$5$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રી ધરાવતી $3$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

ધારો કે $n > 2$ એક પૂર્ણાંક છે. ધારો કે એક શહેરમાં વર્તુળાકાર માર્ગ પર $n$ મેટ્રો સ્ટેશન આવેલા છે. સ્ટેશનોની દરેક જોડી સીધા ટ્રેક દ્વારા જોડાયેલ છે. વધુમાં,નજીકના સ્ટેશનોની દરેક જોડી વાદળી રેખા દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યારે બાકીની તમામ સ્ટેશનોની જોડી લાલ રેખા દ્વારા જોડાયેલ છે. જો લાલ રેખાઓની સંખ્યા વાદળી રેખાઓની સંખ્યા કરતા $99$ ગણી હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક પરીક્ષક $8$ પ્રશ્નોને $30$ ગુણ ફાળવે છે,જેમાં દરેક પ્રશ્નને ઓછામાં ઓછા $2$ ગુણ આપવા ફરજિયાત છે,તો આ રીતે ગુણ ફાળવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $(n+1)! = 6[(n-1)!]$ હોય,તો $n$ શોધો.

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ નું સમાધાન કરતા $r$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો:

$12$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવા માટે $25$ ઉમેદવારો છે,જેમાંથી $5$ અનુસૂચિત જાતિના છે. જો $3$ જગ્યાઓ અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારો માટે અનામત હોય અને બાકીની જગ્યાઓ બધા માટે ખુલ્લી હોય,તો પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?