Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
જરૂરી સાચા જવાબોની સંખ્યા $r = 4$ છે.
દરેક પ્રશ્ન માટે,$1$ સાચો જવાબ અને $3$ ખોટા જવાબો છે.
$6$ માંથી $4$ પ્રશ્નો સાચા પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{6}C_{4}$ દ્વારા મળે છે.
$4$ સાચા પ્રશ્નો માટે,દરેકને સાચી રીતે જવાબ આપવાની માત્ર $1$ રીત છે $(1^4)$.
બાકીના $6 - 4 = 2$ પ્રશ્નો માટે,દરેકનો જવાબ ખોટો હોવો જોઈએ,અને દરેક ખોટા જવાબ માટે $3$ વિકલ્પો છે $(3^2)$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{6}C_{4} \times 1^4 \times 3^2 = 15 \times 1 \times 9 = 135$ છે.

(B) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + {}^{48}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ છે.
હોકી-સ્ટિક આઈડેન્ટિટીનો ઉપયોગ કરતા,જે દર્શાવે છે કે $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$,આપણે સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પ્રથમ,નોંધો કે ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ ગુણધર્મનો વારંવાર ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + {}^{30}C_{6}$.
${}^{30}C_{7}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$S = ({}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7}) - {}^{30}C_{7}$.
${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ આઈડેન્ટિટીનો ઉપયોગ કરતા:
${}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7} = {}^{31}C_{7}$.
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$.
આ પ્રક્રિયા ${}^{50}C_{6} + {}^{50}C_{7} = {}^{51}C_{7}$ સુધી ચાલુ રાખતા.
આમ,સરવાળો ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે વિભાગ $A, B,$ અને $C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1, n_2,$ અને $n_3$ છે,જેથી $n_1 + n_2 + n_3 = 5$,જ્યાં $n_i \ge 1$ છે.
$5$ ને $3$ ભાગમાં (દરેક $\ge 1$) વિભાજિત કરવાની શક્યતાઓ:
$1) (1, 2, 2)$ કોઈપણ ક્રમમાં: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$.
$2) (1, 1, 3)$ કોઈપણ ક્રમમાં: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$.
કિસ્સા $(1, 2, 2)$ માટે:
પસંદગીની રીતો $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$.
$(1, 2, 2)$ ના $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 500 = 1500$.
કિસ્સા $(1, 1, 3)$ માટે:
પસંદગીની રીતો $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$.
$(1, 1, 3)$ ના $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 250 = 750$.
કુલ રીતો $= 1500 + 750 = 2250$.

(D) '$SYLLABUS$' શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $S, S, L, L, Y, A, B, U$.
અહીં $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી ($S, S$ અને $L, L$) છે અને $4$ ભિન્ન અક્ષરો $(Y, A, B, U)$ છે.
આપણે $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન અક્ષરો સાથે $4$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવો છે.
પગલું $1$: સમાન અક્ષરોની જોડી પસંદ કરો. $2$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીત = $^2C_1 = 2$.
પગલું $2$: બાકીના $5$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરો (કારણ કે જો આપણે $S, S$ લઈએ તો $L$ પણ ભિન્ન અક્ષર તરીકે ગણાય) = $^5C_2 = 10$.
પગલું $3$: આ $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!} = 12$.
કુલ શબ્દો = $2 \times 10 \times 12 = 240$.

(C) "$LETTER$" શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $L, E, T, T, E, R$.
સ્વરો $E, E$ છે અને વ્યંજનો $L, T, T, R$ છે.
પ્રથમ,વ્યંજનો $L, T, T, R$ ને ગોઠવો. આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો (જ્યાં $T$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
હવે,સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે તે માટે,આપણે તેમને વ્યંજનો દ્વારા બનાવેલી ખાલી જગ્યાઓમાં મૂકીશું:
_ $L$ _ $T$ _ $T$ _ $R$ _
$2$ સમાન સ્વરો $(E, E)$ માટે $5$ ખાલી જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે.
$5$ માંથી $2$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ છે.
સ્વરો સમાન હોવાથી,તેમને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં મૂકવાની માત્ર $1$ રીત છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $12 \times 10 = 120$.

(B) અહીં ત્રણ પરિવારો છે: બે પરિવારો જેમાં દરેકના $3$ સભ્યો છે અને એક પરિવાર જેમાં $4$ સભ્યો છે.
એક જ પરિવારના સભ્યો અલગ ન પડે તે માટે,આપણે દરેક પરિવારને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
આવા $3$ એકમો (પરિવારો) ને પોતાની વચ્ચે ગોઠવવા માટે $3!$ રીતો છે.
પ્રથમ $3$ સભ્યોના પરિવારમાં,સભ્યોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બીજા $3$ સભ્યોના પરિવારમાં,સભ્યોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ત્રીજા $4$ સભ્યોના પરિવારમાં,સભ્યોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેમને એવી રીતે બેસાડવાની કુલ રીતો કે જેથી પરિવારના સભ્યો સાથે રહે,તે $3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 4! = (3!)^3 \cdot 4!$ છે.

(C) $TABLE$ શબ્દમાં $5$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $T, A, B, L, E$.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$TABLE$ શબ્દના અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$M$ એ $2$ વખત આવે છે.
$A$ એ $2$ વખત આવે છે.
$T$ એ $2$ વખત આવે છે.
$H, E, I, C, S$ દરેક $1$ વખત આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી અમુક વસ્તુઓ પુનરાવર્તિત થતી હોય,ત્યારે ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{11!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{11!}{2 \times 2 \times 2} = \frac{11!}{8}$.

(A) દરેક $6$ પત્રોમાંથી કોઈપણ પત્રને $5$ લેટર બોક્સમાંથી ગમે તે એકમાં પોસ્ટ કરી શકાય છે.
દરેક પત્ર માટે $5$ સ્વતંત્ર વિકલ્પો હોવાથી,$6$ પત્રો પોસ્ટ કરવાની કુલ રીતો $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^{6}$ થાય.

(C) એકી અંકોનો સમૂહ ${1, 3, 5, 7, 9}$ છે.
આવા કુલ $5$ અંકો ઉપલબ્ધ છે.
ભિન્ન અંકોવાળી $3$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે આ $5$ ઉપલબ્ધ એકી અંકોમાંથી $3$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચય (permutation) ના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $r=3$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ અંક $5$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
બીજો અંક $4$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે (કારણ કે અંકો ભિન્ન હોવા જોઈએ).
ત્રીજો અંક $3$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
$3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 5 \times 4 \times 3 = 60$.

(C) '$UNIVERSAL$' શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
જ્યારે $E, R, S$ હંમેશા સાથે હોય,ત્યારે આપણે $(ERS)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,ગોઠવવા માટેના કુલ એકમો ${U, N, I, V, A, L, (ERS)}$ એટલે કે $7$ છે,જેને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$(ERS)$ જૂથની અંદર,$3$ અક્ષરોને પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 7! \times 3!$ થશે.
ગણતરી કરતા: $7! = 5040$ અને $3! = 6$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= 5040 \times 6 = 30240$.

(A) '$ALGEBRA$' શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે,જેમાં '$A$' બે વાર આવે છે અને બાકીના બધા અક્ષરો અલગ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
બંને '$A$' સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બંને '$A$' ને એક એકમ '$AA$' તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $6$ એકમો છે: ${AA, L, G, E, B, R}$.
બંને '$A$' સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6! = 720$.
બંને '$A$' સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણી) - (બંને '$A$' સાથે હોય તેવી ગોઠવણી).
જરૂરી ગોઠવણીની સંખ્યા $= 2520 - 720 = 1800$.

(D) '$NUTAN$' શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $N, U, T, A, N$.
વ્યંજનો $N, T, N$ ($3$ અક્ષરો) છે અને સ્વરો $U, A$ ($2$ અક્ષરો) છે.
કુલ $5$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ ($3$ સ્થાનો) છે અને બેકી સ્થાનો $2, 4$ ($2$ સ્થાનો) છે.
વ્યંજનો $(N, T, N)$ એ $3$ એકી સ્થાનો પર આવવા જોઈએ. તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે (કારણ કે $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
સ્વરો $(U, A)$ એ $2$ બેકી સ્થાનો પર આવવા જોઈએ. તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $2! = 2$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 3 \times 2 = 6$.

(A) જગ્યાઓ અલગ-અલગ હોવાથી,પસંદગીનો ક્રમ મહત્વનો છે.
પ્રથમ જગ્યા માટે $7$ વિકલ્પો છે.
બીજી જગ્યા માટે બાકી રહેલા $6$ વિકલ્પો છે.
ત્રીજી જગ્યા માટે બાકી રહેલા $5$ વિકલ્પો છે.
તેથી,જગ્યાઓ ભરવાની કુલ રીતો $7 \times 6 \times 5 = 210$ છે.

(D) $3$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે ત્રણ સ્થાન છે: સોનું સ્થાન,દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન.
$1$. સોના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં કારણ કે $3$ અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં. ઉપલબ્ધ અંકો ${2, 3, 5, 7}$ છે. તેથી,સોના સ્થાન માટે $4$ વિકલ્પો છે.
$2$. દશકના સ્થાન પર આપેલા કોઈપણ અંક ${0, 2, 3, 5, 7}$ આવી શકે છે કારણ કે પુનરાવર્તન શક્ય છે. તેથી,દશકના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે.
$3$. એકમના સ્થાન પર પણ આપેલા કોઈપણ અંક ${0, 2, 3, 5, 7}$ આવી શકે છે કારણ કે પુનરાવર્તન શક્ય છે. તેથી,એકમના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે.
કુલ $3$ અંકની સંખ્યાઓ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$.

(A) સ્તંભ $A$ ની $1^{\text{લી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની $6$ વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે.
સ્તંભ $A$ ની $2^{\text{જી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની બાકી રહેલી $5$ વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે.
સ્તંભ $A$ ની $3^{\text{જી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની બાકી રહેલી $4$ વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે.
સ્તંભ $A$ ની $4^{\text{થી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની બાકી રહેલી $3$ વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે.
સ્તંભ $A$ ની $5^{\text{મી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની બાકી રહેલી $2$ વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે.
સ્તંભ $A$ ની $6^{\text{ઠ્ઠી}}$ વસ્તુને સ્તંભ $B$ ની બાકી રહેલી છેલ્લી $1$ વસ્તુ સાથે જોડી શકાય છે.
તેથી,વસ્તુઓને જોડવાની કુલ શક્ય રીતોની સંખ્યા $6$ વસ્તુઓના ક્રમચય (permutation) દ્વારા મળે છે,જે $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ છે.

(C) $2$ અંકની સંખ્યાને $XY$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $X$ દશકનો અંક છે અને $Y$ એકમનો અંક છે.
સંખ્યા બેકી હોવા માટે,એકમનો અંક $Y$ એ $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ ગણમાંથી હોવો જોઈએ.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ એકમના સ્થાને $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $Y \in \{2, 4, 6, 8\}$. આમ,એકમના સ્થાન માટે $4$ શક્યતાઓ છે.
દશકના સ્થાન $X$ માટે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી કોઈપણ અંક લઈ શકાય. નોંધો કે $2$ અંકની સંખ્યામાં દશકના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે. આમ,દશકના સ્થાન માટે $9$ શક્યતાઓ છે.
આવી કુલ બેકી $2$ અંકની સંખ્યાઓ $= (\text{દશકના સ્થાન માટેની પસંદગીઓ}) \times (\text{એકમના સ્થાન માટેની પસંદગીઓ}) = 9 \times 4 = 36$.

(B) $3$-અંકી સંખ્યામાં સોના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં.
તેથી,સોના સ્થાન માટે શક્ય અંકોની સંખ્યા $= 9$ છે.
દશકના સ્થાન માટે શક્ય અંકોની સંખ્યા $= 9$ છે (કારણ કે $0$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે પરંતુ સોના સ્થાનનો અંક નહીં).
એકમના સ્થાન માટે શક્ય અંકોની સંખ્યા $= 8$ છે (કારણ કે સો અને દશકના સ્થાનના અંકોનો ઉપયોગ કરી શકાય નહીં).
કુલ સંખ્યા $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.

(D) $2$-અંકી સંખ્યામાં દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન હોય છે.
દશકના સ્થાન માટે,શક્ય અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ છે. આમ,દશકના સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે.
એકમનું સ્થાન ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે,પરંતુ તે દશકના સ્થાન માટે પસંદ કરેલા અંકથી અલગ હોવો જોઈએ.
કારણ કે એક અંક દશકના સ્થાનમાં પહેલેથી જ વપરાઈ ગયો છે,તેથી એકમના સ્થાન માટે $10 - 1 = 9$ વિકલ્પો બાકી રહે છે.
તેથી,અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી $2$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $9 \times 9 = 81$ છે.

(A) અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી $4$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે $4$ સ્થાન છે: હજાર,સો,દશક અને એકમ.
$1$. હજારના સ્થાન માટે,આપણે $0$ નો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તેથી,આપણી પાસે $9$ વિકલ્પો છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$.
$2$. સોના સ્થાન માટે,આપણે $0$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,પરંતુ હજારના સ્થાન પર મુકાયેલ અંકનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તેથી,આપણી પાસે $9$ વિકલ્પો છે ($0$ અને બાકીના $8$ અંકો).
$3$. દશકના સ્થાન માટે,આપણે અગાઉ મુકાયેલા $2$ અંકોનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તેથી,આપણી પાસે $8$ વિકલ્પો છે.
$4$. એકમના સ્થાન માટે,આપણે અગાઉ મુકાયેલા $3$ અંકોનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તેથી,આપણી પાસે $7$ વિકલ્પો છે.
અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.

(C) '$DETAIL$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $3$ સ્વરો $(A, E, I)$ અને $3$ વ્યંજનો $(D, T, L)$.
કુલ $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
એકી સ્થાનો $1, 3,$ અને $5$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4,$ અને $6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
આપણે $3$ સ્વરોને $3$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે,જે $3! = 6$ રીતે કરી શકાય.
આપણે $3$ વ્યંજનોને $3$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે,જે $3! = 6$ રીતે કરી શકાય.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય.

(B) $3$-અંકી બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને બેકી અંક ($0$ અથવા $2$) હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમના સ્થાને $0$ હોય.
બાકીના બે સ્થાનો (સો અને દશક) બાકીના $4$ અંકો $(2, 3, 5, 7)$ દ્વારા ભરી શકાય છે.
સોના સ્થાનને ભરવાની રીતો $4$ છે અને દશકના સ્થાનને ભરવાની રીતો $3$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ રીતો $= 4 \times 3 = 12$.
કિસ્સો $2$: એકમના સ્થાને $2$ હોય.
સોના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે,અને $2$ પણ ન હોઈ શકે (કારણ કે પુનરાવર્તન માન્ય નથી).
તેથી,સોનું સ્થાન બાકીના $3$ અંકો $(3, 5, 7)$ માંથી કોઈ પણ એક દ્વારા ભરી શકાય છે.
દશકનું સ્થાન બાકીના $3$ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે,પરંતુ સો અને એકમના સ્થાને વપરાયેલા અંકો સિવાય) ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ રીતો $= 3 \times 3 = 9$.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 12 + 9 = 21$.

(C) પ્રથમ $3$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકના $4$ વિકલ્પો છે. આ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની રીતોની સંખ્યા $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ છે.
પછીના $3$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકના $5$ વિકલ્પો છે. આ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની રીતોની સંખ્યા $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,જવાબોના કુલ ક્રમ એ દરેક પ્રશ્નોના સેટના જવાબ આપવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ ક્રમ = $64 \times 125 = 8000$.

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 7 + 6 = 13$ છે.
આપણે $5$ વ્યક્તિઓની એવી રીતે પસંદગી કરવાની છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ પુરુષો હોય.
આ નીચે મુજબના કિસ્સાઓમાં કરી શકાય છે:
કિસ્સો $1$: $3$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{7}C_{3} \times {}^{6}C_{2} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 35 \times 15 = 525$.
કિસ્સો $2$: $4$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રી.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{7}C_{4} \times {}^{6}C_{1} = {}^{7}C_{3} \times 6 = 35 \times 6 = 210$.
કિસ્સો $3$: $5$ પુરુષો અને $0$ સ્ત્રીઓ.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{7}C_{5} \times {}^{6}C_{0} = {}^{7}C_{2} \times 1 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 525 + 210 + 21 = 756$.

(C) '$LEADING$' શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $L, E, A, D, I, N, G$.
આ શબ્દમાં સ્વરો $E, A, I$ છે (કુલ $3$ સ્વરો).
સ્વરો હંમેશા સાથે રહે તે માટે,આપણે $(E, A, I)$ ના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે ${L, D, N, G}$ અક્ષરો અને એક એકમ $(E, A, I)$ છે.
આમ,કુલ $4 + 1 = 5$ એકમોને ગોઠવવાના થાય.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
$(E, A, I)$ જૂથની અંદર,$3$ સ્વરોને પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ થાય.

(C) પગલું $1$: $7$ માંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
પગલું $2$: $4$ માંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પગલું $3$: પસંદ કરેલા કુલ અક્ષરોની સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે. આ $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
પગલું $4$: બનાવી શકાય તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા એ પસંદગી અને ગોઠવણીના પ્રકારોનો ગુણાકાર છે.
કુલ શબ્દો $= 35 \times 6 \times 120 = 210 \times 120 = 25200$.

(D) બાળકોની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$ છે.
$10$ માંથી $4$ બાળકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.
એક પણ છોકરો ન હોય (એટલે કે બધી $4$ છોકરીઓ હોય) તેવી પસંદગીની રીતો ${}^{4}C_{4} = 1$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક છોકરો હોય તેવી પસંદગીની રીતો શોધવા માટે,આપણે કુલ રીતોમાંથી એક પણ છોકરો ન હોય તેવી રીતો બાદ કરીશું.
પસંદગીની રીતો $= {}^{10}C_{4} - {}^{4}C_{4} = 210 - 1 = 209$.

(D) $5$ વડે ભાગી શકાય તેવી $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને $5$ હોવો આવશ્યક છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું નથી,તેથી એકમના સ્થાન માટે આપણી પાસે $1$ વિકલ્પ છે (જે $5$ છે).
બાકીના $2$ સ્થાનો (દશક અને સો) માટે,આપણી પાસે $5$ બાકી રહેલા અંકો ઉપલબ્ધ છે $(2, 3, 6, 7, 9)$.
સોના સ્થાનને ભરવાની રીતોની સંખ્યા $5$ છે.
દશકના સ્થાનને ભરવાની રીતોની સંખ્યા $4$ છે.
કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 5 \times 4 \times 1 = 20$.

(C) $8$ પુરુષોમાંથી $5$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
$10$ સ્ત્રીઓમાંથી $6$ સ્ત્રીઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{10}C_{6}$ છે.
${}^{10}C_{6} = {}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
સમિતિ બનાવવા માટેની કુલ રીતો શોધવા માટે,આપણે પુરુષો અને સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર કરીશું:
કુલ રીતો $= 56 \times 210 = 11760$.

(A) $MEDITERRANEAN$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $M, E, D, I, T, E, R, R, A, N, E, A, N$. અક્ષરોની આવૃત્તિ છે: $E:3, R:2, A:2, N:2, M:1, D:1, I:1, T:1$. કુલ $8$ અલગ પ્રકારના અક્ષરો ઉપલબ્ધ છે: ${M, E, D, I, T, R, A, N}$.
આપણે $4$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે જેમાં પ્રથમ અક્ષર $E$ અને છેલ્લો અક્ષર $R$ હોય. શબ્દનું માળખું $E . . R$ છે.
આપણે બાકીના $2$ મધ્યના સ્થાનો ભરવાના છે. $E$ અને $R$ ને નિશ્ચિત કર્યા પછી બાકી રહેલા અક્ષરો છે: $E:2, R:1, A:2, N:2, M:1, D:1, I:1, T:1$. કુલ $11$ અક્ષરો બાકી રહે છે.
કિસ્સો $1$: બે મધ્યના અક્ષરો સમાન હોય. જે અક્ષરો બે કે તેથી વધુ વખત આવે છે તે $E, A, N$ છે. આપણે આ $3$ જોડીમાંથી એક પસંદ કરી શકીએ. રીતોની સંખ્યા $= 3$.
કિસ્સો $2$: બે મધ્યના અક્ષરો અલગ હોય. આપણે $8$ ઉપલબ્ધ પ્રકારો ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ માંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 56 + 3 = 59$.

(A) '$MATHEMATICS$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, A, T, H, E, M, A, T, I, C, S$.
સ્વરો $A, A, E, I$ છે (કુલ $4$ સ્વરો).
વ્યંજનો $M, T, H, M, T, C, S$ છે (કુલ $7$ વ્યંજનો).
$4$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે લેતા,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ સ્વરનો એકમ = $8$ ઘટકો ગોઠવવા માટે છે.
આ $8$ ઘટકોમાં,$M$ બે વાર અને $T$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $8$ ઘટકોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{4} = 10080$ છે.
સ્વરના એકમની અંદર,$4$ સ્વરો $(A, A, E, I)$ ને $\frac{4!}{2!}$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (કારણ કે $A$ બે વાર આવે છે).
$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $10080 \times 12 = 120960$.

(B) $6$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$6$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો = $6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
$8$ મહિલાઓમાંથી $3$ મહિલાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
પુરુષો અને મહિલાઓની પસંદગી સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો આ બંને મૂલ્યોનો ગુણાકાર થશે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $15 \times 56 = 840$.

(A) માત્ર પુરુષોની બનેલી $5$ લોકોની સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે ઉપલબ્ધ $6$ પુરુષોમાંથી $5$ પુરુષો પસંદ કરવાના છે.
$n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
અહીં,$n = 6$ અને $r = 5$ છે.
રીતોની સંખ્યા = ${}^{6}C_{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \times 1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6$.
તેથી,સમિતિ પસંદ કરવાની કુલ $6$ રીતો છે.

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 6 + 8 = 14$ છે.
$14$ માંથી $5$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_{5} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002$ છે.
એવી રીતોની સંખ્યા જેમાં એક પણ મહિલા પસંદ ન થાય,એટલે કે તમામ $5$ વ્યક્તિઓ $6$ પુરુષોમાંથી પસંદ કરવામાં આવે. આ રીતોની સંખ્યા ${}^{6}C_{5} = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક મહિલા પસંદ થાય તેવી રીતોની સંખ્યા = (કુલ રીતો) - (એક પણ મહિલા ન હોય તેવી રીતો).
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 2002 - 6 = 1996$.

(C) વધુમાં વધુ એક પુરુષનો અર્થ એ છે કે કાં તો કોઈ પુરુષ પસંદ કરવામાં આવતો નથી અથવા બરાબર એક પુરુષ પસંદ કરવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: કોઈ પુરુષ પસંદ કરવામાં આવતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે તમામ $5$ સભ્યો $8$ મહિલાઓમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
કિસ્સો $2$: બરાબર એક પુરુષ પસંદ કરવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $6$ પુરુષોમાંથી $1$ પુરુષ અને $8$ મહિલાઓમાંથી $4$ મહિલાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{4} = 6 \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 70 = 420$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 56 + 420 = 476$.

(C) ચાર અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને $0, 2, 4,$ અથવા $6$ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $I$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ હોય.
એકમનું સ્થાન $1$ રીતે ભરી શકાય. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકી રહેલા $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ નો ઉપયોગ કરીને $^6P_3$ રીતે ભરી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times ^6P_3 = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ ન હોય.
એકમનું સ્થાન $2, 4,$ અથવા $6$ વડે $3$ રીતે ભરી શકાય. હજારનું સ્થાન $0$ ન હોઈ શકે અને એકમના સ્થાને વપરાયેલ અંક પણ ન હોઈ શકે,તેથી તે $5$ રીતે ભરી શકાય (બાકીના $6$ અંકોમાંથી). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકી રહેલા $5$ અંકો વડે $^5P_2$ રીતે ભરી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times 5 \times ^5P_2 = 15 \times \frac{5!}{3!} = 15 \times 20 = 300$.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 120 + 300 = 420$.

(B) ચાર અલગ-અલગ નોટોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી વિવિધ રકમોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ નોટોના તમામ શક્ય બિન-ખાલી સંયોજનોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
દરેક નોટ અલગ હોવાથી,ચાર નોટોમાંથી કોઈપણ ઉપગણ પસંદ કરવાથી એક અનન્ય રકમ મળશે.
$4$ ઘટકોના સમૂહના કુલ બિન-ખાલી ઉપગણોની સંખ્યા $2^n - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 4$ છે.
વિવિધ રકમોની સંખ્યા $= 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
વૈકલ્પિક રીતે,આની ગણતરી એક સમયે $1, 2, 3$ અથવા $4$ નોટો લેવાના સંયોજનોના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે:
રકમની સંખ્યા $= {^4C_1} + {^4C_2} + {^4C_3} + {^4C_4} = 4 + 6 + 4 + 1 = 15$.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની કુલ રીતો $(n-1)!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=12$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ $= (12-1)! = 11!$.
હવે,આપણે એવી રીતોની ગણતરી કરીએ જેમાં $2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ એકબીજાની બાજુમાં બેસે છે. આપણે આ $2$ વ્યક્તિઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે $11$ એકમો છે,જે $(11-1)! = 10!$ રીતે કરી શકાય છે.
કારણ કે એકમની અંદરની $2$ વ્યક્તિઓને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી તેઓ સાથે બેસે તેવી કુલ રીતો $10! \times 2!$ છે.
છેલ્લે,જે ગોઠવણીમાં $2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેસે તે શોધવા માટે,કુલ ગોઠવણીમાંથી તેઓ સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી બાદ કરતાં:
$= 11! - (10! \times 2!)$
$= (11 \times 10!) - (2 \times 10!)$
$= (11-2) \times 10!$
$= 9 \times 10!$

(D) $ARTICLE$ શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં સ્વરો $A, I, E$ છે,જેની સંખ્યા $3$ છે.
વ્યંજનો $R, T, C, L$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
$7$ અક્ષરોના શબ્દમાં,સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે. બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે,જે કુલ $3$ છે.
કારણ કે $3$ સ્વરોએ $3$ બેકી સ્થાનો પર આવવું જરૂરી છે,તેથી તેમને ગોઠવવાની રીતો $^3P_3 = 3! = 6$ છે.
બાકીના $4$ વ્યંજનો બાકીના $4$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7)$ પર આવશે. તેમને ગોઠવવાની રીતો $^4P_4 = 4! = 24$ છે.
તેથી,કુલ બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ છે.

(C) આપણે ${1, 2, 3, 4, 5}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $24,000$ થી મોટી $5$-અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $2$ હોય. $24,000$ થી મોટી સંખ્યા બનાવવા માટે,બીજો અંક $4$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
- જો બીજો અંક $4$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય.
- જો બીજો અંક $5$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ સંખ્યા $= 6 + 6 = 12$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $3, 4,$ અથવા $5$ હોય ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ સંખ્યા $= 3 \times 24 = 72$.
કુલ સંખ્યા $= 12 + 72 = 84$.

(D) $100$ થી મોટી સંખ્યાઓ $3$ અંકની અથવા $4$ અંકની હોઈ શકે છે.
કોઈ સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,એકમના સ્થાને $5$ હોવો આવશ્યક છે.
કિસ્સો $I$: $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકી રહેલા $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $II$: $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકી રહેલા $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $P(3, 3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
આમ,કુલ જરૂરી સંખ્યાઓ $= 6 + 6 = 12$ થાય.

(C) કોઈ સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય.
આપેલા અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $2$-અંકી સંખ્યાઓ: $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64$ છે.
છેલ્લા બે અંકો માટે આવી $8$ શક્ય જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,આપણે બાકીના $4$ અંકોમાંથી $3$ અંકો પસંદ કરીને બાકીની $3$ જગ્યાઓ ભરવાની છે.
$4$ માંથી $3$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
આવી $8$ જોડીઓ હોવાથી,કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $n = 8 \times 24 = 192$ થાય.

(D) ચેસ બોર્ડ પર $32$ કાળા અને $32$ સફેદ ચોરસ હોય છે.
એક સફેદ અને એક કાળો ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= {}^{32}C_{1} \times {}^{32}C_{1} = 32 \times 32 = 1024$.
ચેસ બોર્ડમાં $8$ હરોળ હોય છે અને દરેક હરોળમાં $4$ સફેદ અને $4$ કાળા ચોરસ હોય છે.
એક જ હરોળમાં એક સફેદ અને એક કાળો ચોરસ પસંદ કરવાની રીતો $= 8 \times ({}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1}) = 8 \times 16 = 128$.
તે જ રીતે,$8$ સ્તંભ હોય છે અને દરેક સ્તંભમાં $4$ સફેદ અને $4$ કાળા ચોરસ હોય છે.
એક જ સ્તંભમાં એક સફેદ અને એક કાળો ચોરસ પસંદ કરવાની રીતો $= 8 \times ({}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1}) = 8 \times 16 = 128$.
ચોરસ એક જ હરોળ અથવા એક જ સ્તંભમાં હોય તેવી કુલ રીતો $= 128 + 128 = 256$.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 1024 - 256 = 768$.

(B) એક જ રંગના ઓછામાં ઓછા બે દડા મળે તેની ખાતરી કરવા માટે,આપણે 'પીજનહોલ પ્રિન્સિપલ' (Pigeonhole Principle) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
જો આપણે $1$ દડો કાઢીએ,તો તે કાળો અથવા સફેદ હોઈ શકે છે.
જો આપણે $2$ દડા કાઢીએ,તો તે એક કાળો અને એક સફેદ હોઈ શકે છે (અલગ રંગના).
જો આપણે $3$ દડા કાઢીએ,તો પીજનહોલ પ્રિન્સિપલ મુજબ,કારણ કે માત્ર $2$ જ રંગો ઉપલબ્ધ છે,તેથી ઓછામાં ઓછા $2$ દડા એક જ રંગના હોવા જોઈએ.
તેથી,જરૂરી દડાઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ અંકોની સંખ્યા $n = 5$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ છે.
આપણે $r = 4$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે.
સંખ્યા બનાવતી વખતે અંકોનો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે ક્રમચય (permutation) ના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા: $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
આમ,$120$ ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

(D) દરેક પ્રશ્ન માટે $2$ શક્ય પરિણામો છે: સાચું $(T)$ અથવા ખોટું $(F)$.
અહીં $10$ પ્રશ્નો છે અને દરેકનો જવાબ સ્વતંત્ર રીતે આપવામાં આવે છે,તેથી શક્ય ક્રમની કુલ સંખ્યા ગુણાકારના સિદ્ધાંત દ્વારા ગણી શકાય.
ક્રમની કુલ સંખ્યા $= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
$2^{10} = 1024$.

(D) હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $10$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે.
આ એક સંચય (combination) નો પ્રશ્ન છે કારણ કે હાથ મિલાવતી બે વ્યક્તિઓનો ક્રમ મહત્વનો નથી.
સંચયનું સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 2$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
તેથી,દસ વ્યક્તિઓ એકબીજા સાથે હાથ મિલાવે તે માટે $45$ શક્ય રીતો છે.

(B) અને $B$ હંમેશા સાથે રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ અથવા બ્લોક $(AB)$ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે આ બ્લોક $(AB)$ અને બાકીના બે બાળકો છે,આમ કુલ $3$ એકમોને ગોઠવવાના થાય.
આ $3$ એકમોને હરોળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
બ્લોક $(AB)$ ની અંદર,બે બાળકો $A$ અને $B$ પોતાની રીતે $2! = 2 \times 1 = 2$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે (એટલે કે $AB$ અથવા $BA$).
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$ થાય.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n = 6$ છે.
તેથી,તેમને કતારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ થાય.

(B) $3$ અંકની સંખ્યામાં ત્રણ સ્થાન હોય છે: સો,દશક અને એકમ.
સોના સ્થાન માટે,'$0$' અંકનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી કારણ કે $3$ અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં. તેથી,આપણે ${1, 3, 5, 7}$ માંથી પસંદગી કરી શકીએ છીએ,જે $4$ વિકલ્પો આપે છે.
દશકના સ્થાન માટે,કારણ કે પુનરાવર્તન શક્ય છે,તેથી તમામ $5$ અંકો ${0, 1, 3, 5, 7}$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે,જે $5$ વિકલ્પો આપે છે.
એકમના સ્થાન માટે,કારણ કે પુનરાવર્તન શક્ય છે,તેથી તમામ $5$ અંકો ${0, 1, 3, 5, 7}$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે,જે $5$ વિકલ્પો આપે છે.
તેથી,$3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$.