x in [0, 1] के लिए int_0^x frac{t^2}{1+t^4} d | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$ प्राप्त होता है।$AM$-$GM

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$1$

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(A) माना $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$ प्राप्त होता है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $x^4 + 1 \geq 2x^2$ होता है,इसलिए $\frac{x^2}{1+x^4} \leq \frac{1}{2}$ है।अतः,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2 \leq \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} सभी $x \in [0, 1]$ के लिए $f'(x) अंत बिंदुओं का मूल्यांकन करने पर:$f(0) = \int_0^0 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(0) + 1 = 1$ है।$f(1) = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(1) + 1 = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 1$ है।चूँकि $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{t^2}{1+t^4} चूँकि $f(0) > 0$ और $f(1) < 0$ है तथा $f(x)$ सतत और निरंतर ह्रासमान है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार $[0, 1]$ में $f(x) = 0$ का ठीक एक मूल $x$ विद्यमान है।

$x \in [0, 1]$ के लिए $\int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt = 2x - 1$ को संतुष्ट करने वाले भिन्न $x$ की कुल संख्या क्या है?

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यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{x} dx$ और $J = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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