यदि n विषम या सम है,तो श्रेणी 1 - 2 + 3 - 4 + | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ है।स्थिति $I$: यदि $n$ विषम है,तो मान लीजिए $n = 2m + 1$ है।योग $(1 - 2) + (3 - 4)

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$(a)$ और $(c)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ है।स्थिति $I$: यदि $n$ विषम है,तो मान लीजिए $n = 2m + 1$ है।योग $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m) + (2m + 1)$ होगा।यह सरल होकर $(-1) + (-1) + \dots + (-1) 	ext{ (m बार)} + (2m + 1) = -m + 2m + 1 = m + 1$ हो जाता है।चूंकि $n = 2m + 1$,इसलिए $m = \frac{n - 1}{2}$,अतः योग $\frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}$ होगा।स्थिति $II$: यदि $n$ सम है,तो मान लीजिए $n = 2m$ है।योग $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m)$ होगा।यह $m$ पदों का योग है,जिनमें से प्रत्येक $-1$ के बराबर है,इसलिए योग $-m$ होगा।चूंकि $n = 2m$,इसलिए $m = \frac{n}{2}$,अतः योग $-\frac{n}{2}$ होगा।इस प्रकार,यदि $n$ विषम है तो योग $\frac{n + 1}{2}$ है और यदि $n$ सम है तो $-\frac{n}{2}$ है। विकल्प $(d)$ इस सशर्त व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

यदि $n$ विषम या सम है,तो श्रेणी $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या होगा?

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