यदि vec{u}, vec{v}, vec{w} असमतलीय सदिश हैं औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $

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$(p, q)$ के केवल एक मान के लिए

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(D) दिया गया समीकरण: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ का उपयोग करने पर:$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] - 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = 0$चूंकि $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ और $[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$,समीकरण इस प्रकार होगा:$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + 2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$चूंकि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय हैं,$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] 
eq 0$. इसलिए:$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$यह $p$ में एक द्विघात समीकरण है। $p$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए:$D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$$D \geq 0$ के लिए,$-23q^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $q^2 \leq 0$. चूंकि $q$ एक वास्तविक संख्या है,यह केवल $q = 0$ होने पर ही संभव है।$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ में $q = 0$ रखने पर,$3p^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 0$.अतः,केवल एक ही हल $(p, q) = (0, 0)$ संभव है।

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