Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) આપેલ ગુણોત્તર $C(2n, 3) : C(n, 3) = 11 : 1$ છે.
સૂત્ર $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{11}{1}$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11(n - 2)$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11n - 22$
$\Rightarrow 22 - 4 = 11n - 8n$
$\Rightarrow 18 = 3n$
$\Rightarrow n = 6$.

(A) આપણે સંચય (combinations) નો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: ${ }^{n} C_{a} = { }^{n} C_{b}$ નો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: ${ }^{2 n} C_{r} = { }^{2 n} C_{r+2}$.
અહીં,$r \neq r+2$ છે,તેથી નીચેના પદોનો સરવાળો ઉપરના પદ જેટલો થવો જોઈએ:
$r + (r + 2) = 2n$
$2r + 2 = 2n$
$2r = 2n - 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$r = n - 1$.

(A) આપેલ છે કે ${ }^{18} C_{r}={ }^{18} C_{r+2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n} C_{a}={ }^{n} C_{b}$ ગુણધર્મ મુજબ કાં તો $a=b$ અથવા $a+b=n$ થાય.
અહીં,$r \neq r+2$,તેથી $r + (r+2) = 18$ લેવું પડે.
$2r + 2 = 18$
$2r = 16$
$r = 8$.
હવે,આપણે ${ }^{r} C_{5} = { }^{8} C_{5}$ શોધવાનું છે.
${ }^{8} C_{5} = { }^{8} C_{8-5} = { }^{8} C_{3}$.
${ }^{8} C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $12 \cdot {}^{n}C_{2} = {}^{2n}C_{3}$.
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$12 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}$
$12 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}$
$6n(n-1) = \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{6}$
$6n(n-1) = \frac{4n(2n-1)(n-1)}{6}$
બંને બાજુ $2n(n-1)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $n > 1$):
$3 = \frac{2(2n-1)}{6}$
$18 = 4n - 2$
$20 = 4n$
$n = 5$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=1}^{5} C(5, r) = C(5, 1) + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{n} C(n, r) = 2^n$ થાય છે.
અહીં,$n = 5$ હોવાથી,$\sum_{r=0}^{5} C(5, r) = 2^5 = 32$ થાય.
આપેલ સરવાળો $\sum_{r=1}^{5} C(5, r) = \left( \sum_{r=0}^{5} C(5, r) \right) - C(5, 0)$ છે.
કારણ કે $C(5, 0) = 1$ છે,તેથી $32 - 1 = 31$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $n$ વસ્તુઓના સમૂહમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 5$ છે.
તેથી,પસંદગીની રીતોની સંખ્યા $= C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.
$= \frac{30240}{120} = 252$.

(D) $16$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવા માટે,જેમાં $2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓ હંમેશા સામેલ હોય,આપણે નીચે મુજબ ગણતરી કરીશું:
$1$. $2$ ખેલાડીઓ પહેલેથી જ નક્કી હોવાથી,આપણે બાકીના $11 - 2 = 9$ ખેલાડીઓ જ પસંદ કરવાના રહે છે.
$2$. ઉપલબ્ધ બાકી રહેલા ખેલાડીઓની સંખ્યા $16 - 2 = 14$ છે.
$3$. $14$ માંથી $9$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: ${}^{14}C_{9} = \frac{14!}{9!5!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002$ રીતો.

(B) $16$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવા માટે,જેમાં $1$ ચોક્કસ ખેલાડીને હંમેશા બાકાત રાખવાનો હોય,તો આપણે બાકી રહેલા $15$ ખેલાડીઓ $(16 - 1 = 15)$ માંથી $11$ ખેલાડીઓની પસંદગી કરવાની રહે.
આ ગણતરી સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 11$ છે.
પસંદગીના પ્રકારો = ${}^{15}C_{11} = {}^{15}C_{15-11} = {}^{15}C_{4}$.
${}^{15}C_{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 = 1365$ રીતે.

(A) કુલ ઉપલબ્ધ ખેલાડીઓ = $16$.
આપણે $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે.
આપેલ શરતો:
$1$. $2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને સામેલ કરવાના છે.
$2$. $1$ ચોક્કસ ખેલાડીને બાકાત રાખવાનો છે.
કારણ કે $2$ ખેલાડીઓ પહેલેથી જ સામેલ છે,તેથી આપણે બાકીના $11 - 2 = 9$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના રહે છે.
કારણ કે $1$ ખેલાડીને બાકાત રાખવામાં આવ્યો છે અને $2$ પહેલેથી જ સામેલ છે,તેથી પસંદગી માટે બાકી રહેલા ખેલાડીઓની સંખ્યા $16 - 2 - 1 = 13$ છે.
તેથી,$13$ ખેલાડીઓમાંથી બાકીના $9$ ખેલાડીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
પસંદગીની રીતો = ${}^{13}C_{9} = {}^{13}C_{13-9} = {}^{13}C_{4}$.
${}^{13}C_{4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 11 \times 5 = 715$.

(D) ભાગ $A$ માંથી $10$ માંથી $8$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $C(10, 8)$ દ્વારા મળે છે.
ભાગ $B$ માંથી $10$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $C(10, 5)$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને સ્વતંત્ર પસંદગીઓ હોવાથી,કુલ રીતો બંને સંચયોનો ગુણાકાર થશે:
કુલ રીતો $= C(10, 8) \times C(10, 5)$
$= \frac{10!}{8!2!} \times \frac{10!}{5!5!}$
$= \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 45 \times 252 = 11340$.

(C) ભાગ $1$: $15$ માંથી $11$ ખેલાડીઓની પસંદગી કરવાની રીતો $C(15, 11)$ દ્વારા મળે છે.
$C(15, 11) = C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$.
ભાગ $2$: જો એક ચોક્કસ ખેલાડીનો સમાવેશ કરવાનો હોય,તો આપણે પહેલેથી જ $1$ ખેલાડી પસંદ કરી લીધો છે. હવે,આપણે બાકીના $14$ ખેલાડીઓમાંથી $10$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના છે.
આ $C(14, 10)$ દ્વારા મળે છે.
$C(14, 10) = C(14, 4) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$.
આમ,એક ચોક્કસ ખેલાડીનો સમાવેશ થાય તેવી રીતોની સંખ્યા $1001$ છે.

(C) '$INVOLUTE$' શબ્દમાં કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં સ્વરો $\{I, O, U, E\}$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
આ શબ્દમાં વ્યંજનો $\{N, V, L, T\}$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
આપણે $4$ સ્વરોમાંથી $3$ સ્વરો અને $4$ વ્યંજનોમાંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $C(4, 3) \times C(4, 2) = 4 \times 6 = 24$ છે.
આ પસંદ કરેલા $5$ અક્ષરોને તેમની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
તેથી,કુલ બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $24 \times 120 = 2880$ છે.

(B) રેખા બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓના સમૂહમાંથી $2$ ભિન્ન બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
વર્તુળ પરના બિંદુઓ હોવાથી,કોઈ પણ $3$ બિંદુઓ એક રેખસ્થ (collinear) નથી,તેથી દરેક બિંદુઓની જોડી એક અનન્ય રેખા નક્કી કરે છે.
$n$ બિંદુઓમાંથી દોરી શકાતી રેખાઓની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 21$ છે.
તેથી,રેખાઓની સંખ્યા $p = C(21, 2) = \frac{21 \times 20}{2} = 21 \times 10 = 210$ રેખાઓ.

(C) $9$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેમાં દરેક રંગના $3$ દડા હોય,આપણે $6$ લાલ દડામાંથી $3$,$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ અને $5$ વાદળી દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવા પડશે.
$6$ લાલ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $C(6,3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$5$ વાદળી દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ પસંદગીની રીતોની સંખ્યા આ વ્યક્તિગત પસંદગીઓનો ગુણાકાર છે:
$p = 20 \times 10 \times 10 = 2000$.

(B) કુલ ઉપલબ્ધ $9$ અભ્યાસક્રમોમાંથી,$2$ અભ્યાસક્રમો ફરજિયાત છે.
વિદ્યાર્થીએ કુલ $5$ અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાના છે અને $2$ પહેલેથી જ નક્કી હોવાથી,વિદ્યાર્થીએ બાકીના $9 - 2 = 7$ અભ્યાસક્રમોમાંથી $5 - 2 = 3$ અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાના રહે છે.
$7$ માંથી $3$ અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 3$ છે.
$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
તેથી,કાર્યક્રમ પસંદ કરવાની કુલ $35$ રીતો છે.

(C) દરેક વિભાગમાંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા માટે,આપણે સંચયના સૂત્ર $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
વિભાગ-$I$ ($6$ પ્રશ્નો) માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો: $C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
વિભાગ-$II$ ($7$ પ્રશ્નો) માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો: $C(7, 4) = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
વિભાગ-$III$ ($8$ પ્રશ્નો) માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો: $C(8, 4) = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
કુલ સંચયોની સંખ્યા = $C(6, 4) \times C(7, 4) \times C(8, 4) = 15 \times 35 \times 70 = 36750$.

(NONE) કુલ $8$ વ્યક્તિઓ છે અને આપણે $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે.
કિસ્સો $1$: વ્યક્તિ $A$ પસંદ ન થાય.
જો $A$ પસંદ ન થાય,તો આપણે બાકીની $7$ વ્યક્તિઓમાંથી $6$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવી પડે $(8 - 1 = 7)$. અહીં $A$ પસંદ નથી,તેથી $B$ પસંદ થાય કે ન થાય,શરતનું ઉલ્લંઘન થતું નથી. પસંદગીના પ્રકારો $= C(7, 6) = 7$.
કિસ્સો $2$: વ્યક્તિ $A$ પસંદ થાય.
જો $A$ પસંદ થાય,તો $B$ ને પણ પસંદ કરવી જ પડે. આપણે $2$ વ્યક્તિઓ ($A$ અને $B$) પહેલેથી જ પસંદ કરી લીધી છે. હવે બાકીની $6$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની છે $(8 - 2 = 6)$. પસંદગીના પ્રકારો $= C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = 15$.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $= 7 + 15 = 22$.

(D) '$THERAPY$' શબ્દમાં $7$ અલગ અક્ષરો છે: $T, H, E, R, A, P, Y$.
તેમાં $2$ સ્વરો $(E, A)$ અને $5$ વ્યંજનો $(T, H, R, P, Y)$ છે.
પ્રથમ,બધા $7$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા શોધો,જે $7! = 5040$ છે.
ત્યારબાદ,એવી ગોઠવણીની સંખ્યા શોધો જેમાં $2$ સ્વરો સાથે આવે. $2$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ વ્યંજનો + $1$ એકમ = $6$ ઘટકો છે,જેને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
એકમની અંદરના $2$ સ્વરોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,સ્વરો સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ છે.
સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે:
$5040 - 1440 = 3600$.

(A) '$PRAISE$' શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $P, R, A, I, S, E$.
બધા અક્ષરો અલગ હોવાથી,તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા અક્ષરોની સંખ્યાના ફેક્ટોરિયલ $(!)$ દ્વારા મળે છે.
ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $= 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ રીતો.

(A) '$PRAISE$' શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $P, R, A, I, S, E$.
$n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 6$ છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $= 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ થાય.

(D) '$BANKING$' શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે,જેમાં '$N$' અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ એક સમાન હોય,ત્યારે તેને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{p!}$ છે.
અહીં,$n = 7$ અને $p = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ થાય.

(D) $ATTEND$ શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,$T$ અક્ષર $2$ વખત આવે છે,જ્યારે બાકીના તમામ અક્ષરો $(A, E, N, D)$ એક વખત આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની હોય,$q$ વસ્તુઓ બીજા પ્રકારની હોય,વગેરે,ત્યારે તેને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{p!q!...}$ છે.
અહીં,$n = 6$ અને $T$ ની આવૃત્તિ $2$ છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ થાય.

(D) '$CYCLE$' શબ્દમાં કુલ $5$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,'$C$' અક્ષર $2$ વાર આવે છે,જ્યારે '$Y$','$L$',અને '$E$' અક્ષરો દરેક $1$ વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની હોય,ત્યારે ગોઠવણીની કુલ રીતો $\frac{n!}{p!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 5$ અને '$C$' ની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો $= \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ રીતો.

(C) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 54 \times 30 = 1620$ છે.
જ્યારે આ વિદ્યાર્થીઓને $45$ ની હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે બનતી હરોળની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાને પ્રતિ હરોળ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે.
હરોળની સંખ્યા $= \frac{1620}{45} = 36$.
તેથી,કુલ $36$ હરોળ બનશે.

(D) $ATTEND$ શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,$T$ અક્ષર $2$ વખત આવે છે,અને બાકીના બધા અક્ષરો $(A, E, N, D)$ દરેક $1$ વખત આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની હોય,ત્યારે ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{p!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 6$ અને $p = 2$ ($T$ અક્ષર માટે).
તેથી,ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ થાય.

(A) $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
કિસ્સો $1$: સમિતિમાં બધા $4$ પ્રોફેસરો અને $1$ સંશોધન સહયોગી હોય.
$4$ પ્રોફેસરોમાંથી $4$ પ્રોફેસરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{4} = 1$ છે.
$6$ સંશોધન સહયોગીઓમાંથી $1$ સંશોધન સહયોગી પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{1} = 6$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ રીતો $= 1 \times 6 = 6$.
કિસ્સો $2$: સમિતિમાં બધા $3$ તાલીમાર્થીઓ અને $2$ પ્રોફેસરો હોય.
$3$ તાલીમાર્થીઓમાંથી $3$ તાલીમાર્થીઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{3}C_{3} = 1$ છે.
$4$ પ્રોફેસરોમાંથી $2$ પ્રોફેસરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ રીતો $= 1 \times 6 = 6$.
આ કિસ્સાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ રીતો બંને કિસ્સાઓની રીતોનો સરવાળો થશે:
કુલ રીતો $= 6 + 6 = 12$.

(C) સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે $3$ ઉપલબ્ધ તાલીમાર્થીઓમાંથી $2$ તાલીમાર્થીઓ અને $6$ ઉપલબ્ધ સંશોધન સહાયકોમાંથી $3$ સંશોધન સહાયકો પસંદ કરવાના છે.
$3$ માંથી $2$ તાલીમાર્થીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંયોજન સૂત્ર ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${ }^{3} C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2!}{2! \times 1!} = 3$.
$6$ માંથી $3$ સંશોધન સહાયકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા:
${ }^{6} C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો આ બે મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે:
કુલ રીતો $= { }^{3} C_{2} \times { }^{6} C_{3} = 3 \times 20 = 60$.

(A) '$OFFICES$' શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,'$F$' અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,જ્યારે અન્ય તમામ અક્ષરો $(O, I, C, E, S)$ એક જ વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની હોય,ત્યારે ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{p!}$ છે.
અહીં,$n = 7$ અને $p = 2$ ('$F$' અક્ષર માટે).
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.