IIT JEE 1990 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) लघुगणक फलन $y = \log_a x$ निम्नलिखित शर्तों के तहत परिभाषित होता है:
$1$. आधार $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए,अर्थात $a > 0$।
$2$. आधार $a$ का मान $1$ के बराबर नहीं हो सकता,अर्थात $a \neq 1$।
$3$. चर $x$ धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $x > 0$।
अतः,व्यंजक को परिभाषित होने के लिए $a$ को $1$ के अतिरिक्त कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।

(C) मान लीजिए,यदि संभव हो,तो $\log_{2} 7$ एक परिमेय संख्या है,मान लीजिए $p/q$ जहाँ $p$ और $q$ परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं।
तब,$\frac{p}{q} = \log_{2} 7 \implies 7 = 2^{p/q} \implies 2^{p} = 7^{q}$.
यह एक विरोधाभास है क्योंकि $L.H.S$ एक सम संख्या है ($2$ की घात) और $R.H.S$ एक विषम संख्या है ($7$ की घात)।
चूंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए $\log_{2} 7$ एक अपरिमेय संख्या है।
स्पष्ट रूप से,$\log_{2} 7$ एक पूर्णांक नहीं है और इसलिए अभाज्य संख्या भी नहीं है।

(C) दिया गया है $z_1 = 10 + 6i$ और $z_2 = 4 + 6i$. मान लीजिए $z = x + iy$.
प्रतिबंध $\text{amp}\left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \frac{\pi}{4}$ एक वृत्त के चाप को दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ से होकर गुजरता है।
बिंदुपथ $\frac{(y-6)(x-4) - (y-6)(x-10)}{(x-4)(x-10) + (y-6)^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ द्वारा दिया जाता है।
सरल करने पर,$(y-6)(x-4 - x + 10) = (x-4)(x-10) + (y-6)^2$.
$6(y-6) = x^2 - 14x + 40 + y^2 - 12y + 36$.
$x^2 - 14x + y^2 - 18y + 112 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में $49 + 81$ जोड़ने पर:
$(x - 7)^2 + (y - 9)^2 = 18$.
हमें $|z - 7 - 9i| = |(x-7) + i(y-9)| = \sqrt{(x-7)^2 + (y-9)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
वृत्त के समीकरण से मान रखने पर,हमें $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,$2b = a + c$:
$2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - \frac{7}{2})$
$\log$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(2^x - 5)^2 = 2(2^x - \frac{7}{2})$
$2^x = y$ रखने पर,$(y - 5)^2 = 2y - 7$
$y^2 - 12y + 32 = 0$
$(y - 8)(y - 4) = 0$
अतः,$y = 8$ या $y = 4$ है।
यदि $2^x = 8$,तो $x = 3$ है।
यदि $2^x = 4$,तो $x = 2$ है।
लघुगणकीय पदों की परिभाषा के अनुसार,$x = 2$ संभव नहीं है क्योंकि $\log_3(-1)$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$x = 3$ सही उत्तर है।

(B) मूल अक्षों के सापेक्ष रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जब अक्षों को $\alpha$ कोण पर घुमाया जाता है,तो निर्देशांकों का रूपांतरण $x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha$ और $y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha$ के रूप में होता है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x'\cos \alpha - y'\sin \alpha}{a} + \frac{x'\sin \alpha + y'\cos \alpha}{b} = 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x'\left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right) + y'\left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right) = 1$
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right)^2 + \left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right)^2$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\sqrt 2 \cos x - 1}}{{\cot x - 1}}$.
चूँकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt 2 \cos x - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}(\cot x - 1)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{-\sqrt 2 \sin x}}{{-\csc^2 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \sqrt 2 \sin x \sin^2 x = \sqrt 2 \sin^3 x$
$x = \pi /4$ रखने पर:
$L = \sqrt 2 \left( \frac{1}{{\sqrt 2 }} \right)^3 = \sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$.

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(2x + 1)}^{40}}{{(4x - 1)}^5}}}{{{{(2x + 3)}^{45}}}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रत्येक पद से $x$ की उच्चतम घात को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{[x(2 + \frac{1}{x})]}^{40}}{{[x(4 - \frac{1}{x})]}^5}}}{{{{[x(2 + \frac{3}{x})]}^{45}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^{45}}{{(2 + \frac{1}{x})}^{40}}{{(4 - \frac{1}{x})}^5}}}{{{x^{45}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{45}}}}$
$= \frac{{{2^{40}} \cdot {4^5}}}{{{2^{45}}}} = \frac{{{2^{40}} \cdot {2^{10}}}}{{{2^{45}}}} = {2^5} = 32$

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान लीजिए $P(B) = x$ है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.8 = 0.3 + x - (0.3 \times x)$
$0.8 - 0.3 = x - 0.3x$
$0.5 = 0.7x$
$x = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$।
अतः,$P(B) = \frac{5}{7}$।

(D) लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,आधार $a$ एक ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए कि $a > 0$ और $a \neq 1$ हो।
अतः,आधार $a$ के लिए सही शर्त $1$ को छोड़कर कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
चूंकि मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
द्विघात समीकरण के अस्तित्व के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
सभी $p \neq 2n\pi$ के लिए $\cos^2 p \geq 0$ और $(\cos p - 1) < 0$ होने के कारण,$\Delta \geq 0$ की शर्त तब पूरी होती है जब $\sin p > 0$ हो।
अतः,$p \in (0, \pi)$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है.

(D) दिया गया है कि $d \times b = c \times b$,जिसका अर्थ है $(d - c) \times b = 0$।
इसका मतलब है कि $(d - c)$ सदिश $b$ के समानांतर है,इसलिए $d - c = \lambda b$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
अतः,$d = c + \lambda b = (4i - 3j + 7k) + \lambda(i + j + k) = (4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k$।
हमें दिया गया है कि $d \cdot a = 0$,जहाँ $a = 2i + k$ है।
$d$ और $a$ का मान रखने पर: $((4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k) \cdot (2i + 0j + k) = 0$।
$2(4 + \lambda) + 0(-3 + \lambda) + 1(7 + \lambda) = 0$।
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$।
$15 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -5$।
$d$ के समीकरण में $\lambda = -5$ रखने पर:
$d = (4 - 5)i + (-3 - 5)j + (7 - 5)k = -i - 8j + 2k$।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16 + \sqrt{x}} - 4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{16 + \sqrt{x} - 16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4) = \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8$.
$3$. चूँकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \text{LHL} = \text{RHL}$.
अतः,$a = 8$.

(B) $(g \circ f)(x)$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जो $f$ के प्रांत में हैं और $f(x)$,$g$ के प्रांत में है।
सबसे पहले,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ का प्रांत ज्ञात करें।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 \le 0$।
गुणनखंड करने पर: $(2x - 3)(2x + 1) \le 0$।
यह असमिका $x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ के लिए सत्य है।
अब,हमें $f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ की आवश्यकता है,इसलिए $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le \frac{3}{2}$।
सभी पदों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $-1 \le -\tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$।
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका बदल जाएगी): $-1 \le \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$।
प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) लेने पर: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi}{4}$।
$\frac{\pi}{2}$ से भाग देने पर: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$।
चूंकि यह अंतराल $f$ के दिए गए प्रांत $(-1 < x < 1)$ के भीतर है,इसलिए $(g \circ f)$ का प्रांत $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int \cos(t) \cdot 2 dt = 2 \int \cos(t) dt$ प्राप्त होता है।
$\cos(t)$ का समाकलन करने पर,हमें $I = 2 \sin(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{4e^x + 6e^{-x}}{9e^x - 4e^{-x}} dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{4e^{2x} + 6}{9e^{2x} - 4} dx$.
अंश को $4e^{2x} + 6 = m(18e^{2x}) + n(9e^{2x} - 4)$ के रूप में लिखने पर।
गुणांकों की तुलना करने पर: $18m + 9n = 4$ और $-4n = 6 \implies n = -\frac{3}{2}$.
$18m + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \implies 18m = 4 + \frac{27}{2} = \frac{35}{2} \implies m = \frac{35}{36}$.
अतः,$I = \int \frac{\frac{35}{36}(18e^{2x}) - \frac{3}{2}(9e^{2x} - 4)}{9e^{2x} - 4} dx = \frac{35}{36} \int \frac{18e^{2x}}{9e^{2x} - 4} dx - \frac{3}{2} \int dx$.
$I = \frac{35}{36} \log |9e^{2x} - 4| - \frac{3}{2}x + C$.
$Ax + B \log |9e^{2x} - 4| + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{3}{2}$ और $B = \frac{35}{36}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोई भी विकल्प इन मानों से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) माना $t = \frac{1}{x}$.
तब,$dt = -\frac{1}{x^2} \,dx$,जिसका अर्थ है $-\,dt = \frac{1}{x^2} \,dx$.
जब $x = \frac{1}{\pi}$,तब $t = \pi$.
जब $x = \frac{2}{\pi}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{1/\pi}^{2/\pi} \frac{\sin(1/x)}{x^2} \,dx = \int_{\pi}^{\pi/2} \sin(t) \cdot (-dt)$
$= \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(t) \,dt$
$= [-\cos(t)]_{\pi/2}^{\pi}$
$= -(\cos(\pi) - \cos(\pi/2))$
$= -(-1 - 0) = 1$.

(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$ है।
अब,$h(-x)$ की गणना करते हैं:
$h(-x) = [f(-x) + f(-(-x))][g(-x) - g(-(-x))] = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$h(-x) = -[f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] = -h(x)$।
चूंकि $h(-x) = -h(x)$,इसलिए फलन $h(x)$ एक विषम फलन (odd function) है।
किसी भी विषम फलन $h(x)$ के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकलन का मान शून्य होता है:
$\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$।
अतः,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx = 0$।

(A) हमें दिए गए समाकल हैं:
$\int_0^1 f(x) \, dx = 1$,
$\int_0^1 x f(x) \, dx = a$,
$\int_0^1 x^2 f(x) \, dx = a^2$।
हमें $I = \int_0^1 (x - a)^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ का विस्तार करने पर:
$I = \int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2) f(x) \, dx$
$I = \int_0^1 x^2 f(x) \, dx - 2a \int_0^1 x f(x) \, dx + a^2 \int_0^1 f(x) \, dx$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = a^2 - 2a(a) + a^2(1)$
$I = a^2 - 2a^2 + a^2$
$I = 0$.