IIT JEE 1990 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) घर्षण बल की दिशा साइकिल की गति की स्थिति पर निर्भर करती है।
$1$. जब पैडल मारा जाता है: पिछला पहिया चेन द्वारा संचालित होता है,जो जमीन को पीछे की ओर धकेलता है,इसलिए जमीन पिछले पहिये पर आगे की दिशा में घर्षण बल लगाती है। अगला पहिया स्वतंत्र रूप से लुढ़क रहा होता है,इसलिए यह अपनी गति का विरोध करने के लिए पीछे की दिशा में घर्षण बल का अनुभव करता है।
$2$. जब पैडल मारना बंद कर दिया जाता है (कोस्टिंग): दोनों पहिये स्वतंत्र रूप से लुढ़क रहे होते हैं। इस स्थिति में,दोनों पहिये अपनी आगे की गति का विरोध करने के लिए जमीन से पीछे की दिशा में घर्षण बल का अनुभव करते हैं।
चूंकि प्रश्न साइकिल की सामान्य गति के बारे में पूछता है,यह दोनों स्थितियों को कवर करता है। इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों अलग-अलग परिस्थितियों में पहियों पर कार्य करने वाले घर्षण बल का सही विवरण हैं।

(D) दी गई ऊष्मा ऊर्जा का वह अंश जो आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और नियत दाब पर दी गई ऊष्मा के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$f = \frac{\Delta U}{(\Delta Q)_P} = \frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
एक आदर्श द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,अंश $f = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ है।

(D) ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए मानक तरंग समीकरण $y = A\sin(kx + \omega t + \phi_0)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = A\sin(10\pi x + 15\pi t + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 15\pi\,rad/s$ और तरंग संख्या $k = 10\pi\,rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15\pi}{10\pi} = 1.5\,m/s$ है। चूँकि $x$ और $t$ पदों के चिह्न समान हैं,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2\,m$ है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 2\,\mu F$ है। हमें कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$ चाहिए।
मान लीजिए कि $n$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं और $m$ संधारित्र इस समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर क्रम में $n$ संधारित्रों की समतुल्य धारिता $C_p = nC = n(2)\,\mu F$ है।
कुल समतुल्य धारिता $C_{eq}$,$C_p$ और $m$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{m}{C} = \frac{1}{2n} + \frac{m}{2} = \frac{1 + nm}{2n}$.
दिया है $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$,इसलिए $\frac{2n}{1 + nm} = \frac{10}{11}$.
$22n = 10 + 10nm \implies 11n = 5 + 5nm \implies 5nm = 11n - 5$.
चूंकि संधारित्रों की कुल संख्या $n + m = 7$ है,इसलिए $m = 7 - n$ है।
$m$ का मान रखने पर: $5n(7 - n) = 11n - 5 \implies 35n - 5n^2 = 11n - 5 \implies 5n^2 - 24n - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $5n^2 - 25n + n - 5 = 0 \implies 5n(n - 5) + 1(n - 5) = 0 \implies (5n + 1)(n - 5) = 0$.
इस प्रकार,$n = 5$ और $m = 7 - 5 = 2$ है।
इसका मतलब है कि $5$ संधारित्र समानांतर में हैं और $2$ संधारित्र इस समानांतर समूह के साथ श्रेणी में हैं। यह चित्र $(a)$ में दिखाई गई व्यवस्था से मेल खाता है।

(B) विचलन के बिना विक्षेपण के लिए,दो पतले प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
विचलन के बिना विक्षेपण की शर्त है: $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$।
यहाँ,$A = 4^o$,$\mu = 1.54$,और $\mu' = 1.72$ है।
चूंकि प्रिज्मों को विचलन के बिना विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा गया है,इसलिए पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन को दूसरे प्रिज्म द्वारा विपरीत दिशा में संतुलित किया जाना चाहिए।
अतः,$(\mu - 1)A = -(\mu' - 1)A'$।
परिमाण लेने पर: $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 4^o = (1.72 - 1) \times A'$।
$0.54 \times 4^o = 0.72 \times A'$।
$A' = \frac{0.54 \times 4}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^o$।
अतः,प्रिज्म $P_2$ का कोण $3^o$ है।

(B) माना आपतित तीव्रता $I$ है।
बिंदु $A$ पर,$I$ का $25\%$ किरण $AB$ के रूप में परावर्तित होता है। अतः,$I_1 = 0.25I = I/4$।
अपवर्तित किरण की तीव्रता $0.75I$ है।
बिंदु $C$ पर,यह किरण परावर्तित होती है। आपतित ऊर्जा $(0.75I)$ का $25\%$ परावर्तित होता है। अतः,$A^1$ तक पहुँचने वाली किरण की तीव्रता $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ है।
बिंदु $A^1$ पर,यह किरण $A^1B^1$ के रूप में अपवर्तित होती है। चूंकि $A^1$ पर $25\%$ परावर्तित होता है,इसलिए आपतित ऊर्जा का $75\%$ पारगमित (transmitted) होता है।
अतः,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$।
आयाम $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ और $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ हैं।
आयामों का अनुपात $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ है।
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$।