IIT JEE 1990 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ઘર્ષણ બળની દિશા સાયકલની ગતિની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે.
$1$. જ્યારે પેડલ મારવામાં આવે છે: પાછળનું પૈડું ચેઈન દ્વારા ફરે છે,જે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે,તેથી જમીન પાછળના પૈડાં પર આગળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આગળનું પૈડું મુક્ત રીતે ગબડે છે,તેથી તે તેની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે.
$2$. જ્યારે પેડલ મારવાનું બંધ કરવામાં આવે છે (કોસ્ટિંગ): બંને પૈડાં મુક્ત રીતે ગબડે છે. આ કિસ્સામાં,બંને પૈડાં તેમની આગળની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે જમીન તરફથી પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે.
પ્રશ્ન સાયકલની સામાન્ય ગતિ વિશે પૂછે છે,જે બંને પરિસ્થિતિઓને આવરી લે છે. તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં પૈડાં પર લાગતા ઘર્ષણ બળનું સાચું વર્ણન છે.

(D) પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા ઉર્જાનો જે અંશ આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે તે આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર અને અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્માના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{\Delta U}{(\Delta Q)_P} = \frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,અંશ $f = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ થાય.

(D) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટેનું પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A\sin(kx + \omega t + \phi_0)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = A\sin(10\pi x + 15\pi t + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 15\pi\,rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 10\pi\,rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15\pi}{10\pi} = 1.5\,m/s$ છે. $x$ અને $t$ ના પદોના ચિહ્નો સમાન હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2\,m$ છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = 2\,\mu F$ છે. આપણે કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$ મેળવવું છે.
ધારો કે $n$ કેપેસીટરો સમાંતર જોડાણમાં છે અને $m$ કેપેસીટરો આ સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં $n$ કેપેસીટરોનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = nC = n(2)\,\mu F$ થાય.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $C_p$ અને $m$ કેપેસીટરોના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{m}{C} = \frac{1}{2n} + \frac{m}{2} = \frac{1 + nm}{2n}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$,તેથી $\frac{2n}{1 + nm} = \frac{10}{11}$.
$22n = 10 + 10nm \implies 11n = 5 + 5nm \implies 5nm = 11n - 5$.
કેપેસીટરોની કુલ સંખ્યા $n + m = 7$ હોવાથી,$m = 7 - n$ મળે.
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $5n(7 - n) = 11n - 5 \implies 35n - 5n^2 = 11n - 5 \implies 5n^2 - 24n - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $5n^2 - 25n + n - 5 = 0 \implies 5n(n - 5) + 1(n - 5) = 0 \implies (5n + 1)(n - 5) = 0$.
આમ,$n = 5$ અને $m = 7 - 5 = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $5$ કેપેસીટરો સમાંતર છે અને $2$ કેપેસીટરો આ સમાંતર જૂથ સાથે શ્રેણીમાં છે. આ આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ ગોઠવણી સાથે મેળ ખાય છે.

(B) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,બે પાતળા પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત છે: $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$.
અહીં,$A = 4^o$,$\mu = 1.54$,અને $\mu' = 1.72$ છે.
પ્રિઝમ વિચલન વગરનું વિભાજન ઉત્પન્ન કરવા માટે જોડાયેલા હોવાથી,પ્રથમ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન બીજા પ્રિઝમ દ્વારા વિરુદ્ધ દિશામાં સંતુલિત થવું જોઈએ.
તેથી,$(\mu - 1)A = -(\mu' - 1)A'$.
માત્રા લેતા: $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 4^o = (1.72 - 1) \times A'$.
$0.54 \times 4^o = 0.72 \times A'$.
$A' = \frac{0.54 \times 4}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^o$.
આમ,પ્રિઝમ $P_2$ નો ખૂણો $3^o$ છે.

(B) ધારો કે આપાત તીવ્રતા $I$ છે.
બિંદુ $A$ પર,$I$ ના $25\%$ કિરણ $AB$ તરીકે પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$I_1 = 0.25I = I/4$.
વક્રીભૂત કિરણની તીવ્રતા $0.75I$ છે.
બિંદુ $C$ પર,આ કિરણ પરાવર્તિત થાય છે. આપાત ઊર્જા $(0.75I)$ ના $25\%$ પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$A^1$ સુધી પહોંચતા કિરણની તીવ્રતા $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ છે.
બિંદુ $A^1$ પર,આ કિરણ $A^1B^1$ તરીકે વક્રીભૂત થાય છે. $A^1$ પર $25\%$ પરાવર્તિત થતું હોવાથી,આપાત ઊર્જાના $75\%$ પારગમિત થાય છે.
તેથી,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$.
કંપવિસ્તાર $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ છે.
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$.