Permutation and Combination Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.
સરવાળાનો ક્રમ બદલીને આપણે લખી શકીએ:
$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.
અંદરનો સરવાળો પ્રથમ $(j-1)$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે: $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$.
તેથી,$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} \frac{n!}{j!(n-j)!} j(j-1)$.
નિત્યસમ $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^{n} \binom{n-2}{j-2}$.
ધારો કે $k = j-2$,તો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} = 2^{n-2}$ થાય.
તેથી,$S = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

(B) ચતુષ્ફલક $4$ અસમતલીય બિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ધારો કે $P_1$ પરના $3$ બિંદુઓનો ગણ $S_1 = \{A, B, C\}$ છે અને $P_2$ પરના $3$ બિંદુઓનો ગણ $S_2 = \{D, E, F\}$ છે.
કારણ કે $S_1$ ના બિંદુઓ એક જ સમતલમાં છે ($P_1$ પર) અને $S_2$ ના બિંદુઓ એક જ સમતલમાં છે ($P_2$ પર),આપણે $S_1$ માંથી $4$ બિંદુઓ અથવા $S_2$ માંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકતા નથી.
ચતુષ્ફલક બનાવવા માટે,આપણે એવી રીતે બિંદુઓ પસંદ કરવા જોઈએ કે જેથી તે બધા એક જ સમતલમાં ન હોય.
કિસ્સો $1$: $S_1$ માંથી $3$ બિંદુઓ અને $S_2$ માંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^3C_3 \times {}^3C_1 = 1 \times 3 = 3$.
કિસ્સો $2$: $S_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $S_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^3C_2 \times {}^3C_2 = 3 \times 3 = 9$.
કિસ્સો $3$: $S_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $S_2$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^3C_1 \times {}^3C_3 = 3 \times 1 = 3$.
ચતુષ્ફલકોની કુલ સંખ્યા $= 3 + 9 + 3 = 15$.

(B) આપણે ${1, 2, 3, 4}$ ના એવા ક્રમચયો શોધવાના છે જેમાં $12, 23, 34$ પેટર્ન ન આવે.
$4$ અંકોના કુલ ક્રમચયો $4! = 24$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ ક્રમચયોનો સમૂહ છે. $A_1$ એ $12$ ધરાવતા ક્રમચયોનો સમૂહ,$A_2$ એ $23$ ધરાવતા,અને $A_3$ એ $34$ ધરાવતા ક્રમચયોનો સમૂહ છે.
આપણે $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ શોધવા માંગીએ છીએ.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$|A_1| = |A_2| = |A_3| = 3! = 6$.
$|A_1 \cap A_2|$ ($123$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|A_2 \cap A_3|$ ($234$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|A_1 \cap A_3|$ ($12$ અને $34$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ ($1234$ ધરાવે છે) = $1! = 1$.
$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = (6+6+6) - (2+2+2) + 1 = 18 - 6 + 1 = 13$.
માન્ય ક્રમચયોની સંખ્યા = $24 - 13 = 11$.

(B) દરેક ઘટક $x \in A$ માટે,ઉપગણ $P$ અને $Q$ માં તેની હાજરી અંગે $4$ શક્યતાઓ છે:
$1$. $x \in P$ અને $x \in Q$
$2$. $x \in P$ અને $x \notin Q$
$3$. $x \notin P$ અને $x \in Q$
$4$. $x \notin P$ અને $x \notin Q$
શરત $(P - Q)$ માં બરાબર $2$ ઘટકો છે તેનો અર્થ એ છે કે $A$ ના બરાબર $2$ ઘટકો માટે,શરત $x \in P$ અને $x \notin Q$ સાચી હોવી જોઈએ.
આ $2$ ઘટકો પસંદ કરવા માટે $^nC_2$ રીતો છે.
બાકીના $(n - 2)$ ઘટકો માટે,દરેક ઘટક બાકીની $3$ સ્થિતિઓમાંથી કોઈપણમાં હોઈ શકે છે (એટલે કે $x \in P \cap Q$,$x \in Q \setminus P$,અથવા $x \notin P \cup Q$).
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $^nC_2 \cdot 3^{n-2}$ છે.

(D) $n$-અંકી સંખ્યામાં દરેક સ્થાન $3$ આપેલા અંકો ($2, 5$ અથવા $7$) માંથી કોઈપણ એક વડે ભરી શકાય છે.
દરેક સ્થાન માટે $3$ વિકલ્પો હોવાથી,કુલ $n$-અંકી સંખ્યાઓ જે બનાવી શકાય તે $3^n$ છે.
આપણે $n$ ની એવી નાનામાં નાની પૂર્ણાંક કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $3^n \ge 900$ થાય.
$3$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
અહીં $3^6 = 729 < 900$ અને $3^7 = 2187 > 900$ હોવાથી,$n$ ની નાનામાં નાની કિંમત $7$ છે જેના માટે $900$ થી વધુ ભિન્ન સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

(D) $BARRACK$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, B, C, K$. ભિન્ન અક્ષરો ${A, R, B, C, K}$ છે.
કિસ્સો $1$: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
${A, R, B, C, K}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^5C_4 = 5$ છે. આ $4$ અક્ષરોને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દો $= 5 \times 24 = 120$.
કિસ્સો $2$: બે અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને બે ભિન્ન હોય.
પેટા-કિસ્સો $2a$: જોડી $R, R$ હોય. ${A, B, C, K}$ માંથી અન્ય $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે. ગોઠવણીની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
કુલ શબ્દો $= 6 \times 12 = 72$.
પેટા-કિસ્સો $2b$: જોડી $A, A$ હોય. ${R, B, C, K}$ માંથી અન્ય $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે. ગોઠવણીની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
કુલ શબ્દો $= 6 \times 12 = 72$.
કિસ્સો $3$: બે જોડીઓ ($A, A$ અને $R, R$) હોય.
${A, A, R, R}$ માંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^2C_2 = 1$ છે. ગોઠવણીની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
કુલ શબ્દો $= 1 \times 6 = 6$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 120 + 72 + 72 + 6 = 270$.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. આપણે ${0, 1, 2, 3, 4}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $2,000$ અને $5,000$ ની વચ્ચે $4$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
કિસ્સો $1$: હજારના સ્થાને $2$ હોય.
બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય તેવી શક્યતાઓ:
${0, 1, 3}$ (સરવાળો $6$),${0, 3, 4}$ (સરવાળો $9$).
${0, 1, 3}$ માટે ગોઠવણી $= 3! = 6$.
${0, 3, 4}$ માટે ગોઠવણી $= 3! = 6$.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ $= 6 + 6 = 12$.
કિસ્સો $2$: હજારના સ્થાને $3$ હોય.
બાકીના $3$ અંકોની શક્યતાઓ:
${0, 1, 2}$ (સરવાળો $6$),${0, 2, 4}$ (સરવાળો $9$).
${0, 1, 2}$ માટે ગોઠવણી $= 3! = 6$.
${0, 2, 4}$ માટે ગોઠવણી $= 3! = 6$.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ $= 6 + 6 = 12$.
કિસ્સો $3$: હજારના સ્થાને $4$ હોય.
બાકીના $3$ અંકોની શક્યતાઓ:
${0, 2, 3}$ (સરવાળો $9$).
${0, 2, 3}$ માટે ગોઠવણી $= 3! = 6$.
કિસ્સો $3$ માટે કુલ $= 6$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(C) $QUEEN$ શબ્દના અક્ષરો $E, E, N, Q, U$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, Q, U$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$(ii)$ $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, Q, U$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
$(iii)$ $QE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, U$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
$(iv)$ $QN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, U$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$(v)$ ત્યારબાદનો શબ્દ $QUEEN$ છે,જે અગાઉની ગોઠવણી પછીનો $1^{st}$ શબ્દ છે.
કુલ ક્રમ $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$.
$8$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની કુલ રીતો = $(8 - 1)! = 7!$.
હવે,ધારો કે $B_1$ અને $G_1$ સાથે બેસે છે. $(B_1G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $7$ એકમો છે,જે $(7 - 1)! = 6!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,$B_1$ અને $G_1$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = $2 \times 6!$.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = કુલ રીતો - તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતો.
$= 7! - (2 \times 6!) = (7 \times 6!) - (2 \times 6!) = (7 - 2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
$n = 15$ માટે,$\frac{^{15}C_{r}}{^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ થાય.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum\limits_{r = 1}^{15} r(16-r) = \sum\limits_{r = 1}^{15} (16r - r^2)$.
આને બે ભાગમાં વહેંચતા:
$16 \sum\limits_{r = 1}^{15} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2$.
$n=15$ માટે સૂત્રો $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16 \left( \frac{15 \times 16}{2} \right) - \left( \frac{15 \times 16 \times 31}{6} \right)$.
$= 16(120) - (5 \times 8 \times 31) = 1920 - 1240 = 680$.

(B) "$MEDITERRANEAN$" શબ્દમાં નીચે મુજબના અક્ષરો છે: $M, E, E, E, D, I, T, R, R, A, A, N, N$.
કુલ અક્ષરો: $13$. ભિન્ન અક્ષરો: $M, E, D, I, T, R, A, N$.
આપણે $R . . E$ સ્વરૂપના $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે.
બાકી રહેલા અક્ષરો ${M, E, E, D, I, T, R, A, A, N, N}$ માંથી $2$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવાની છે.
કિસ્સો $1$: બે ખાલી જગ્યાઓ સમાન અક્ષરોથી ભરવામાં આવે.
શક્ય જોડીઓ $(E, E), (A, A), (N, N)$ છે. આમ $3$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: બે ખાલી જગ્યાઓ ભિન્ન અક્ષરોથી ભરવામાં આવે.
આપણે ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. જેની સંખ્યા $^8P.2 = 8 \times 7 = 56$ થાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 3 + 56 = 59$.

(B) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_r = (r^2 + 1)r!$ છે.
આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $T_r = (r^2 + r - r + 1)r! = r(r+1)r! - (r-1)r!$.
નોંધો કે $r(r+1)r! = r(r+1)!$.
તેથી,$T_r = r(r+1)! - (r-1)r!$.
આ $f(r) - f(r-1)$ સ્વરૂપની ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં $f(r) = r(r+1)!$.
$r=1$ થી $10$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$\sum_{r=1}^{10} (r(r+1)! - (r-1)r!) = [1(2!) - 0(1!)] + [2(3!) - 1(2!)] + [3(4!) - 2(3!)] + \dots + [10(11!) - 9(10!)]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,અને છેલ્લું પદ બાકી રહેશે: $10(11!)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{{}^{n + 2}{C_6}}{{}^{n - 2}{P_2}} = 11$
સૂત્રો ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ અને ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(n+2)!}{6!(n-4)!}}{\frac{(n-2)!}{(n-4)!}} = 11$
$\frac{(n+2)!}{720 \cdot (n-2)!} = 11$
$\frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)(n-2)!}{720 \cdot (n-2)!} = 11$
$(n+2)(n+1)(n)(n-1) = 11 \cdot 720 = 7920$
$n$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા,જો $n=9$ લઈએ:
$(11)(10)(9)(8) = 7920$. આમ,$n=9$ એ ઉકેલ છે.
હવે,ચકાસો કે $n=9$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $C$ માટે: $n^2 + 3n - 108 = (9)^2 + 3(9) - 108 = 81 + 27 - 108 = 108 - 108 = 0$.
તેથી,$n$ એ $n^2 + 3n - 108 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) $15$ પુરુષો અને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી દરેક ટીમમાં એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી હોય તેવી $15$ ટીમો બનાવવા માટે:
$1$. પ્રથમ પુરુષને $15$ સ્ત્રીઓમાંથી કોઈપણ એક સાથે $15$ રીતે જોડી શકાય છે.
$2$. બીજા પુરુષને બાકી રહેલી $14$ સ્ત્રીઓમાંથી કોઈપણ એક સાથે $14$ રીતે જોડી શકાય છે.
$3$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$15$મો પુરુષ બાકી રહેલી છેલ્લી સ્ત્રી સાથે $1$ રીતે જોડાઈ શકે છે.
તેથી,ટીમો બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા આ પસંદગીઓનો ગુણાકાર છે:
$= 15 \times 14 \times 13 \times \dots \times 1 = 15!$

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n - 3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
આથી $n = 12$ અથવા $n = -9$ મળે.
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$ મળે.

(B) $3, 4, 5$ અને $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $4-$અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,કુલ $4! = 24$ સંખ્યાઓ બને છે.
જો આપણે એકમના સ્થાન પર એક અંક નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,દરેક અંક ($3, 4, 5$ અને $6$) એકમના સ્થાન પર બરાબર $6$ વખત આવે છે.
એકમના સ્થાનના અંકોનો સરવાળો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સરવાળો $= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
સરવાળો $= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
સરવાળો $= 6 \times 18$
સરવાળો $= 108$

(D) કોઈપણ સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$0$ થી $9$ સુધીના તમામ અંકોનો સરવાળો $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$ થાય છે.
$8$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે બે અંકોને એવી રીતે બાકાત રાખવા જોઈએ કે જેથી બાકીના $8$ અંકોનો સરવાળો $9$ નો ગુણક હોય. કુલ સરવાળો $45$ હોવાથી,બાકાત રાખેલા બે અંકોનો સરવાળો $0+9=9, 1+8=9, 2+7=9, 3+6=9$ અથવા $4+5=9$ હોવો જોઈએ.

બાકાત રાખેલા અંકો	$8$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા
$0$ અને $9$	$8! = 8 \times 7!$
$1$ અને $8$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$2$ અને $7$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$3$ અને $6$	$8! - 7! = 7 \times 7!$
$4$ અને $5$	$8! - 7! = 7 \times 7!$

કુલ રીતો $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(B) $8$ અંકની સંખ્યામાં $4$ એકી સ્થાનો $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th})$ અને $4$ બેકી સ્થાનો $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ હોય છે.
આપેલા અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે. જેમાં એકી અંકો $1, 1, 3$ (કુલ $3$ અંકો) અને બેકી અંકો $2, 2, 2, 4, 4$ (કુલ $5$ અંકો) છે.
શરત મુજબ એકી અંકો એકી સ્થાનો પર ન હોવા જોઈએ,એટલે કે $3$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે.
$3$ એકી અંકો $(1, 1, 3)$ ને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
હવે બાકી રહેલા $5$ અંકો $(2, 2, 2, 4, 4)$ ને બાકીના $5$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ $8$ અંકની સંખ્યાઓ $12 \times 10 = 120$ થાય.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે અને મહિલાઓની સંખ્યા $2$ છે. કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા $n+2$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષોએ પોતાની વચ્ચે રમેલી રમતોની સંખ્યા:
દરેક પુરુષ અન્ય દરેક $(n-1)$ પુરુષ સાથે $2$ રમતો રમે છે. $n$ પુરુષો દ્વારા રમાતી કુલ રમતોની સંખ્યા $\frac{n \times 2(n-1)}{2} = n(n-1)$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા:
દરેક પુરુષ $2$ મહિલાઓમાંથી દરેક સાથે $2$ રમતો રમે છે,એટલે કે પ્રતિ પુરુષ $2 \times 2 = 4$ રમતો. $n$ પુરુષો માટે,મહિલાઓ સાથે રમાતી કુલ રમતોની સંખ્યા $4n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બંને વચ્ચેનો તફાવત $66$ છે:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
પુરુષોની સંખ્યા ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $n = 11$.
$n = 11$ ની કિંમત $(11, 13]$ અંતરાલમાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે $2$ મહિલાઓ $(L)$,$2$ વૃદ્ધ પુરુષો $(O)$ અને $4$ યુવાન પુરુષો $(Y)$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે,જેમાં શરતો છે: $L \ge 1$,$O \ge 1$,અને $Y \le 2$.
આ શરતોને સંતોષતા શક્ય સંયોજનો $(L, O, Y)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(1, 1, 2)$: $^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2$. $(1, 2, 1)$: $^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3$. $(2, 1, 1)$: $^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4$. $(2, 2, 0)$: $^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) ધારો કે $8$ પ્રશ્નોને ફાળવેલા ગુણ $x_1, x_2, \ldots, x_8$ છે।
આપણને આપેલ છે કે:
$x_1 + x_2 + \cdots + x_8 = 30$, જ્યાં દરેક $i \in \{1,2,\ldots,8\}$ માટે $x_i \ge 2$ છે।
ધારો કે $x_i = y_i + 2$, જ્યાં $y_i \ge 0$ છે।
આ મૂલ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \cdots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \cdots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \cdots + y_8 = 14$
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર:
$\binom{n+r-1}{r-1}$, જ્યાં $n=14$ અને $r=8$
કુલ રીતોની સંખ્યા:
$\binom{14+8-1}{8-1} = \binom{21}{7} = {}^{21}C_7$

(B) બાજુઓ પર પસંદ કરેલા બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $3 + 4 + 5 = 12$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આ $12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$12$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં ત્રણેય બિંદુઓ એક જ બાજુ પરથી પસંદ કરવામાં આવ્યા હોય.
બાજુ $AB$ પરના $3$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_3 = 1$ છે.
બાજુ $BC$ પરના $4$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3 = 4$ છે.
બાજુ $CA$ પરના $5$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^5C_3 = 10$ છે.
બાદ કરવા માટેના કુલ સમરેખ કિસ્સાઓ $= 1 + 4 + 10 = 15$.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા $= 220 - 15 = 205$.

(D) $2, 3, 5, 7, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર બનતી કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
આ તમામ અંકો $2$ કરતા મોટા હોવાથી,આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કોઈપણ $5$-અંકી સંખ્યા હંમેશા $20000$ કરતા મોટી જ હશે. તેથી,$p = 120$.
$q$ માટે,સંખ્યાઓ $30000$ અને $90000$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ અંક (દસ હજારના સ્થાને) ફક્ત $3, 5,$ અથવા $7$ હોઈ શકે છે.
પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
ગુણોત્તર $p : q = 120 : 72$.
બંનેને $24$ વડે ભાગતા,આપણને $p : q = 5 : 3$ મળે છે.

(C) ગણ $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ માં $20$ ભિન્ન ઘટકો છે.
$5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $\binom{20}{5} = \frac{20!}{5!15!}$ થાય.
હવે,$a_4$ નો સમાવેશ કરતા $5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા શોધીએ. જો $a_4$ પહેલેથી જ પસંદ કરેલ હોય,તો બાકીના $19$ ઘટકોમાંથી $(20 - 1 = 19)$ આપણે અન્ય $4$ ઘટકો પસંદ કરવાના રહે.
તેથી,$a_4$ નો સમાવેશ કરતા $5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા $\binom{19}{4} = \frac{19!}{4!15!}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ ઉપગણોની સંખ્યા એ $a_4$ નો સમાવેશ કરતા ઉપગણોની સંખ્યા કરતા $k$ ગણી છે:
$\binom{20}{5} = k \times \binom{19}{4}$
$\frac{20!}{5!15!} = k \times \frac{19!}{4!15!}$
$\frac{20}{5} \times \frac{19!}{4!15!} = k \times \frac{19!}{4!15!}$
$4 = k$
આમ,$k$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
આપણે $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2 - m - 2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2 - m - 2)}{8}$
$(m^2 - m - 2)$ ના અવયવ પાડતા $(m-2)(m+1)$ મળે છે:
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
પદોને ગોઠવતા:
$= \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{8}$
આને સંચયના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે $3! = 6$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{6}{8} \times \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{3 \times 2 \times 1}$
$= 3 \times \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24} = 3(^{m+1}C_4)$.

(A) અક્ષરોનો સમૂહ ${a, b, c, d, e, f}$ છે. જેમાં $2$ સ્વર $({a, e})$ અને $4$ વ્યંજન $({b, c, d, f})$ છે.
આપણે $3$ અક્ષરોની એવી ગોઠવણી બનાવવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય.
કિસ્સો $1$: બરાબર એક સ્વર પસંદ કરવામાં આવે.
$1$ સ્વર અને $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $= ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 6 = 12$.
આ પસંદગીઓ માટેની ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 12 \times 3! = 12 \times 6 = 72$.
કિસ્સો $2$: બરાબર બે સ્વર પસંદ કરવામાં આવે.
$2$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $= ^2C_2 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$.
આ પસંદગીઓ માટેની ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$.
ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા $= 72 + 24 = 96$.

(A) દરેક સ્ત્રીની બંને બાજુએ પુરુષ હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,પુરુષો અને સ્ત્રીઓએ ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એકાંતરે બેસવું જોઈએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે $7$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવીએ છીએ. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. આમ,$7$ પુરુષોને $(7-1)! = 6!$ રીતે બેસાડી શકાય.
એકવાર પુરુષો બેસી જાય,પછી તેમની વચ્ચે $7$ અલગ જગ્યાઓ (ખાલી જગ્યાઓ) બને છે.
દરેક સ્ત્રીની બંને બાજુએ પુરુષ હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $7$ સ્ત્રીઓને આ $7$ જગ્યાઓ પર બેસાડવી પડશે.
આ $7$ જગ્યાઓ પર $7$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતો $7!$ છે.
તેથી,કુલ બેઠક વ્યવસ્થાની સંખ્યા $6! \times 7!$ થશે.

(C) $5$ છોકરીઓમાંથી $2$ અને $7$ છોકરાઓમાંથી $3$ છોકરાઓને કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ છે.
હવે,આપણે એવી ટીમોની સંખ્યા ગણીએ જેમાં બંને ચોક્કસ છોકરાઓ $A$ અને $B$ સાથે હોય.
જો $A$ અને $B$ બંને ટીમમાં હોય,તો આપણે બાકીના $5$ છોકરાઓમાંથી $1$ વધુ છોકરો અને $5$ છોકરીઓમાંથી $2$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
આવી ટીમોની સંખ્યા $= ^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ છે.
જે ટીમમાં $A$ અને $B$ સાથે ન હોય તેવી ટીમોની સંખ્યા કુલ ટીમોમાંથી તેઓ સાથે હોય તેવી ટીમોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 350 - 50 = 300$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(x,0)$,અને $B(0,y)$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|xy| = 100$.
કારણ કે $x$ અને $y$ પૂર્ણાંકો છે,આપણે $|xy| = 100$ થાય તેવી જોડી $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
$100 = 2^2 \times 5^2$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ છે.
કારણ કે $x$ અને $y$ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે,નિરપેક્ષ મૂલ્યોની દરેક જોડી $(|x|, |y|)$ માટે,$4$ શક્ય ચિહ્ન સંયોજનો છે: $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$.
આમ,ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા $4 \times 9 = 36$ છે.

(B) આપણે ${0, 1, 3, 7, 9}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $7,000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બનાવવાની છે,જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય છે.
કિસ્સો $1$: $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી સંખ્યાઓ.
$1$-અંકી સંખ્યા માટે,$4$ વિકલ્પો છે $(1, 3, 7, 9)$ કારણ કે $0$ પ્રથમ અંક હોઈ શકે નહીં.
$2$-અંકી સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક માટે $4$ વિકલ્પો $(1, 3, 7, 9)$ અને બીજા અંક માટે $5$ વિકલ્પો $(0, 1, 3, 7, 9)$ છે,તેથી $4 \times 5 = 20$ સંખ્યાઓ.
$3$-અંકી સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક માટે $4$ વિકલ્પો અને બાકીના બે અંકો માટે દરેકના $5$ વિકલ્પો છે,તેથી $4 \times 5 \times 5 = 100$ સંખ્યાઓ.
$1, 2, 3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 4 + 20 + 100 = 124$.
કિસ્સો $2$: $7,000$ થી નાની $4$-અંકી સંખ્યાઓ.
પ્રથમ અંક $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે (કારણ કે તે $7$ થી નાની હોવી જોઈએ).
જો પ્રથમ અંક $1$ અથવા $3$ હોય ($2$ વિકલ્પો),તો બાકીના $3$ સ્થાનો દરેકને $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
આવી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 124 + 250 = 374$.

(B) આપેલ પદાવલિ $^{20}C_r \cdot ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} \cdot ^{20}C_1 + \dots + ^{20}C_0 \cdot ^{20}C_r$ છે.
વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ (Vandermonde's Identity) મુજબ, આ સરવાળો $(1+x)^{20} \cdot (1+x)^{20} = (1+x)^{40}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ ના સહગુણક જેટલો થાય છે.
તેથી, આ સરવાળો $^{40}C_r$ બરાબર છે.
દ્વિપદી સહગુણક $^{n}C_r$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $r = n/2$ હોય.
અહીં $n = 40$ હોવાથી, મહત્તમ કિંમત $r = 40/2 = 20$ માટે મળે છે.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$. પ્રદેશ અને સહ-પ્રદેશ બંને $S$ છે.
$k \in S$ માટે,જો $k$ એ $4$ નો ગુણક હોય,તો $k \in \{4, 8, 12, 16, 20\}$. આવા $5$ મૂલ્યો છે.
આ $5$ મૂલ્યો માટે,$f(k)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. સહ-પ્રદેશમાં $3$ ના ગુણકો $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ છે. આવા $6$ મૂલ્યો છે.
$k$ ના દરેક $5$ મૂલ્યોને $f(k)$ ના $6$ મૂલ્યોમાંથી કોઈપણ સાથે જોડી શકાય છે. આ $5$ મૂલ્યો માટે $f(k)$ ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની રીતોની સંખ્યા $6^5$ છે.
બાકીના $20 - 5 = 15$ મૂલ્યો માટે કોઈ પ્રતિબંધ નથી. દરેકને સહ-પ્રદેશના બાકીના $15$ મૂલ્યો સાથે $15!$ રીતે જોડી શકાય છે. આમ,કુલ વિધેયોની સંખ્યા $6^5 \times 15!$ છે.

(A) આપણને ત્રણ પેટીઓ આપવામાં આવી છે,જેમાં દરેક પેટીમાં $1, 2, dots, 10$ અંકિત કરેલા $10$ દડા છે.
દરેક પેટીમાંથી એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે,જેને $n_1, n_2, n_3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે દડાઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $n_1 < n_2 < n_3$ થાય.
શરત $n_1 < n_2 < n_3$ સૂચવે છે કે ત્રણેય પસંદ કરેલા દડા અલગ-અલગ હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $10$ ઉપલબ્ધ અંકો ${1, 2, dots, 10}$ ના સમૂહમાંથી $3$ અલગ-અલગ દડા પસંદ કરી રહ્યા છીએ.
એકવાર કોઈપણ $3$ અલગ દડા પસંદ થઈ જાય,પછી તેમને $n_1 < n_2 < n_3$ શરત સંતોષવા માટે ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત હોય છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{10}C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

(A) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $m$ છે અને મહિલાઓની સંખ્યા $2$ છે. કુલ સહભાગીઓ = $m + 2$.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ ગેમ રમે છે.
પુરુષો દ્વારા તેમની વચ્ચે રમાયેલી ગેમની સંખ્યા $2 \times ^mC_2 = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m(m-1) = m^2 - m$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાયેલી ગેમની સંખ્યા $2 \times (m \times 2) = 4m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બંને વચ્ચેનો તફાવત $84$ છે:
$m^2 - m - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
$m$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $m = 12$.

(A) કુલ અંકોની સંખ્યા $9$ છે. અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે.
એકી અંકો $1, 1, 3$ છે (કુલ $3$ એકી અંકો).
બેકી અંકો $2, 2, 2, 2, 4, 4$ છે (કુલ $6$ બેકી અંકો).
$9$-અંકની સંખ્યામાં $4$ બેકી સ્થાનો ($2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th}$ સ્થાનો) હોય છે.
આપણે આ $4$ બેકી સ્થાનોમાં $3$ એકી અંકો ગોઠવવાના છે.
$4$ માંથી $3$ સ્થાનો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3 = 4$ છે.
આ પસંદ કરેલા સ્થાનોમાં $3$ એકી અંકો $(1, 1, 3)$ ને ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
બાકીના $6$ સ્થાનો $6$ બેકી અંકો $(2, 2, 2, 2, 4, 4)$ દ્વારા ભરવાના રહેશે.
આ $6$ બેકી અંકોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{4!2!} = \frac{720}{24 \times 2} = 15$ છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$.

(C) આપણે ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$-અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ બનાવવાની છે જે $4321$ થી મોટી હોય.
કિસ્સો $1$: $5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(d_1 = 5)$:
બાકીના $3$ સ્થાન $(d_2, d_3, d_4)$ માટે દરેક પર $6$ વિકલ્પો છે.
કુલ $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $2$: $4$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $(d_1 = 4)$:
પેટા-કિસ્સો $2.1$: $d_2 > 3$ ($d_2 = 4$ અથવા $5$):
$d_2$ માટે $2$ વિકલ્પો અને $d_3, d_4$ માટે દરેક પર $6$ વિકલ્પો છે.
કુલ $= 2 \times 6 \times 6 = 72$.
પેટા-કિસ્સો $2.2$: $d_2 = 3$:
જો $d_3 > 2$ $(d_3 = 3, 4, 5)$:
$d_3$ માટે $3$ વિકલ્પો અને $d_4$ માટે $6$ વિકલ્પો છે.
કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
જો $d_3 = 2$:
જો $d_4 > 1$ $(d_4 = 2, 3, 4, 5)$:
$d_4$ માટે $4$ વિકલ્પો છે.
કુલ $= 4$.
બધા કિસ્સાઓનો સરવાળો: $216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(C) કુલ પસંદ કરવાના સભ્યો = $11$.
કુલ ઉપલબ્ધ સભ્યો = $8$ પુરુષો + $5$ સ્ત્રીઓ = $13$ સભ્યો.
$13$ માંથી $11$ સભ્યો પસંદ કરવા માટે,આપણે $13 - 11 = 2$ સભ્યોને બાકાત રાખીએ છીએ.
કિસ્સો $m$ (ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો): શક્ય સંયોજનો ($6$$M$,$5$$F$),($7$$M$,$4$$F$),($8$$M$,$3$$F$) છે.
$m = \binom{8}{6}\binom{5}{5} + \binom{8}{7}\binom{5}{4} + \binom{8}{8}\binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
કિસ્સો $n$ (ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ): શક્ય સંયોજનો ($8$$M$,$3$$F$),($7$$M$,$4$$F$),($6$$M$,$5$$F$) છે.
$n = \binom{5}{3}\binom{8}{8} + \binom{5}{4}\binom{8}{7} + \binom{5}{5}\binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
આમ,$m = 78$ અને $n = 78$ હોવાથી,$m = n = 78$ થાય છે.

(B) ધારો કે $6$ અંકની સંખ્યા $abcdef$ છે. સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
બધા અંકોનો સરવાળો $0+1+2+5+7+9 = 24$ છે.
ધારો કે $S_1 = a+c+e$ અને $S_2 = b+d+f$. તેથી $S_1 + S_2 = 24$ અને $S_1 - S_2 = 11k$. $S_1+S_2$ બેકી હોવાથી,$S_1-S_2$ પણ બેકી હોવો જોઈએ,તેથી $k=0$ અને $S_1 = S_2 = 12$.
${a, c, e}$ અને ${b, d, f}$ માટે શક્ય ગણ:
કિસ્સો $I$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ અને ${b, d, f} = {9, 2, 1}$.
${a, c, e}$ માટે,$a$ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $2 \times 2! = 4$ રીતે ગોઠવી શકાય. ${b, d, f}$ માટે $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 4 \times 6 = 24$.
કિસ્સો $II$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ અને ${b, d, f} = {7, 5, 0}$.
${a, c, e}$ માટે $3! = 6$ રીતે અને ${b, d, f}$ માટે $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 6 \times 6 = 36$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 36 = 60$.

(C) $20$ સ્તંભો એ $20$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.
દરેક સ્તંભની જોડીને જોડવી એ આ $20$ શિરોબિંદુઓ વચ્ચેની તમામ શક્ય રેખાઓ (બાજુઓ અને વિકર્ણો) દોરવા સમાન છે.
$20$ માંથી $2$ સ્તંભો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર $^{20}C_2$ દ્વારા મળે છે.
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
આ $190$ રેખાઓમાં બહુકોણની $20$ બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે (જે પાસપાસેના સ્તંભોને જોડે છે).
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ,બીમ ફક્ત બિન-પાસેના સ્તંભો સાથે જોડાયેલા હોવાથી,આપણે કુલ રેખાઓમાંથી $20$ બાજુઓને બાદ કરવી પડશે.
બીમની કુલ સંખ્યા $=$ કુલ રેખાઓ $-$ બાજુઓની સંખ્યા $= 190 - 20 = 170$.

(A) ધારો કે $10$ સમાન વસ્તુઓ $I$ છે અને $21$ ભિન્ન વસ્તુઓ $D_1, D_2, ..., D_{21}$ છે.
આપણે કુલ $10$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની છે.
ધારો કે $k$ એ પસંદ કરેલી ભિન્ન વસ્તુઓની સંખ્યા છે,જ્યાં $0 \le k \le 10$.
$21$ માંથી $k$ ભિન્ન વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{21}C_k$ છે.
એકવાર $k$ ભિન્ન વસ્તુઓ પસંદ થઈ જાય,પછી બાકીની $(10-k)$ વસ્તુઓ $10$ સમાન વસ્તુઓમાંથી પસંદ કરવી પડે. વસ્તુઓ સમાન હોવાથી,તેમને પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $k=0$ થી $10$ માટે $^{21}C_k$ નો સરવાળો છે:
કુલ રીતો $= \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{21} {^{21}C_k} = 2^{21}$.
વળી,સંમિતિ દ્વારા,$\sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k} = \sum_{k=11}^{21} {^{21}C_k}$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k}$. તો $2S = \sum_{k=0}^{10} {^{21}C_k} + \sum_{k=11}^{21} {^{21}C_k} = \sum_{k=0}^{21} {^{21}C_k} = 2^{21}$.
તેથી,$S = \frac{2^{21}}{2} = 2^{20}$.

(D) કુલ છોકરાઓની સંખ્યા = $5$,કુલ છોકરીઓની સંખ્યા = $n$.
આપણે $3$ વિદ્યાર્થીઓની એવી ટીમ પસંદ કરવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક છોકરો અને એક છોકરી હોય.
ટીમની રચના માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $1$ છોકરો અને $2$ છોકરીઓ.
પસંદગીના પ્રકારો = $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
કિસ્સો $2$: $2$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી.
પસંદગીના પ્રકારો = $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
આપેલ છે કે કુલ પ્રકારો $1750$ છે:
$\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{n(n-1)}{2} + 2n = 350$.
$2$ વડે ગુણતા:
$n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700$.
$n^2 + 3n - 700 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n + 28)(n - 25) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 25$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6 \cdot ^{35} C_{r} = (k^2 - 3) \cdot ^{36} C_{r+1}$.
નિત્યસમ $^{n+1} C_{r+1} = \frac{n+1}{r+1} \cdot ^{n} C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k^2 - 3 = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{^{36} C_{r+1}} = \frac{6 \cdot ^{35} C_{r}}{\frac{36}{r+1} \cdot ^{35} C_{r}} = \frac{6(r+1)}{36} = \frac{r+1}{6}$.
અહીં $k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k^2 - 3$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. વળી,સંચય વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $0 \le r \le 35$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$k^2 = \frac{r+1}{6} + 3 = \frac{r+19}{6}$.
$k^2$ પૂર્ણવર્ગ બને તે માટે $r \in \{0, 1, ..., 35\}$ ની કિંમતો ચકાસતા:
જો $r=5$,તો $k^2 = \frac{5+19}{6} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
જો $r=35$,તો $k^2 = \frac{35+19}{6} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.
આમ,ક્રમિત જોડીઓ $(r, k)$ એ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ છે.
કુલ $4$ આવી ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(A) અંકો ${1, 3, 5, 7, 9}$ નો ઉપયોગ કરીને $6$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,એક અંક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થવો જોઈએ અને બાકીના ચાર અંકો એક વાર આવવા જોઈએ.
પગલું $1$: પુનરાવર્તિત થનાર અંક પસંદ કરો. $5$ વિકલ્પો છે $(^{5}C_{1})$.
પગલું $2$: આ $6$ અંકોની ગોઠવણી કરો (જ્યાં એક અંક બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે). ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!}$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: આવી $6$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $^{5}C_{1} \times \frac{6!}{2!} = 5 \times \frac{720}{2} = 5 \times 360 = 1800$ છે.
નોંધ: $\frac{6!}{2!} = 360$,તેથી $5 \times 360 = 1800$. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{5}{2}(6!) = 5 \times 360 = 1800$.

(D) $'EXAMINATION'$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$.
અહીં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: ${A, I, N, E, X, M, T, O}$.
અક્ષરોની આવૃત્તિ: $A: 2, I: 2, N: 2, E: 1, X: 1, M: 1, T: 1, O: 1$.
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. બે સમાન પ્રકારના અક્ષરો અને બીજા બે સમાન પ્રકારના અક્ષરો:
પસંદગી: $^3C_2 = 3$ રીતે.
ગોઠવણી: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$ રીતે.
$2$. બે સમાન પ્રકારના અક્ષરો અને બે ભિન્ન અક્ષરો:
પસંદગી: $^3C_1$ (જોડી માટે) $\times ^7C_2$ (બે ભિન્ન અક્ષરો માટે) $= 3 \times 21 = 63$ રીતે.
ગોઠવણી: $63 \times \frac{4!}{2!} = 63 \times 12 = 756$ રીતે.
$3$. ચારેય અક્ષરો ભિન્ન હોય:
પસંદગી: $^8C_4 = 70$ રીતે.
ગોઠવણી: $70 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$ રીતે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 18 + 756 + 1680 = 2454$.

(D) $^{n}C_{r}$ ની મહત્તમ કિંમત જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે $r = \frac{n-1}{2}$ અથવા $r = \frac{n+1}{2}$ પર મળે છે અને જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે $r = \frac{n}{2}$ પર મળે છે.
$a = ^{19}C_{p}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $p = 9$ અથવા $10$ પર મળે છે,તેથી $a = ^{19}C_{9} = ^{19}C_{10}$.
$b = ^{20}C_{q}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $q = 10$ પર મળે છે,તેથી $b = ^{20}C_{10}$.
$c = ^{21}C_{r}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $r = 10$ અથવા $11$ પર મળે છે,તેથી $c = ^{21}C_{10} = ^{21}C_{11}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \cdot ^{19}C_{9} = 2a$.
$c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \cdot ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$.
આમ,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 11 : 22 : 42$.
તેથી,$\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$ છે.
આપણે $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $3$ લાલ હોય.
આ ગણતરી આ રીતે કરી શકાય: (કુલ $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો) - ($4$ લાલ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો).
$12$ માંથી $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ છે.
$5$ લાલ લખોટીઓમાંથી $4$ લાલ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_{4} = 5$ છે.
તેથી,વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $495 - 5 = 490$ થાય.

(A) પાંચ અંકની સંખ્યાને $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. તરીકે દર્શાવી શકાય.
$10$ નું સ્થાન $2$ તરીકે નિશ્ચિત છે. અંકો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે અન્ય કોઈ સ્થાન પર $2$ નો ઉપયોગ કરી શકતા નથી.
$1$. $10,000$ ના સ્થાન (પ્રથમ અંક) પર $0$ અથવા $2$ ન હોઈ શકે. તેથી,$8$ વિકલ્પો $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ છે.
$2$. $1,000$ ના સ્થાન પર બાકીના $8$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે ($0$ સહિત,પરંતુ પ્રથમ સ્થાન પર વપરાયેલ અંક અને $2$ સિવાય).
$3$. $100$ ના સ્થાન પર બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે.
$4$. એકમના સ્થાન પર બાકીના $6$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે.
આવી પાંચ અંકની કુલ સંખ્યા $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$.
આપેલ છે કે કુલ સંખ્યા $336k$ છે,તેથી $336k = 2688$.
$k = \frac{2688}{336} = 8$.

(D) $MOTHER$ શબ્દના અક્ષરો $M, O, T, H, E, R$ છે.
તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, H, M, O, R, T$.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$3$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $ME...$: $4! = 24$
- $MH...$: $4! = 24$
- $MOE...$: $3! = 6$
- $MOH...$: $3! = 6$
- $MOR...$: $3! = 6$
- $MOTE...$: $2! = 2$
- $MOTHER$: $1$
કુલ સ્થાન = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(C) $n$ સ્ટેશનોને જોડીમાં જોડવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાદળી રેખાઓની સંખ્યા એ $n$ સ્ટેશનો દ્વારા બનતા બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી છે,જે $n$ છે.
લાલ રેખાઓની સંખ્યા એ બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા જેટલી છે,જે ${}^{n}C_{2} - n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લાલ રેખાઓની સંખ્યા વાદળી રેખાઓની સંખ્યા કરતા $99$ ગણી છે:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા (કારણ કે $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(A) ધારો કે $3$-અંકી સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક,$y$ એ દશકનો અંક અને $z$ એ એકમનો અંક છે.
આપણને શરત આપેલી છે કે $x + y + z = 10$,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
ધારો કે $T = x - 1$,તેથી $x = T + 1$. કારણ કે $1 \leq x \leq 9$,તેથી $0 \leq T \leq 8$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$.
આપણે $T + y + z = 9$ માટે એવા ઉકેલો શોધવાના છે જ્યાં $T \leq 8$,$y \leq 9$ અને $z \leq 9$ હોય.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=9$ અને $r=3$: $\binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.
હવે,જે કિસ્સાઓ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે તેને બાદ કરીએ:
$1$. જો $T = 9$ હોય,તો $y=0$ અને $z=0$ થાય. આ $1$ કિસ્સો છે ($x=10$,જે શક્ય નથી).
$2$. જો $y > 9$ અથવા $z > 9$ હોય,તો એવા કોઈ કિસ્સા નથી કારણ કે સરવાળો માત્ર $9$ છે.
આમ,કુલ માન્ય $3$-અંકી સંખ્યાઓ $55 - 1 = 54$ છે.