Measurement of Area Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે,પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 1.4$ ડેસીમીટર = $0.14$ મીટર.
કાપવાનું અંતર = $0.66$ કિમી = $660$ મીટર.
પૈડાનો પરિઘ = $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14$ મીટર = $2 \times 22 \times 0.02$ મીટર = $0.88$ મીટર.
પરિભ્રમણની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{660}{0.88}$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા = $\frac{66000}{88} = 750$.

(C) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $l = 7 \text{ cm}$ અને $w = x \text{ cm}$ છે.
આપેલ વિકર્ણ $d = 25 \text{ cm}$ છે.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણ બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$l^2 + w^2 = d^2$
$7^2 + x^2 = 25^2$
$49 + x^2 = 625$
$x^2 = 625 - 49$
$x^2 = 576$
$x = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}$.
લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + w)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 2(7 + 24)$
$P = 2(31) = 62 \text{ cm}$.

(B) અર્ધવર્તુળની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર $P = \pi r + 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 28\, cm$ આપેલ છે અને $\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$P = (\frac{22}{7} \times 28) + (2 \times 28)$
$P = (22 \times 4) + 56$
$P = 88 + 56 = 144\, cm$.

(B) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= 38.5 \text{ cm}^2$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$\pi r^2 = 38.5 \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 = 38.5 \Rightarrow r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22} = 12.25$.
$r = \sqrt{12.25} = 3.5 \text{ cm}$.
ચોરસ $LMNO$ ની બાજુનું માપ અંતઃસ્થિત વર્તુળના વ્યાસ જેટલું હોય છે.
$LMNO$ ની બાજુ $= 2r = 2 \times 3.5 = 7 \text{ cm}$.
ચોરસ $LMNO$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 7^2 = 49 \text{ cm}^2$.
જ્યારે કોઈ ચોરસ બીજા ચોરસની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ બહારના ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
ચોરસ $EFGH$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{ચોરસ } LMNO \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm}^2$.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{ચોરસ } EFGH \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) = 2 \times 98 = 196 \text{ cm}^2$.

(A) ધારો કે $BD = x$. તો $DC = 8 - x$.
$\triangle ADB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^2 = AB^2 - BD^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
$\triangle ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^2 = AC^2 - DC^2 = (\sqrt{41})^2 - (8 - x)^2 = 41 - (64 - 16x + x^2) = 41 - 64 + 16x - x^2 = 16x - x^2 - 23$.
$AD^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$25 - x^2 = 16x - x^2 - 23$
$25 = 16x - 23$
$16x = 48$
$x = 3 \text{ cm}$.
તેથી,$BD = 3 \text{ cm}$.
હવે,$AD = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BD \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2$.

(C) આકૃતિ પરથી,$PQ = 8 \text{ cm}$ અને $PR = 10 \text{ cm}$ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\text{Area}(\Delta PAB)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{5 \times 6}{8 \times 10} = \frac{3}{8}$.
$\frac{\text{Area}(\Delta QDC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{2 \times 5}{8 \times 8} = \frac{5}{32}$.
$\frac{\text{Area}(\Delta BCR)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{6 \times 3}{10 \times 8} = \frac{9}{40}$.
ત્રણ ખૂણાના ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો = $\text{Area}(\Delta PQR) \times (\frac{3}{8} + \frac{5}{32} + \frac{9}{40}) = \text{Area}(\Delta PQR) \times \frac{121}{160}$.
તેથી,ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\text{Area}(\Delta PQR) \times (1 - \frac{121}{160}) = \text{Area}(\Delta PQR) \times \frac{39}{160}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{17 \sqrt{21}}{5}$ છે.

(C) $1$. ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $14 \ cm$ છે. ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 14 \times 14 = 196 \ cm^2$ છે.
$2$. $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $DC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $EF = 14 \ cm$. અર્ધવર્તુળ $EPF$ ની ત્રિજ્યા $r = EF / 2 = 7 \ cm$ છે.
$3$. અર્ધવર્તુળ $EPF$ નું ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \pi r^2 = (1/2) \times (22/7) \times 7 \times 7 = 77 \ cm^2$ છે.
$4$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસ $ABCD$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી અર્ધવર્તુળ $EPF$ અને ચોરસ $LMNO$ ના ક્ષેત્રફળને બાદ કરતા મળે છે. જો $LMNO$ ચોરસની બાજુ $7 \ cm$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ $49 \ cm^2$ થાય.
$5$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 196 - 77 - 49 = 70 \ cm^2$.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશ $8$ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો છે, જેમાંથી દરેકની બાજુની લંબાઈ $6\, cm$ છે।
એક સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}\, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times (9\sqrt{3}) = 72\sqrt{3}\, cm^2$.

(B) ધારો કે ચોરસ $PQRS$ ની બાજુ $a$ છે. ચોરસ $PQRS$ નો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો છે.
વ્યાસ $= 2 \times 14 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2} \text{ cm}$.
ચોરસનો વિકર્ણ $a \sqrt{2}$ હોવાથી,$a \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$,તેથી $a = 28 \text{ cm}$.
ચોરસ $PQRS$ ની બાજુ $28 \text{ cm}$ છે.
આકૃતિ પરથી,દરેક નાના ચોરસની બાજુ (ધારો કે $s$) એવી રીતે છે કે આખી આકૃતિની ઊંચાઈ વર્તુળના વ્યાસ જેટલી થાય.
અહીં $s = a/5 = 28/5 = 5.6 \text{ cm}$ લેતા.
એક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 5.6^2 = 31.36 \text{ cm}^2$.
$4$ ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 31.36 = 125.44 \text{ cm}^2$.

(D) $1$. મોટા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $AB = 56 \ cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 28 \ cm$ છે.
$2$. ચાર નાના અર્ધવર્તુળોમાંથી દરેકનો વ્યાસ $d = 56 / 4 = 14 \ cm$ છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm$ છે.
$3$. ધારો કે છાયાંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા $x$ છે. મોટા અર્ધવર્તુળનું કેન્દ્ર $AB$ ના મધ્યબિંદુ પર છે. તેને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લો.
$4$. બે મધ્યના નાના અર્ધવર્તુળોના કેન્દ્રો $(-7, 0)$ અને $(7, 0)$ પર છે.
$5$. છાયાંકિત વર્તુળ મોટા અર્ધવર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી ઉગમબિંદુથી તેના કેન્દ્ર $(0, y_c)$ સુધીનું અંતર $28 - x$ છે. આમ,કેન્દ્ર $(0, 28 - x)$ પર છે.
$6$. છાયાંકિત વર્તુળ નાના અર્ધવર્તુળોને પણ સ્પર્શે છે. છાયાંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 28 - x)$ અને નાના અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $(7, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $r + x = 7 + x$ છે.
$7$. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(7 - 0)^2 + (0 - (28 - x))^2 = (7 + x)^2$.
$8$. $49 + (28 - x)^2 = (7 + x)^2$.
$9$. $49 + 784 - 56x + x^2 = 49 + 14x + x^2$.
$10$. $784 = 70x$,જે $x = 784 / 70 = 11.2 \ cm$ આપે છે.
$11$. છાયાંકિત વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi x^2 = (22/7) \times 11.2 \times 11.2 = 394.24 \ cm^2$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ છે અને પ્રારંભિક પહોળાઈ $B$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = L \times B$.
નવી લંબાઈ $L' = L + 0.10L = 1.1L$.
નવી પહોળાઈ $B' = B + 0.20B = 1.2B$.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = L' \times B' = (1.1L) \times (1.2B) = 1.32LB$.
ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી વધારો $= \frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100$.
$= \frac{1.32LB - LB}{LB} \times 100 = 0.32 \times 100 = 32 \%$.

(D) તારની કુલ લંબાઈ એ લંબચોરસની પરિમિતિ છે,જે $168 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $5x$ અને $7x$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2(L + b) = 168$ છે.
$2(5x + 7x) = 168$
$2(12x) = 168$
$24x = 168$
$x = 168 / 24 = 7$.
આમ,લંબાઈ $L = 5 \times 7 = 35 \text{ cm}$ અને પહોળાઈ $b = 7 \times 7 = 49 \text{ cm}$ છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{L^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $= \sqrt{35^2 + 49^2} = \sqrt{1225 + 2401} = \sqrt{3626} \text{ cm}$.

(C) સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2}$
અહીં $\text{Area}(\Delta ABC) = 1024 \ cm^2$,$AB = 16 \ cm$,અને $PQ = 9 \ cm$ આપેલ છે:
$\frac{1024}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{16^2}{9^2}$
$\frac{1024}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{256}{81}$
$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1024 \times 81}{256}$
$\text{Area}(\Delta PQR) = 4 \times 81 = 324 \ cm^2$.

(A) આપેલ છે કે $DE \parallel BC,$ તેથી $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ થાય.
બિંદુ $D$ એ $AB$ નું $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $AD:DB = 1:4.$ આનો અર્થ એ થાય કે $AD:AB = 1:(1+4) = 1:5.$
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}.$
$\text{Area}(\triangle ABC) = 200 \text{ cm}^2$ આપેલ હોવાથી,$\text{Area}(\triangle ADE) = \frac{1}{25} \times 200 = 8 \text{ cm}^2$ મળે.
ચતુષ્કોણ $DECB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\text{Area}(\triangle ABC) - \text{Area}(\triangle ADE) = 200 - 8 = 192 \text{ cm}^2$ થાય.

(D) ધારો કે $AB = 3x$ અને $BC = 3y.$ તેથી $PB = x$ અને $BQ = y.$
$ABCD$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 3x \times 3y = 9xy.$
$\Delta PDB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PB \times BC = \frac{1}{2} \times x \times 3y = 1.5xy.$
$\Delta BDQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BQ \times AB = \frac{1}{2} \times y \times 3x = 1.5xy.$
$BPDQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\Delta PDB) + \text{Area}(\Delta BDQ) = 1.5xy + 1.5xy = 3xy.$
આપેલ છે કે $3xy = 20 \, cm^{2}.$
$ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 9xy = 3 \times (3xy) = 3 \times 20 = 60 \, cm^{2}.$

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ: $\pi r^{2} = a^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે $a = \sqrt{\pi} r$.
વર્તુળનો વ્યાસ $D = 2r$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{2} a$ છે.
વિકર્ણના સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $d = \sqrt{2} (\sqrt{\pi} r) = \sqrt{2\pi} r$.
વર્તુળના વ્યાસ અને ચોરસના વિકર્ણનો ગુણોત્તર $\frac{D}{d} = \frac{2r}{\sqrt{2\pi} r}$ છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{\sqrt{2\pi}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{2} : \sqrt{\pi}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AE$ એ $\angle BAD$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle EAD = 30^{\circ}$ થાય.
કારણ કે $AD$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle CAD = \angle BAD = \angle BAE + \angle EAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
$\Delta AEC$ માં,આપણી પાસે બાજુ $AE = 9 \text{ cm}$ અને $EC = 15 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે $\Delta AEC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે (આપેલ ઉકેલ મુજબ),તો પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજી બાજુ $AC$ શોધીએ: $AC = \sqrt{EC^2 - AE^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$.
$\Delta AEC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2$ થાય.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. $AB$ એ $A$ પર સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OA$ એ $AB$ ને લંબ છે. તેથી,$\triangle OAB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OAB = 90^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $OA = 10 \, cm$ (ત્રિજ્યા) અને $AB = 24 \, cm$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $\triangle OAB$ માં:
$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
તેથી,$OB = \sqrt{676} = 26 \, cm$.
આપેલ છે કે $BC$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે. $C$ વર્તુળ પર હોવાથી,$OC$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OC = 10 \, cm$.
આમ,$BC = BO + OC = 26 + 10 = 36 \, cm$,જે આપેલી માહિતી સાથે સુસંગત છે.
હવે,$\triangle ABC$ નો વિચાર કરો. પાયો $AB = 24 \, cm$ છે. $BC$ ને પાયો ગણીએ તો,$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $h$ છે. $\triangle OAB$ માં,$\sin(\angle OBA) = \frac{OA}{OB} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધની લંબાઈ $h = AB \sin(\angle OBA) = 24 \times \frac{5}{13} = \frac{120}{13}$.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{120}{13} \approx 166.15 \, cm^2$. નજીકનો વિકલ્પ $168$ છે.

(D) $\Delta OAP$ માં,$\angle OAP = 90^{\circ}$ (સ્પર્શક ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે).
$\angle AOP = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.
$\Delta OAP$ માં,$\tan(\angle AOP) = \frac{AP}{OA} \Rightarrow \tan(60^{\circ}) = \frac{6}{OA} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{OA} \Rightarrow OA = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$.
$OP = \sqrt{OA^{2} + AP^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$.
ધારો કે $M$ એ $AB$ અને $OP$ નું છેદબિંદુ છે. $OP$ એ $\angle AOB$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$OP \perp AB$ અને $AM = MB$ થાય.
$\Delta OAP$ માં,$AM$ એ કર્ણ $OP$ પરનો વેધ છે. $\Delta OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 = 6\sqrt{3} \text{ cm}^{2}$.
વળી,$\Delta OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OP \times AM \Rightarrow 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times AM \Rightarrow 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \times AM \Rightarrow AM = 3 \text{ cm}$.
$AB = 2 \times AM = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$ અને $PM = OP - OM$. $\Delta OAM$ માં,$OM = \sqrt{OA^{2} - AM^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} - 3^{2}} = \sqrt{12 - 9} = \sqrt{3} \text{ cm}$.
$PM = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$.
$\Delta APB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times PM = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^{2}$.

(A) આપેલ છે કે $DE \parallel BC$,તેથી સમરૂપતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$,તેથી $AD = 2k$ અને $DB = 3k$ લેતા.
માટે,$AB = AD + DB = 2k + 3k = 5k$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{2k}{5k}\right)^2 = \frac{4}{25}$ થાય.
ધારો કે $\text{Area}(\Delta ADE) = 4x$ અને $\text{Area}(\Delta ABC) = 25x$.
તેથી,$\text{Area}(BDEC) = \text{Area}(\Delta ABC) - \text{Area}(\Delta ADE) = 25x - 4x = 21x$.
આમ,$\Delta ADE$ નું ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $BDEC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{4x}{21x} = 4:21$ થાય.

(A) ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $s = 21 + 21 = 42 \, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 42^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1764 = 441 \sqrt{3} \, sq \cdot cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^\circ$ હોય છે.
ત્રિકોણની અંદરના ત્રણ વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $3 \times (\frac{60}{360} \times \pi \times r^2) = 3 \times (\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 21^2) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 441 = 11 \times 63 = 693 \, sq \cdot cm$ થાય.
ત્રણેય વર્તુળો દ્વારા ઘેરાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રણ વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે: $441 \sqrt{3} - 693 \, sq \cdot cm$.

(D) ધારો કે ચોરસની પ્રારંભિક બાજુ $s_1 = 10 \text{ cm}$ છે.
તેથી,ચોરસનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = (s_1)^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2$ થાય.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળમાં $44 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A_2$:
$A_2 = A_1 + 44\% \text{ of } A_1 = 100 + 44 = 144 \text{ cm}^2$ થાય.
ધારો કે ચોરસની નવી બાજુ $s_2$ છે. કારણ કે $A_2 = (s_2)^2$,તેથી:
$s_2 = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$ મળે.
બાજુમાં થયેલ ટકાવારી વધારો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \frac{s_2 - s_1}{s_1} \times 100 = \frac{12 - 10}{10} \times 100 = \frac{2}{10} \times 100 = 20 \%$.
આમ,દરેક બાજુમાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે.

(A) નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $=$ શંકુનું ઘનફળ
$\pi r_{1}^{2} h_{1} = \frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}$
અહીં,નળાકાર માટે $r_{1} = 4\, cm$ અને $h_{1} = 5\, cm$ છે.
શંકુ માટે $r_{2} = 6\, cm$ છે અને આપણે $h_{2}$ શોધવાનું છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\pi \times (4)^2 \times 5 = \frac{1}{3} \times \pi \times (6)^2 \times h_{2}$
$16 \times 5 = \frac{1}{3} \times 36 \times h_{2}$
$80 = 12 \times h_{2}$
$h_{2} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6.67\, cm$.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r_1^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1 = 21\, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં પાયાનો વ્યાસ $21\, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{21}{2}\, cm$ થાય.
ગોળાને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે: $V_s = V_c$.
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h$
$4 \times (21)^3 = (\frac{21}{2})^2 \times h$
$4 \times 21 \times 21 \times 21 = \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times h$
$4 \times 21 = \frac{h}{4}$
$h = 4 \times 21 \times 4 = 336\, cm$.

(C) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B,$ અને $C$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 1$ હોવાથી,કોઈપણ બે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $AB = BC = CA = 2r = 2$ થાય.
આ એક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે જેની બાજુની લંબાઈ $s = 2$ છે.
આ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $O$ એ પરિગત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર (ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R_{tri}$) $R_{tri} = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
મોટા પરિગત વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીના અંતર અને નાના વર્તુળની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે: $R = R_{tri} + r = \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
પરિગત વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2 = \pi \left( \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)^2 = \pi \frac{(2+\sqrt{3})^2}{3} = \frac{\pi}{3}(2+\sqrt{3})^2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle B = \angle Q$ અને $\angle C = \angle R$ છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ થાય.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}$.
$M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યગા $PM$ એ $\Delta PQR$ ને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
આમ,$\text{area}(\Delta PMR) = \frac{1}{2} \times \text{area}(\Delta PQR)$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PMR)} = \frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\frac{1}{2} \times \text{area}(\Delta PQR)} = 2 \times \frac{\text{area}(\Delta ABC)}{\text{area}(\Delta PQR)} = 2 \times \frac{49}{16} = \frac{49}{8}$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે. કારણ કે $D, E,$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, AB,$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી રેખાખંડોની લંબાઈ $BD = DC = CE = EA = AF = FB = a$ થશે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણ $ABC$ ચાર એકરૂપ સમબાજુ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે: $\triangle AEF, \triangle EBD, \triangle DFC,$ અને $\triangle FED$,જે દરેકની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આ ચારેય ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
તેથી,$\text{Area}(\triangle DEF) = \text{Area}(\triangle DFC)$.
આમ,$\triangle DEF$ અને $\triangle DFC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $DE \parallel BC$.
$\Delta ADE$ અને $\Delta ABC$ માં:
$\angle ADE = \angle ABC$ (અનુકોણ)
$\angle AED = \angle ACB$ (અનુકોણ)
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ADE)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{3^2}{6^2}$
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{9}{36}$
$\frac{15}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{4}$
$\text{Area}(\Delta ABC) = 15 \times 4 = 60 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે લંબાઈ $5x$ અને પહોળાઈ $3x$ છે.
લંબચોરસ જમીનની પરિમિતિ કુલ ખર્ચને પ્રતિ મીટરના દર વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે:
પરિમિતિ $= 6000 / 7.5 = 800 \text{ m}$.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
તેથી,$2(5x + 3x) = 800$.
$2(8x) = 800$.
$16x = 800$.
$x = 800 / 16 = 50$.
હવે,માપ શોધીએ:
લંબાઈ $= 5 \times 50 = 250 \text{ m}$.
પહોળાઈ $= 3 \times 50 = 150 \text{ m}$.
લંબાઈ અને પહોળાઈ વચ્ચેનો તફાવત $250 - 150 = 100 \text{ m}$ છે.

(D) સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
અહીં,સમાંતર બાજુઓ $a = 16 \ m$ અને $b = 20 \ m$ છે,અને ઊંચાઈ $h = 10 \ m$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (16 + 20) \times 10$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 36 \times 10$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 18 \times 10 = 180 \ m^2$.

(B) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા છ નાના ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,આ છ ત્રિકોણોમાંથી દરેકનું ક્ષેત્રફળ $\Delta ABC$ ના કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{6}$ ભાગનું હોય છે.
$\Delta CGE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 36 \text{ cm}^2$.
$\Delta CGE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ cm}^2$.

(A) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $B$ છે અને લંબાઈ $L$ છે.
રસ્તો પહોળાઈને સમાંતર છે,તેથી રસ્તાની લંબાઈ પ્લોટની પહોળાઈ $B$ જેટલી છે.
આપેલ છે કે,રસ્તાની પહોળાઈ $3 \, m$ છે.
એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે રસ્તાની લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતા $2 \, m$ વધારે છે. રસ્તાની લંબાઈ $B$ છે અને તેની પહોળાઈ $3 \, m$ છે,તેથી $B = 3 + 2 = 5 \, m$ મળે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 5 \, m \times 3 \, m = 15 \, m^2$.
લૉનનું ક્ષેત્રફળ $240 \, m^2$ છે.
લંબચોરસ પ્લોટનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{લૉનનું ક્ષેત્રફળ} + \text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ} = 240 \, m^2 + 15 \, m^2 = 255 \, m^2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x, 4x$ અને $5x$ છે.
ગુણોત્તર $3:4:5$ પાયથાગોરસના પ્રમેય $(3^2 + 4^2 = 5^2)$ નું પાલન કરે છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3x \times 4x = 6x^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $7776 \ cm^2$ છે,તેથી $6x^2 = 7776$.
$x^2 = \frac{7776}{6} = 1296$.
$x = \sqrt{1296} = 36$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $3x + 4x + 5x = 12x$.
પરિમિતિ $= 12 \times 36 = 432 \ cm$.

(C) ત્રિકોણ $\Delta ABD$ અને $\Delta ADC$ એક જ શિરોબિંદુ $A$ ધરાવે છે અને તેમના પાયા $BD$ અને $DC$ એક જ રેખા $BC$ પર આવેલા છે.
તેથી,તેમની ઊંચાઈ $h$ શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ સુધી સમાન રહેશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BD \times h = 60 \, cm^2$.
આપેલ છે કે $BD : DC = 4 : 5,$ તેથી ધારો કે $BD = 4x$ અને $DC = 5x$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 4x \times h = 60 \implies 2xh = 60 \implies xh = 30$.
હવે,$\Delta ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times DC \times h = \frac{1}{2} \times 5x \times h$.
$xh = 30$ કિંમત મૂકતા,$\Delta ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times (xh) = \frac{1}{2} \times 5 \times 30 = 75 \, cm^2$.

(D) ધારો કે સમાંતર બાજુઓ $AD = 4x \, cm$ અને $BC = 7x \, cm$ છે.
ઊંચાઈ $h = \frac{2}{11} \times (AD + BC) = \frac{2}{11} \times (4x + 7x) = \frac{2}{11} \times 11x = 2x \, cm$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h = 176$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (4x + 7x) \times 2x = 176$.
$11x^2 = 176 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$.
આમ,$AD = 16 \, cm$ અને $BC = 28 \, cm$. ઊંચાઈ $h = 2 \times 4 = 8 \, cm$ છે.
સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણમાં,અસમાંતર બાજુનો પાયા પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{BC - AD}{2} = \frac{28 - 16}{2} = 6 \, cm$ થાય.
ઊંચાઈ,પ્રક્ષેપ અને વિકર્ણ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,વિકર્ણ માટે ત્રિકોણનો પાયો $AD + 6 = 16 + 6 = 22 \, cm$ થાય.
વિકર્ણ $d = \sqrt{h^2 + (AD + 6)^2} = \sqrt{8^2 + 22^2} = \sqrt{64 + 484} = \sqrt{548} = \sqrt{4 \times 137} = 2\sqrt{137} \, cm$.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB || CD$ હોવાથી,$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ એ $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ સમરૂપ ત્રિકોણો છે (યુગ્મકોણ હોવાથી $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$ થાય).
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2$
અહીં $AB = 2 \, CD$ આપેલ છે,તેથી $\frac{AB}{CD} = 2$.
$\frac{84}{\text{Area}(\Delta COD)} = (2)^2 = 4$
$\text{Area}(\Delta COD) = \frac{84}{4} = 21 \, cm^2$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $P = 4 \times \text{બાજુ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમિતિ $60 \, cm$ હોવાથી, બાજુની લંબાઈ $a = 60 / 4 = 15 \, cm$ થાય.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં, વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = 24 \, cm$ અને $d_2$ છે. વિકર્ણોના અડધા ભાગ $d_1/2 = 12 \, cm$ અને $d_2/2$ થાય.
વિકર્ણો દ્વારા બનતા ચાર કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી એકમાં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા: $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$.
$12^2 + (d_2/2)^2 = 15^2$.
$144 + (d_2/2)^2 = 225$.
$(d_2/2)^2 = 225 - 144 = 81$.
$d_2/2 = 9 \, cm$, તેથી $d_2 = 18 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = (1/2) \times d_1 \times d_2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = (1/2) \times 24 \times 18 = 12 \times 18 = 216 \, cm^2$.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,જ્યારે બાજુઓ $AB$ અને $DC$ ને લંબાવવામાં આવે ત્યારે તે વર્તુળની બહાર $P$ બિંદુએ મળે છે,ત્યારે છેદિકાના ગુણધર્મ મુજબ:
$PA \times PB = PD \times PC$
આપેલ છે:
$PA = 8 \ cm$
$PB = 6 \ cm$
$PC = 4 \ cm$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 \times 6 = PD \times 4$
$48 = PD \times 4$
$PD = \frac{48}{4} = 12 \ cm$
તેથી,$PD$ ની લંબાઈ $12 \ cm$ છે.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ cm છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r_1 + r_2 = 14$ થાય.
તેથી,$r_2 = 14 - r_1$.
તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = 130 \pi$ આપેલ છે.
$\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r_1^2 + r_2^2 = 130$ મળે.
સમીકરણમાં $r_2 = 14 - r_1$ મૂકતા:
$r_1^2 + (14 - r_1)^2 = 130$
$r_1^2 + 196 + r_1^2 - 28r_1 = 130$
$2r_1^2 - 28r_1 + 66 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $r_1^2 - 14r_1 + 33 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(r_1 - 11)(r_1 - 3) = 0$.
તેથી,$r_1 = 11$ અથવા $r_1 = 3$.
જો $r_1 = 3$ હોય,તો $r_2 = 14 - 3 = 11$. જો $r_1 = 11$ હોય,તો $r_2 = 14 - 11 = 3$.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $3 \text{ cm}$ છે.

(B) ધારો કે ગોળાકાર પૂલની ત્રિજ્યા $r \ m$ છે.
કોંક્રિટની દીવાલની પહોળાઈ $4 \ m$ છે.
તેથી,બહારના વર્તુળની (પૂલ + દીવાલ) ત્રિજ્યા $(r + 4) \ m$ થાય.
પૂલનું ક્ષેત્રફળ $A_{pool} = \pi r^2$ છે.
દીવાલનું ક્ષેત્રફળ $A_{wall} = \pi(r + 4)^2 - \pi r^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A_{wall} = \frac{11}{25} A_{pool}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\pi(r + 4)^2 - \pi r^2 = \frac{11}{25} \pi r^2$.
$\pi$ વડે ભાગતા: $(r^2 + 8r + 16) - r^2 = \frac{11}{25} r^2$.
$8r + 16 = \frac{11}{25} r^2$.
$25$ વડે ગુણતા: $200r + 400 = 11r^2$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $11r^2 - 200r - 400 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(r - 20)(11r + 20) = 0$.
ત્રિજ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $r = 20 \ m$.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$,જ્યાં $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આપેલ છે કે $AB = 10 \, cm$,તેથી $AM = MB = 5 \, cm$.
આપેલ છે કે $CD = 24 \, cm$,તેથી $CN = ND = 12 \, cm$.
ધારો કે $ON = x$. જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$OM = 17 - x$.
કાટકોણ $\Delta ONA$ માં,$OA^2 = ON^2 + CN^2 \implies r^2 = x^2 + 12^2 = x^2 + 144 \dots(1)$.
કાટકોણ $\Delta OMA$ માં,$OA^2 = OM^2 + AM^2 \implies r^2 = (17 - x)^2 + 5^2 = 289 + x^2 - 34x + 25 = x^2 - 34x + 314 \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$x^2 + 144 = x^2 - 34x + 314$
$34x = 314 - 144$
$34x = 170$
$x = 5 \, cm$.
$x = 5$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$r^2 = 5^2 + 144 = 25 + 144 = 169$
$r = \sqrt{169} = 13 \, cm$.

(A) શંકુ આકારના લોખંડના ટુકડાનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં,ત્રિજ્યા $r = \frac{28}{2} = 14 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 30 \, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (14)^2 (30) = 10 \pi (196) = 1960 \pi \, cm^3$.
જ્યારે આ ટુકડાને નળાકાર પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ શંકુના ઘનફળ જેટલું હોય છે. વિસ્થાપિત પાણી નળાકારનો આકાર લે છે જેની ઊંચાઈ $H = 6.4 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi R^2 (6.4)$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $1960 \pi = \pi R^2 (6.4)$.
$R^2 = \frac{1960}{6.4} = \frac{19600}{64} = 306.25$.
$R = \sqrt{306.25} = 17.5 \, cm$.
પાત્રનો વ્યાસ $2R = 2 \times 17.5 = 35 \, cm$ થાય.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $h = 12 \sqrt{3} \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sqrt{3}}{2} a = 12 \sqrt{3}$.
બંને બાજુથી $\sqrt{3}$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{a}{2} = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 24 \text{ cm}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a = 24$ કિંમત મૂકતા,$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (24)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 576$ મળે.
તેથી,$A = 144 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.

(D) ધારો કે $EF$ એ સમાંતર બાજુઓ $AD$ અને $BC$ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે,જ્યાં $F$ એ $AD$ પર આવેલું છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times EF$.
$\Delta AED$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AD \times EF$.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર:
$\frac{ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ}}{\Delta AED \text{ નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\frac{1}{2} \times (AD + BC) \times EF}{\frac{1}{2} \times AD \times EF} = \frac{AD + BC}{AD}$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a = 24 \ cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ cm$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 24 \times 24 = 144\sqrt{3} \ cm^2$ થાય.
$\sqrt{3} = 1.732$ લેતા,$A_t = 144 \times 1.732 = 249.408 \ cm^2$ મળે.
અંતઃવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (4\sqrt{3})^2 = \frac{22}{7} \times 48 = \frac{1056}{7} \approx 150.857 \ cm^2$ થાય.
બાકી રહેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_t - A_c = 249.408 - 150.857 = 98.551 \ cm^2$ થાય.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ક્ષેત્રફળ $98.55 \ cm^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $a$ છે. પરિમિતિ $= 4a = 2p$,તેથી $a = \frac{p}{2}$.
ધારો કે વિકર્ણો $d_1$ અને $d_2$ છે. આપેલ છે કે $d_1 + d_2 = m$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને $90^{\circ}$ પર દુભાગે છે. અડધા વિકર્ણો $x = \frac{d_1}{2}$ અને $y = \frac{d_2}{2}$ લો.
તેથી $2x + 2y = m$,એટલે કે $x + y = \frac{m}{2}$.
બાજુઓ અને અડધા વિકર્ણો દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $x^2 + y^2 = a^2 = (\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{m}{2})^2 = \frac{p^2}{4} + 2xy$.
$\frac{m^2}{4} = \frac{p^2}{4} + 2xy \Rightarrow 2xy = \frac{m^2 - p^2}{4}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times (2x) \times (2y) = 2xy$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4}(m^2 - p^2)$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે પ્લોટ $ABCD$ છે જેમાં $AB = 32 \ m$,$BC = 24 \ m$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે. અન્ય બે બાજુઓ $AD = 25 \ m$ અને $CD = 25 \ m$ છે.
પ્રથમ,$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $AC$ ની ગણતરી કરો:
$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{32^{2} + 24^{2}} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \ m$.
હવે,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 24 \times 32 = 384 \ m^{2}$.
ત્યારબાદ,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $40 \ m$,$25 \ m$ અને $25 \ m$ બાજુઓ ધરાવતા $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{40 + 25 + 25}{2} = \frac{90}{2} = 45 \ m$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{45(45-40)(45-25)(45-25)} = \sqrt{45 \times 5 \times 20 \times 20} = \sqrt{225 \times 400} = 15 \times 20 = 300 \ m^{2}$.
પ્લોટનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 384 + 300 = 684 \ m^{2}$.

(A) કેન્દ્રવાળા પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = 8$ છે.
$B$ કેન્દ્રવાળા બીજા વર્તુળનો વ્યાસ $8$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{8}{2} = 4$ થાય.
આ બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો થાય છે:
$AB = r_1 + r_2 = 8 + 4 = 12$.
હવે,આપણે $AB = 12$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi R^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi \times (6)^2 = 36\pi$.

(B) ધારો કે દરેક આકારની પરિમિતિ $P$ છે।
વર્તુળ માટે: $2\pi r = P \implies r = \frac{P}{2\pi}$
ક્ષેત્રફળ $C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{P^2}{4\pi} \approx \frac{P^2}{12.56}$
ચોરસ માટે: $4b = P \implies b = \frac{P}{4}$
ક્ષેત્રફળ $S = b^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{P^2}{16}$
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે: $3a = P \implies a = \frac{P}{3}$
ક્ષેત્રફળ $T = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}P^2}{36} \approx \frac{1.732P^2}{36} \approx \frac{P^2}{20.78}$
છેદની સરખામણી કરતા: $12.56 < 16 < 20.78$
અંશ સમાન હોવાથી, જેનો છેદ સૌથી નાનો હોય તે અપૂર્ણાંક સૌથી મોટો હોય છે।
તેથી, $C > S > T$

(B) $1$. વર્તુળ માટે: પરિઘ એ તારની લંબાઈ જેટલો હોય છે,તેથી $2 \pi r = 44 \ cm$.
$2 \times (22/7) \times r = 44 \implies r = 7 \ cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = (22/7) \times 7^2 = 154 \ cm^2$ છે.
$2$. ચોરસ માટે: પરિમિતિ એ તારની લંબાઈ જેટલી હોય છે,તેથી $4a = 44 \ cm$.
$a = 11 \ cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = 11^2 = 121 \ cm^2$ છે.
$3$. બંને ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત $A_1 - A_2 = 154 - 121 = 33 \ cm^2$ છે.