
सबसे पहले,पद $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ पर विचार करें:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(B)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(A)$ और $(C)$ के परिणामी विमाएँ क्रमशः $[L^{-2}]$ और $[L^{3/2}]$ हैं,जो लंबाई के लिए गलत हैं। अतः,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
$[\varepsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
$[k_B T] = [Energy] = [M L^2 T^{-2}]$
$[q^2] = [A^2 T^2]$
$[n] = [L^{-3}]$
सबसे पहले,पद $\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}$ पर विचार करें:
$\left[\frac{\varepsilon k_B T}{q^2}\right] = \frac{[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] [M L^2 T^{-2}]}{[A^2 T^2]} = [L^{-1}]$
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(B)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{L^{-1}}{L^{-3}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $l = \sqrt{\frac{q^2}{\varepsilon n^{1/3} k_B T}} \Rightarrow [l] = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} (L^{-3})^{1/3}}} = \sqrt{\frac{1}{L^{-1} L^{-1}}} = \sqrt{L^2} = [L]$. यह विमीय रूप से सही है।
विकल्प $(A)$ और $(C)$ के परिणामी विमाएँ क्रमशः $[L^{-2}]$ और $[L^{3/2}]$ हैं,जो लंबाई के लिए गलत हैं। अतः,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$m$ द्रव्यमान के एक कण का स्थिति सदिश $\vec{r}$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:
$\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$
जहाँ $\alpha = 10/3 \ m \ s^{-3}$,$\beta = 5 \ m \ s^{-2}$ और $m = 0.1 \ kg$ है। $t = 1 \ s$ पर,कण के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ वेग $\vec{v} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$ है।
$(B)$ मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$ है।
$(C)$ बल $\vec{F} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$ है।
$(D)$ मूल बिंदु के सापेक्ष बल आघूर्ण $\vec{\tau} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$ है।
$\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$
जहाँ $\alpha = 10/3 \ m \ s^{-3}$,$\beta = 5 \ m \ s^{-2}$ और $m = 0.1 \ kg$ है। $t = 1 \ s$ पर,कण के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ वेग $\vec{v} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$ है।
$(B)$ मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$ है।
$(C)$ बल $\vec{F} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$ है।
$(D)$ मूल बिंदु के सापेक्ष बल आघूर्ण $\vec{\tau} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$ है।
A
$A, B, C$
B
$A, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$ है।
वेग $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. अतः,$(A)$ सही है।
$t = 1 \ s$ पर स्थिति: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. अतः,$(B)$ सही है।
त्वरण $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. अतः,$(C)$ सही है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. अतः,$(D)$ सही है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,$(C)$ और $(D)$ सभी सही हैं।
वेग $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. अतः,$(A)$ सही है।
$t = 1 \ s$ पर स्थिति: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. अतः,$(B)$ सही है।
त्वरण $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ पर,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. अतः,$(C)$ सही है।
बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. अतः,$(D)$ सही है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,$(C)$ और $(D)$ सभी सही हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
एक धातु को भट्टी में गर्म किया जाता है जहाँ धातु की सतह द्वारा विकिरित शक्ति $(P)$ को पढ़ने के लिए धातु की सतह के ऊपर एक सेंसर रखा गया है। सेंसर में एक पैमाना है जो $\log_{2}(P / P_0)$ प्रदर्शित करता है,जहाँ $P_0$ एक स्थिरांक है। जब धातु की सतह $487^{\circ} C$ के तापमान पर होती है,तो सेंसर $1$ का मान दिखाता है। मान लीजिए कि धातु की सतह की उत्सर्जकता (emissivity) स्थिर रहती है। जब धातु की सतह का तापमान बढ़ाकर $2767^{\circ} C$ कर दिया जाता है,तो सेंसर द्वारा प्रदर्शित मान क्या होगा?
A
$9$
B
$8$
C
$7$
D
$6$
Solution
(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक सतह द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A e T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$e$ उत्सर्जकता है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $A$,$e$,और $\sigma$ स्थिर हैं,हम $P = k T^4$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
सेंसर $S = \log_{2}(P / P_0) = \log_{2}(k T^4 / P_0)$ प्रदर्शित करता है।
मान लीजिए $C = k / P_0$,तो $S = \log_{2}(C T^4) = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(T)$।
$T_1 = 487^{\circ} C = 487 + 273 = 760 \ K$ पर,सेंसर का मान $S_1 = 1$ है।
अतः,$1 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(760)$।
$T_2 = 2767^{\circ} C = 2767 + 273 = 3040 \ K$ पर,सेंसर का मान $S_2 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(3040)$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(3040) - 4 \log_{2}(760) = 4 \log_{2}(3040 / 760)$।
चूंकि $3040 / 760 = 4$,इसलिए $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(4) = 4 \times 2 = 8$।
अतः,$S_2 = 8 + 1 = 9$।
चूंकि $A$,$e$,और $\sigma$ स्थिर हैं,हम $P = k T^4$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
सेंसर $S = \log_{2}(P / P_0) = \log_{2}(k T^4 / P_0)$ प्रदर्शित करता है।
मान लीजिए $C = k / P_0$,तो $S = \log_{2}(C T^4) = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(T)$।
$T_1 = 487^{\circ} C = 487 + 273 = 760 \ K$ पर,सेंसर का मान $S_1 = 1$ है।
अतः,$1 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(760)$।
$T_2 = 2767^{\circ} C = 2767 + 273 = 3040 \ K$ पर,सेंसर का मान $S_2 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(3040)$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(3040) - 4 \log_{2}(760) = 4 \log_{2}(3040 / 760)$।
चूंकि $3040 / 760 = 4$,इसलिए $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(4) = 4 \times 2 = 8$।
अतः,$S_2 = 8 + 1 = 9$।
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7
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2016
$8 \ g \ cm^{-3}$ घनत्व और क्रमशः $1 \ cm$ और $0.5 \ cm$ व्यास वाले दो ठोस गोलों $P$ और $Q$ पर विचार करें। गोले $P$ को $0.8 \ g \ cm^{-3}$ घनत्व और $\eta = 3 \ \text{poiseuille}$ श्यानता वाले द्रव में गिराया जाता है। गोले $Q$ को $1.6 \ g \ cm^{-3}$ घनत्व और $\eta = 2 \ \text{poiseuille}$ श्यानता वाले द्रव में गिराया जाता है। $P$ और $Q$ के सीमांत वेगों (terminal velocities) का अनुपात क्या है?
A
$4$
B
$2$
C
$1$
D
$3$
Solution
(D) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2gr^2(\rho - \sigma)}{9\eta}$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
सीमांत वेगों का अनुपात: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
दिए गए मान:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
अतः,सीमांत वेगों का अनुपात $3$ है।
सीमांत वेगों का अनुपात: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
दिए गए मान:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
अतः,सीमांत वेगों का अनुपात $3$ है।
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PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2016
$300 \ K$ पर एक मोल आदर्श गैस का परिवेश के साथ ऊष्मीय संपर्क में $3.0 \ atm$ के स्थिर बाहरी दबाव के विरुद्ध $1.0 \ L$ से $2.0 \ L$ तक समतापीय विस्तार होता है। इस प्रक्रिया में,परिवेश की एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $(\Delta S_{\text{surr}})$ $J \ K^{-1}$ में क्या होगा? $(1 \ L \ atm = 101.3 \ J)$
A
$5.763$
B
$1.013$
C
$-1.013$
D
$-5.763$
Solution
(C) परिवेश की एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{q_{\text{sys}}}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गैस का विस्तार $P_{\text{ext}}$ के स्थिर बाहरी दबाव के विरुद्ध होता है,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = q + W$। एक आदर्श गैस की समतापीय प्रक्रिया के लिए $\Delta U = 0$ होता है,इसलिए $q = -W = P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ होगा।
यहाँ $P_{\text{ext}} = 3.0 \ atm$,$V_1 = 1.0 \ L$,$V_2 = 2.0 \ L$ और $T = 300 \ K$ दिया गया है।
अतः,$q = 3.0 \ atm \times (2.0 \ L - 1.0 \ L) = 3.0 \ L \ atm$।
जूल में बदलने पर: $q = 3.0 \times 101.3 \ J = 303.9 \ J$।
परिवेश द्वारा अवशोषित ऊष्मा $-q = -303.9 \ J$ है।
इसलिए,$\Delta S_{\text{surr}} = \frac{-303.9 \ J}{300 \ K} = -1.013 \ J \ K^{-1}$।
चूंकि गैस का विस्तार $P_{\text{ext}}$ के स्थिर बाहरी दबाव के विरुद्ध होता है,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = q + W$। एक आदर्श गैस की समतापीय प्रक्रिया के लिए $\Delta U = 0$ होता है,इसलिए $q = -W = P_{\text{ext}}(V_2 - V_1)$ होगा।
यहाँ $P_{\text{ext}} = 3.0 \ atm$,$V_1 = 1.0 \ L$,$V_2 = 2.0 \ L$ और $T = 300 \ K$ दिया गया है।
अतः,$q = 3.0 \ atm \times (2.0 \ L - 1.0 \ L) = 3.0 \ L \ atm$।
जूल में बदलने पर: $q = 3.0 \times 101.3 \ J = 303.9 \ J$।
परिवेश द्वारा अवशोषित ऊष्मा $-q = -303.9 \ J$ है।
इसलिए,$\Delta S_{\text{surr}} = \frac{-303.9 \ J}{300 \ K} = -1.013 \ J \ K^{-1}$।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
एक गैस को एक चल घर्षणरहित पिस्टन वाले सिलेंडर में बंद किया गया है। इसकी प्रारंभिक ऊष्मागतिक अवस्था $P_i = 10^5 \text{ Pa}$ और आयतन $V_i = 10^{-3} \text{ m}^3$ से बदलकर अंतिम अवस्था $P_f = (1/32) \times 10^5 \text{ Pa}$ और $V_f = 8 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ हो जाती है, जो एक रुद्धोष्म (adiabatic) अर्ध-स्थैतिक प्रक्रिया है, जहाँ $P^3 V^5 = \text{constant}$ है। एक अन्य ऊष्मागतिक प्रक्रिया पर विचार करें जो सिस्टम को समान प्रारंभिक अवस्था से समान अंतिम अवस्था में दो चरणों में लाती है: $P_i$ पर एक समदाबीय (isobaric) विस्तार, उसके बाद $V_f$ आयतन पर एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया। दो-चरणीय प्रक्रिया में सिस्टम को दी गई ऊष्मा लगभग है: ($\text{ J}$ में)
A
$112$
B
$294$
C
$588$
D
$83$
Solution
(C) दी गई रुद्धोष्म प्रक्रिया $P^3 V^5 = \text{constant}$ का पालन करती है, जिसे $P V^{5/3} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसे $P V^{\gamma} = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\gamma = 5/3$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $\Delta Q = 0$, इसलिए $\Delta U = -W$। रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$।
अतः, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$।
दो-चरणीय प्रक्रिया में:
$1$. $(P_i, V_i)$ से $(P_i, V_f)$ तक समदाबीय विस्तार:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$।
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$।
$2$. $(P_i, V_f)$ से $(P_f, V_f)$ तक समआयतनिक प्रक्रिया:
$W_2 = 0$।
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$।
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $\Delta Q = 0$, इसलिए $\Delta U = -W$। रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य:
$W_a = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = \frac{(\frac{1}{32} \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}) - (10^5 \times 10^{-3})}{1 - 5/3} = \frac{250 - 100}{-2/3} = \frac{150}{-2/3} = -225 \text{ J}$।
अतः, $\Delta U = -W_a = 225 \text{ J}$।
दो-चरणीय प्रक्रिया में:
$1$. $(P_i, V_i)$ से $(P_i, V_f)$ तक समदाबीय विस्तार:
$W_1 = P_i(V_f - V_i) = 10^5(8 \times 10^{-3} - 10^{-3}) = 700 \text{ J}$।
$Q_1 = nC_p\Delta T = \frac{\gamma}{\gamma - 1} P_i(V_f - V_i) = \frac{5/3}{2/3} \times 700 = 2.5 \times 700 = 1750 \text{ J}$।
$2$. $(P_i, V_f)$ से $(P_f, V_f)$ तक समआयतनिक प्रक्रिया:
$W_2 = 0$।
$Q_2 = nC_v\Delta T = \frac{1}{\gamma - 1} V_f(P_f - P_i) = \frac{1}{2/3} \times 8 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{32} \times 10^5 - 10^5) = 1.5 \times 8 \times 10^{-3} \times (-31/32 \times 10^5) = 1.5 \times (-31/4) \times 100 = -1162.5 \text{ J}$।
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 1750 - 1162.5 = 587.5 \text{ J} \approx 588 \text{ J}$।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2016
दो पतले तारों $PQ$ और $RS$ के सिरों $Q$ और $R$ को एक साथ जोड़ा गया है। प्रारंभ में,प्रत्येक तार की लंबाई $10^{\circ} C$ पर $1 \,m$ है। अब,सिरे $P$ को $10^{\circ} C$ पर रखा जाता है,जबकि सिरे $S$ को गर्म करके $400^{\circ} C$ पर बनाए रखा जाता है। यह प्रणाली अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) है। यदि तार $PQ$ की ऊष्मीय चालकता तार $RS$ की तुलना में दोगुनी है और $PQ$ का रेखीय ऊष्मीय प्रसार गुणांक $1.2 \times 10^{-5} \,K^{-1}$ है,तो तार $PQ$ की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा ($\,mm$ में)?
A
$0.78$
B
$0.90$
C
$1.56$
D
$2.34$
Solution
(A) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $T$ है।
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था में है और ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए $PQ$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $RS$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होगी।
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
दिया गया है $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,इसलिए:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
तार $PQ$ के लिए,तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ है।
$P$ से $x$ दूरी पर तापमान $T(x) = 10 + 130x$ है।
$dx$ लंबाई के एक तत्व में लंबाई का परिवर्तन $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ है।
$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था में है और ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए $PQ$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $RS$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होगी।
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
दिया गया है $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,इसलिए:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
तार $PQ$ के लिए,तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ है।
$P$ से $x$ दूरी पर तापमान $T(x) = 10 + 130x$ है।
$dx$ लंबाई के एक तत्व में लंबाई का परिवर्तन $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ है।
$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
दो वर्नियर कैलिपर्स हैं,जिनमें से दोनों के मुख्य पैमाने पर $1 \ cm$ को $10$ समान भागों में विभाजित किया गया है। एक कैलिपर $(C_1)$ के वर्नियर पैमाने पर $10$ समान भाग हैं जो मुख्य पैमाने के $9$ भागों के अनुरूप हैं। दूसरे कैलिपर $(C_2)$ के वर्नियर पैमाने पर $10$ समान भाग हैं जो मुख्य पैमाने के $11$ भागों के अनुरूप हैं। दोनों कैलिपर्स के पाठ्यांक चित्र में दिखाए गए हैं। कैलिपर्स $C_1$ और $C_2$ द्वारा मापे गए मान ($cm$ में) क्रमशः हैं:
A
$2.85$ और $2.82$
B
$2.87$ और $2.83$
C
$2.87$ और $2.86$
D
$2.87$ और $2.87$
Solution
(B) $C_1$: $1$ मुख्य पैमाना भाग $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ वर्नियर पैमाना भाग $(VSD)$ $= 0.9/10 = 0.09 \ cm$.
अल्पतमांक $(LC)$ $= 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.1 - 0.09 = 0.01 \ cm$.
मुख्य पैमाना पाठ्यांक $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
मुख्य पैमाने के भाग से मेल खाने वाला वर्नियर भाग $n = 7$.
पाठ्यांक $R_1 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 7 \times 0.01 = 2.87 \ cm$.
$C_2$: $1$ मुख्य पैमाना भाग $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ वर्नियर पैमाना भाग $(VSD)$ $= 1.1/10 = 0.11 \ cm$.
अल्पतमांक $(LC)$ $= 1 \text{ VSD} - 1 \text{ MSD} = 0.11 - 0.1 = 0.01 \ cm$.
मुख्य पैमाना पाठ्यांक $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
चूंकि वर्नियर पैमाने के भाग का आकार मुख्य पैमाने के भाग से बड़ा है,इसलिए मेल खाने वाले भाग की गणना पीछे से की जाती है। चित्र में,$7$वां वर्नियर भाग मेल खा रहा है,इसलिए हम $n = 10 - 7 = 3$ लेंगे।
पाठ्यांक $R_2 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 3 \times 0.01 = 2.83 \ cm$.
$1$ वर्नियर पैमाना भाग $(VSD)$ $= 0.9/10 = 0.09 \ cm$.
अल्पतमांक $(LC)$ $= 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.1 - 0.09 = 0.01 \ cm$.
मुख्य पैमाना पाठ्यांक $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
मुख्य पैमाने के भाग से मेल खाने वाला वर्नियर भाग $n = 7$.
पाठ्यांक $R_1 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 7 \times 0.01 = 2.87 \ cm$.
$C_2$: $1$ मुख्य पैमाना भाग $(MSD)$ $= 0.1 \ cm$.
$1$ वर्नियर पैमाना भाग $(VSD)$ $= 1.1/10 = 0.11 \ cm$.
अल्पतमांक $(LC)$ $= 1 \text{ VSD} - 1 \text{ MSD} = 0.11 - 0.1 = 0.01 \ cm$.
मुख्य पैमाना पाठ्यांक $(MSR)$ $= 2.8 \ cm$.
चूंकि वर्नियर पैमाने के भाग का आकार मुख्य पैमाने के भाग से बड़ा है,इसलिए मेल खाने वाले भाग की गणना पीछे से की जाती है। चित्र में,$7$वां वर्नियर भाग मेल खा रहा है,इसलिए हम $n = 10 - 7 = 3$ लेंगे।
पाठ्यांक $R_2 = \text{MSR} + n \times \text{LC} = 2.8 + 3 \times 0.01 = 2.83 \ cm$.
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$m$ और $4m$ द्रव्यमान वाली दो पतली वृत्ताकार डिस्क,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $2a$ हैं,को उनके केंद्रों से गुजरने वाली $l=\sqrt{24}a$ लंबाई की एक द्रव्यमानहीन,कठोर छड़ द्वारा मजबूती से जोड़ा गया है। इस संयोजन को एक समतल सतह पर रखा जाता है और बिना फिसले लुढ़काया जाता है ताकि छड़ की धुरी के चारों ओर कोणीय गति $\omega$ हो। बिंदु $O$ के सापेक्ष पूरे संयोजन का कोणीय संवेग $\vec{L}$ है (चित्र देखें)। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ संयोजन का द्रव्यमान केंद्र $z$-अक्ष के चारों ओर $\omega/5$ की कोणीय गति से घूमता है
$(B)$ बिंदु $O$ के सापेक्ष संयोजन के द्रव्यमान केंद्र का कोणीय संवेग $81ma^2\omega$ है
$(C)$ अपने द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष संयोजन का कोणीय संवेग $17ma^2\omega/2$ है
$(D)$ $\vec{L}$ के $z$-घटक का परिमाण $55ma^2\omega$ है
$(A)$ संयोजन का द्रव्यमान केंद्र $z$-अक्ष के चारों ओर $\omega/5$ की कोणीय गति से घूमता है
$(B)$ बिंदु $O$ के सापेक्ष संयोजन के द्रव्यमान केंद्र का कोणीय संवेग $81ma^2\omega$ है
$(C)$ अपने द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष संयोजन का कोणीय संवेग $17ma^2\omega/2$ है
$(D)$ $\vec{L}$ के $z$-घटक का परिमाण $55ma^2\omega$ है
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$D, C$
Solution
(A) मान लीजिए कि डिस्क की स्थिति $x_1 = 0$ और $x_2 = l = \sqrt{24}a$ है। द्रव्यमान केंद्र $x_{cm} = (m(0) + 4m(l)) / 5m = 4l/5 = 4\sqrt{24}a/5$ है।
बिना फिसले लुढ़कने की स्थिति: $v_1 = \omega a$ और $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ है।
$z$-अक्ष के चारों ओर संयोजन की कोणीय गति $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ है।
ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर: छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है जहाँ $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$ है।
$O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$।
घटकों की गणना करने पर,इस विशिष्ट विन्यास के लिए मानक घूर्णी गतिशीलता विश्लेषण के आधार पर विकल्प $A$ और $C$ सही प्राप्त होते हैं।
बिना फिसले लुढ़कने की स्थिति: $v_1 = \omega a$ और $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ है।
$z$-अक्ष के चारों ओर संयोजन की कोणीय गति $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ है।
ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर: छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है जहाँ $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$ है।
$O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$।
घटकों की गणना करने पर,इस विशिष्ट विन्यास के लिए मानक घूर्णी गतिशीलता विश्लेषण के आधार पर विकल्प $A$ और $C$ सही प्राप्त होते हैं।
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13
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ निर्धारित करने के एक प्रयोग में,आवर्त गति के आवर्तकाल के लिए सूत्र $T=2 \pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5 g}}$ है। $R$ और $r$ के मान क्रमशः $(60 \pm 1) \text{ mm}$ और $(10 \pm 1) \text{ mm}$ मापे गए हैं। पाँच क्रमिक मापों में,आवर्तकाल $0.52 \text{ s}, 0.56 \text{ s}, 0.57 \text{ s}, 0.54 \text{ s}$ और $0.59 \text{ s}$ पाया जाता है। आवर्तकाल मापने के लिए उपयोग की जाने वाली घड़ी का अल्पतमांक $0.01 \text{ s}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $r$ के मापन में त्रुटि $10 \%$ है
$(B)$ $T$ के मापन में त्रुटि $3.57 \%$ है
$(C)$ $T$ के मापन में त्रुटि $2 \%$ है
$(D)$ $g$ के निर्धारित मान में त्रुटि $11 \%$ है
$(A)$ $r$ के मापन में त्रुटि $10 \%$ है
$(B)$ $T$ के मापन में त्रुटि $3.57 \%$ है
$(C)$ $T$ के मापन में त्रुटि $2 \%$ है
$(D)$ $g$ के निर्धारित मान में त्रुटि $11 \%$ है
A
$A, B, D$
B
$A, B, C$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(B) आवर्तकाल के प्रेक्षित मान $T_1=0.52 \text{ s}, T_2=0.56 \text{ s}, T_3=0.57 \text{ s}, T_4=0.54 \text{ s}, T_5=0.59 \text{ s}$ हैं।
आवर्तकाल का माध्य मान $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ है।
आवर्तकाल में माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ है।
$T$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$r$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. अतः,$(A)$ सत्य है।
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ से,हमें $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ है।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. अतः,$(D)$ सत्य है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,और $(D)$ सत्य हैं।
आवर्तकाल का माध्य मान $T = \frac{0.52+0.56+0.57+0.54+0.59}{5} = \frac{2.78}{5} = 0.556 \text{ s} \approx 0.56 \text{ s}$ है।
आवर्तकाल में माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta T_m = \frac{|0.56-0.52| + |0.56-0.56| + |0.56-0.57| + |0.56-0.54| + |0.56-0.59|}{5} = \frac{0.04+0+0.01+0.02+0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \text{ s}$ है।
$T$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta T_m}{T} \times 100 = \frac{0.02}{0.56} \times 100 \approx 3.57 \%$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$r$ में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta r}{r} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10 \%$. अतः,$(A)$ सत्य है।
$T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 7(R-r)}{5g}$ से,हमें $g = \frac{28 \pi^2 (R-r)}{5 T^2}$ प्राप्त होता है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta R + \Delta r}{R-r} + 2 \frac{\Delta T_m}{T}$ है।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{1+1}{60-10} \right) \times 100 + 2 \times 3.57 \% = \frac{2}{50} \times 100 + 7.14 \% = 4 \% + 7.14 \% = 11.14 \% \approx 11 \%$. अतः,$(D)$ सत्य है।
इस प्रकार,कथन $(A)$,$(B)$,और $(D)$ सत्य हैं।
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$M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग द्वारा एक दीवार से जुड़ा है और घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर गति करता है। ब्लॉक संतुलन स्थिति $x_0$ के परितः $A$ आयाम के साथ दोलन करता है। दो स्थितियों पर विचार करें: $(i)$ जब ब्लॉक $x_0$ पर हो; और $(ii)$ जब ब्लॉक $x = x_0 + A$ पर हो। दोनों स्थितियों में, $m$ द्रव्यमान का एक कण $M$ द्रव्यमान पर रखा जाता है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$A, B$
B
$B, D$
C
$A, B, D$
D
$A, B, C$
Solution
(C) स्थिति $(i)$: ब्लॉक $x_0$ पर है, जहाँ इसका वेग अधिकतम है $(v_{max} = \omega A = \sqrt{k/M} A)$। जब $m$ द्रव्यमान रखा जाता है, तो संवेग संरक्षण के अनुसार: $M v_{max} = (M + m) v'_{max}$। अतः, $v'_{max} = \frac{M}{M+m} \sqrt{\frac{k}{M}} A$। नई कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{k/(M+m)}$ है। चूंकि $v'_{max} = \omega' A'$, इसलिए $A' = \frac{v'_{max}}{\omega'} = \sqrt{\frac{M}{M+m}} A$। आयाम $\sqrt{\frac{M}{M+m}}$ के गुणक से बदल जाता है।
स्थिति $(ii)$: ब्लॉक $x = x_0 + A$ पर है, जहाँ इसका वेग $0$ है। $m$ द्रव्यमान रखने से वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता $(0)$। नई संतुलन स्थिति $x_0$ ही रहती है, और ब्लॉक समान आयाम $A$ के साथ नई आवृत्ति $\omega'$ से दोलन शुरू करता है। अतः, आयाम अपरिवर्तित रहता है।
समय अवधि: दोनों स्थितियों में, नई समय अवधि $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ है, जो समान है।
ऊर्जा: स्थिति $(i)$ में, अप्रत्यास्थ टक्कर के कारण गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, स्थितिज ऊर्जा समान रहती है, और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गति: स्थिति $(i)$ में, $x_0$ पर गति कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, $x_0$ पर गति $(v'_{max})$ मूल $v_{max}$ से कम है क्योंकि नया आयाम समान है लेकिन आवृत्ति कम है। अतः, $A, B, D$ सही हैं।
स्थिति $(ii)$: ब्लॉक $x = x_0 + A$ पर है, जहाँ इसका वेग $0$ है। $m$ द्रव्यमान रखने से वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता $(0)$। नई संतुलन स्थिति $x_0$ ही रहती है, और ब्लॉक समान आयाम $A$ के साथ नई आवृत्ति $\omega'$ से दोलन शुरू करता है। अतः, आयाम अपरिवर्तित रहता है।
समय अवधि: दोनों स्थितियों में, नई समय अवधि $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ है, जो समान है।
ऊर्जा: स्थिति $(i)$ में, अप्रत्यास्थ टक्कर के कारण गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, स्थितिज ऊर्जा समान रहती है, और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गति: स्थिति $(i)$ में, $x_0$ पर गति कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, $x_0$ पर गति $(v'_{max})$ मूल $v_{max}$ से कम है क्योंकि नया आयाम समान है लेकिन आवृत्ति कम है। अतः, $A, B, D$ सही हैं।
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एक संदर्भ फ्रेम जो जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष त्वरित है,उसे अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम कहा जाता है। एक स्थिर अक्ष के चारों ओर स्थिर कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली एक गोलाकार डिस्क पर स्थित एक निर्देशांक प्रणाली अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम का एक उदाहरण है। घूमती हुई डिस्क पर गतिमान $m$ द्रव्यमान के कण द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}_{\text{rot}}$ और जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}_{\text{in}}$ के बीच का संबंध $\vec{F}_{\text{rot}} = \vec{F}_{\text{in}} + 2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) + m(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{\omega}$ है,जहाँ $\vec{v}_{\text{rot}}$ घूमती हुई संदर्भ फ्रेम में कण का वेग है और $\vec{r}$ डिस्क के केंद्र के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है। अब $R$ त्रिज्या की एक डिस्क के व्यास के साथ एक चिकनी स्लॉट पर विचार करें जो अपने केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ वामावर्त घूम रही है। हम डिस्क के केंद्र पर मूल बिंदु,स्लॉट के साथ $x$-अक्ष,स्लॉट के लंबवत $y$-अक्ष और घूर्णन अक्ष के साथ $z$-अक्ष $(\vec{\omega} = \omega \hat{k})$ वाली एक निर्देशांक प्रणाली निर्धारित करते हैं। $m$ द्रव्यमान का एक छोटा ब्लॉक $t=0$ पर $\vec{r} = (R/2) \hat{i}$ पर स्लॉट में धीरे से रखा जाता है और केवल स्लॉट के साथ चलने के लिए विवश है।
$(1)$ समय $t$ पर ब्लॉक की दूरी $r$ क्या है?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ ब्लॉक पर डिस्क की कुल प्रतिक्रिया क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(1)$ समय $t$ पर ब्लॉक की दूरी $r$ क्या है?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ ब्लॉक पर डिस्क की कुल प्रतिक्रिया क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
Solution
(A,A) भाग $(1)$: घूमती हुई फ्रेम में,स्लॉट ($x$-अक्ष) के साथ गति का समीकरण $m \ddot{r} = m \omega^2 r$ है। यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण $\ddot{r} - \omega^2 r = 0$ है। सामान्य समाधान $r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}$ है। $t=0$ पर,$r(0) = R/2$ और $\dot{r}(0) = 0$। स्थिरांकों के लिए हल करने पर,$A+B = R/2$ और $A-B = 0$,इसलिए $A=B=R/4$। इस प्रकार,$r(t) = \frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$। सही विकल्प $(A)$ है।
भाग $(2)$: कुल प्रतिक्रिया $\vec{N}$ में स्लॉट की दीवारों से प्राप्त अभिलंब बल (कोरिओलिस बल) और गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने वाला ऊर्ध्वाधर अभिलंब बल शामिल है। कोरिओलिस बल $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ है। चूंकि $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$। गुरुत्वाकर्षण को जोड़ने पर,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$। सही विकल्प $(A)$ है।
भाग $(2)$: कुल प्रतिक्रिया $\vec{N}$ में स्लॉट की दीवारों से प्राप्त अभिलंब बल (कोरिओलिस बल) और गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने वाला ऊर्ध्वाधर अभिलंब बल शामिल है। कोरिओलिस बल $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ है। चूंकि $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$। गुरुत्वाकर्षण को जोड़ने पर,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$। सही विकल्प $(A)$ है।
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प्लांक नियतांक निर्धारित करने के एक ऐतिहासिक प्रयोग में, एक धातु की सतह पर विभिन्न तरंग दैर्ध्य का प्रकाश आपतित किया गया। उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को स्टॉपिंग पोटेंशियल लगाकर मापा गया। आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ और संबंधित स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_0)$ के लिए प्रासंगिक डेटा नीचे दिया गया है:
यदि $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है, तो ऐसे प्रयोग से प्राप्त प्लांक नियतांक ($J \ s$ इकाई में) है:
| $\lambda (\mu m)$ | $V_0$ (Volt) |
| $0.3$ | $2.0$ |
| $0.4$ | $1.0$ |
| $0.5$ | $0.4$ |
यदि $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है, तो ऐसे प्रयोग से प्राप्त प्लांक नियतांक ($J \ s$ इकाई में) है:
A
$6.0 \times 10^{-34}$
B
$6.4 \times 10^{-34}$
C
$6.6 \times 10^{-34}$
D
$6.8 \times 10^{-34}$
Solution
(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = eV_0$, जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ और $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ के डेटा का उपयोग करने पर:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ और $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ के डेटा का उपयोग करने पर:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.
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हवा से प्रकाश की एक समानांतर किरण $n=\sqrt{2}$ अपवर्तनांक वाले एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म की $PQ$ भुजा पर $\alpha$ कोण पर आपतित होती है। जब $\alpha$ का न्यूनतम मान $45^{\circ}$ होता है,तो प्रकाश प्रिज्म के $PR$ फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करता है। प्रिज्म का कोण $\theta$ क्या है ($^{\circ}$ में)?
A
$15$
B
$22.5$
C
$30$
D
$45$
Solution
(A) $PQ$ सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}$ और $n = \sqrt{2}$,इसलिए:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
प्रकाश पथ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$PR$ सतह पर आपतन कोण $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ है।
$PR$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $\gamma$ को न्यूनतम $\alpha$ के लिए क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $C = 45^{\circ}$।
अतः,$\gamma = 45^{\circ}$।
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ में मान रखने पर:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}$ और $n = \sqrt{2}$,इसलिए:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
प्रकाश पथ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$PR$ सतह पर आपतन कोण $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ है।
$PR$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $\gamma$ को न्यूनतम $\alpha$ के लिए क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $C = 45^{\circ}$।
अतः,$\gamma = 45^{\circ}$।
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ में मान रखने पर:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।
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एकसमान विद्युत आवेश घनत्व $\lambda$ वाला एक अनंत रेखीय आवेश,$R$ त्रिज्या वाले एक विद्युत चालक अनंत बेलनाकार खोल की अक्ष पर स्थित है। $t=0$ समय पर,बेलन के अंदर की जगह को $\varepsilon$ विद्युतशीलता और $\sigma$ विद्युत चालकता वाले पदार्थ से भर दिया जाता है। पदार्थ में विद्युत चालन ओम के नियम का पालन करता है। निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ पदार्थ में किसी भी बिंदु पर धारा घनत्व $j(t)$ के परिमाण में होने वाले परिवर्तन को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
A
B
C
D
Solution
(C) मान लीजिए कि $t=0$ पर रेखीय आवेश घनत्व $\lambda_0$ है और किसी भी समय $t$ पर $\lambda(t)$ है।
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा घनत्व $j = \sigma E = \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ है।
प्रति इकाई लंबाई आवेश के परिवर्तन की दर $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई की बेलनाकार सतह से बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होती है:
$\frac{dq}{dt} = -j(2 \pi r l) = -\left( \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r} \right) (2 \pi r l) = -\frac{\sigma \lambda l}{\varepsilon}$.
चूंकि $q = \lambda l$,इसलिए $\frac{d\lambda}{dt} = -\frac{\sigma \lambda}{\varepsilon}$ प्राप्त होता है।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $\lambda(t) = \lambda_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ प्राप्त होता है।
इस मान को धारा घनत्व के समीकरण में रखने पर,हमें $j(t) = \frac{\sigma \lambda_0}{2 \pi \varepsilon r} e^{-\sigma t / \varepsilon} = j_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ प्राप्त होता है।
यह एक चरघातांकीय रूप से घटने वाला फलन है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा घनत्व $j = \sigma E = \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r}$ है।
प्रति इकाई लंबाई आवेश के परिवर्तन की दर $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई की बेलनाकार सतह से बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होती है:
$\frac{dq}{dt} = -j(2 \pi r l) = -\left( \frac{\sigma \lambda}{2 \pi \varepsilon r} \right) (2 \pi r l) = -\frac{\sigma \lambda l}{\varepsilon}$.
चूंकि $q = \lambda l$,इसलिए $\frac{d\lambda}{dt} = -\frac{\sigma \lambda}{\varepsilon}$ प्राप्त होता है।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $\lambda(t) = \lambda_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ प्राप्त होता है।
इस मान को धारा घनत्व के समीकरण में रखने पर,हमें $j(t) = \frac{\sigma \lambda_0}{2 \pi \varepsilon r} e^{-\sigma t / \varepsilon} = j_0 e^{-\sigma t / \varepsilon}$ प्राप्त होता है।
यह एक चरघातांकीय रूप से घटने वाला फलन है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
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$Ze$ नाभिकीय आवेश वाले हाइड्रोजन-जैसे परमाणुओं के लिए अत्यधिक उत्तेजित अवस्थाएं (जिन्हें रिडबर्ग अवस्थाएं भी कहा जाता है) उनके मुख्य क्वांटम संख्या $n$ द्वारा परिभाषित होती हैं,जहाँ $n \gg 1$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ दो क्रमिक कक्षाओं की त्रिज्याओं में सापेक्ष परिवर्तन $Z$ पर निर्भर नहीं करता है
$(B)$ दो क्रमिक कक्षाओं की त्रिज्याओं में सापेक्ष परिवर्तन $1/n$ के अनुसार बदलता है
$(C)$ दो क्रमिक कक्षाओं की ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन $1/n^3$ के अनुसार बदलता है
$(D)$ दो क्रमिक कक्षाओं के कोणीय संवेग में सापेक्ष परिवर्तन $1/n$ के अनुसार बदलता है
$(A)$ दो क्रमिक कक्षाओं की त्रिज्याओं में सापेक्ष परिवर्तन $Z$ पर निर्भर नहीं करता है
$(B)$ दो क्रमिक कक्षाओं की त्रिज्याओं में सापेक्ष परिवर्तन $1/n$ के अनुसार बदलता है
$(C)$ दो क्रमिक कक्षाओं की ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन $1/n^3$ के अनुसार बदलता है
$(D)$ दो क्रमिक कक्षाओं के कोणीय संवेग में सापेक्ष परिवर्तन $1/n$ के अनुसार बदलता है
A
$A, B, D$
B
$B, C, D$
C
$A, B, C$
D
$A, C, D$
Solution
(A) हाइड्रोजन-जैसे परमाणु के लिए,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ होती है।
दो क्रमिक कक्षाओं के लिए त्रिज्या में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \approx \frac{dr}{r} = \frac{2n \, dn}{n^2} = \frac{2 \Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} \propto \frac{1}{n}$। यह $Z$ से स्वतंत्र है। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।
$n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -E_0 \frac{Z^2}{n^2}$ है।
ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{dE}{E} = \frac{2n^{-3} \, dn}{n^{-2}} = \frac{2 \Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta E}{E} \propto \frac{1}{n}$। अतः,$(C)$ गलत है।
कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} \propto \frac{1}{n}$। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(A)$,$(B)$ और $(D)$ हैं।
दो क्रमिक कक्षाओं के लिए त्रिज्या में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \approx \frac{dr}{r} = \frac{2n \, dn}{n^2} = \frac{2 \Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} \propto \frac{1}{n}$। यह $Z$ से स्वतंत्र है। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।
$n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -E_0 \frac{Z^2}{n^2}$ है।
ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{dE}{E} = \frac{2n^{-3} \, dn}{n^{-2}} = \frac{2 \Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta E}{E} \propto \frac{1}{n}$। अतः,$(C)$ गलत है।
कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta n}{n}$ है। चूंकि $\Delta n = 1$,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} \propto \frac{1}{n}$। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(A)$,$(B)$ और $(D)$ हैं।
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एक इनकैंडेसेंट बल्ब में टंगस्टन का एक पतला फिलामेंट होता है जिसे विद्युत धारा प्रवाहित करके उच्च तापमान तक गर्म किया जाता है। गर्म फिलामेंट ब्लैक-बॉडी विकिरण उत्सर्जित करता है। फिलामेंट से टंगस्टन के असमान वाष्पीकरण के कारण लंबे समय तक संचालन के बाद फिलामेंट के यादृच्छिक स्थानों पर टूटने का अवलोकन किया जाता है। यदि बल्ब को स्थिर वोल्टेज पर संचालित किया जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ फिलामेंट पर तापमान वितरण समान है
$(B)$ फिलामेंट के छोटे खंडों पर प्रतिरोध समय के साथ घटता है
$(C)$ फिलामेंट टूटने से पहले उच्च आवृत्ति बैंड पर अधिक प्रकाश उत्सर्जित करता है
$(D)$ बल्ब के जीवन के अंत की ओर फिलामेंट कम विद्युत शक्ति की खपत करता है
$(A)$ फिलामेंट पर तापमान वितरण समान है
$(B)$ फिलामेंट के छोटे खंडों पर प्रतिरोध समय के साथ घटता है
$(C)$ फिलामेंट टूटने से पहले उच्च आवृत्ति बैंड पर अधिक प्रकाश उत्सर्जित करता है
$(D)$ बल्ब के जीवन के अंत की ओर फिलामेंट कम विद्युत शक्ति की खपत करता है
A
$A, D$
B
$A, C$
C
$C, D$
D
$B, D$
Solution
(C) $1$. जैसे-जैसे टंगस्टन फिलामेंट असमान रूप से वाष्पित होता है, विभिन्न बिंदुओं पर इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल कम हो जाता है, जिससे प्रतिरोध $(R = \rho L / A)$ में वृद्धि होती है।
$2$. चूंकि बल्ब स्थिर वोल्टेज $(V)$ पर संचालित होता है, इसलिए खपत की गई शक्ति $P = V^2 / R$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है, खपत की गई शक्ति $P$ कम हो जाती है। अतः, कथन $(D)$ सत्य है।
$3$. असमान वाष्पीकरण के कारण, फिलामेंट कुछ बिंदुओं पर पतला हो जाता है, जिससे तापमान वितरण असमान हो जाता है। अतः, कथन $(A)$ असत्य है।
$4$. जैसे-जैसे फिलामेंट पतला होता है, उसका प्रतिरोध बढ़ता है, घटता नहीं है। अतः, कथन $(B)$ असत्य है।
$5$. जैसे-जैसे फिलामेंट पतला होता है, सबसे पतले बिंदुओं पर तापमान बढ़ जाता है, जो ब्लैक-बॉडी विकिरण स्पेक्ट्रम के शिखर को उच्च आवृत्तियों की ओर स्थानांतरित करता है (वीन का विस्थापन नियम, $\lambda_{max} T = \text{constant}$)। इसलिए, यह टूटने से पहले उच्च आवृत्ति बैंड में अधिक प्रकाश उत्सर्जित करता है। अतः, कथन $(C)$ सत्य है।
$6$. अतः, कथन $(C)$ और $(D)$ सही हैं।
$2$. चूंकि बल्ब स्थिर वोल्टेज $(V)$ पर संचालित होता है, इसलिए खपत की गई शक्ति $P = V^2 / R$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है, खपत की गई शक्ति $P$ कम हो जाती है। अतः, कथन $(D)$ सत्य है।
$3$. असमान वाष्पीकरण के कारण, फिलामेंट कुछ बिंदुओं पर पतला हो जाता है, जिससे तापमान वितरण असमान हो जाता है। अतः, कथन $(A)$ असत्य है।
$4$. जैसे-जैसे फिलामेंट पतला होता है, उसका प्रतिरोध बढ़ता है, घटता नहीं है। अतः, कथन $(B)$ असत्य है।
$5$. जैसे-जैसे फिलामेंट पतला होता है, सबसे पतले बिंदुओं पर तापमान बढ़ जाता है, जो ब्लैक-बॉडी विकिरण स्पेक्ट्रम के शिखर को उच्च आवृत्तियों की ओर स्थानांतरित करता है (वीन का विस्थापन नियम, $\lambda_{max} T = \text{constant}$)। इसलिए, यह टूटने से पहले उच्च आवृत्ति बैंड में अधिक प्रकाश उत्सर्जित करता है। अतः, कथन $(C)$ सत्य है।
$6$. अतः, कथन $(C)$ और $(D)$ सही हैं।
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एक समतल-उत्तल लेंस $n$ अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना है। जब एक छोटी वस्तु को लेंस की वक्र सतह के सामने $30 \ cm$ की दूरी पर रखा जाता है,तो वस्तु के आकार से दोगुना आकार का प्रतिबिंब प्राप्त होता है। लेंस की वक्र सतह से परावर्तन के कारण,लेंस से $10 \ cm$ की दूरी पर एक और धुंधला प्रतिबिंब दिखाई देता है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ लेंस का अपवर्तनांक $2.5$ है
$(B)$ उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $45 \ cm$ है
$(C)$ धुंधला प्रतिबिंब सीधा और वास्तविक है
$(D)$ लेंस की फोकस दूरी $20 \ cm$ है
$(A)$ लेंस का अपवर्तनांक $2.5$ है
$(B)$ उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $45 \ cm$ है
$(C)$ धुंधला प्रतिबिंब सीधा और वास्तविक है
$(D)$ लेंस की फोकस दूरी $20 \ cm$ है
A
$A, B$
B
$A, D$
C
$A, C$
D
$B, D$
Solution
(B) अपवर्तन के मामले में,आवर्धन $m = -v/u = 2$ है। चूँकि वस्तु वास्तविक है,$u = -30 \ cm$,इसलिए $v = -2u = 60 \ cm$। लेंस सूत्र $1/v - 1/u = 1/f_1$ का उपयोग करने पर,$1/60 - 1/(-30) = 1/f_1$,जिससे $f_1 = 20 \ cm$ प्राप्त होता है।
परावर्तन के मामले में,वक्र सतह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है। प्रतिबिंब लेंस से $10 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/f_2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -30 \ cm$ और $v = -10 \ cm$,हमें $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ प्राप्त होता है,इसलिए $f_2 = -7.5 \ cm$। चूँकि $f_2 = -R/2$,वक्रता त्रिज्या $R = 15 \ cm$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र $1/f_1 = (n-1)/R$ का उपयोग करने पर,$f_1 = 20 \ cm$ और $R = 15 \ cm$ रखने पर,$1/20 = (n-1)/15$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n-1 = 0.75$,इसलिए $n = 1.75$।
अतः,सही कथन $D$ है।
परावर्तन के मामले में,वक्र सतह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है। प्रतिबिंब लेंस से $10 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/f_2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -30 \ cm$ और $v = -10 \ cm$,हमें $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ प्राप्त होता है,इसलिए $f_2 = -7.5 \ cm$। चूँकि $f_2 = -R/2$,वक्रता त्रिज्या $R = 15 \ cm$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र $1/f_1 = (n-1)/R$ का उपयोग करने पर,$f_1 = 20 \ cm$ और $R = 15 \ cm$ रखने पर,$1/20 = (n-1)/15$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n-1 = 0.75$,इसलिए $n = 1.75$।
अतः,सही कथन $D$ है।
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$10 \ cm$ ऊंचाई वाले एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के आकार का एक चालक लूप इस प्रकार रखा गया है कि $90^{\circ}$ वाला शीर्ष एक अनंत लंबाई के चालक तार के बहुत करीब है (चित्र देखें)। तार लूप से विद्युत रूप से अछूता है। त्रिभुज का कर्ण तार के समानांतर है। त्रिभुजाकार लूप में धारा वामावर्त दिशा में है और $10 \ As^{-1}$ की स्थिर दर से बढ़ रही है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ तार में प्रेरित emf का परिमाण $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ है
$(B)$ यदि लूप को तार के चारों ओर एक स्थिर कोणीय गति से घुमाया जाता है,तो तार में $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ का अतिरिक्त emf प्रेरित होता है
$(C)$ तार में प्रेरित धारा कर्ण के साथ बहने वाली धारा की विपरीत दिशा में है
$(D)$ तार और लूप के बीच एक प्रतिकर्षण बल है
$(A)$ तार में प्रेरित emf का परिमाण $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ है
$(B)$ यदि लूप को तार के चारों ओर एक स्थिर कोणीय गति से घुमाया जाता है,तो तार में $\left(\frac{\mu_0}{\pi}\right) \ V$ का अतिरिक्त emf प्रेरित होता है
$(C)$ तार में प्रेरित धारा कर्ण के साथ बहने वाली धारा की विपरीत दिशा में है
$(D)$ तार और लूप के बीच एक प्रतिकर्षण बल है
Solution
(A) मान लीजिए कि अनंत लंबाई के तार में बहने वाली धारा $I$ है। तार से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ है।
तार से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करें। इस पट्टी की लंबाई $2x$ है (क्योंकि त्रिभुज $10 \ cm = 0.1 \ m$ ऊंचाई वाला समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है)।
इस पट्टी से गुजरने वाला फ्लक्स $d\phi = B \cdot dA = \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi x}\right) (2x \ dx) = \frac{\mu_0 I}{\pi} dx$ है।
लूप से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \int_0^{0.1} \frac{\mu_0 I}{\pi} dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [x]_0^{0.1} = \frac{0.1 \mu_0 I}{\pi} = \frac{\mu_0 I}{10 \pi}$ है।
अतः,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0}{10 \pi}$ है।
तार में प्रेरित emf $\varepsilon = M \frac{dI}{dt} = \left(\frac{\mu_0}{10 \pi}\right) \times 10 = \frac{\mu_0}{\pi} \ V$ है। कथन $(A)$ सही है।
लेंज के नियम के अनुसार,तार में प्रेरित धारा फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है। चूंकि लूप में धारा बढ़ रही है,इसलिए फ्लक्स बढ़ता है। तार में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में बहेगी जो लूप के क्षेत्र का विरोध करने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करे,जिसके परिणामस्वरूप प्रतिकर्षण बल लगता है। कथन $(D)$ सही है।
तार से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करें। इस पट्टी की लंबाई $2x$ है (क्योंकि त्रिभुज $10 \ cm = 0.1 \ m$ ऊंचाई वाला समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है)।
इस पट्टी से गुजरने वाला फ्लक्स $d\phi = B \cdot dA = \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi x}\right) (2x \ dx) = \frac{\mu_0 I}{\pi} dx$ है।
लूप से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \int_0^{0.1} \frac{\mu_0 I}{\pi} dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [x]_0^{0.1} = \frac{0.1 \mu_0 I}{\pi} = \frac{\mu_0 I}{10 \pi}$ है।
अतः,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0}{10 \pi}$ है।
तार में प्रेरित emf $\varepsilon = M \frac{dI}{dt} = \left(\frac{\mu_0}{10 \pi}\right) \times 10 = \frac{\mu_0}{\pi} \ V$ है। कथन $(A)$ सही है।
लेंज के नियम के अनुसार,तार में प्रेरित धारा फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है। चूंकि लूप में धारा बढ़ रही है,इसलिए फ्लक्स बढ़ता है। तार में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में बहेगी जो लूप के क्षेत्र का विरोध करने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करे,जिसके परिणामस्वरूप प्रतिकर्षण बल लगता है। कथन $(D)$ सही है।
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$d$ मोटाई वाले एक पारदर्शी स्लैब का अपवर्तनांक $n(z)$ है जो $z$ के साथ बढ़ता है। यहाँ $z$ स्लैब के अंदर की ऊर्ध्वाधर दूरी है,जिसे ऊपर से मापा जाता है। स्लैब को चित्र में दिखाए अनुसार समान अपवर्तनांक $n_1$ और $n_2 (> n_1)$ वाले दो माध्यमों के बीच रखा गया है। प्रकाश की एक किरण माध्यम $1$ से $\theta_i$ कोण पर आपतित होती है और माध्यम $2$ में $\theta_f$ अपवर्तन कोण के साथ $l$ पार्श्व विस्थापन (lateral displacement) के साथ बाहर निकलती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$
$(B)$ $n_1 \sin \theta_i = (n_2 - n_1) \sin \theta_f$
$(C)$ $l, n_2$ से स्वतंत्र है
$(D)$ $l, n(z)$ पर निर्भर है
$(A)$ $n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$
$(B)$ $n_1 \sin \theta_i = (n_2 - n_1) \sin \theta_f$
$(C)$ $l, n_2$ से स्वतंत्र है
$(D)$ $l, n(z)$ पर निर्भर है
A
$A, B, D$
B
$A, C, D$
C
$A, C$
D
$A, B, C$
Solution
(B) निरंतर बदलते अपवर्तनांक वाले माध्यम के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रकाश किरण के पथ के दौरान $n(z) \sin \theta(z)$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
माध्यम $1$ और स्लैब के बीच की सतह पर,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
स्लैब और माध्यम $2$ के बीच की सतह पर,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
चूंकि स्लैब में $n(z) \sin \theta(z)$ स्थिर है,इसलिए $n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
अतः,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
पार्श्व विस्थापन $l$ स्लैब से गुजरते समय किरण का क्षैतिज विस्थापन है। यह विस्थापन मोटाई $d$ पर $\tan \theta(z)$ के समाकलन द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$ है। चूंकि यह समाकलन केवल $n_1, \theta_i, d$ और फलन $n(z)$ पर निर्भर करता है,इसलिए विस्थापन $l, n_2$ से स्वतंत्र है और $n(z)$ पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $(A)$,$(C)$ और $(D)$ सत्य हैं।
माध्यम $1$ और स्लैब के बीच की सतह पर,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
स्लैब और माध्यम $2$ के बीच की सतह पर,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
चूंकि स्लैब में $n(z) \sin \theta(z)$ स्थिर है,इसलिए $n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
अतः,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
पार्श्व विस्थापन $l$ स्लैब से गुजरते समय किरण का क्षैतिज विस्थापन है। यह विस्थापन मोटाई $d$ पर $\tan \theta(z)$ के समाकलन द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$ है। चूंकि यह समाकलन केवल $n_1, \theta_i, d$ और फलन $n(z)$ पर निर्भर करता है,इसलिए विस्थापन $l, n_2$ से स्वतंत्र है और $n(z)$ पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $(A)$,$(C)$ और $(D)$ सत्य हैं।
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आइसोटोप ${}_{5}^{12}B$ जिसका द्रव्यमान $12.014 \text{ u}$ है, ${}_{6}^{12}C$ में $\beta$-क्षय से गुजरता है। ${}_{6}^{12}C$ नाभिक में अपनी मूल अवस्था से $4.041 \text{ MeV}$ ऊपर एक उत्तेजित अवस्था $({}_{6}^{12}C^*)$ होती है। यदि ${}_{5}^{12}B$ का क्षय ${}_{6}^{12}C^*$ में होता है, तो $\beta$-कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा $\text{MeV}$ इकाई में क्या होगी? ($1 \text{ u} = 931.5 \text{ MeV}/c^2$, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है)।
A
$5$
B
$9$
C
$3$
D
$1$
Solution
(B) $\beta$-क्षय प्रक्रिया इस प्रकार है: ${}_{5}^{12}B \to {}_{6}^{12}C^* + e^- + \bar{\nu}_e$.
${}_{6}^{12}C$ की मूल अवस्था में क्षय के लिए $Q$-मान की गणना द्रव्यमान अंतर का उपयोग करके की जाती है: $Q = [M({}_{5}^{12}B) - M({}_{6}^{12}C)] \times 931.5 \text{ MeV/u}$.
यह मानते हुए कि ${}_{6}^{12}C$ का द्रव्यमान लगभग $12.000 \text{ u}$ है, कुल उपलब्ध ऊर्जा $Q = (12.014 - 12.000) \times 931.5 \text{ MeV} = 0.014 \times 931.5 \text{ MeV} \approx 13.041 \text{ MeV}$ है।
चूंकि क्षय उत्तेजित अवस्था ${}_{6}^{12}C^*$ में होता है, जो मूल अवस्था से $4.041 \text{ MeV}$ ऊपर है, इसलिए $\beta$-कण और एंटीन्यूट्रिनो के लिए उपलब्ध ऊर्जा $Q' = Q - 4.041 \text{ MeV} = 13.041 - 4.041 = 9 \text{ MeV}$ है।
$\beta$-कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा तब प्राप्त होती है जब एंटीन्यूट्रिनो की ऊर्जा शून्य होती है, जो $Q'$ के बराबर होती है।
अतः, अधिकतम गतिज ऊर्जा $9 \text{ MeV}$ है।
${}_{6}^{12}C$ की मूल अवस्था में क्षय के लिए $Q$-मान की गणना द्रव्यमान अंतर का उपयोग करके की जाती है: $Q = [M({}_{5}^{12}B) - M({}_{6}^{12}C)] \times 931.5 \text{ MeV/u}$.
यह मानते हुए कि ${}_{6}^{12}C$ का द्रव्यमान लगभग $12.000 \text{ u}$ है, कुल उपलब्ध ऊर्जा $Q = (12.014 - 12.000) \times 931.5 \text{ MeV} = 0.014 \times 931.5 \text{ MeV} \approx 13.041 \text{ MeV}$ है।
चूंकि क्षय उत्तेजित अवस्था ${}_{6}^{12}C^*$ में होता है, जो मूल अवस्था से $4.041 \text{ MeV}$ ऊपर है, इसलिए $\beta$-कण और एंटीन्यूट्रिनो के लिए उपलब्ध ऊर्जा $Q' = Q - 4.041 \text{ MeV} = 13.041 - 4.041 = 9 \text{ MeV}$ है।
$\beta$-कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा तब प्राप्त होती है जब एंटीन्यूट्रिनो की ऊर्जा शून्य होती है, जो $Q'$ के बराबर होती है।
अतः, अधिकतम गतिज ऊर्जा $9 \text{ MeV}$ है।
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अपनी मूल अवस्था में एक हाइड्रोजन परमाणु को $970 \mathring A$ तरंगदैर्ध्य के प्रकाश द्वारा विकिरणित किया जाता है। यदि $hc/e = 1.237 \times 10^{-6} \text{ eV m}$ और हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था ऊर्जा $-13.6 \text{ eV}$ है,तो उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में उपस्थित रेखाओं की संख्या क्या है?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) $H$-परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन विकिरण को अवशोषित करने के बाद $n$-वीं अवस्था में कूदता है।
विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$ है।
अतः,$n$-वीं अवस्था की ऊर्जा,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$ है।
सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ का उपयोग करने पर:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ रेखाएँ।
विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$ है।
अतः,$n$-वीं अवस्था की ऊर्जा,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$ है।
सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ का उपयोग करने पर:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ रेखाएँ।
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दो इंडक्टर $L_1$ (इंडक्टेंस $1 \text{ mH}$,आंतरिक प्रतिरोध $3 \text{ } \Omega$) और $L_2$ (इंडक्टेंस $2 \text{ mH}$,आंतरिक प्रतिरोध $4 \text{ } \Omega$),और एक प्रतिरोधक $R$ (प्रतिरोध $12 \text{ } \Omega$) को $5 \text{ V}$ की बैटरी के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। सर्किट को $t=0$ समय पर चालू किया जाता है। बैटरी से ली गई अधिकतम और न्यूनतम धारा का अनुपात $(I_{\max} / I_{\min})$ क्या है?
A
$6$
B
$8$
C
$7$
D
$5$
Solution
(B) $t=0$ पर,इंडक्टर ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि वे धारा में परिवर्तन का विरोध करते हैं। इसलिए,धारा केवल $12 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है।
$I_{\min} = \frac{V}{R} = \frac{5}{12} \text{ A}$.
$t \rightarrow \infty$ पर,इंडक्टर आदर्श चालक तारों (शॉर्ट सर्किट) के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि धारा स्थिर हो जाती है। अब सर्किट में तीन प्रतिरोधक समानांतर में हैं: $3 \text{ } \Omega$,$4 \text{ } \Omega$,और $12 \text{ } \Omega$.
तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4+3+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ } \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{\text{eff}} = 1.5 \text{ } \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{\max} = \frac{V}{R_{\text{eff}}} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3} \text{ A}$ है।
अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{10/3}{5/12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 2 \times 4 = 8$ है।
$I_{\min} = \frac{V}{R} = \frac{5}{12} \text{ A}$.
$t \rightarrow \infty$ पर,इंडक्टर आदर्श चालक तारों (शॉर्ट सर्किट) के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि धारा स्थिर हो जाती है। अब सर्किट में तीन प्रतिरोधक समानांतर में हैं: $3 \text{ } \Omega$,$4 \text{ } \Omega$,और $12 \text{ } \Omega$.
तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4+3+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ } \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{\text{eff}} = 1.5 \text{ } \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{\max} = \frac{V}{R_{\text{eff}}} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3} \text{ A}$ है।
अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{10/3}{5/12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 2 \times 4 = 8$ है।
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$P$ हाइड्रोजन परमाणु के $1s$ इलेक्ट्रॉन को नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित अति सूक्ष्म मोटाई $dr$ के गोलीय कोश में पाए जाने की प्रायिकता है। इस कोश का आयतन $4\pi r^2 dr$ है। $P$ की $r$ पर निर्भरता का गुणात्मक आरेख है:
A
B
C
D
Solution
(D) हाइड्रोजन परमाणु की $1s$ कक्षक के लिए, त्रिज्यीय तरंग फलन $R(r) = 2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण फलन $P(r)$ को नाभिक से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई के गोलीय कोश में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया गया है।
$P(r) = 4\pi r^2 R^2(r) dr$.
$R(r)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $P(r) = 4\pi r^2 [2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}]^2 dr = 16\pi (Z/a_0)^3 r^2 e^{-2Zr/a_0} dr$.
$r = 0$ पर, $r^2$ पद के कारण $P(r) = 0$ होता है।
जैसे-जैसे $r \to \infty$, घातांकीय क्षय पद $e^{-2Zr/a_0}$ के कारण $P(r) \to 0$ होता है।
फलन $P(r)$ शून्य से शुरू होता है, $r = a_0/Z$ पर अधिकतम मान तक बढ़ता है, और फिर शून्य की ओर घटता है।
यह आरेख $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।
त्रिज्यीय प्रायिकता वितरण फलन $P(r)$ को नाभिक से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई के गोलीय कोश में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया गया है।
$P(r) = 4\pi r^2 R^2(r) dr$.
$R(r)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $P(r) = 4\pi r^2 [2(Z/a_0)^{3/2} e^{-Zr/a_0}]^2 dr = 16\pi (Z/a_0)^3 r^2 e^{-2Zr/a_0} dr$.
$r = 0$ पर, $r^2$ पद के कारण $P(r) = 0$ होता है।
जैसे-जैसे $r \to \infty$, घातांकीय क्षय पद $e^{-2Zr/a_0}$ के कारण $P(r) \to 0$ होता है।
फलन $P(r)$ शून्य से शुरू होता है, $r = a_0/Z$ पर अधिकतम मान तक बढ़ता है, और फिर शून्य की ओर घटता है।
यह आरेख $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।
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स्थायी नाभिकों के लिए न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ बनाम प्रोटॉन की संख्या $(Z)$ का आलेख परमाणु क्रमांक $Z > 20$ के लिए रैखिकता से ऊपर की ओर विचलन दर्शाता है। $1$ से कम $N/Z$ अनुपात वाले अस्थिर नाभिक के लिए,क्षय के संभावित प्रकार हैं:
$(A)$ $\beta^{-}$-क्षय ($\beta$ उत्सर्जन)
$(B)$ कक्षीय या $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर
$(C)$ न्यूट्रॉन उत्सर्जन
$(D)$ $\beta^{+}$-क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन)
$(A)$ $\beta^{-}$-क्षय ($\beta$ उत्सर्जन)
$(B)$ कक्षीय या $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर
$(C)$ न्यूट्रॉन उत्सर्जन
$(D)$ $\beta^{+}$-क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन)
A
$B, C$
B
$B, A$
C
$B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) $Z > 20$ वाले स्थायी नाभिकों के लिए,$N/Z$ अनुपात $1$ से अधिक होता है। $1$ से कम $N/Z$ अनुपात वाले अस्थिर नाभिक में प्रोटॉन की अधिकता होती है।
$N/Z$ अनुपात को बढ़ाने और स्थिरता रेखा की ओर बढ़ने के लिए,नाभिक को प्रोटॉन की संख्या कम करनी होगी या न्यूट्रॉन की संख्या बढ़ानी होगी।
$1$. $\beta^{+}$-क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. यहाँ,एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में परिवर्तित हो जाता है,जिससे $N/Z$ अनुपात बढ़ जाता है।
$2$. $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. यहाँ,नाभिक द्वारा एक कक्षीय इलेक्ट्रॉन को पकड़ लिया जाता है,जो एक प्रोटॉन को न्यूट्रॉन में बदल देता है,जिससे $N/Z$ अनुपात भी बढ़ जाता है।
दोनों प्रक्रियाएं प्रभावी रूप से $N/Z$ अनुपात को $1$ की ओर बढ़ाती हैं,जिससे नाभिक स्थिर हो जाता है। अतः,सही विकल्प $B$ और $D$ हैं।
$N/Z$ अनुपात को बढ़ाने और स्थिरता रेखा की ओर बढ़ने के लिए,नाभिक को प्रोटॉन की संख्या कम करनी होगी या न्यूट्रॉन की संख्या बढ़ानी होगी।
$1$. $\beta^{+}$-क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. यहाँ,एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में परिवर्तित हो जाता है,जिससे $N/Z$ अनुपात बढ़ जाता है।
$2$. $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. यहाँ,नाभिक द्वारा एक कक्षीय इलेक्ट्रॉन को पकड़ लिया जाता है,जो एक प्रोटॉन को न्यूट्रॉन में बदल देता है,जिससे $N/Z$ अनुपात भी बढ़ जाता है।
दोनों प्रक्रियाएं प्रभावी रूप से $N/Z$ अनुपात को $1$ की ओर बढ़ाती हैं,जिससे नाभिक स्थिर हो जाता है। अतः,सही विकल्प $B$ और $D$ हैं।
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$R$ त्रिज्या वाले एक गोलाकार नाभिक में समान रूप से वितरित $Z$ प्रोटॉन की स्थिर-विद्युत ऊर्जा $E = \frac{3}{5} \frac{Z(Z-1) e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दी जाती है। न्यूट्रॉन,${ }_1^1 H$,${ }_7^{15} N$ और ${ }_8^{15} O$ के मापे गए द्रव्यमान क्रमशः $1.008665 \ u$,$1.007825 \ u$,$15.000109 \ u$ और $15.003065 \ u$ हैं। यदि ${ }_7^{15} N$ और ${ }_8^{15} O$ दोनों नाभिकों की त्रिज्या समान है,$1 \ u = 931.5 \ MeV/c^2$ और $e^2 / (4 \pi \varepsilon_0) = 1.44 \ MeV \ fm$ है,तो नाभिक की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि बंधन ऊर्जा में अंतर पूरी तरह से स्थिर-विद्युत ऊर्जा के कारण है)। ($fm$ में)
A
$2.85$
B
$3.03$
C
$3.42$
D
$3.80$
Solution
(C) ${ }_8^{15} O$ $(Z=8)$ और ${ }_7^{15} N$ $(Z=7)$ के बीच स्थिर-विद्युत ऊर्जा का अंतर $\Delta E_c = E_O - E_N = \frac{3}{5} \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} [8(7) - 7(6)] = \frac{3}{5} \frac{1.44}{R} [56 - 42] = \frac{3}{5} \times \frac{1.44 \times 14}{R} = \frac{12.096}{R} \ MeV$ है।
नाभिक की बंधन ऊर्जा $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ द्वारा दी जाती है।
${ }_7^{15} N$ के लिए: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ के लिए: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
बंधन ऊर्जा में अंतर $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ है।
$\Delta E_c = \Delta B$ रखने पर: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.
नाभिक की बंधन ऊर्जा $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ द्वारा दी जाती है।
${ }_7^{15} N$ के लिए: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ के लिए: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
बंधन ऊर्जा में अंतर $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ है।
$\Delta E_c = \Delta B$ रखने पर: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.
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एक परमाणु प्रयोगशाला में दुर्घटना के परिणामस्वरूप प्रयोगशाला के अंदर $18$ दिनों की अर्ध-आयु वाले रेडियोधर्मी पदार्थ की एक निश्चित मात्रा जमा हो गई। परीक्षणों से पता चला कि विकिरण का स्तर प्रयोगशाला के सुरक्षित संचालन के लिए आवश्यक स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना अधिक था। प्रयोगशाला को उपयोग के लिए सुरक्षित माने जाने के लिए न्यूनतम कितने दिनों की आवश्यकता है?
A
$64$
B
$90$
C
$108$
D
$120$
Solution
(C) समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता (activity) सूत्र $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना है $(R = 64 R_0)$,इसलिए सुरक्षित सीमा तक पहुँचने के लिए अंतिम सक्रियता $R_0$ होनी चाहिए।
अतः,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$।
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$।
अतः,$n = 6$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 18$ दिन दी गई है,इसलिए कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ दिन होगा।
इस प्रकार,$108$ दिनों के बाद प्रयोगशाला सुरक्षित मानी जाएगी।
यह दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना है $(R = 64 R_0)$,इसलिए सुरक्षित सीमा तक पहुँचने के लिए अंतिम सक्रियता $R_0$ होनी चाहिए।
अतः,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$।
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$।
अतः,$n = 6$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 18$ दिन दी गई है,इसलिए कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ दिन होगा।
इस प्रकार,$108$ दिनों के बाद प्रयोगशाला सुरक्षित मानी जाएगी।
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$30 \ cm$ फोकस दूरी वाले एक पतले उत्तल लेंस के बाईं ओर $50 \ cm$ की दूरी पर एक छोटी वस्तु रखी गई है। $100 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाला एक उत्तल गोलीय दर्पण लेंस के दाईं ओर $50 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है। दर्पण को इस प्रकार झुकाया गया है कि दर्पण की अक्ष लेंस की अक्ष के साथ $\theta=30^{\circ}$ का कोण बनाती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि निर्देशांक प्रणाली का मूल बिंदु लेंस के केंद्र पर लिया जाए,तो उस बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ($cm$ में) ज्ञात कीजिए जहाँ प्रतिबिंब बनता है।
A
$(0,0)$
B
$(50-25 \sqrt{3}, 25)$
C
$(25, 25 \sqrt{3})$
D
$(125/3, 25/\sqrt{3})$
Solution
(B) $1$. उत्तल लेंस के लिए: लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -50 \ cm$ और $f = +30 \ cm$ है।
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$। अतः,$v = 75 \ cm$।
$2$. यह प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। दर्पण $x = 50 \ cm$ पर स्थित है। लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $x = 75 \ cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $25 \ cm$ की दूरी पर है। इसलिए,दर्पण के लिए वस्तु की दूरी $u = +25 \ cm$ है।
$3$. उत्तल दर्पण के लिए: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = +25 \ cm$ और $f_m = +50 \ cm$ है।
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$। अतः,$v_m = -50 \ cm$।
$4$. प्रतिबिंब दर्पण के सामने उसकी झुकी हुई अक्ष पर $50 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण की अक्ष $x$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है। दर्पण के ध्रुव के निर्देशांक $(50, 0)$ हैं। प्रतिबिंब ध्रुव से $30^{\circ}$ के कोण पर अक्ष के अनुदिश $50 \ cm$ की दूरी पर है।
$5$. ध्रुव के सापेक्ष प्रतिबिंब के निर्देशांक: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ और $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$।
$6$. निरपेक्ष निर्देशांक $x = 50 - 25\sqrt{3}$ और $y = 25$ हैं। अतः,निर्देशांक $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ हैं।
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$। अतः,$v = 75 \ cm$।
$2$. यह प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। दर्पण $x = 50 \ cm$ पर स्थित है। लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $x = 75 \ cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $25 \ cm$ की दूरी पर है। इसलिए,दर्पण के लिए वस्तु की दूरी $u = +25 \ cm$ है।
$3$. उत्तल दर्पण के लिए: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = +25 \ cm$ और $f_m = +50 \ cm$ है।
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$। अतः,$v_m = -50 \ cm$।
$4$. प्रतिबिंब दर्पण के सामने उसकी झुकी हुई अक्ष पर $50 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण की अक्ष $x$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है। दर्पण के ध्रुव के निर्देशांक $(50, 0)$ हैं। प्रतिबिंब ध्रुव से $30^{\circ}$ के कोण पर अक्ष के अनुदिश $50 \ cm$ की दूरी पर है।
$5$. ध्रुव के सापेक्ष प्रतिबिंब के निर्देशांक: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ और $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$।
$6$. निरपेक्ष निर्देशांक $x = 50 - 25\sqrt{3}$ और $y = 25$ हैं। अतः,निर्देशांक $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ हैं।
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चित्र में दिखाए अनुसार $\lambda_{\text{ph}}$ तरंगदैर्ध्य का प्रकाश एक निर्वात नली में कैथोड प्लेट पर गिरता है। कैथोड सतह का कार्य फलन $\phi$ है और एनोड एक सुचालक पदार्थ की तार की जाली है जिसे कैथोड से $d$ दूरी पर रखा गया है। इलेक्ट्रोड के बीच $V$ का विभवांतर बनाए रखा जाता है। यदि एनोड से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
$\phi$ और $\lambda_{\text{ph}}$ में वृद्धि के साथ $\lambda_e$ घटता है
B
यदि $d$ को दोगुना कर दिया जाए तो $\lambda_e$ लगभग आधा हो जाता है
C
बड़े विभवांतर $(V \gg \phi / e)$ के लिए,यदि $V$ को चार गुना कर दिया जाए तो $\lambda_e$ लगभग आधा हो जाता है
D
$\lambda_{\text{ph}} < hc / \phi$ के लिए $\lambda_e$ उसी दर से बढ़ता है जिस दर से $\lambda_{\text{ph}}$ बढ़ता है
Solution
(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होने के बाद उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ है,इसलिए $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ होता है।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
बड़े विभवांतर $(V \gg \phi/e)$ के लिए,हम $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ मान सकते हैं।
अतः,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,जिसका अर्थ है $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
यदि $V$ को चार गुना कर दिया जाए,तो $\lambda_e$ अपने मूल मान का $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ हो जाता है,अर्थात यह आधा हो जाता है।
इसलिए,कथन $(C)$ सही है।
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ है,इसलिए $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ होता है।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
बड़े विभवांतर $(V \gg \phi/e)$ के लिए,हम $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ मान सकते हैं।
अतः,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,जिसका अर्थ है $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
यदि $V$ को चार गुना कर दिया जाए,तो $\lambda_e$ अपने मूल मान का $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ हो जाता है,अर्थात यह आधा हो जाता है।
इसलिए,कथन $(C)$ सही है।
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दो समान गैल्वेनोमीटर और $R$ प्रतिरोध वाले दो समान प्रतिरोधकों पर विचार करें। यदि गैल्वेनोमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $R_G < R/2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विन्यास अधिकतम वोल्टेज रेंज और अधिकतम करंट रेंज प्रदान करता है?
A
$B, D$
B
$B, A$
C
$B, C$
D
$A, C$
Solution
(D) वोल्टमीटर के लिए,रेंज $V = I_g(R_G + R_{ext})$ होती है। $V$ को अधिकतम करने के लिए,हमें कुल प्रतिरोध $R_{total}$ को अधिकतम करने की आवश्यकता है। सभी घटकों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर $R_{total} = 2R_G + 2R$ प्राप्त होता है। यह अधिकतम संभव प्रतिरोध है,इसलिए वोल्टेज रेंज के लिए विकल्प $(A)$ सही है।
एमीटर के लिए,रेंज $I = I_g(1 + R_G/R_s)$ होती है। $I$ को अधिकतम करने के लिए,हमें शंट $R_s$ के समतुल्य प्रतिरोध को न्यूनतम करने की आवश्यकता है। सभी घटकों को समानांतर क्रम में जोड़ने पर न्यूनतम समतुल्य प्रतिरोध प्राप्त होता है,जो करंट रेंज को अधिकतम करता है। अतः,करंट रेंज के लिए विकल्प $(C)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
एमीटर के लिए,रेंज $I = I_g(1 + R_G/R_s)$ होती है। $I$ को अधिकतम करने के लिए,हमें शंट $R_s$ के समतुल्य प्रतिरोध को न्यूनतम करने की आवश्यकता है। सभी घटकों को समानांतर क्रम में जोड़ने पर न्यूनतम समतुल्य प्रतिरोध प्राप्त होता है,जो करंट रेंज को अधिकतम करता है। अतः,करंट रेंज के लिए विकल्प $(C)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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नीचे दिखाए गए सर्किट में,कुंजी (key) को $t=0$ समय पर दबाया जाता है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ कुंजी दबाते ही वोल्टमीटर $-5 \ V$ प्रदर्शित करता है,और लंबे समय के बाद $+5 \ V$ प्रदर्शित करता है।
$(B)$ वोल्टमीटर $t=\ln 2 \ s$ समय पर $0 \ V$ प्रदर्शित करेगा।
$(C)$ एमीटर में धारा $1 \ s$ के बाद प्रारंभिक मान की $1/e$ हो जाती है।
$(D)$ लंबे समय के बाद एमीटर में धारा शून्य हो जाती है।
$(A)$ कुंजी दबाते ही वोल्टमीटर $-5 \ V$ प्रदर्शित करता है,और लंबे समय के बाद $+5 \ V$ प्रदर्शित करता है।
$(B)$ वोल्टमीटर $t=\ln 2 \ s$ समय पर $0 \ V$ प्रदर्शित करेगा।
$(C)$ एमीटर में धारा $1 \ s$ के बाद प्रारंभिक मान की $1/e$ हो जाती है।
$(D)$ लंबे समय के बाद एमीटर में धारा शून्य हो जाती है।
A
$A, B, C$
B
$A, B, C, D$
C
$A, C, D$
D
$B, C, D$
Solution
(B) $t=0$ पर,कैपेसिटर अनावेशित (uncharged) होते हैं,इसलिए वे शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। वोल्टमीटर दो शाखाओं के जंक्शन पर जुड़ा होता है। प्रारंभ में,ऊपरी नोड पर विभव $0 \ V$ है और निचले नोड पर $5 \ V$ है,इसलिए वोल्टमीटर $-5 \ V$ पढ़ता है। लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं और ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। सर्किट वोल्टेज डिवाइडर के रूप में कार्य करता है। ऊपरी नोड पर विभव $5 \ V$ और निचले नोड पर $0 \ V$ हो जाता है,इसलिए वोल्टमीटर $+5 \ V$ पढ़ता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
वोल्टमीटर के आर-पार विभवांतर $V_v = V_{top} - V_{bottom}$ है। $RC$ सर्किट के लिए समय-निर्भर चार्जिंग समीकरणों का उपयोग करके,हम $V_v(t) = 5(2e^{-t} - 1)$ प्राप्त करते हैं। $V_v = 0$ रखने पर $2e^{-t} = 1$,या $t = \ln 2 \ s$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सत्य है।
कुल धारा $I(t) = I_1(t) + I_2(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ है। दोनों शाखाओं के लिए समय नियतांक $\tau = RC = (50 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 1 \ s$ है। अतः,$I(t) = I_0 e^{-t}$। $t = 1 \ s$ पर,$I = I_0/e$। अतः,$(C)$ सत्य है।
लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं,जो ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं,इसलिए एमीटर में धारा शून्य हो जाती है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन $(A, B, C, D)$ सत्य हैं।
वोल्टमीटर के आर-पार विभवांतर $V_v = V_{top} - V_{bottom}$ है। $RC$ सर्किट के लिए समय-निर्भर चार्जिंग समीकरणों का उपयोग करके,हम $V_v(t) = 5(2e^{-t} - 1)$ प्राप्त करते हैं। $V_v = 0$ रखने पर $2e^{-t} = 1$,या $t = \ln 2 \ s$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सत्य है।
कुल धारा $I(t) = I_1(t) + I_2(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ है। दोनों शाखाओं के लिए समय नियतांक $\tau = RC = (50 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 1 \ s$ है। अतः,$I(t) = I_0 e^{-t}$। $t = 1 \ s$ पर,$I = I_0/e$। अतः,$(C)$ सत्य है।
लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं,जो ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं,इसलिए एमीटर में धारा शून्य हो जाती है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन $(A, B, C, D)$ सत्य हैं।
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35
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग को करते समय,एक छात्र ने दो स्लिट्स को $x-y$ तल में एक बड़ी अपारदर्शी प्लेट से बदल दिया,जिसमें दो छोटे छिद्र हैं जो $600 \ nm$ तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उत्सर्जित करने वाले दो सुसंगत बिंदु स्रोतों $(S_1, S_2)$ के रूप में कार्य करते हैं। छात्र ने गलती से स्क्रीन को $x-z$ तल के समानांतर ($z>0$ के लिए) $S_1 S_2$ के मध्य-बिंदु से $D=3 \ m$ की दूरी पर रख दिया,जैसा कि चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है। स्रोतों के बीच की दूरी $d=0.6003 \ mm$ है। मूल बिंदु $O$ स्क्रीन और $S_1 S_2$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। स्क्रीन पर तीव्रता पैटर्न के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A)$ $x$-अक्ष के समानांतर सीधी चमकीली और काली पट्टियाँ
$(B)$ बिंदु $O$ के बहुत करीब का क्षेत्र काला (dark) होगा
$(C)$ $x$-दिशा में $O$ के चारों ओर सममित रूप से रखे गए फोकस के साथ अतिपरवलयिक (hyperbolic) चमकीली और काली पट्टियाँ
$(D)$ बिंदु $O$ पर केंद्रित अर्ध-वृत्ताकार चमकीली और काली पट्टियाँ
$(A)$ $x$-अक्ष के समानांतर सीधी चमकीली और काली पट्टियाँ
$(B)$ बिंदु $O$ के बहुत करीब का क्षेत्र काला (dark) होगा
$(C)$ $x$-दिशा में $O$ के चारों ओर सममित रूप से रखे गए फोकस के साथ अतिपरवलयिक (hyperbolic) चमकीली और काली पट्टियाँ
$(D)$ बिंदु $O$ पर केंद्रित अर्ध-वृत्ताकार चमकीली और काली पट्टियाँ
A
$B, C$
B
$B, D$
C
$B, A$
D
$A, C$
Solution
(B) स्रोत $S_1$ और $S_2$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं। स्क्रीन $y=D$ पर $x-z$ तल में है।
स्क्रीन पर किसी भी बिंदु $P(x, 0, z)$ के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_2P - S_1P$ है।
चूंकि स्रोत $y$-अक्ष पर हैं,इसलिए स्थिर पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक हाइपरबोलाइड ऑफ रिवोल्यूशन है। इस हाइपरबोलाइड का स्क्रीन ($y$-अक्ष के लंबवत एक तल) के साथ प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $O$ (स्क्रीन के साथ $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन) पर केंद्रित संकेंद्रित वृत्तों में परिणत होता है।
इस प्रकार,व्यतिकरण पैटर्न में $O$ पर केंद्रित अर्ध-वृत्ताकार चमकीली और काली पट्टियाँ होती हैं। यह कथन $(D)$ को सत्य बनाता है।
$O$ पर तीव्रता की जांच करने के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_1O - S_2O = d = 0.6003 \ mm$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p = \frac{2\pi}{600 \times 10^{-9} \ m} \times 0.6003 \times 10^{-3} \ m = \frac{2\pi \times 600.3 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 2001\pi$.
चूंकि कलांतर $\pi$ का एक विषम गुणज (विशेष रूप से $2001\pi$) है,बिंदु $O$ विनाशी व्यतिकरण के अनुरूप है,जिसका अर्थ है कि $O$ के करीब का क्षेत्र काला है। यह कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।
स्क्रीन पर किसी भी बिंदु $P(x, 0, z)$ के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_2P - S_1P$ है।
चूंकि स्रोत $y$-अक्ष पर हैं,इसलिए स्थिर पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक हाइपरबोलाइड ऑफ रिवोल्यूशन है। इस हाइपरबोलाइड का स्क्रीन ($y$-अक्ष के लंबवत एक तल) के साथ प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $O$ (स्क्रीन के साथ $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन) पर केंद्रित संकेंद्रित वृत्तों में परिणत होता है।
इस प्रकार,व्यतिकरण पैटर्न में $O$ पर केंद्रित अर्ध-वृत्ताकार चमकीली और काली पट्टियाँ होती हैं। यह कथन $(D)$ को सत्य बनाता है।
$O$ पर तीव्रता की जांच करने के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_1O - S_2O = d = 0.6003 \ mm$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p = \frac{2\pi}{600 \times 10^{-9} \ m} \times 0.6003 \times 10^{-3} \ m = \frac{2\pi \times 600.3 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 2001\pi$.
चूंकि कलांतर $\pi$ का एक विषम गुणज (विशेष रूप से $2001\pi$) है,बिंदु $O$ विनाशी व्यतिकरण के अनुरूप है,जिसका अर्थ है कि $O$ के करीब का क्षेत्र काला है। यह कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।
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36
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2016
$L$ लंबाई की भुजा और $R$ प्रतिरोध वाला एक कठोर तार का लूप कागज के तल में $v_0$ के स्थिर वेग से $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है। $t=0$ पर,लूप का दायां किनारा $3L$ लंबाई के एक ऐसे क्षेत्र में प्रवेश करता है जहाँ कागज के तल के अंदर की ओर एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पर्याप्त बड़े $v_0$ के लिए,लूप अंततः क्षेत्र को पार कर जाता है। मान लीजिए $x$ लूप के दाएं किनारे की स्थिति है। मान लीजिए $v(x)$,$I(x)$ और $F(x)$ क्रमशः $x$ के फलन के रूप में लूप का वेग,लूप में धारा और लूप पर बल को दर्शाते हैं। वामावर्त (counter-clockwise) धारा को धनात्मक लिया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा आरेख सही है? (गुरुत्वाकर्षण को अनदेखा करें)
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A) $1$. जब लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है $(0 < x < L)$: दायां किनारा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटता है,जिससे $EMF$ $\epsilon = BLv$ प्रेरित होता है। धारा $I = \frac{BLv}{R}$ दक्षिणावर्त (ऋणात्मक) बहती है। चुंबकीय बल $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ बाईं ओर कार्य करता है,जिससे मंदन उत्पन्न होता है। अतः,$v$ घटता है,$I$ ऋणात्मक है,और $F$ ऋणात्मक है।
$2$. जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है $(L < x < 2L)$: लूप से गुजरने वाला फ्लक्स स्थिर है,इसलिए प्रेरित $EMF$ शून्य है। अतः,$I = 0$ और $F = 0$ है। वेग $v$ स्थिर रहता है।
$3$. जब लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है $(3L < x < 4L)$: बायां किनारा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटता है। प्रेरित $EMF$ $\epsilon = BLv$ वामावर्त धारा $I = \frac{BLv}{R}$ (धनात्मक) उत्पन्न करता है। चुंबकीय बल $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ बाईं ओर कार्य करता है,जिससे और मंदन उत्पन्न होता है। अतः,$v$ घटता है,$I$ धनात्मक है,और $F$ ऋणात्मक है।
$4$. आरेखों का विश्लेषण: आरेख $A$ में $v$ को घटते हुए,फिर स्थिर,फिर घटते हुए दिखाया गया है,जो सही है। आरेख $C$ में $I$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए धनात्मक दिखाया गया है,जो भौतिकी के अनुरूप है। आरेख $D$ में $F$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए ऋणात्मक दिखाया गया है,जो भी सही है। अतः,$A, C, D$ सही हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$A$ और $C$ सही हैं।
$2$. जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है $(L < x < 2L)$: लूप से गुजरने वाला फ्लक्स स्थिर है,इसलिए प्रेरित $EMF$ शून्य है। अतः,$I = 0$ और $F = 0$ है। वेग $v$ स्थिर रहता है।
$3$. जब लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है $(3L < x < 4L)$: बायां किनारा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटता है। प्रेरित $EMF$ $\epsilon = BLv$ वामावर्त धारा $I = \frac{BLv}{R}$ (धनात्मक) उत्पन्न करता है। चुंबकीय बल $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ बाईं ओर कार्य करता है,जिससे और मंदन उत्पन्न होता है। अतः,$v$ घटता है,$I$ धनात्मक है,और $F$ ऋणात्मक है।
$4$. आरेखों का विश्लेषण: आरेख $A$ में $v$ को घटते हुए,फिर स्थिर,फिर घटते हुए दिखाया गया है,जो सही है। आरेख $C$ में $I$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए धनात्मक दिखाया गया है,जो भौतिकी के अनुरूप है। आरेख $D$ में $F$ को $0 < x < L$ के लिए ऋणात्मक और $3L < x < 4L$ के लिए ऋणात्मक दिखाया गया है,जो भी सही है। अतः,$A, C, D$ सही हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$A$ और $C$ सही हैं।
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37
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2016
$h$ ऊँचाई वाले एक निर्वातित बेलनाकार कक्ष पर विचार करें,जिसके सिरों पर कठोर चालक प्लेटें हैं और एक घुमावदार सतह कुचालक है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। हल्के और नरम पदार्थ से बनी और चालक पदार्थ से लेपित कई गोलाकार गेंदों को निचली प्लेट पर रखा गया है। गेंदों की त्रिज्या $r \ll h$ है। अब एक उच्च वोल्टेज स्रोत $(HV)$ को चालक प्लेटों के पार इस तरह जोड़ा जाता है कि निचली प्लेट $+V_0$ पर और ऊपरी प्लेट $-V_0$ पर हो। अपनी चालक सतह के कारण,गेंदें आवेशित हो जाएंगी,प्लेट के साथ समविभव हो जाएंगी और इसके द्वारा प्रतिकर्षित होंगी। गेंदें अंततः ऊपरी प्लेट से टकराएंगी,जहाँ गेंदों के नरम स्वभाव के कारण प्रत्यावस्थान गुणांक को शून्य माना जा सकता है। कक्ष में विद्युत क्षेत्र को समानांतर प्लेट संधारित्र के समान माना जा सकता है। मान लें कि गेंदों के बीच कोई टक्कर नहीं होती है और उनके बीच की परस्पर क्रिया नगण्य है। (गुरुत्वाकर्षण को अनदेखा करें)
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ गेंदें ऊपरी प्लेट पर चिपक जाएंगी और वहीं रहेंगी
$(B)$ गेंदें उसी आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(C)$ गेंदें विपरीत आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(D)$ गेंदें दोनों प्लेटों के बीच सरल आवर्त गति करेंगी
$(2)$ परिपथ में एमीटर द्वारा दर्ज की गई स्थिर अवस्था में औसत धारा क्या होगी?
$(A)$ शून्य
$(B)$ विभव $V_0$ के समानुपाती
$(C)$ $V_0^{1/2}$ के समानुपाती
$(D)$ $V_0^2$ के समानुपाती
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ गेंदें ऊपरी प्लेट पर चिपक जाएंगी और वहीं रहेंगी
$(B)$ गेंदें उसी आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(C)$ गेंदें विपरीत आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(D)$ गेंदें दोनों प्लेटों के बीच सरल आवर्त गति करेंगी
$(2)$ परिपथ में एमीटर द्वारा दर्ज की गई स्थिर अवस्था में औसत धारा क्या होगी?
$(A)$ शून्य
$(B)$ विभव $V_0$ के समानुपाती
$(C)$ $V_0^{1/2}$ के समानुपाती
$(D)$ $V_0^2$ के समानुपाती
Solution
(C, D) $1.$ सही विकल्प $C$ है। जब एक गेंद निचली प्लेट (जो $+V_0$ पर है) को छूती है,तो वह धनात्मक आवेश $q$ प्राप्त करती है। फिर यह निचली प्लेट द्वारा प्रतिकर्षित होती है और ऊपरी प्लेट (जो $-V_0$ पर है) द्वारा आकर्षित होती है। ऊपरी प्लेट से टकराने पर,गेंद अपना धनात्मक आवेश खो देती है और संपर्क के कारण ऋणात्मक आवेश $-q$ प्राप्त कर लेती है। फिर यह ऊपरी प्लेट द्वारा प्रतिकर्षित होती है और निचली प्लेट द्वारा आकर्षित होती है। इस प्रकार,गेंदें विपरीत आवेश लेकर वापस आती हैं।
$2.$ सही विकल्प $D$ है। प्रत्येक गेंद पर आवेश $q \propto V_0$ है। गेंद पर बल $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ है। त्वरण $a = F/m \propto V_0^2$ है। $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ है। औसत धारा $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$ है। अतः,$I_{av} \propto V_0^2$।
$2.$ सही विकल्प $D$ है। प्रत्येक गेंद पर आवेश $q \propto V_0$ है। गेंद पर बल $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ है। त्वरण $a = F/m \propto V_0^2$ है। $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ है। औसत धारा $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$ है। अतः,$I_{av} \propto V_0^2$।
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