શ્રેણી frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + frac{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $T_n$ એ શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{n(n + 1)}}{{2({n^2} + n + 1)}}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $T_n$ એ શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:$T_n = \frac{n}{{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)}}$આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{n^2 - n + 1}} - \frac{1}{{n^2 + n + 1}} \right]$અહીં $n^2 - n + 1 = 1 + n(n - 1)$ અને $n^2 + n + 1 = 1 + n(n + 1)$ છે.તેથી,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{1 + (n - 1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right]$.$r=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો લેતા:$S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{1 + (n-1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n+1)}} \right) \right]$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી વચ્ચેના તમામ પદો ઉડી જશે:$S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1 + n^2 + n - 1}{{n^2 + n + 1}} \right] = \frac{n(n + 1)}{{2(n^2 + n + 1)}}$.

શ્રેણી $\frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + \frac{2}{{1 + {2^2} + {2^4}}} + \frac{3}{{1 + {3^2} + {3^4}}} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ શોધો જેથી $1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3^2} - \dots - \frac{2}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$ થાય.

$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ હોય,તો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

$n$ ધન સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એક $(1)$ છે. તેમનો સરવાળો

જો એક $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) નું ત્રીજું પદ $4$ હોય,તો તેના પ્રથમ $5$ પદોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module