Permutation and Combination Questions in Gujarati

(D) '$CORPORATION$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $C, O, R, P, O, R, A, T, I, O, N$.
સ્વરો $O, O, A, I, O$ છે (કુલ $5$ સ્વરો,જેમાં $O$ ત્રણ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
વ્યંજનો $C, R, P, R, T, N$ છે (કુલ $6$ વ્યંજનો,જેમાં $R$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
$5$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $6$ વ્યંજનો + $1$ સ્વરનો એકમ = $7$ વસ્તુઓ ગોઠવવા માટે છે.
આ $7$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો,જેમાં $R$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ છે.
સ્વરના એકમની અંદર,$5$ સ્વરો $(O, O, O, A, I)$ ને $\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $2520 \times 20 = 50400$.

(C) ક્લબમાં $6$ પુરુષો અને $8$ મહિલાઓ છે.
આપણે $5$ લોકોની સમિતિ બનાવવાની છે.
જો કોઈ પણ પુરુષની પસંદગી ન કરવામાં આવે,તો સમિતિના તમામ $5$ સભ્યો $8$ મહિલાઓમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
$8$ માંથી $5$ મહિલાઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને ${}^{8}C_{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ થાય છે.
આમ,સમિતિ બનાવવાની કુલ $56$ રીતો છે.

(A) ક્લબમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 7 + 8 = 15$ છે.
$15$ માંથી $6$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_6$ દ્વારા મળે છે.
${}^{15}C_6 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$.
ઓછામાં ઓછી એક મહિલા પસંદ થાય તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે કુલ રીતોમાંથી એવી રીતો બાદ કરીશું જેમાં એક પણ મહિલા પસંદ ન થાય (એટલે કે,તમામ $6$ પુરુષો હોય).
$7$ પુરુષોમાંથી $6$ પુરુષોને પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_6$ છે.
${}^{7}C_6 = {}^{7}C_1 = 7$.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= {}^{15}C_6 - {}^{7}C_6 = 5005 - 7 = 4998$.

(B) '$EDUCATION$' શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $E, D, U, C, A, T, I, O, N$.
તેમાં $5$ સ્વરો $(E, U, A, I, O)$ અને $4$ વ્યંજનો $(D, C, T, N)$ છે.
સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે (કુલ $5$ સ્થાનો).
$5$ સ્વરોને આ $5$ એકી સ્થાનો પર $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
$4$ વ્યંજનોને બાકીના $4$ બેકી સ્થાનો $(2, 4, 6, 8)$ પર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$.

(D) કુલ $10$ પ્રશ્નો છે,જેમને બે જૂથો $A$ અને $B$ માં વહેંચવામાં આવ્યા છે,દરેક જૂથમાં $5$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે કુલ $6$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં દરેક જૂથમાંથી વધુમાં વધુ $4$ પ્રશ્નો લઈ શકાય છે.
જૂથ $A$ અને જૂથ $B$ માંથી પ્રશ્નોના શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:

જૂથ $A$	જૂથ $B$
$4$	$2$
$3$	$3$
$2$	$4$

તેથી,પ્રશ્નો પસંદ કરવાની કુલ રીતો:
$= {}^{5}C_{4} \times {}^{5}C_{2} + {}^{5}C_{3} \times {}^{5}C_{3} + {}^{5}C_{2} \times {}^{5}C_{4}$
$= (5 \times 10) + (10 \times 10) + (10 \times 5)$
$= 50 + 100 + 50 = 200$

(C) પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં.
પ્રથમ અંક માટે $5$ વિકલ્પો છે: ${1, 2, 3, 5, 6}$.
બાકીના $4$ સ્થાનો માટે,આપણી પાસે $5$ અંકો ઉપલબ્ધ છે (જેમાં $0$ અને બાકીના $4$ અંકોનો સમાવેશ થાય છે).
બાકીના $4$ સ્થાનો ભરવાની રીતોની સંખ્યા $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.

(A) ચાર અંકની સંખ્યા એકી ત્યારે જ હોય જો તેનો એકમનો અંક એકી હોય. આપેલ ગણ ${0, 1, 2, 3, 4, 7, 8}$ માંથી એકી અંકો ${1, 3, 7}$ છે.
$1$. એકમનું સ્થાન $3$ એકી અંકોમાંથી કોઈ પણ એક વડે $^3P_1 = 3$ રીતે ભરી શકાય.
$2$. હજારનું સ્થાન $0$ હોઈ શકે નહીં. એક એકી અંક એકમના સ્થાને વપરાઈ ગયો હોવાથી,હજારના સ્થાન માટે $6 - 1 = 5$ અંકો બાકી રહે છે (કારણ કે $0$ અને એકમના સ્થાને વપરાયેલ અંકને બાદ કરતાં). આમ,તે $5$ રીતે ભરી શકાય.
$3$. બાકીના બે સ્થાન (દશક અને સો) બાકી રહેલા $5$ અંકોમાંથી $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
તેથી,કુલ ચાર અંકની એકી સંખ્યાઓ $3 \times 5 \times 20 = 300$ થાય.

(C) $4$ અંકની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો એકમનો અંક $0$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાન $4$ અંકોમાંથી ભરી શકાય,જે $^4P_3 = 24$ રીતે થાય.
કિસ્સો $2$: જો એકમનો અંક $5$ હોય,તો હજારના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં. તેથી,હજારના સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો છે અને બાકીના $2$ સ્થાન માટે $3$ અંકોમાંથી $^3P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $3 \times 6 = 18$ રીતે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 18 = 42$. જો કે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા કુલ $60$ મળે છે.

(A) $8$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓમાંથી સાત વ્યક્તિઓનું જૂથ બનાવવાનું છે. શરત એ છે કે જૂથમાં ઓછામાં ઓછી બે સ્ત્રીઓ હોવી જોઈએ.
શક્ય સંયોજનો $(2W, 5M), (3W, 4M), (4W, 3M), (5W, 2M)$ અને $(6W, 1M)$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા:
$= {}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{5} + {}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{4} + {}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{3} + {}^{6}C_{5} \times {}^{8}C_{2} + {}^{6}C_{6} \times {}^{8}C_{1}$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= (15 \times 56) + (20 \times 70) + (15 \times 56) + (6 \times 28) + (1 \times 8)$
$= 840 + 1400 + 840 + 168 + 8 = 3256$
વૈકલ્પિક રીતે,$14$ માંથી $7$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_{7} = 3432$ છે. તેમાંથી $0$ સ્ત્રીઓ $({}^{6}C_{0} \times {}^{8}C_{7} = 8)$ અને $1$ સ્ત્રી $({}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{6} = 168)$ વાળા કિસ્સાઓ બાદ કરતા:
$3432 - (8 + 168) = 3256$.
આમ,જરૂરી જૂથોની સંખ્યા $3256$ છે.

(C) '$EQUATOR$' શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, O, R$.
આપણે '$A$' અથવા '$E$' થી શરૂ થતા $4$ અક્ષરોના શબ્દો બનાવવાના છે.
પગલું $1$: પ્રથમ અક્ષર '$A$' અથવા '$E$' હોવો જોઈએ. આ $^2P_1 = 2$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: પ્રથમ અક્ષર નક્કી કર્યા પછી,'$EQUATOR$' શબ્દમાંથી $6$ અક્ષરો બાકી રહે છે.
પગલું $3$: આપણે બાકીના $3$ સ્થાન ભરવા માટે $6$ ઉપલબ્ધ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવાનો છે. આ $^6P_3$ રીતે કરી શકાય છે.
$^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતો.
પગલું $4$: શબ્દોની કુલ સંખ્યા એ પ્રથમ અક્ષર પસંદ કરવાની રીતો અને બાકીના સ્થાન ભરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ શબ્દો $= 2 \times 120 = 240$.

(D) '$EXCELLENT$' શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે: $E$ ત્રણ વાર આવે છે,$X$ એક વાર આવે છે,$C$ એક વાર આવે છે,$L$ બે વાર આવે છે,$N$ એક વાર આવે છે અને $T$ એક વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{n!}{p!q!...}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ અક્ષરોની કુલ સંખ્યા છે અને $p, q, ...$ એ પુનરાવર્તિત અક્ષરોની આવૃત્તિ છે.
અહીં,$n = 9$,$p = 3$ ($E$ માટે),અને $q = 2$ ($L$ માટે).
$\text{જરૂરી ગોઠવણીઓ} = \frac{9!}{3! \times 2!} = \frac{362880}{6 \times 2} = \frac{362880}{12} = 30240$.

(B) ફૂટબોલની રમત માટે બે બાજુઓ (બાજુ $A$ અને બાજુ $B$) બનાવવા માટે,જેમાં દરેક બાજુએ એક મહિલા અને એક પુરુષ હોય:
પગલું $1$: $5$ મહિલાઓ અને $4$ પુરુષોમાંથી બાજુ $A$ માટે એક મહિલા અને એક પુરુષ પસંદ કરો.
પસંદગીના પ્રકારો $= {}^{5}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ રીતે.
પગલું $2$: બાજુ $A$ માટે એક મહિલા અને એક પુરુષ પસંદ કર્યા પછી,આપણી પાસે $4$ મહિલાઓ અને $3$ પુરુષો બાકી રહે છે.
હવે,બાકી રહેલી $4$ મહિલાઓ અને $3$ પુરુષોમાંથી બાજુ $B$ માટે એક મહિલા અને એક પુરુષ પસંદ કરો.
પસંદગીના પ્રકારો $= {}^{4}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 4 \times 3 = 12$ રીતે.
પગલું $3$: બંને બાજુઓ બનાવવા માટેની કુલ રીતો એ દરેક બાજુ બનાવવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= 20 \times 12 = 240$.

(D) $15$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $5-5$ પુસ્તકોના $3$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે,આપણે પહેલા પ્રથમ જૂથ માટે $5$ પુસ્તકો,પછી બીજા માટે $5$ અને બાકીના $5$ પુસ્તકો ત્રીજા જૂથ માટે પસંદ કરીએ છીએ.
જૂથો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= {}^{15}C_{5} \times {}^{10}C_{5} \times {}^{5}C_{5}$.
કારણ કે $3$ જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો નથી,તેથી વધુ ગણતરી ટાળવા માટે આપણે $3!$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= \frac{{}^{15}C_{5} \times {}^{10}C_{5} \times {}^{5}C_{5}}{3!} = \frac{3003 \times 252 \times 1}{6} = \frac{756756}{6} = 126126$.

(B) $15$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $5$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે,દરેક જૂથમાં $15 / 5 = 3$ પુસ્તકો હશે.
પ્રથમ,આપણે પુસ્તકોને $5$ અલગ-અલગ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધીએ:
રીતોની સંખ્યા $= {}^{15}C_{3} \times {}^{12}C_{3} \times {}^{9}C_{3} \times {}^{6}C_{3} \times {}^{3}C_{3}$.
જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો નથી (કારણ કે તે સમાન સેટ છે),તેથી આપણે જૂથોના ક્રમચયને દૂર કરવા માટે $5!$ વડે ભાગવું પડશે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= \frac{{}^{15}C_{3} \times {}^{12}C_{3} \times {}^{9}C_{3} \times {}^{6}C_{3} \times {}^{3}C_{3}}{5!}$.
ગણતરી:
${}^{15}C_{3} = 455$,${}^{12}C_{3} = 220$,${}^{9}C_{3} = 84$,${}^{6}C_{3} = 20$,${}^{3}C_{3} = 1$.
કુલ $= \frac{455 \times 220 \times 84 \times 20 \times 1}{120} = 1401400$.

(B) આપણે કુલ $12$ સભ્યોમાંથી $6$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
કારણ કે એક ચોક્કસ સભ્ય હંમેશા સામેલ હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $1$ સભ્ય પહેલેથી જ પસંદ કરી લીધો છે.
હવે,આપણે બાકીના $12 - 1 = 11$ સભ્યોમાંથી બાકીના $6 - 1 = 5$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
$11$ માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,પસંદગીની રીતોની સંખ્યા ${}^{11}C_{5} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$ છે.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ સભ્યોની સંખ્યા $= 12$.
પસંદ કરવાના સભ્યોની સંખ્યા $= 6$.
કારણ કે એક ચોક્કસ સભ્યને હંમેશા બાકાત રાખવાનો છે,તેથી આપણે બાકી રહેલા $(12 - 1) = 11$ સભ્યોમાંથી $6$ સભ્યોની પસંદગી કરવાની રહેશે.
$11$ માંથી $6$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને ${}^{11}C_{6} = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6! \times 5!}$ મળે છે.
${}^{11}C_{6} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} = 462$.
આમ,પસંદગી કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $462$ છે.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણને $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_{3}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
કારણ કે $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,આ $4$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
આ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{3} = 4$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા = ${}^{12}C_{3} - {}^{4}C_{3} = 220 - 4 = 216$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 2 + 3 + 4 = 9$.
કાળા દડાની સંખ્યા $= 3$.
કાળા ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા $= 2 + 4 = 6$.
આપણે $3$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો હોય.
આ પસંદગી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$1$ કાળો અને $2$ કાળા ન હોય તેવા દડા: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} = 3 \times 15 = 45$.
$2$ કાળા અને $1$ કાળો ન હોય તેવો દડો: ${}^{3}C_{2} \times {}^{6}C_{1} = 3 \times 6 = 18$.
$3$ કાળા અને $0$ કાળો ન હોય તેવો દડો: ${}^{3}C_{3} \times {}^{6}C_{0} = 1 \times 1 = 1$.
કુલ રીતો $= 45 + 18 + 1 = 64$.

(A) $7$ પુરુષોમાંથી $5$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{5}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
$3$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{3}C_{2}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,${}^{3}C_{2} = {}^{3}C_{1} = 3$.
તેથી,જૂથ બનાવવાની કુલ રીતો ${}^{7}C_{5} \times {}^{3}C_{2} = 21 \times 3 = 63$ થાય.

(D) સમિતિમાં $5$ વ્યક્તિઓ છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ પુરુષો હોવા જોઈએ. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: $3$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ.
કિસ્સો $2$: $4$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રી.
કિસ્સો $3$: $5$ પુરુષો અને $0$ સ્ત્રીઓ.
સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા:
$= ({}^{7}C_{3} \times {}^{6}C_{2}) + ({}^{7}C_{4} \times {}^{6}C_{1}) + ({}^{7}C_{5} \times {}^{6}C_{0})$
$= (35 \times 15) + (35 \times 6) + (21 \times 1)$
$= 525 + 210 + 21$
$= 756$

(D) $5$ વડે વિભાજ્ય ત્રણ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાન પર $5$ હોવો આવશ્યક છે.
અહીં $5$ અંકનો ઉપયોગ એકમના સ્થાન પર થઈ ગયો છે અને અંકોનું પુનરાવર્તન કરવાની મનાઈ છે,તેથી બાકીના બે સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $5$ અંકો $(2, 3, 6, 7, 9)$ બાકી રહે છે.
દશકના સ્થાનને બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક અંક વડે $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
સોના સ્થાનને બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક અંક વડે $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવી કુલ ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ $1 \times 5 \times 4 = 20$ થાય.

(C) '$TRIVANDRUM$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $T, R, I, V, A, N, D, R, U, M$.
આ શબ્દમાં '$R$' અક્ષર બે વાર આવે છે,જ્યારે બાકીના તમામ અક્ષરો એક વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ સમાન હોય,ત્યારે કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{p!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $p = 2$ છે.
તેથી,બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = $\frac{10!}{2!} = \frac{3,628,800}{2} = 1,814,400$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,પ્રશ્નમાં અથવા વિકલ્પોમાં ક્ષતિ જણાય છે. જો શબ્દ '$TRIVANDUM$' હોત (જેમાં '$R$' એક જ વાર હોય),તો જવાબ $9!$ આવત.

(C) '$LEADER$' શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે: $L, E, A, D, E, R$.
આ શબ્દમાં,'$E$' અક્ષર $2$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે,જ્યારે બાકીના તમામ અક્ષરો એક જ વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ સમાન પ્રકારની હોય,ત્યારે કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{p!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 6$ અને $p = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ થાય.

(C) સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે $8$ માંથી $5$ પુરુષો અને $10$ માંથી $6$ સ્ત્રીઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે.
$8$ માંથી $5$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{8-5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
$10$ માંથી $6$ સ્ત્રીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_{6} = {}^{10}C_{10-6} = {}^{10}C_{4}$ છે.
${}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{6} = 56 \times 210 = 11760$ છે.

(D) '$AUCTION$' શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $A, U, C, T, I, O, N$.
તેમાં $4$ સ્વરો $(A, U, I, O)$ અને $3$ વ્યંજનો $(C, T, N)$ છે.
સ્વરો હંમેશા સાથે રહે તે માટે,આપણે $4$ સ્વરોના સમૂહ $(A, U, I, O)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે $4$ સ્વરોનો બ્લોક અને $3$ વ્યંજનો છે,આમ કુલ $4$ એકમોને ગોઠવવાના છે: $(AUIO), C, T, N$.
આ $4$ એકમોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
સ્વરોના બ્લોકની અંદર,$4$ સ્વરોને પણ અંદરોઅંદર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ થાય.

(C) પગલું $1$: $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો ${ }^{7} C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
પગલું $2$: $4$ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો ${ }^{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પગલું $3$: $3$ વ્યંજનો અને $2$ સ્વરોના કુલ સંચયો $35 \times 6 = 210$ છે.
પગલું $4$: આ $5$ અક્ષરો (કુલ $3+2$) ને તેમની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી કુલ શબ્દોની સંખ્યા $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ થાય.

(D) બાળકોની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$ છે.
આપણે $10$ માંથી $4$ બાળકોની પસંદગી કરવાની છે.
$10$ માંથી $4$ બાળકોને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.
શરત એ છે કે ઓછામાં ઓછો એક છોકરો પસંદ થવો જોઈએ.
આ ગણતરી આ રીતે કરી શકાય: (કુલ રીતો) - (એક પણ છોકરો ન હોય તેવી રીતો).
એક પણ છોકરો ન હોય એટલે કે $4$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓની પસંદગી કરવી,જે ${}^{4}C_4 = 1$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક છોકરો પસંદ કરવાની રીતો $= 210 - 1 = 209$ થાય.

(D) '$BANKING$' શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે: $B, A, N, K, I, N, G$.
તેમાં $2$ સ્વરો $(A, I)$ અને $5$ વ્યંજનો $(B, N, K, N, G)$ છે.
સ્વરો હંમેશા સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે $(AI)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે $6$ એકમો છે: ${B, N, K, N, G, (AI)}$,જેમાં '$N$' બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $6$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
$(AI)$ જૂથની અંદર,$2$ સ્વરોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $360 \times 2 = 720$ થાય.

(A) '$JUDGE$' શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $J, U, D, G, E$.
શબ્દમાં સ્વરો $U$ અને $E$ છે. વ્યંજનો $J, D, G$ છે.
સ્વરો હંમેશા સાથે રહે તે માટે,આપણે $(UE)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે: ${J, D, G, (UE)}$.
આ $4$ એકમોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,જે $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો છે.
$(UE)$ જૂથની અંદર,$2$ સ્વરોને પોતાની વચ્ચે $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,જે $2 \times 1 = 2$ રીતો છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $24 \times 2 = 48$ છે.

(B) '$OPTICAL$' શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $O, P, T, I, C, A, L$.
શબ્દમાં સ્વરો $O, I, A$ છે. તેઓ હંમેશા સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે તેમને એક એકમ અથવા બ્લોક તરીકે ગણીએ: $(OIA)$.
હવે,બાકીના અક્ષરો $P, T, C, L$ છે.
બ્લોક $(OIA)$ ને ગણતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4 + 1 = 5$ એકમો છે.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બ્લોક $(OIA)$ ની અંદર,$3$ સ્વરો પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ રીતે.

(C) $5$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રી ધરાવતી $3$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે:
પગલું $1$: $5$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરો. આ ${ }^{5} C_{2}$ રીતે કરી શકાય છે.
${ }^{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ રીતો.
પગલું $2$: $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $1$ સ્ત્રી પસંદ કરો. આ ${ }^{4} C_{1}$ રીતે કરી શકાય છે.
${ }^{4} C_{1} = 4$ રીતો.
પગલું $3$: સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો એ પુરુષો અને સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= 10 \times 4 = 40$ રીતો.

(C) $15$ વ્યક્તિઓના જૂથમાંથી $11$ સભ્યોની ટીમ બનાવવા માટે,આપણે સંચય (combination) ના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 11$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{15}C_{11}$ છે.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $^{15}C_{11} = ^{15}C_{15-11} = ^{15}C_4$ મળે છે.
$^{15}C_4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ ની ગણતરી કરતા.
$= 15 \times 7 \times 13 = 1365$.

(C) '$EXPERTISE$' શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $E, X, P, E, R, T, I, S, E$.
અહીં ઉપલબ્ધ ભિન્ન અક્ષરો: $E, X, P, R, T, I, S$ છે. આમ,કુલ $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે.
પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,આપણે આ $7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે.
$3$ અક્ષરના શબ્દ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 3$ છે.
શબ્દોની સંખ્યા $= ^7P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

(B) કોઈપણ બે ફ્રેન્ચ પુસ્તકો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,$21$ સંસ્કૃત પુસ્તકોને હારમાં ગોઠવો. આ $21$ પુસ્તકો $22$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે જ્યાં ફ્રેન્ચ પુસ્તકો મૂકી શકાય છે.
$22$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $19$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = ${}^{22}C_{19}$.
${}^{22}C_{19} = {}^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.

(C) '$DETAIL$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $D, E, T, A, I, L$.
તેમાં $3$ સ્વરો $(E, A, I)$ અને $3$ વ્યંજનો $(D, T, L)$ છે.
સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
એકી સ્થાનો $1, 3$ અને $5$ છે.
$3$ સ્વરો આ $3$ એકી સ્થાનો પર આવવા જોઈએ. સ્વરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^3P_3 = 3! = 6$ છે.
બાકીના $3$ વ્યંજનો $3$ બેકી સ્થાનો ($2, 4$ અને $6$) પર આવવા જોઈએ. વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^3P_3 = 3! = 6$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય.

(A) પ્રથમ જગ્યા $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
બીજી જગ્યા $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
ત્રીજી જગ્યા $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,$3$ જગ્યાઓ ભરવાની કુલ રીતો $6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.

(B) શાળામાં કુલ $36$ શિક્ષકો છે.
આચાર્યની નિમણૂક કરવા માટે,$36$ શિક્ષકોમાંથી કોઈપણ એકને પસંદ કરી શકાય છે. આમ,આચાર્યની નિમણૂક કરવાની $36$ રીતો છે.
આચાર્યની નિમણૂક કર્યા પછી,$35$ શિક્ષકો બાકી રહે છે. આ $35$ શિક્ષકોમાંથી,એક ઉપ-આચાર્યને $35$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
તેથી,આચાર્ય અને ઉપ-આચાર્યની નિમણૂક કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $36 \times 35 = 1260$ છે.

(D) દિલ્હીથી મુંબઈ જવાની પ્રથમ ઘટના $15$ રીતે કરી શકાય છે કારણ કે તે $15$ બસોમાંથી કોઈપણ એક પસંદ કરી શકે છે.
જેহেতু વ્યક્તિએ અલગ બસ દ્વારા પાછા ફરવાનું છે,તેથી મુંબઈથી દિલ્હી પાછા ફરવાની ઘટના $15 - 1 = 14$ રીતે કરી શકાય છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,બંને ઘટનાઓ કરવાની કુલ રીતો એ દરેક ઘટના કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
તેથી,કુલ રીતો = $15 \times 14 = 210$ રીતો.

(C) શિક્ષકે પ્રથમ સ્વાધ્યાયમાંથી $1$ પ્રશ્ન અને બીજા સ્વાધ્યાયમાંથી $1$ પ્રશ્ન પસંદ કરવાનો છે.
પ્રથમ સ્વાધ્યાયમાં $15$ પ્રશ્નો હોવાથી,પ્રથમ પ્રશ્ન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $15$ છે.
બીજા સ્વાધ્યાયમાં $12$ પ્રશ્નો હોવાથી,બીજો પ્રશ્ન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $12$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત (ગુણાકારનો સિદ્ધાંત) મુજબ,જો એક ઘટના $m$ રીતે અને બીજી સ્વતંત્ર ઘટના $n$ રીતે બની શકે,તો બંને ઘટનાઓ $m \times n$ રીતે બની શકે છે.
તેથી,$2$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $15 \times 12 = 180$ છે.

(A) આ પ્રશ્ન $4$ વિદ્યાર્થીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા પૂછે છે જેમણે સમાન ક્રમ મેળવ્યો છે.
અહીં $4$ અલગ-અલગ વિદ્યાર્થીઓ હોવાથી,તેમને ક્રમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4$ અલગ-અલગ વસ્તુઓના ક્રમચય (permutations) દ્વારા મળે છે.
$n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓના ક્રમચયની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 4$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
આમ,શિક્ષકને તમામ શક્ય ગોઠવણીઓ લખવા માટે $24$ કાગળના ટુકડાઓની જરૂર પડશે.

(A) $5$ ખરા-ખોટા પ્રકારના પ્રશ્નોમાંથી દરેકનો જવાબ $2$ રીતે આપી શકાય છે (ખરું અથવા ખોટું).
$5$ પ્રશ્નો માટે જવાબોના શક્ય કુલ ક્રમ $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ છે.
ત્યાં બરાબર $1$ એવો ક્રમ છે જે બધા સાચા જવાબો દર્શાવે છે.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા સાચા જવાબો લખ્યા નથી,તેથી આપણે કુલ શક્યતાઓમાંથી આ $1$ ક્રમને બાદ કરવો પડશે.
તેથી,માન્ય ક્રમની સંખ્યા $32 - 1 = 31$ છે.
કોઈ પણ $2$ વિદ્યાર્થીઓએ જવાબોનો સમાન ક્રમ આપ્યો નથી,તેથી દરેક વિદ્યાર્થીએ બાકી રહેલા $31$ વિકલ્પોમાંથી એક અનન્ય ક્રમ આપ્યો હોવો જોઈએ.
આમ,વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા $31$ છે.

(B) કોડ વર્ડમાં $2$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો અને ત્યારબાદ $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ હોય છે.
પગલું $1$: $2$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોની પસંદગી.
કુલ $26$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો છે. $2$ મૂળાક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $26 \times 25 = 650$ છે.
પગલું $2$: $1$ થી $9$ ની વચ્ચેની $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓની પસંદગી.
કુલ $9$ અંકો ઉપલબ્ધ છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$. $2$ ભિન્ન અંકો પસંદ કરવાની રીતો $9 \times 8 = 72$ છે.
પગલું $3$: કોડ વર્ડની કુલ સંખ્યા.
કુલ કોડ $= 650 \times 72 = 46800$.

(D) પ્રથમ $3$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકનો જવાબ $4$ રીતે આપી શકાય છે.
પછીના $3$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકનો જવાબ $5$ રીતે આપી શકાય છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,જવાબોના શક્ય ક્રમોની કુલ સંખ્યા એ દરેક પ્રશ્ન માટેના વિકલ્પોની સંખ્યાનો ગુણાકાર છે.
કુલ ક્રમ $= 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5$
કુલ ક્રમ $= 4^3 \times 5^3 = 64 \times 125 = 8000$.

(C) ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,જો એક ઘટના $m$ રીતે થઈ શકે અને બીજી સ્વતંત્ર ઘટના $n$ રીતે થઈ શકે,તો બંને ઘટનાઓ સાથે થવાની કુલ રીતો $m \times n$ છે.
આપેલ $6$ પ્રશ્નો માટે:
- $1$ લા પ્રશ્નમાં $3$ વિકલ્પો છે.
- $2$ જા પ્રશ્નમાં $3$ વિકલ્પો છે.
- $3$ જા પ્રશ્નમાં $4$ વિકલ્પો છે.
- $4$ થા પ્રશ્નમાં $4$ વિકલ્પો છે.
- $5$ મા પ્રશ્નમાં $5$ વિકલ્પો છે.
- $6$ ઠા પ્રશ્નમાં $5$ વિકલ્પો છે.
જવાબોના ક્રમની કુલ સંખ્યા $= 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 = 3600$.

(A) $4$ વિભાગોમાંથી દરેકમાંથી $1$ વિદ્યાર્થી પ્રતિનિધિ પસંદ કરવા માટે,આપણે $40 \times 40 \times 40 \times 40$ રીતે પસંદગી કરી શકીએ.
ગણતરી: $40^4 = 2560000$.
આમ,$4$ વિદ્યાર્થી પ્રતિનિધિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $2560000$ છે.

(B) $5$ પત્રોને $5$ પરબિડીયામાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ છે.
આ $120$ રીતોમાં,માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં દરેક પત્ર તેના સાચા (સરનામાંવાળા) પરબિડીયામાં હોય છે.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે એવી કેટલી રીતો છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં ન હોય. આ શોધવા માટે કુલ ગોઠવણીમાંથી તે કિસ્સો બાદ કરવો પડે જેમાં બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં હોય.
રીતોની સંખ્યા $= 120 - 1 = 119$.

(D) ઘોડો $H_{1}$ $7$ ભાગોમાંથી ($P_{1}$ થી $P_{7}$) કોઈપણ એક પસંદ કરી શકે છે,તેથી $H_{1}$ માટે $7$ રીતો છે.
કારણ કે કોઈ પણ $2$ ઘોડા એક જ ભાગમાં પ્રવેશી શકતા નથી,તેથી $H_{1}$ એ એક ભાગ પસંદ કર્યા પછી,$H_{2}$ માટે $6$ ભાગ બાકી રહે છે. આમ,$H_{2}$ માટે $6$ રીતો છે.
$H_{1}$ અને $H_{2}$ એ તેમના ભાગો રોક્યા પછી,$H_{3}$ માટે $5$ ભાગ બાકી રહે છે. આમ,$H_{3}$ માટે $5$ રીતો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,$3$ ઘોડાઓ કુલ $7 \times 6 \times 5 = 210$ રીતે ખેતરનું ઘાસ ચરી શકે છે.

(B) $2$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે બે સ્થાન ભરવાની જરૂર છે: દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન.
પ્રથમ સ્થાન (દશકનું સ્થાન) આપેલા $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ માંથી કોઈપણ એક વડે ભરી શકાય છે. આમ,પ્રથમ સ્થાન ભરવાની $6$ રીતો છે.
પુનરાવર્તનની મનાઈ હોવાથી,બીજું સ્થાન (એકમનું સ્થાન) બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક વડે ભરી શકાય છે. આમ,બીજું સ્થાન ભરવાની $5$ રીતો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,$2$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની કુલ રીતો $6 \times 5 = 30$ છે.

(A) $(i)$ જ્યારે અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય ન હોય: આપણે $3$ અંકની એકી સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,એકમના સ્થાને એકી અંક હોવો જોઈએ. એકમનું સ્થાન $1, 3$ અથવા $5$ વડે ભરી શકાય છે,એટલે કે $3$ રીતે.
હવે,દશકનું સ્થાન બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક વડે $5$ રીતે ભરી શકાય છે અને સોનું સ્થાન બાકીના $4$ અંકો વડે $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,$3$ અંકની કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 5 \times 4 = 60$.
(ii) જ્યારે અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોય: એકમનું સ્થાન $1, 3$ અથવા $5$ વડે $3$ રીતે ભરી શકાય છે. પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દશકનું સ્થાન $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ વડે $6$ રીતે અને સોનું સ્થાન પણ $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ વડે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,$3$ અંકની કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 6 \times 6 = 108$.

(B) $2$ અંકની સંખ્યામાં એકમનું સ્થાન અને દશકનું સ્થાન હોય છે.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,એકમના સ્થાને એકી અંક હોવો જોઈએ. આપેલ ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 8}$ માંથી ઉપલબ્ધ એકી અંકો $1, 3$ અને $5$ છે.
આમ,એકમનું સ્થાન ભરવાની $3$ રીતો છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દશકનું સ્થાન આપેલ $5$ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 8}$ માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે.
તેથી,$2$ અંકની કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 5 = 15$ થાય.