मान लीजिए $f:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ और $g:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ फलन हैं जो $f(x)=\left[x^2-3\right]$ और $g(x)=|x| f(x)+|4 x-7| f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[y]$,$y \in R$ के लिए $y$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो
$(A)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक तीन बिंदुओं पर असतत है
$(B)$ $f$,$\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ में ठीक चार बिंदुओं पर असतत है
$(C)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक चार बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है
$(D)$ $g$,$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ में ठीक पांच बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है

फलन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है और $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(B)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है और $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(C)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$(D)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$3.$ मान लीजिए $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर धनात्मक और $(0, \infty)$ पर ऋणात्मक है
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ दोनों पर अपना चिह्न बदलता है
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर अपना चिह्न नहीं बदलता है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

फलन $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ के लिए

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,जहाँ $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ और $g(x) = f^{\prime}(x)$,और $F(5) = 5$ दिया गया है,तो $F(10)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a_1+a_2+\ldots+a_{100}=0$ है। तो,