Permutation and Combination Questions in Gujarati

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $1000$ થી નાની હોવાથી,તે $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે.
$(i)$ $1$-અંકી એકી સંખ્યાઓ માટે: એકમના સ્થાને એકી અંક હોવો જોઈએ. ઉપલબ્ધ એકી અંકો $5$ અને $7$ છે. આમ,$2$ શક્ય $1$-અંકી એકી સંખ્યાઓ છે.
(ii) $2$-અંકી એકી સંખ્યાઓ માટે: એકમના સ્થાનને $5$ અથવા $7$ વડે ($2$ રીતે) ભરી શકાય છે. દશકના સ્થાનને $0$ સિવાયના કોઈપણ અંક,એટલે કે $2, 5$ અથવા $7$ વડે ($3$ રીતે) ભરી શકાય છે. કુલ $2$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $= 2 \times 3 = 6$.
(iii) $3$-અંકી એકી સંખ્યાઓ માટે: એકમના સ્થાનને $5$ અથવા $7$ વડે ($2$ રીતે) ભરી શકાય છે. દશકના સ્થાનને આપેલ $4$ અંકો $(0, 2, 5, 7)$ માંથી કોઈપણ એક વડે ($4$ રીતે) ભરી શકાય છે. સોના સ્થાનને $0$ સિવાયના કોઈપણ અંક,એટલે કે $2, 5$ અથવા $7$ વડે ($3$ રીતે) ભરી શકાય છે. કુલ $3$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $= 2 \times 4 \times 3 = 24$.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 2 + 6 + 24 = 32$.

(A) $3$-અંકી સંખ્યામાં ત્રણ સ્થાન હોય છે: સોનું સ્થાન,દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન.
અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દરેક સ્થાનને આપેલા $1, 2, 3, 4, 5, 9$ અંકો (કુલ $6$ અંકો) માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે.
સોના સ્થાન માટે,સંખ્યા $600$ થી નાની રહે તે માટે અંક $6$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ. તેથી,સોના સ્થાનને $1, 2, 3, 4$ અથવા $5$ વડે ભરી શકાય છે. આ માટે $5$ શક્ય રીતો છે.
દશકના સ્થાનને $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 9)$ માંથી કોઈપણ અંક વડે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
એકમના સ્થાનને $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 9)$ માંથી કોઈપણ અંક વડે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવી કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 5 \times 6 \times 6 = 180$ થાય.

(A) કુલ $26$ ભિન્ન અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો છે.
$3$ ભિન્ન મૂળાક્ષરોનો શબ્દ બનાવવા માટે:
પ્રથમ મૂળાક્ષર $26$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
બીજો મૂળાક્ષર $25$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે (કારણ કે પુનરાવર્તન શક્ય નથી).
ત્રીજો મૂળાક્ષર $24$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
તેથી,$3$ અક્ષરોવાળા શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 26 \times 25 \times 24 = 15600$ થાય.

(B) $100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની કોઈપણ સંખ્યા $3$ અંકની હોય છે.
અંકો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ગણમાંથી અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય નથી.
$3$ અંકની સંખ્યા માટે,સોના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં.
$1$. સોના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંક $1$ થી $9$).
$2$. દશકના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (સોના સ્થાન પર વપરાયેલ અંક સિવાયના બાકીના $9$ અંકો,જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે).
$3$. એકમના સ્થાનને $8$ રીતે ભરી શકાય છે (અગાઉ વપરાયેલા બે અંકો સિવાયના બાકીના $8$ અંકો).
આવી કુલ $3$ અંકની સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.

(C) $1000$ અને $10000$ ની વચ્ચેની કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા $4$ અંકની હોય છે.
દરેક $4$ સ્થાન (હજાર,સો,દશક અને એકમ) ને ફક્ત $4, 5$ અથવા $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ભરી શકાય છે.
દરેક $4$ સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો હોવાથી,આવી કુલ સંખ્યાઓની ગણતરી ગુણાકારના સિદ્ધાંત દ્વારા કરવામાં આવે છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$.

(A) લોકમાં $3$ વ્હીલ્સ છે અને દરેક વ્હીલને $10$ અંકો ($0$ થી $9$) માંથી કોઈપણ એક પર સેટ કરી શકાય છે.
કારણ કે $3$ અંકોના ક્રમમાં કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન થવું જોઈએ નહીં,તેથી આપણે $10$ અલગ-અલગ વસ્તુઓમાંથી $3$ વસ્તુઓ લઈને બનતા ક્રમચયો (permutations) ની સંખ્યા શોધવાની છે.
પ્રથમ વ્હીલ માટે,$10$ શક્ય વિકલ્પો છે.
બીજા વ્હીલ માટે,પુનરાવર્તનની મંજૂરી ન હોવાથી,બાકી રહેલા $9$ વિકલ્પો છે.
ત્રીજા વ્હીલ માટે,બાકી રહેલા $8$ વિકલ્પો છે.
તેથી,શક્ય કુલ ક્રમની સંખ્યા $10 \times 9 \times 8 = 720$ છે.

(B) કોડ એ $3, 5, 6$ અને $9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$-અંકની સંખ્યા છે.
કુલ શક્ય કોડની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ $4$ ભિન્ન અંકોની $4$ ના સમૂહમાં ગોઠવણી (ક્રમચય) કરવાની સંખ્યા ગણવી પડશે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓની ગોઠવણીની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 4$ છે,તેથી શક્ય કોડની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
તેથી,સાચો કોડ મેળવવા માટે જરૂરી પ્રયત્નોની મહત્તમ સંખ્યા $24$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(n+2)! = 2550(n!)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(n+2)! = (n+2)(n+1)(n!)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(n+2)(n+1)(n!) = 2550(n!)$
અહીં $n! \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$(n+2)(n+1) = 2550$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$n^2 + 3n + 2 = 2550$
દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$n^2 + 3n - 2548 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 + 52n - 49n - 2548 = 0$
$n(n + 52) - 49(n + 52) = 0$
$(n - 49)(n + 52) = 0$
આમ,$n$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$n = 49$ અથવા $n = -52$.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(n \in \mathbb{N})$ હોવી જોઈએ,તેથી $n = -52$ શક્ય નથી.
તેથી,$n = 49$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(n+1)! = 6(n-1)!$
આપણે જાણીએ છીએ કે $n! = n \times (n-1)!$,તેથી $(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(n+1) \times n \times (n-1)! = 6(n-1)!$
$(n-1)!$ શૂન્ય નથી,તેથી બંને બાજુ $(n-1)!$ વડે ભાગતા:
$(n+1) \times n = 6$
$n^2 + n - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n+3)(n-2) = 0$
આથી $n = -3$ અથવા $n = 2$ મળે.
ફેક્ટોરિયલ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $n = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$n = 2$.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{n!}{2!(n-2)!} : \frac{n!}{4!(n-4)!} = 2:1$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = \frac{2}{1}$.
અંશ અને છેદમાંથી $n!$ ને દૂર કરતા: $\frac{4!(n-4)!}{2!(n-2)!} = 2$.
ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} \times \frac{(n-4)!}{(n-2)(n-3)(n-4)!} = 2$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{6}{(n-2)(n-3)} = 1$.
તેથી,$(n-2)(n-3) = 6$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
અહીં $(n-4)!$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $n \ge 4$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $n = 5$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${ }^{n} P_{4}=18 \cdot{ }^{n-1} P_{2}$
સૂત્ર ${ }^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 18 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-1-2)!}$
$\frac{n(n-1)!}{(n-4)!} = 18 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-3)!}$
બંને બાજુ $(n-1)!$ વડે ભાગતા અને $(n-4)!$ વડે ગુણતા:
$n = 18 \cdot \frac{(n-4)!}{(n-3)!}$
કારણ કે $(n-3)! = (n-3)(n-4)!$,તેથી:
$n = \frac{18}{n-3}$
$n(n-3) = 18$
$n^2 - 3n - 18 = 0$
$(n-6)(n+3) = 0$
$n = 6$ અથવા $n = -3$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને ${ }^{n} P_{4}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $n \ge 4$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $n = -3$ શક્ય નથી.
આમ,$n = 6$.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{P(56, r+6)}{P(54, r+3)} = \frac{30800}{1}$
સૂત્ર $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} : \frac{54!}{(54-(r+3))!} = 30800 : 1$
$\Rightarrow \frac{56!}{(50-r)!} : \frac{54!}{(51-r)!} = 30800 : 1$
$\Rightarrow \frac{56 \times 55 \times 54!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\Rightarrow \frac{56 \times 55 \times (51-r) \times (50-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$\Rightarrow 3080 \times (51-r) = 30800$
$\Rightarrow 51-r = \frac{30800}{3080}$
$\Rightarrow 51-r = 10$
$\Rightarrow r = 51 - 10 = 41$
તેથી,$r$ ની કિંમત $41$ છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ (n ફેક્ટોરિયલ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,આપણી પાસે $n = 10$ વ્યક્તિઓ છે.
તેથી,તેઓ જે રીતે લાઈનમાં ઊભા રહી શકે તેની સંખ્યા $10!$ છે.
$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $3628800$ છે.

(C) $EQUATION$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N$.
તમામ અક્ષરો ભિન્ન હોવાથી અને દરેક અક્ષરનો બરાબર એકવાર ઉપયોગ કરવાનો હોવાથી,બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $8$ અક્ષરોના ક્રમચય (permutations) જેટલી થશે.
આ સંખ્યા $8!$ ( $8$ નો ફેક્ટોરિયલ) દ્વારા મળે છે.
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$.
તેથી,કુલ $40320$ શબ્દો બનાવી શકાય છે.

(D) $10$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રથમ $3$ ઈનામો કેટલી રીતે જીતી શકાય તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમચય (Permutation) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે જીતવાનો ક્રમ મહત્વનો છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યાનું સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 3$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{10}P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$ થશે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $10 \times 9 \times 8 = 720$ રીતો મળે છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 5$ પુરુષો $+ 4$ સ્ત્રીઓ $= 9$ વ્યક્તિઓ.
$9$ સ્થાનોની હારમાં,બેકી સ્થાનો $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}$ અને $8^{th}$ છે.
અહીં $4$ બેકી સ્થાનો ઉપલબ્ધ છે અને $4$ સ્ત્રીઓ છે જે આ સ્થાનો પર બેસી શકે છે.
તેથી,સ્ત્રીઓને બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $P(4, 4) = 4! = 24$ છે.
બાકી રહેલા $5$ એકી સ્થાનો $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ અને $5$ પુરુષો છે જે આ સ્થાનો પર બેસી શકે છે.
તેથી,પુરુષોને બાકીના સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $P(5, 5) = 5! = 120$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $P(4, 4) \times P(5, 5) = 4! \times 5!$ થશે.
કુલ ગોઠવણીઓ $= 24 \times 120 = 2880$.

(C) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ (n ફેક્ટોરિયલ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,આપણી પાસે $n = 4$ ભિન્ન પુસ્તકો છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ચાર આંગળીઓમાં $3$ અલગ-અલગ વીંટીઓ પહેરવી,જેમાં દરેક આંગળીમાં વધુમાં વધુ $1$ વીંટી હોય,તે $4$ માંથી $3$ આંગળીઓ પસંદ કરીને તેમાં $3$ અલગ-અલગ વીંટીઓની ગોઠવણી કરવા સમાન છે.
વીંટીઓ અલગ હોવાથી,ગોઠવણીનો ક્રમ મહત્વનો છે.
આ $4$ વસ્તુઓમાંથી એકસાથે $3$ વસ્તુઓ લઈને કરવામાં આવતા ક્રમચય (permutations) શોધવા સમાન છે,જે $P(4, 3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24$ રીતે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $24$ છે.

(A) અહીં ખુરશીઓની $4$ હાર છે (ધારો કે $I, II, III, IV$),જેમાં દરેક હારમાં $8$ ખુરશીઓ છે. શરત મુજબ,દરેક હારમાં બધા વિદ્યાર્થીઓ એક જ વર્ગના હોવા જોઈએ અને કોઈ પણ બે પાસપાસેની હાર એક જ વર્ગને ફાળવી શકાય નહીં.
અહીં $2$ વર્ગો ($C_1$ અને $C_2$) હોવાથી,હારની ગોઠવણી એકાંતરે (alternating) હોવી જોઈએ. વર્ગો માટેની બે શક્યતાઓ છે:
પેટર્ન $1$: હાર $I$ $(C_1)$,હાર $II$ $(C_2)$,હાર $III$ $(C_1)$,હાર $IV$ $(C_2)$.
પેટર્ન $2$: હાર $I$ $(C_2)$,હાર $II$ $(C_1)$,હાર $III$ $(C_2)$,હાર $IV$ $(C_1)$.
આમ,વર્ગોને હારમાં ફાળવવાની $2$ રીતો છે.
દરેક વર્ગ માટે $16$ વિદ્યાર્થીઓ છે,જેમને તે વર્ગને ફાળવેલી $16$ ખુરશીઓમાં ગોઠવવાના છે. $16$ વિદ્યાર્થીઓને $16$ ખુરશીઓમાં ગોઠવવાની રીતો $16!$ છે.
બંને વર્ગોમાં $16$ વિદ્યાર્થીઓ હોવાથી,તેમને બેસાડવાની કુલ રીતો $2 \times 16! \times 16!$ થશે.

(C) $1000$ અને $10000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા એ $4$ અંકની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે $7$ ભિન્ન અંકો ઉપલબ્ધ છે: ${1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$.
કોઈપણ અંકનું પુનરાવર્તન થતું ન હોવાથી,આપણે $7$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી $4$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની છે.
આ કરવા માટેની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ છે.

(D) $3, 1, 7, 0, 9, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $6$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે પ્રથમ અંક $0$ ન હોય.
$6$ અલગ-અલગ અંકોના કુલ ક્રમચયો $6! = 720$ છે.
જો પ્રથમ અંક $0$ હોય,તો બાકીની $5$ જગ્યાઓ બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $5!$ રીતે ભરી શકાય છે.
$5! = 120$.
તેથી,$6$ અંકની એવી સંખ્યાઓ જે $0$ થી શરૂ થતી નથી તેની સંખ્યા $6! - 5! = 720 - 120 = 600$ છે.

(A) કોઈપણ અંકનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે ત્રણ સ્થાન છે: સોનું સ્થાન,દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન.
$1$. સોના સ્થાનને ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે. આમ,$9$ વિકલ્પો છે.
$2$. દશકના સ્થાનને બાકી રહેલા $9$ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે અને સોના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય) કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે. આમ,$9$ વિકલ્પો છે.
$3$. એકમના સ્થાનને બાકી રહેલા $8$ અંકોમાંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે. આમ,$8$ વિકલ્પો છે.
કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.

(B) આપણી પાસે $6$ પિરિયડ અને $5$ વિષયો છે. દરેક વિષય ઓછામાં ઓછો એકવાર ભણાવવો આવશ્યક છે.
$6$ પિરિયડ અને $5$ વિષયો હોવાથી,એક વિષય બે વાર અને બાકીના ચાર વિષયો એક-એક વાર ભણાવવામાં આવશે.
પગલું $1$: જે વિષય બે વાર ભણાવવાનો છે તેને પસંદ કરો. આ $\binom{5}{1} = 5$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: $6$ પિરિયડમાં $6$ વિષયોની ગોઠવણી (જ્યાં એક વિષય બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{6!}{2!} = 360$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $3$: કુલ ગોઠવણીઓ $= 5 \times 360 = 1800$. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ $3600$ જવાબ છે,જે સૂચવે છે કે વિષયોની પસંદગી અને ક્રમની ગણતરીમાં $2$ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો છે,તેથી $3600$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આ પ્રશ્નમાં $4$ અલગ-અલગ મૂળાક્ષરો $(E, K, S, V)$ માંથી બનાવી શકાય તેવી ક્રમિક જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
અહીં મૂળાક્ષરોનો ક્રમ મહત્વનો છે (કારણ કે તેનો ઉપયોગ આદ્યાક્ષરો તરીકે કરવાનો છે),તેથી આપણે ક્રમચય (Permutation) ના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$n = 4$ (કુલ મૂળાક્ષરો) અને $r = 2$ (જોડી બનાવવા માટે પસંદ કરવાના મૂળાક્ષરોની સંખ્યા).
ક્રમિક જોડીઓની સંખ્યા $= P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$.
તેથી,ક્રમિક જોડીઓની કુલ સંખ્યા $12$ છે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 8$ છે.
સૌ પ્રથમ,અન્ય વિષયોના $5$ વિદ્યાર્થીઓને એક હરોળમાં ગોઠવો. તેઓ $5!$ રીતે બેસી શકે છે.
$5! = 120$ રીતો.
આ $5$ વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે $6$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $3$ ગણિતના વિદ્યાર્થીઓને બેસાડી શકાય છે જેથી કોઈ પણ બે ગણિતના વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેસે.
આ $6$ જગ્યાઓમાં $3$ ગણિતના વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો $P(6, 3)$ દ્વારા મળે છે.
$P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા $= 5! \times P(6, 3) = 120 \times 120 = 14400$ થાય.

(A) '$ORIENTAL$' શબ્દમાં કુલ $8$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં રહેલા સ્વરો: $O, I, E, A$ (કુલ $4$ સ્વરો).
આ શબ્દમાં રહેલા વ્યંજનો: $R, N, T, L$ (કુલ $4$ વ્યંજનો).
કુલ $8$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
સ્વરોએ આ $4$ એકી સ્થાનો પર આવવું જરૂરી છે. $4$ સ્વરોને $4$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $P(4, 4) = 4! = 24$ છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો $(2, 4, 6, 8)$ પર $4$ વ્યંજનોને ગોઠવવાના રહેશે. $4$ વ્યંજનોને $4$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $P(4, 4) = 4! = 24$ છે.
તેથી,કુલ બનતા શબ્દોની સંખ્યા $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ થાય.

(B) કોઈપણ સંખ્યા $10$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ હોય.
આપેલા અંકો ${1, 2, 7, 0, 9, 5}$ છે.
$6$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે $6$ સ્થાન છે.
સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી એકમના સ્થાને $0$ હોવો આવશ્યક છે. આથી એકમના સ્થાન માટે $1$ વિકલ્પ છે.
બાકીના $5$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો ${1, 2, 7, 9, 5}$ દ્વારા $5!$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
તેથી,આવી કુલ $6$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $120$ છે.

(B) $(i)$ '$UNIVERSAL$' શબ્દમાં $9$ ભિન્ન અક્ષરો છે. આ $9$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $9! = 362880$ છે.
(ii) જે ગોઠવણીમાં $E, R, S$ હંમેશા સાથે આવે તે શોધવા માટે,આપણે $(E, R, S)$ ના સમૂહને એક એકમ અથવા બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ${U, N, I, V, A, L, (ERS)}$ અક્ષરો છે,જે કુલ $7$ એકમો બનાવે છે.
આ $7$ એકમોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બ્લોકની અંદર,$3$ અક્ષરો $E, R, S$ ને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$E, R, S$ સાથે આવે તેવી કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $7! \times 3! = 5040 \times 6 = 30240$ છે.

(B) $5$ વિદ્યાર્થીઓ માટે $5$ સ્થાનો છે.
બીજું સ્થાન છોકરા $SUNIL$ માટે નિશ્ચિત છે.
આથી બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓ માટે $4$ સ્થાનો બાકી રહે છે.
$GITA$ અને $NITA$ હંમેશા સાથે હોવા જોઈએ,તેથી તેમને એક એકમ $(GITA, NITA)$ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે એકમ $(GITA, NITA)$ અને અન્ય $2$ વિદ્યાર્થીઓ છે,આમ કુલ $3$ એકમોને બાકીના સ્થાનોમાં ગોઠવવાના છે.
$SUNIL$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે આ $3$ એકમોને બાકીના સ્થાનોમાં ગોઠવીએ છીએ.
ધારો કે સ્થાનો $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ છે. $P_2$ પર $SUNIL$ છે.
બાકીના સ્થાનો $P_1, P_3, P_4, P_5$ છે.
એકમ $(GITA, NITA)$ સ્થાનો $(P_3, P_4)$ અથવા $(P_4, P_5)$ પર આવી શકે છે.
કિસ્સો $1$: એકમ $(P_3, P_4)$ પર છે. બાકીના $2$ વિદ્યાર્થીઓને $P_1$ અને $P_5$ માં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. એકમને $(GITA, NITA)$ અથવા $(NITA, GITA)$ તરીકે $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 2! \times 2! = 4$.
કિસ્સો $2$: એકમ $(P_4, P_5)$ પર છે. બાકીના $2$ વિદ્યાર્થીઓને $P_1$ અને $P_3$ માં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. એકમને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 2! \times 2! = 4$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= 4 + 4 = 8$.

(A) $ALGEBRA$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, L, G, E, B, R, A$. અહીં,$A$ બે વાર આવે છે,અને $L, G, E, B, R$ દરેક એક વાર આવે છે.
$(I)$ જ્યારે બંને $A$ સાથે હોય,ત્યારે આપણે $(AA)$ ની જોડીને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $6$ એકમો છે: $(AA), L, G, E, B, R$. આ $6$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
$(II)$ બંને $A$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીમાંથી બંને $A$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા બાદ કરીશું.
કુલ ગોઠવણી = $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
બંને $A$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $\text{કુલ} - \text{સાથે} = 2520 - 720 = 1800$.

(A) દરેક $6$ સફરજન એ અર્થમાં અલગ છે કે તેને $3$ છોકરાઓમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે.
પ્રથમ સફરજન માટે,છોકરાઓની $3$ પસંદગીઓ છે.
બીજા સફરજન માટે,છોકરાઓની $3$ પસંદગીઓ છે.
આ પ્રક્રિયા તમામ $6$ સફરજન માટે ચાલુ રહે છે.
દરેક સફરજન સ્વતંત્ર રીતે વહેંચી શકાતું હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{6}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$3^{6} = 729$ મળે છે.

(C) '$KURUKSHETRA$' શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$K$ બે વાર આવે છે.
$U$ બે વાર આવે છે.
$R$ બે વાર આવે છે.
$S, H, E, T, A$ દરેક એક વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી કેટલીક વસ્તુઓ સમાન હોય,ત્યારે ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{11!}{2! 2! 2!} = \frac{39916800}{2 \times 2 \times 2} = \frac{39916800}{8} = 4989600$.

(A) $ALLAHABAD$ શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,$A$ અક્ષર $4$ વખત,$L$ અક્ષર $2$ વખત અને $H, B, D$ અક્ષરો દરેક એક-એક વખત આવે છે.
તેથી,જરૂરી ક્રમચયોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્રમચયોની સંખ્યા} = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9!}{4! 2! 1! 1! 1!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1 \times 1 \times 1}$
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} = 9 \times 8 \times 7 \times 3 \times 5 = 7560$.

(B) $3$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે $3$ સ્થાન ભરવાના હોય છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દરેક $3$ સ્થાનને આપેલા $4$ અંકો $(1, 3, 6, 8)$ માંથી કોઈપણ અંક વડે $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,કુલ બનતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ $= 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ થાય.

(C) $3$-અંકી સંખ્યામાં ત્રણ સ્થાન હોય છે: સોનું સ્થાન,દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન.
$1$. સોના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં કારણ કે $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યા $3$-અંકી સંખ્યા ગણાતી નથી. ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 2, 3, 6, 8}$ છે. $0$ ને બાદ કરતાં,સોના સ્થાન માટે $4$ વિકલ્પો $(2, 3, 6, 8)$ છે.
$2$. અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દશકના સ્થાનને $5$ અંકો $(0, 2, 3, 6, 8)$ માંથી કોઈપણ રીતે $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
$3$. તેવી જ રીતે,એકમના સ્થાનને $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ રીતે $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$.

(B) '$BHARAT$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં '$A$' અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ થાય.
જે શબ્દોમાં '$B$' અને '$H$' ક્યારેય સાથે ન હોય તે શોધવા માટે,આપણે કુલ શબ્દોમાંથી એવા શબ્દોની સંખ્યા બાદ કરીશું જેમાં '$B$' અને '$H$' સાથે હોય.
'$BH$' ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: ${BH}, A, R, A, T$. અહીં '$A$' બે વાર આવે છે,તેથી '$B$' અને '$H$' સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$ થાય.
તેથી,જે શબ્દોમાં '$B$' અને '$H$' ક્યારેય સાથે ન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 360 - 120 = 240$ થાય.

(C) '$ARRANGEMENT$' શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
અક્ષરોની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $A = 2$,$R = 2$,$N = 2$,$G = 1$,$E = 2$,$M = 1$,$T = 1$.
ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!}$ છે.
અહીં,$n = 11$ છે,અને પુનરાવર્તિત અક્ષરો $A(2)$,$R(2)$,$N(2)$,અને $E(2)$ છે.
ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{11!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{39916800}{16} = 2494800$.

(B) $EXAMINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, E, I, I, M, N, N, O, T, X$.
$E$ થી શરૂ થતા પ્રથમ શબ્દ પહેલાંના શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $A$ થી શરૂ થતા તમામ શબ્દોની ગણતરી કરવી પડશે.
જો આપણે પ્રથમ સ્થાને $A$ ને નિશ્ચિત કરીએ,તો આપણી પાસે $10$ અક્ષરો બાકી રહે છે: $A, E, I, I, M, N, N, O, T, X$.
આ $10$ અક્ષરોમાં,$I$ બે વાર અને $N$ બે વાર આવે છે.
આ $10$ અક્ષરોના ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{10!}{2!2!}$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 907200$.
તેથી,શબ્દકોશમાં $E$ થી શરૂ થતા કોઈપણ શબ્દ પહેલાં $A$ થી શરૂ થતા $907200$ શબ્દો આવશે.

(C) $5$-અંકી બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને બેકી અંક હોવો જોઈએ. ઉપલબ્ધ બેકી અંકો $2$ અને $4$ છે.
કિસ્સો $1$: જો એકમના સ્થાને $2$ હોય,તો બાકીના અંકો $1, 5, 5, 4$ રહે છે. આ $4$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
કિસ્સો $2$: જો એકમના સ્થાને $4$ હોય,તો બાકીના અંકો $1, 2, 5, 5$ રહે છે. આ $4$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
કુલ $5$-અંકી બેકી સંખ્યાઓ $= 12 + 12 = 24$.

(A) એક મિલિયનથી મોટી સંખ્યામાં ઓછામાં ઓછા સાત અંકો હોવા જોઈએ. આપણને બરાબર સાત અંકો $(2, 3, 0, 3, 4, 2, 3)$ આપેલા હોવાથી,સાત અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે આપણે તે બધાનો ઉપયોગ કરવો પડશે.
આ $7$ અંકોની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા,જેમાં $2$ બે વાર અને $3$ ત્રણ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે નીચે મુજબ છે:
$\frac{7!}{2!3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = \frac{5040}{12} = 420$.
જોકે,સાત અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં. જો પ્રથમ અંક $0$ હોય,તો બાકીના $6$ અંકો $(2, 3, 3, 4, 2, 3)$ ની ગોઠવણી નીચે મુજબ થાય:
$\frac{6!}{2!3!} = \frac{720}{2 \times 6} = \frac{720}{12} = 60$ રીતે.
તેથી,સાત અંકની માન્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી $0$ થી શરૂ થતી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે:
$420 - 60 = 360$.

(D) '$ALGEBRA$' શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, L, G, E, B, R, A$.
સ્વરો $A, E, A$ છે અને વ્યંજનો $L, G, B, R$ છે.
અક્ષરોના સ્થાન $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
સ્વરો $1, 4, 7$ સ્થાન પર છે અને વ્યંજનો $2, 3, 5, 6$ સ્થાન પર છે.
સાપેક્ષ સ્થાન બદલવાના ન હોવાથી,સ્વરોએ $3$ નિર્ધારિત સ્વરના સ્થાનો અને વ્યંજનોએ $4$ નિર્ધારિત વ્યંજનના સ્થાનો રોકવા પડશે.
$3$ સ્થાનોમાં સ્વરો $(A, A, E)$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$4$ સ્થાનોમાં વ્યંજનો $(L, G, B, R)$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 3 \times 24 = 72$.

(A) $BALLOON$ શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે,જેમાં $L$ બે વાર અને $O$ બે વાર આવે છે.
આ $7$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ છે.
બે $L$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બે $L$ ને એક એકમ $(LL)$ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણે $6$ એકમો ગોઠવવાના છે: $(LL), B, A, O, O, N$. આ $6$ એકમોમાં,$O$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
બે $L$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
તેથી,બે $L$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે છે:
$1260 - 360 = 900$.

(D) કુલ ઝંડીઓની સંખ્યા $n = 3 + 2 + 2 = 7$ છે.
જેમ કે સમાન રંગની ઝંડીઓ એકસરખી છે,તેથી આપણે એવી વસ્તુઓના ક્રમચય માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જેમાં કેટલીક વસ્તુઓ સમાન હોય:
સંકેતોની સંખ્યા $= \frac{n!}{p_1! p_2! p_3!}$
અહીં,$p_1 = 3$ (લાલ),$p_2 = 2$ (પીળી),અને $p_3 = 2$ (લીલી).
સંકેતોની સંખ્યા $= \frac{7!}{3! 2! 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)}$
$= \frac{5040}{6 \times 2 \times 2} = \frac{5040}{24} = 210$.
આમ,કુલ અલગ-અલગ સંકેતોની સંખ્યા $210$ છે.

(C) આપેલા અંકો $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ છે. કુલ $7$ અંકો છે.
તેમાંથી એકી અંકો $1, 3, 3, 1$ (કુલ $4$ અંકો) છે અને બેકી અંકો $2, 4, 2$ (કુલ $3$ અંકો) છે.
એકી સ્થાનો $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ અને $7^{th}$ (કુલ $4$ સ્થાનો) છે.
બેકી સ્થાનો $2^{nd}, 4^{th}$ અને $6^{th}$ (કુલ $3$ સ્થાનો) છે.
એકી અંકોએ એકી સ્થાનો પર જ આવવું જોઈએ,તેથી $4$ એકી અંકો $(1, 1, 3, 3)$ ને $4$ એકી સ્થાનો પર $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$3$ બેકી અંકો $(2, 2, 4)$ ને $3$ બેકી સ્થાનો પર $\frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2} = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ બનાવવાની રીતો $6 \times 3 = 18$ છે.

(B) કોઈ પણ $2$ મહિલાઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $5$ સજ્જનોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવીએ છીએ. $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
આમ,$5$ સજ્જનોને $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
સજ્જનોને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે (જે આકૃતિમાં $X$ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવેલ છે).
કોઈ પણ $2$ મહિલાઓ સાથે ન હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $4$ મહિલાઓને આ $5$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાં બેસાડવી પડશે.
$5$ જગ્યાઓમાંથી $4$ મહિલાઓને પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n=5$ અને $r=4$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $24 \times 120 = 2880$ છે.

(B) ધારો કે છોકરાઓ $B_1, B_2, X$ છે અને છોકરીઓ $G_1, G_2, Y$ છે.
કારણ કે $X$ કોઈ પણ છોકરીને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતો નથી,તેથી $X$ ને બે છોકરાઓ $B_1$ અને $B_2$ ની વચ્ચે બેસવું પડશે.
કારણ કે $Y$ કોઈ પણ છોકરાને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતી નથી,તેથી $Y$ ને બે છોકરીઓ $G_1$ અને $G_2$ ની વચ્ચે બેસવું પડશે.
આનાથી ગોઠવણીમાં છોકરાઓનો બ્લોક $(B_1, X, B_2)$ અને છોકરીઓનો બ્લોક $(G_1, Y, G_2)$ બને છે.
આ બે બ્લોકની ગોળાકાર ગોઠવણીમાં,તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(2-1)! = 1! = 1$ છે.
છોકરાઓના બ્લોકમાં,$B_1$ અને $B_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરીઓના બ્લોકમાં,$G_1$ અને $G_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $1 \times 2! \times 2! = 4$ છે.

(C) મણકાની કુલ સંખ્યા $n = 6 + 5 = 11$ છે.
હારમાં મણકા ગોઠવતી વખતે,ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ એક પ્રકારની અને $q$ બીજા પ્રકારની હોય,ત્યારે વર્તુળાકાર ક્રમચયની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{p!q!}$ દ્વારા મળે છે.
હાર માટે,આપણે પ્રતિબિંબ સમાનતાને ધ્યાનમાં લેવા માટે $2$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
અલગ-અલગ હારની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times \frac{(11-1)!}{6!5!} = \frac{10!}{2 \times 6! \times 5!}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{2 \times 6! \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{2 \times 120} = \frac{5040}{240} = 21$.

(A) આ પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે,પંજાબ અને મદ્રાસના મુખ્યમંત્રીઓને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે,આપણી પાસે આ એકમ અને બાકીના $9$ મુખ્યમંત્રીઓ છે,આમ કુલ $10$ એકમોને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવાના છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
તેથી,$10$ એકમોને $(10-1)! = 9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમના અંદર,પંજાબ અને મદ્રાસના મુખ્યમંત્રીઓ પોતાની જગ્યા $2!$ રીતે અદલાબદલી કરી શકે છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $9! \times 2!$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $9! = 362880$.
કુલ રીતો = $362880 \times 2 = 725760$.

(B) આપણે સંચયનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: જો $C(n, a) = C(n, b)$ હોય,તો કાં તો $a = b$ અથવા $n = a + b$ થાય.
આપેલ છે કે $C(n, 7) = C(n, 5)$.
અહીં,$7 \neq 5$ હોવાથી,$n = 7 + 5$ થવું જોઈએ.
તેથી,$n = 12$.

(A) આપેલ છે કે $C(n, 8) = C(n, 6)$.
ગુણધર્મ $C(n, r) = C(n, n-r)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે જો $C(n, a) = C(n, b)$ હોય,તો કાં તો $a = b$ અથવા $n = a + b$ થાય.
અહીં $8 \neq 6$ હોવાથી,$n = 8 + 6 = 14$ મળે.
હવે,આપણે $C(n, 2) = C(14, 2)$ શોધવાનું છે.
$C(14, 2) = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 7 \times 13 = 91$.
આમ,સાચો જવાબ $91$ છે.