AP EAMCET 2021 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x+7y-6)(x-5y+2)=0$ મળે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x+7y-6=0$ અને $L_2: x-5y+2=0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: 5x+\lambda y-8=0$ છે.
ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 7 & -6 \\ 1 & -5 & 2 \\ 5 & \lambda & -8 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(40-2\lambda) - 7(-8-10) - 6(\lambda+25) = 0$
$40 - 2\lambda + 126 - 6\lambda - 150 = 0$
$16 - 8\lambda = 0$
$8\lambda = 16$
$\lambda = 2$

(C) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) આપેલ ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $3m^2 - 8m + 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3m^2 - 8m + 5 = 0$ ઉકેલતા:
$3m^2 - 3m - 5m + 5 = 0$
$3m(m - 1) - 5(m - 1) = 0$
$(3m - 5)(m - 1) = 0$
આમ,ઢાળ $m_1 = \frac{5}{3}$ અને $m_2 = 1$ મળે છે (કારણ કે $m_1 > m_2$).
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 5xy + y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$m^2 - 5m + 4 = 0$.
અહીં,$m_1$ અને $m_2$ એ આ સમીકરણના બીજ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = 5$ અને $m_1 m_2 = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(5)^2 - 4(4)} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ:
$y^3 - 4x^2y = 0$
અવયવ પાડતા:
$y(y^2 - 4x^2) = 0$
$y(y - 2x)(y + 2x) = 0$
આથી ત્રણ રેખાઓ મળે છે:
$L_1: y = 0$
$L_2: y = 2x$
$L_3: y = -2x$
આ ત્રણેય રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,આ ત્રણેય રેખાઓ એક જ બિંદુ $(0, 0)$ માં છેદતી હોવાથી,તે સંગામી રેખાઓ છે.

(B) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $x^2+2 h x y+2 y^2=0$ $(i)$.
તેને $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ $(ii)$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ $(iii)$.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ આપેલ છે,તેથી $m_2 = 2m_1$.
$(iii)$ માં $m_2 = 2m_1$ મૂકતા,$m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $m_1 = \frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = 1$,તેથી $m_1+m_2 = \frac{3}{2}$. $(ii)$ પરથી,$-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
જો $m_1 = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = -1$,તેથી $m_1+m_2 = -\frac{3}{2}$. $(ii)$ પરથી,$-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
આમ,$h = \pm \frac{3}{2}$.

(C) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=4$ (તેથી $h=2$),અને $b=1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right| = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,અને $B = 1 - \cos \theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$A + B = \cos^2 \theta + \cos \theta + 1 - \cos \theta = \cos^2 \theta + 1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$H^2 - AB$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{(1 + \cos^2 \theta)^2}{4}$ મળે છે.
આમ,$\tan \alpha = \frac{2 \sqrt{\frac{(1 + \cos^2 \theta)^2}{4}}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપની રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ છે.
આપેલ સમીકરણ $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 6$,$b = -10$,અને $h = \frac{11}{2}$ મળે છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10}\right|$
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4}\right| = \left|\frac{\sqrt{361}}{-4}\right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટે,નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & 3 & -5 \\ 3 & b & 5 \\ -5 & 5 & -6 \end{vmatrix} = 0$
$a(-6b-25) - 3(-18+25) - 5(15+5b) = 0$
$-6ab - 25a - 21 - 75 - 25b = 0$
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ નો સહગુણક અને $y^2$ ના સહગુણકનો સરવાળો શૂન્ય થાય,એટલે કે $a+b=0$,જેનો અર્થ છે $b=-a$.
$b=-a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-6a(-a) - 25(a-a) - 96 = 0$
$6a^2 - 96 = 0$
$6a^2 = 96$
$a^2 = 16$
$|a| = 4$.

(A) રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે ખૂણો $\theta$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ માટે,$a=1$,$h=\sec \theta$,અને $b=1$ છે.
ધારો કે આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ છે.
તો $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
કારણ કે $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,તેથી $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = |\tan \theta|$.
તેથી,$\phi = \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$
$h = -\cos^2 \alpha$
$b = \sin^2 \alpha$
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
અહીં $a + b = -\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 0$ થાય છે.
જ્યારે $a + b = 0$ હોય,ત્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ મળે છે.
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = ab$ અને $B = -ab$ છે.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $A + B = ab - ab = 0$ થાય છે.
જ્યારે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,ત્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $(a y^2+p x y+e x^2)(y^2+q x y+k x^2) = 0$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે,તેમના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ માટે $m_1 m_2 = -1$ થવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4=0$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને શરત મળે છે:
$(b+d)(a d+b e)+(e-a)^2(a+c+e)=0$.

(D) રેખાઓની જોડી $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ માટે ખૂણાના દુભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,આપણી પાસે $a=1, b=-1, h=-p$ છે.
ખૂણાના દુભાજકો $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ એટલે કે $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દુભાજકોની જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ છે,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ ની સરખામણી $x^2-2 q x y-y^2=0$ સાથે કરતા,આપણને $\frac{2}{p}=-2 q$ મળે છે.
તેથી,$p q=-1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$2 h=-5$,અને $b=4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2-y^2}{3-4}=\frac{x y}{-5/2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^2-y^2}{-1}=\frac{2 x y}{-5}$ થાય છે.
બંને બાજુ $-5$ વડે ગુણતા,$5(x^2-y^2)=2 x y$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-2 m x y-y^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=-m, b=-1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-m}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-m(x^2-y^2)=2 x y$.
પદોને ગોઠવતા,$m x^2+2 x y-m y^2=0$ મળે છે.
$m$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),$x^2+\frac{2}{m} x y-y^2=0$ મળે છે.
આને દ્વિભાજકોના આપેલ સમીકરણ $x^2-2 n x y-y^2=0$ સાથે સરખાવતા,$-2n = \frac{2}{m}$ મળે છે.
આથી $mn = -1$,અથવા $mn+1=0$ થાય.

(B) રેખાઓની જોડી $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ માટે ખૂણાના દુભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,દુભાજકો $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-p(x^2-y^2)=2 x y$,અથવા $p x^2+2 x y-p y^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ મળે છે.
આ દુભાજકોની જોડી હોવાથી,તે આપેલી જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ ને સમાન હોવી જોઈએ.
$x y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $-2 q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
આમ,$-2 p q = 2$,જે $p q = -1$ આપે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0$ છે,જેને $3x^2 - 5xy - 2y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અવયવ પાડતા: $3x^2 - 6xy + xy - 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 3x(x - 2y) + y(x - 2y) = 0$ $\Rightarrow (x - 2y)(3x + y) = 0$.
રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: 3x + y = 0$ છે.
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર છેદે છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + y = k$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x - 2y = 0$ અને $x + y = k$. ઉકેલતા $y = \frac{k}{3}$ અને $x = \frac{2k}{3}$ મળે. તેથી,$A = \left(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3}\right)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x + y = 0$ અને $x + y = k$. બાદબાકી કરતા $2x = -k \Rightarrow x = -\frac{k}{2}$ અને $y = \frac{3k}{2}$ મળે. તેથી,$B = \left(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2}\right)$.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0 + \frac{2k}{3} - \frac{k}{2}}{3}, \frac{0 + \frac{k}{3} + \frac{3k}{2}}{3}\right) = \left(\frac{k}{18}, \frac{11k}{18}\right)$.
આપેલ છે કે $G = \left(\frac{1}{18}, \frac{11}{18}\right)$,તેથી $\frac{k}{18} = \frac{1}{18} \Rightarrow k = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $8 x^2-24 x y+18 y^2-6 x+9 y-5=0$ છે.
આને $(2 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y)^2 - 3(2 x - 3 y) - 5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $2 x - 3 y = t$. તો સમીકરણ $2 t^2 - 3 t - 5 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 t^2 - 5 t + 2 t - 5 = 0 \implies (t + 1)(2 t - 5) = 0$.
તેથી $t = -1$ અથવા $t = 5/2$.
$t = 2 x - 3 y$ પાછું મૂકતા,આપણને $2 x - 3 y + 1 = 0$ અને $4 x - 6 y - 5 = 0$ મળે છે.
બંને રેખાઓનો ઢાળ $m = 2/3$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.

(B) સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
એક રેખા $(0,0)$ અને $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{3-0}{2-0}(x - 0)$ એટલે કે $3x - 2y = 0$ થાય.
બીજી રેખા $(0,0)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{5-0}{4-0}(x - 0)$ એટલે કે $5x - 4y = 0$ થાય.
આ બંને રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y)(5x - 4y) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$15x^2 - 12xy - 10xy + 8y^2 = 0$ એટલે કે $15x^2 - 22xy + 8y^2 = 0$ મળે.
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 15$,$2h = -22$ અને $b = 8$ મળે.
તેથી,$a + 2h + b = 15 - 22 + 8 = 1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2+4xy-4y^2-6x-8y+7=0$ છે.
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ શોધવા માટે $x=0$ મૂકો.
સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $-4y^2-8y+7=0$ મળે છે,જે $4y^2+8y-7=0$ ને સમાન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-7)}}{2(4)} = \frac{-8 \pm \sqrt{176}}{8}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y = \frac{-8 \pm 4\sqrt{11}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$ મળે.
$Y$-અક્ષ પરના બે છેદબિંદુઓ $y_1 = -1 + \frac{\sqrt{11}}{2}$ અને $y_2 = -1 - \frac{\sqrt{11}}{2}$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = |(-1 + \frac{\sqrt{11}}{2}) - (-1 - \frac{\sqrt{11}}{2})| = |\sqrt{11}| = \sqrt{11}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ મળે છે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x-2y = 0$ અને $L_2: x-2y+k = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$.
તેથી,$3 = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
આમ,$|k| = 3\sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ વાસ્તવિક હોવા માટેની શરત $h^2 - ab \geq 0$ છે.
$2x^2 - pxy + 2y^2 = 0$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = -p$ (તેથી $h = -p/2$),અને $b = 2$ મળે છે.
શરત $h^2 - ab \geq 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(-p/2)^2 - (2)(2) \geq 0$
$p^2/4 - 4 \geq 0$
$p^2 - 16 \geq 0$
$(p - 4)(p + 4) \geq 0$
અસમતા ઉકેલતા,આપણને $p \leq -4$ અથવા $p \geq 4$ મળે છે.
આમ,$p \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $x + 2y = k$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x + 2y}{k} = 1$.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે વક્રના સમીકરણ $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ ને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીશું:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - (1)^2 = 0$
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ મૂકતા:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$
$5k^2 - 5 = 0$
$k^2 = 1$

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + kxy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ છે.
તે રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k/2 & 3/2 \\ k/2 & -6 & 1/2 \\ 3/2 & 1/2 & 1 \end{array}\right| = 0$
સાદુરૂપ આપતા,$k = 4$ મળે છે.
સમીકરણ $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$.
સમીકરણો $2x - 2y + 1 = 0$ અને $x + 3y + 1 = 0$ ઉકેલતા:
$x = -5/8$ અને $y = -1/8$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુ $\left(\frac{-5}{8}, \frac{-1}{8}\right)$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
આ રેખાઓનું છેદબિંદુ $(x, y)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ સમીકરણ $5x+ky-8=0$ નું સમાધાન કરશે.
કિંમતો મૂકતા: $5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$
$20 + 2k = 24$
$2k = 4$
$k = 2$

(D) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓના છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ માટેનું સૂત્ર:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ રેખા $5x+\lambda y-8=0$ પર આવેલું છે.
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ વડે ગુણતા: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$\lambda = 2$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$ છે.
આને $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{x+6}{x+1} - 1)^{x+4} = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}} = e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+4/x}{1+1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.

(C) આપણી પાસે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ છે.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપનું અનિશ્ચિત લક્ષ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+6}{x+1} - 1\right)(x+4)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+6-x-1}{x+1}\right)(x+4)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5(x+4)}{x+1}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x+20}{x+1}}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 + 20/x}{1 + 1/x}}$
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $1/x \rightarrow 0$,તેથી:
$L = e^{\frac{5+0}{1+0}} = e^5$.

(B) આપેલ છે કે,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ અને $y=a \sin \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
અહીં $\frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{1}{\sin \theta}$.
તેથી,$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right) = a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
વળી,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x=a[\cos \theta+\log (\tan (\theta/2))]$ અને $y=a \sin \theta$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right]$
નિત્યસમ $\tan(\theta/2) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ અને $\sec^2(\theta/2) = \frac{1}{\cos^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} \right]$
કારણ કે $2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = \sin \theta$,તેથી:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right] = a \left[ \frac{1-\sin^2 \theta}{\sin \theta} \right] = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad \dots(i)$
હવે,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta \quad \dots(ii)$
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad \dots(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) + \tan(\pi-x)} d x$
કારણ કે $\tan(\pi-x) = -\tan x$ અને $\sec(\pi-x) = -\sec x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \frac{-(\pi-x) \tan x}{-\sec x - \tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x + \tan x} d x \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \tan x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}} d x$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} d x$
$2I = \pi \left[ \int_0^\pi 1 d x - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ [x]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x \tan x) d x \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - [\tan x - \sec x]_0^\pi \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)) \right]$
$2I = \pi \left[ \pi - ((0 - (-1)) - (0 - 1)) \right] = \pi [\pi - (1 + 1)] = \pi(\pi - 2)$
$I = \frac{\pi(\pi - 2)}{2}$

(D) અપ્રમાણસર પ્રક્રિયા એ રાસાયણિક પ્રક્રિયા છે જેમાં એક જ સ્પીસીઝ એકસાથે ઓક્સિડેશન અને રિડક્શન બંને અનુભવે છે.
$ClO_4^{-}$ માં,$Cl$ પરમાણુની ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+7$ છે. ક્લોરિનની સંયોજકતા કક્ષાની ઇલેક્ટ્રોન રચના $3s^2 3p^5$ હોવાથી,તે મહત્તમ $+7$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવી શકે છે.
કારણ કે $Cl$ પહેલેથી જ તેની મહત્તમ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં છે,તેથી તેનું વધુ ઓક્સિડેશન થઈ શકતું નથી.
તેથી,$ClO_4^{-}$ માત્ર રિડક્શન અનુભવી શકે છે અને અપ્રમાણસર પ્રક્રિયામાં ભાગ લઈ શકતું નથી.

(A) રેડોક્સ પ્રક્રિયાને સંતુલિત કરવા માટે,આપણે અર્ધ-પ્રક્રિયા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ઓક્સિડેશન અર્ધ-પ્રક્રિયા: $C_2O_4^{2-} \rightarrow 2CO_2 + 2e^-$
$2$. રિડક્શન અર્ધ-પ્રક્રિયા: $MnO_4^{-} + 8H^{+} + 5e^- \rightarrow Mn^{2+} + 4H_2O$
$3$. ઇલેક્ટ્રોનને સંતુલિત કરવા માટે,ઓક્સિડેશન અર્ધ-પ્રક્રિયાને $5$ વડે અને રિડક્શન અર્ધ-પ્રક્રિયાને $2$ વડે ગુણો:
$5C_2O_4^{2-} \rightarrow 10CO_2 + 10e^-$
$2MnO_4^{-} + 16H^{+} + 10e^- \rightarrow 2Mn^{2+} + 8H_2O$
$4$. બંને અર્ધ-પ્રક્રિયાઓને ઉમેરતા સંતુલિત સમીકરણ મળે છે:
$2MnO_4^{-} + 5C_2O_4^{2-} + 16H^{+} \rightarrow 2Mn^{2+} + 10CO_2 + 8H_2O$
આમ,$MnO_4^{-}$,$C_2O_4^{2-}$ અને $H^{+}$ માટેના સહગુણકો અનુક્રમે $2$,$5$ અને $16$ છે.

(B) $(i)$ $MnO_2$,$4 \ mol$ $HCl$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $1 \ mol$ $Cl_2$ વાયુ ઉત્પન્ન કરે છે.
પ્રતિક્રિયા: $MnO_2 + 4 HCl \rightarrow MnCl_2 + Cl_2 + 2 H_2O$
$(ii)$ $2 \ mol$ $KMnO_4$,$16 \ mol$ $HCl$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $5 \ mol$ $Cl_2$ વાયુ ઉત્પન્ન કરે છે.
પ્રતિક્રિયા: $2 KMnO_4 + 16 HCl \rightarrow 2 MnCl_2 + 5 Cl_2 + 8 H_2O + 2 KCl$
તેથી,મુક્ત થતા ક્લોરિન વાયુના મોલની સંખ્યા અનુક્રમે $1$ અને $5$ છે.

(B) તત્વનું તુલ્ય વજન શોધવાનું સૂત્ર: $\text{તુલ્ય વજન} = \frac{\text{પરમાણ્વીય દળ}}{\text{સંયોજકતા ફેક્ટર}}$.
$Fe_2O_3$ માં $Fe$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+3$ છે,તેથી સંયોજકતા ફેક્ટર $3$ છે.
$Fe$ નું પરમાણ્વીય દળ $= 56 \ g \ mol^{-1}$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{તુલ્ય વજન} = \frac{56}{3} = 18.66 \ g \ \approx 18.6 \ g$.

(D) રિડક્શનકર્તાની હાજરીમાં,$MnO_4^{-}$ સ્વયં-સૂચક તરીકે વર્તે છે અને તેનો રંગ ગુલાબીમાંથી રંગહીન થઈ જાય છે.
કારણ કે $MnO_4^{-}$ માં $Mn$ નો ઓક્સિડેશન આંક $+7$ છે,જે તેની મહત્તમ ઓક્સિડેશન અવસ્થા છે.
આમ,તે રિડક્શન પામવાનું વલણ ધરાવે છે અને સરળતાથી ઇલેક્ટ્રોન સ્વીકારે છે.
ચાર્જ ટ્રાન્સફર કોમ્પ્લેક્સ હોવાને કારણે,તે તીવ્ર રંગ દર્શાવે છે,તેથી તે સ્વયં-સૂચક તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) $K, Rb,$ અને $Cs$ જ્યારે હવામાં સળગાવવામાં આવે ત્યારે સુપરઓક્સાઇડ બનાવે છે. \\ જેમ આપણે સમૂહમાં નીચે જઈએ છીએ,તેમ આલ્કલી ધાતુના કેટાયનનું કદ $K^+$ થી $Cs^+$ તરફ વધે છે. \\ સુપરઓક્સાઇડની સ્થિરતા લેટીસ ઉર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે; જેમ કેટાયનનું કદ વધે છે,તેમ લેટીસ ઉર્જા ઘટે છે,જે સુપરઓક્સાઇડની સ્થિરતામાં ઘટાડો કરે છે. \\ તેથી,સુપરઓક્સાઇડની સ્થિરતા $K$ થી $Cs$ તરફ જતાં ઘટે છે. \\ આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) આલ્કલી ધાતુઓની સૌથી બહારની કક્ષામાં માત્ર એક સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
ઓછી આયનીકરણ એન્થાલ્પીને કારણે તેઓ સરળતાથી એક સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે અને અન્ય સંયોજનોનું રિડક્શન કરવા માટે ઓક્સિડેશન પામે છે.
તેથી,તેઓ પ્રબળ રિડક્શનકર્તા તરીકે વર્તે છે.

(A) લેટીસ ઉર્જા એ કેટાયન અને એનાયન વચ્ચેના આંતર-આયનીય અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલા તમામ સંયોજનોમાં ફ્લોરાઈડ આયન $(F^{-})$ સામાન્ય હોવાથી,લેટીસ ઉર્જા આલ્કલી ધાતુના કેટાયનના કદ પર આધાર રાખે છે.
જેમ કેટાયનનું કદ $Li^{+}$ થી $Cs^{+}$ તરફ વધે છે,તેમ આંતર-આયનીય અંતર વધે છે,જેના પરિણામે લેટીસ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,$LiF$ માં સૌથી ઓછું આંતર-આયનીય અંતર છે અને પરિણામે સૌથી વધુ લેટીસ ઉર્જા ધરાવે છે.

(B) સ્નાયુઓના સંકોચનમાં,કેલ્શિયમ આયનો $Ca^{2+}$ પ્રોટીન માયોસિન અને એક્ટિન વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓને સરળ બનાવીને મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે.
$Ca^{2+}$ આયનો એક્ટિન ફિલામેન્ટ પરના ટ્રોપોનિન કોમ્પ્લેક્સ સાથે જોડાય છે,જે માળખાકીય ફેરફાર લાવે છે અને માયોસિન હેડ માટે બાઈન્ડિંગ સાઇટ્સ ખુલ્લી કરે છે,જેનાથી સ્નાયુઓનું સંકોચન ઉત્તેજિત થાય છે.

(D) આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુના કેશનનું કદ સમૂહમાં નીચે તરફ વધતા હાઇડ્રેટ બનાવવાની વૃત્તિ ઘટે છે.
નાના કેશનની ચાર્જ ઘનતા વધુ હોય છે,જે તેમને પાણીના અણુઓને વધુ અસરકારક રીતે ધ્રુવીભૂત (polarize) કરવાની ક્ષમતા આપે છે,જેનાથી વધુ મજબૂત હાઇડ્રેશન થાય છે.
આયનીય ત્રિજ્યાનો ક્રમ: $Mg^{2+} < Ca^{2+} < Sr^{2+} < Ba^{2+}$.
તેથી,હાઇડ્રેટ બનાવવાની વૃત્તિનો ક્રમ: $Mg^{2+} > Ca^{2+} > Sr^{2+} > Ba^{2+}$.
આમ,સાચો ક્રમ $Mg > Ca > Sr > Ba$ છે.

(A) દ્વિ-ક્ષાર એવા સંયોજનો છે જે ફક્ત ઘન અવસ્થામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને પાણીમાં ઓગળતા તેમના ઘટક આયનોમાં વિયોજિત થઈ જાય છે. $Li_2SO_4$ દ્વિ-ક્ષાર (જેમ કે ફટકડી) બનાવતું નથી કારણ કે $Li^+$ આયનનું કદ ખૂબ જ નાનું છે અને તેની ધ્રુવીભવન શક્તિ (polarizing power) વધુ છે. તેના નાના કદને કારણે,$Li^+$ આયન દ્વિ-ક્ષારની લાક્ષણિક સ્ફટિક લેટીસ રચના બનાવવા માટે જરૂરી સંકલન જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરી શકતું નથી,જે $Na^+$,$K^+$ અને $Rb^+$ જેવા મોટા આલ્કલી ધાતુના આયનો કરી શકે છે.

(C) આપેલ છે,$l^2+m^2-n^2=0$ $(i)$ અને $l+m+n=0$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$n=-(l+m)$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$l^2+m^2=(-(l+m))^2 = l^2+m^2+2lm$.
આનો અર્થ એ છે કે $2lm=0$,તેથી $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $n=-m$. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$0^2+m^2+(-m)^2=1 \Rightarrow 2m^2=1 \Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=-l$. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$l^2+0^2+(-l)^2=1 \Rightarrow 2l^2=1 \Rightarrow l=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક સદિશો $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2 = 0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2 = 0$
$2l^2+2lm-4m^2 = 0$
$l^2+lm-2m^2 = 0$
$(l+2m)(l-m) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિક્ગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 1, -2)$ થાય. દિક્કોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ મળે.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિક્ગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(-2, 1, 1)$ થાય. દિક્કોસાઇન $(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ મળે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે,$l+m+n=0 \implies l = -m-n$ અને $l^2+m^2-n^2=0$.
બીજા સમીકરણમાં $l = -m-n$ મૂકતા:
$(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 + 2mn = 0$
$2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: જો $m=0$,તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-n, 0, n)$ મળે,જે $(-1, 0, 1)$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$.
કિસ્સો $2$: જો $m+n=0$,તો $m = -n$. $l = -m-n$ માં મૂકતા,$l = -(-n)-n = 0$ મળે. દિક્ગુણોત્તર $(0, -n, n)$ મળે,જે $(0, -1, 1)$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $\vec{v_2} = (0, -1, 1)$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $Fe^{2+}$ આયનોની સંખ્યા $x$ છે અને $Fe^{3+}$ આયનોની સંખ્યા $(0.96 - x)$ છે.
સંયોજન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી,કુલ ધન વીજભાર કુલ ઋણ વીજભાર જેટલો હોવો જોઈએ.
$O^{2-}$ નો વીજભાર $-2$ છે.
તેથી,$2x + 3(0.96 - x) - 2 = 0$.
$2x + 2.88 - 3x - 2 = 0$.
$-x + 0.88 = 0$.
$x = 0.88$.
આમ,$Fe^{2+}$ આયનોની સંખ્યા $0.88$ છે અને $Fe^{3+}$ આયનોની સંખ્યા $0.96 - 0.88 = 0.08$ છે.
$Fe^{2+}$ નો મોલ અંશ એ $Fe^{2+}$ આયનોની સંખ્યા અને $Fe$ આયનોની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$Fe^{2+}$ નો મોલ અંશ $= \frac{0.88}{0.96} = \frac{88}{96} = \frac{11}{12}$.