IIT JEE 1990 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) લઘુગણક વિધેય $y = \log_a x$ નીચેની શરતો હેઠળ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$1$. આધાર $a$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,એટલે કે $a > 0$.
$2$. આધાર $a$ એ $1$ ની બરાબર ન હોઈ શકે,એટલે કે $a \neq 1$.
$3$. ચલ $x$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $x > 0$.
તેથી,પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે $a$ એ $1$ સિવાયની કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે,જો શક્ય હોય તો,$\log_{2} 7$ એ સંમેય છે,ધારો કે $p/q$ જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે.
તો,$\frac{p}{q} = \log_{2} 7 \implies 7 = 2^{p/q} \implies 2^{p} = 7^{q}$.
આ વિરોધાભાસ છે કારણ કે $L.H.S$ એ બેકી સંખ્યા છે ($2$ ની ઘાત) અને $R.H.S$ એ એકી સંખ્યા છે ($7$ ની ઘાત).
તેને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતું ન હોવાથી,$\log_{2} 7$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
સ્પષ્ટપણે,$\log_{2} 7$ એ પૂર્ણાંક નથી અને તેથી અવિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી.

(C) આપેલ છે કે $z_1 = 10 + 6i$ અને $z_2 = 4 + 6i$. ધારો કે $z = x + iy$.
શરત $\text{amp}\left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \frac{\pi}{4}$ એ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપને દર્શાવે છે.
બિંદુઓનો પથ $\frac{(y-6)(x-4) - (y-6)(x-10)}{(x-4)(x-10) + (y-6)^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ દ્વારા મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(y-6)(x-4 - x + 10) = (x-4)(x-10) + (y-6)^2$.
$6(y-6) = x^2 - 14x + 40 + y^2 - 12y + 36$.
$x^2 - 14x + y^2 - 18y + 112 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે બંને બાજુ $49 + 81$ ઉમેરતા:
$(x - 7)^2 + (y - 9)^2 = 18$.
આપણે $|z - 7 - 9i| = |(x-7) + i(y-9)| = \sqrt{(x-7)^2 + (y-9)^2}$ શોધવાનું છે.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ અને $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2b = a + c$:
$2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - \frac{7}{2})$
$\log$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(2^x - 5)^2 = 2(2^x - \frac{7}{2})$
$2^x = y$ લેતા,$(y - 5)^2 = 2y - 7$
$y^2 - 12y + 32 = 0$
$(y - 8)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = 8$ અથવા $y = 4$.
જો $2^x = 8$,તો $x = 3$.
જો $2^x = 4$,તો $x = 2$.
લોગેરિધમિક પદોની વ્યાખ્યા મુજબ,$x = 2$ શક્ય નથી કારણ કે $\log_3(-1)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$x = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) મૂળ અક્ષોના સંદર્ભમાં રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે યામોનું રૂપાંતર $x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha$ અને $y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha$ મુજબ થાય છે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x'\cos \alpha - y'\sin \alpha}{a} + \frac{x'\sin \alpha + y'\cos \alpha}{b} = 1$
પદોને ગોઠવતા:
$x'\left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right) + y'\left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right) = 1$
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}$ અને $\frac{1}{q} = \frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right)^2 + \left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right)^2$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\sqrt 2 \cos x - 1}}{{\cot x - 1}}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે $L$-Hospital નો નિયમ વાપરીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt 2 \cos x - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}(\cot x - 1)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{-\sqrt 2 \sin x}}{{-\csc^2 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \sqrt 2 \sin x \sin^2 x = \sqrt 2 \sin^3 x$
$x = \pi /4$ મૂકતા:
$L = \sqrt 2 \left( \frac{1}{{\sqrt 2 }} \right)^3 = \sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(2x + 1)}^{40}}{{(4x - 1)}^5}}}{{{{(2x + 3)}^{45}}}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે દરેક પદમાંથી $x$ ની મહત્તમ ઘાત સામાન્ય કાઢીશું:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{[x(2 + \frac{1}{x})]}^{40}}{{[x(4 - \frac{1}{x})]}^5}}}{{{{[x(2 + \frac{3}{x})]}^{45}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^{45}}{{(2 + \frac{1}{x})}^{40}}{{(4 - \frac{1}{x})}^5}}}{{{x^{45}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{45}}}}$
$= \frac{{{2^{40}} \cdot {4^5}}}{{{2^{45}}}} = \frac{{{2^{40}} \cdot {2^{10}}}}{{{2^{45}}}} = {2^5} = 32$

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
ધારો કે $P(B) = x$. આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = 0.3 + x - (0.3 \times x)$
$0.8 - 0.3 = x - 0.3x$
$0.5 = 0.7x$
$x = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$.
તેથી,$P(B) = \frac{5}{7}$.

(D) લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આધાર $a$ એ એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ કે જેથી $a > 0$ અને $a \neq 1$ થાય.
તેથી,આધાર $a$ માટેની સાચી શરત $1$ સિવાયની કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
બીજ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
બધા $p \neq 2n\pi$ માટે $\cos^2 p \geq 0$ અને $(\cos p - 1) < 0$ હોવાથી,$\Delta \geq 0$ ની શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\sin p > 0$ હોય.
આમ,$p \in (0, \pi)$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $d \times b = c \times b$,જેનો અર્થ છે કે $(d - c) \times b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(d - c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે,તેથી $d - c = \lambda b$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
તેથી,$d = c + \lambda b = (4i - 3j + 7k) + \lambda(i + j + k) = (4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k$.
આપણને આપેલ છે કે $d \cdot a = 0$,જ્યાં $a = 2i + k$.
$d$ અને $a$ ની કિંમત મૂકતા: $((4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k) \cdot (2i + 0j + k) = 0$.
$2(4 + \lambda) + 0(-3 + \lambda) + 1(7 + \lambda) = 0$.
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$.
$15 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -5$.
$d$ ના સમીકરણમાં $\lambda = -5$ મૂકતા:
$d = (4 - 5)i + (-3 - 5)j + (7 - 5)k = -i - 8j + 2k$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16 + \sqrt{x}} - 4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{16 + \sqrt{x} - 16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4) = \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8$.
$3$. વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \text{LHL} = \text{RHL}$.
તેથી,$a = 8$.

(B) $(g \circ f)(x)$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જે $f$ ના પ્રદેશમાં હોય અને $f(x)$ એ $g$ ના પ્રદેશમાં હોય.
પ્રથમ,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ નો પ્રદેશ શોધો.
$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $4x^2 - 4x - 3 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x - 3)(2x + 1) \le 0$.
આ અસમતા $x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ માટે સાચી છે.
હવે,આપણે $f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ ની જરૂર છે,તેથી $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le \frac{3}{2}$.
બધા પદોમાંથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા: $-1 \le -\tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$.
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતા બદલાશે): $-1 \le \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$.
ટેન્જન્ટનું પ્રતિવિધેય લેતા: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2}$ વડે ભાગતા: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
આ અંતરાલ $f$ ના આપેલા પ્રદેશ $(-1 < x < 1)$ માં હોવાથી,$(g \circ f)$ નો પ્રદેશ $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \cos(t) \cdot 2 dt = 2 \int \cos(t) dt$ મળે છે.
$\cos(t)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $I = 2 \sin(t) + c$ મળે છે.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{4e^x + 6e^{-x}}{9e^x - 4e^{-x}} dx$. અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{4e^{2x} + 6}{9e^{2x} - 4} dx$.
અંશને $4e^{2x} + 6 = m(18e^{2x}) + n(9e^{2x} - 4)$ તરીકે લખતા.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $18m + 9n = 4$ અને $-4n = 6 \implies n = -\frac{3}{2}$.
$18m + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \implies 18m = 4 + \frac{27}{2} = \frac{35}{2} \implies m = \frac{35}{36}$.
આમ,$I = \int \frac{\frac{35}{36}(18e^{2x}) - \frac{3}{2}(9e^{2x} - 4)}{9e^{2x} - 4} dx = \frac{35}{36} \int \frac{18e^{2x}}{9e^{2x} - 4} dx - \frac{3}{2} \int dx$.
$I = \frac{35}{36} \log |9e^{2x} - 4| - \frac{3}{2}x + C$.
$Ax + B \log |9e^{2x} - 4| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{3}{2}$ અને $B = \frac{35}{36}$ મળે છે.
કોઈપણ વિકલ્પ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે $t = \frac{1}{x}$.
તેથી,$dt = -\frac{1}{x^2} \,dx$,જેનો અર્થ છે કે $-\,dt = \frac{1}{x^2} \,dx$.
જ્યારે $x = \frac{1}{\pi}$,ત્યારે $t = \pi$.
જ્યારે $x = \frac{2}{\pi}$,ત્યારે $t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int_{1/\pi}^{2/\pi} \frac{\sin(1/x)}{x^2} \,dx = \int_{\pi}^{\pi/2} \sin(t) \cdot (-dt)$
$= \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(t) \,dt$
$= [-\cos(t)]_{\pi/2}^{\pi}$
$= -(\cos(\pi) - \cos(\pi/2))$
$= -(-1 - 0) = 1$.

(D) ધારો કે $h(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$.
હવે,$h(-x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$h(-x) = [f(-x) + f(-(-x))][g(-x) - g(-(-x))] = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$h(-x) = -[f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] = -h(x)$.
જેથી $h(-x) = -h(x)$,તેથી વિધેય $h(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
કોઈપણ અયુગ્મ વિધેય $h(x)$ માટે,સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પરનું સંકલન શૂન્ય થાય છે:
$\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$.
તેથી,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx = 0$.

(A) આપણને આપેલ સંકલિતો છે:
$\int_0^1 f(x) \, dx = 1$,
$\int_0^1 x f(x) \, dx = a$,
$\int_0^1 x^2 f(x) \, dx = a^2$.
આપણે $I = \int_0^1 (x - a)^2 f(x) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2) f(x) \, dx$
$I = \int_0^1 x^2 f(x) \, dx - 2a \int_0^1 x f(x) \, dx + a^2 \int_0^1 f(x) \, dx$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = a^2 - 2a(a) + a^2(1)$
$I = a^2 - 2a^2 + a^2$
$I = 0$.