Measurement of Area Questions in Gujarati

(C) $\Delta OAB$ માં,$E$ એ $AO$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $H$ એ $BO$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EH = \frac{1}{2} AB$.
તે જ રીતે,$\Delta OBC, \Delta OCD$ અને $\Delta ODA$ માં મધ્યબિંદુ પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$EH = \frac{1}{2} AB$
$HG = \frac{1}{2} CD$
$GF = \frac{1}{2} BC$
$FE = \frac{1}{2} DA$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ની પરિમિતિ $= EH + HG + GF + FE = \frac{1}{2} (AB + CD + BC + DA) = \frac{1}{2} (ABCD \text{ ની પરિમિતિ})$.
તેથી,$EFGH$ ની પરિમિતિ અને $ABCD$ ની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{1}{2} : 1$ એટલે કે $1:2$ થાય.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
જ્યારે દરેક બાજુમાં $2\, cm$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી બાજુ $(a - 2)$ થાય છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (a - 2)^2$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો $4\sqrt{3}\, cm^2$ છે,તેથી $A - A' = 4\sqrt{3}$.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} (a - 2)^2 = 4\sqrt{3}$.
બંને બાજુને $\frac{\sqrt{3}}{4}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $a^2 - (a - 2)^2 = 16$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 - (a^2 - 4a + 4) = 16$.
$a^2 - a^2 + 4a - 4 = 16$.
$4a - 4 = 16$.
$4a = 20$.
$a = 5\, cm$.

(C) વર્તુળાકાર તારનો પરિઘ એ લંબચોરસની પરિમિતિ જેટલો હોય છે.
આપેલ વ્યાસ $d = 112 \, cm$.
વર્તુળનો પરિઘ $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 112 = 22 \times 16 = 352 \, cm$.
ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $9x$ અને $7x$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $= 2 \times (9x + 7x) = 2 \times 16x = 32x$.
પરિમિતિને સરખાવતા: $32x = 352$.
$x = \frac{352}{32} = 11$.
લંબચોરસની નાની બાજુ $7x = 7 \times 11 = 77 \, cm$ છે.

(D) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હેરોનનું સૂત્ર: $\text{Area} = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$,જ્યાં $S = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
$\Delta ABC$ માં,બાજુઓ $a = 60\, cm$,$b = 40\, cm$,અને $c = 80\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $S = \frac{60 + 40 + 80}{2} = \frac{180}{2} = 90\, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{90(90-60)(90-40)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 30 \times 50 \times 10} = \sqrt{1350000} = 300 \sqrt{15}\, cm^2$.
વિકર્ણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 300 \sqrt{15} = 600 \sqrt{15}\, cm^2$.

(A) આપેલ છે કે પહોળાઈ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે. ધારો કે પહોળાઈ $3x$ અને લંબાઈ $4x$ છે.
લૉનનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{12}$ હેક્ટર છે. $1 \text{ હેક્ટર} = 10000 \text{ m}^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{12} \times 10000 \text{ m}^2 = \frac{2500}{3} \text{ m}^2$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4x \times 3x = 12x^2$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $12x^2 = \frac{2500}{3}$.
$x^2 = \frac{2500}{3 \times 12} = \frac{2500}{36}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \sqrt{\frac{2500}{36}} = \frac{50}{6}$.
લૉનની પહોળાઈ $3x = 3 \times \frac{50}{6} = \frac{50}{2} = 25 \text{ મીટર}$ થાય.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $x\,cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times$ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ
લંબચોરસની લંબાઈ $20\,cm$ છે અને પહોળાઈ $\frac{3}{2}x$ છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 20 \times \frac{3}{2}x = 30x$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= x^2$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા:
$30x = 3 \times x^2$
બંને બાજુને $3x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી):
$10 = x$
આમ,ચોરસની બાજુનું માપ $10\,cm$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 12 \ cm$ અને $d_2 = 16 \ cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
આનાથી ચાર કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે,જેમાં બાજુઓ વિકર્ણોની અડધી લંબાઈ જેટલી હોય છે.
બાજુ $1 = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \ cm$.
બાજુ $2 = \frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \ cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ આ કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ તરીકે કામ કરે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\text{બાજુ} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ cm$.

(D) પૈડા દ્વારા એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર $C = \pi d$ છે.
અહીં વ્યાસ $d = 7\, m$ આપેલ છે,તેથી પરિઘ $C = \frac{22}{7} \times 7 = 22\, m$ થાય.
કુલ અંતર $22\, km = 22,000\, m$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ અંતરને એક પરિભ્રમણમાં કાપેલા અંતર વડે ભાગતા:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{22,000\, m}{22\, m} = 1000$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{બાજુ}^{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{બાજુ}^{2} = 9 \sqrt{3}$.
$\Rightarrow \text{બાજુ}^{2} = 9 \times 4 = 36$.
$\Rightarrow \text{બાજુ} = \sqrt{36} = 6 \ m$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યગા એ જ વેધ (ઊંચાઈ) હોય છે. ધારો કે $AD$ એ બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{6}{2} = 3 \ m$.
$\triangle ABD$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}}$.
$AD = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \ m$.

(D) ઓરડાની લંબાઈ $8 \, m = 80 \, dm$ અને પહોળાઈ $6 \, m = 60 \, dm$ છે.
ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= 80 \, dm \times 60 \, dm = 4800 \, dm^2$.
દરેક ટાઇલ $4 \, dm$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \, dm \times 4 \, dm = 16 \, dm^2$.
જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{\text{ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{4800}{16} = 300$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુનું માપ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2 = 3 \pi$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\pi \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 = 3 \pi$.
$\frac{a^2}{3} = 3$.
$a^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3 \, cm$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3a = 3 \times 3 = 9 \, cm$ થાય.

(C) $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 90^{\circ}$ અને $AD \perp BC$ છે.
કારણ કે $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,કારણ કે $\angle C = \angle C$ અને $\angle ADC = \angle BAC = 90^{\circ}$),તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle ACD)} = \left( \frac{BC}{AC} \right)^{2}$.
અહીં $BC = 8 \ cm$ અને $AC = 6 \ cm$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle ACD)} = \left( \frac{8}{6} \right)^{2} = \left( \frac{4}{3} \right)^{2} = \frac{16}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $16:9$ છે.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{1}{4}: \frac{1}{6}: \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,આપણે દરેક પદને $4, 6$ અને $8$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $24$ વડે ગુણીશું.
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{4} \times 24) : (\frac{1}{6} \times 24) : (\frac{1}{8} \times 24) = 6: 4: 3$.
ધારો કે બાજુઓ $6x, 4x$ અને $3x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે,જે $91\, cm$ છે.
તેથી,$6x + 4x + 3x = 91$.
$13x = 91$.
$x = \frac{91}{13} = 7$.
સૌથી લાંબી બાજુ $6x = 6 \times 7 = 42\, cm$ છે.
સૌથી ટૂંકી બાજુ $3x = 3 \times 7 = 21\, cm$ છે.
સૌથી લાંબી અને સૌથી ટૂંકી બાજુ વચ્ચેનો તફાવત $42\, cm - 21\, cm = 21\, cm$ થાય.

(B) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x \, cm$ છે.
તેથી,કર્ણ $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x \, cm$ થશે.
પરિમિતિ $x + x + \sqrt{2}x = 2p \, cm$ આપેલ છે.
$x(2 + \sqrt{2}) = 2p \implies x = \frac{2p}{2 + \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x = \frac{2p(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2p(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = p(2 - \sqrt{2})$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} x^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} [p(2 - \sqrt{2})]^2 = \frac{1}{2} p^2 (4 + 2 - 4\sqrt{2}) = \frac{1}{2} p^2 (6 - 4\sqrt{2}) = (3 - 2\sqrt{2}) p^2 \, cm^2$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{4}{7}$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{7}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ મળે છે.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $2: \sqrt{7}$ છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $20 \, cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $(s) = \frac{20}{4} = 5 \, cm$.
ધારો કે વિકર્ણ $d_1 = BD = 8 \, cm$. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $OB = \frac{d_1}{2} = 4 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
$OA^2 + 4^2 = 5^2$
$OA^2 + 16 = 25$
$OA^2 = 9 \implies OA = 3 \, cm$.
તેથી,બીજો વિકર્ણ $d_2 = AC = 2 \times OA = 2 \times 3 = 6 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,એક ચોરસની અંદર $2 \times 2$ ના ગ્રીડમાં ચાર વર્તુળો ગોઠવાયેલા છે. દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $14 \, cm$ છે.
આ વર્તુળોને સમાવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2 \times 14 \, cm = 28 \, cm$ છે. તેથી,$DC = 28 \, cm$ અને $BC = 28 \, cm$.
આપેલ છે કે $DC = CE$,તેથી $CE = 28 \, cm$.
$\Delta BDE$ નો પાયો $DE = DC + CE = 28 \, cm + 28 \, cm = 56 \, cm$ છે.
પાયા $DE$ ને અનુરૂપ $\Delta BDE$ ની ઊંચાઈ $BC = 28 \, cm$ છે.
$\Delta BDE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times DE \times BC$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 56 \times 28 = 28 \times 28 = 784 \, cm^2$.

(B) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $28 \ cm$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બાજુ} \times \text{બાજુ} = 28 \times 28 = 784 \ cm^2$.
ચોરસમાં ચાર સમાન વર્તુળો આવેલા હોવાથી,દરેક વર્તુળનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ કરતા અડધો હશે.
દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $= 28 / 2 = 14 \ cm$.
દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 14 / 2 = 7 \ cm$.
એક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = (22 / 7) \times 7 \times 7 = 154 \ cm^2$.
આવા ચાર વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 154 = 616 \ cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ચાર વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = 784 - 616 = 168 \ cm^2$.

(D) વિધાન $I$ પરથી,કર્ણ $b = 5\, cm$.
વિધાન $III$ પરથી,એક ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં (જ્યાં $B$ કાટખૂણો છે),જો $\angle C = 60^{\circ}$ હોય,તો $\angle A = 30^{\circ}$ થાય.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$.
તેથી,$a = b \cos 60^{\circ} = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5\, cm$.
તે જ રીતે,$\sin 60^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$.
તેથી,$c = b \sin 60^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2.5\sqrt{3}\, cm$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times a \times c$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2.5 \times 2.5\sqrt{3} = \frac{6.25\sqrt{3}}{2} = 3.125\sqrt{3}\, cm^{2} = \frac{25\sqrt{3}}{8}\, cm^{2}$.
આમ,વિધાન $I$ અને $III$ સાથે મળીને પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે પૂરતા છે.

(B) ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$s = \frac{50 + 78 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{120(120-50)(120-78)(120-112)}$
$= \sqrt{120 \times 70 \times 42 \times 8} = \sqrt{2822400} = 1680 \, cm^2$.
જ્યારે પાયો સૌથી મોટી બાજુ હોય ત્યારે વેધ સૌથી નાનો હોય છે.
ધારો કે પાયો $b = 112 \, cm$ અને સૌથી નાનો વેધ $h$ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$1680 = \frac{1}{2} \times 112 \times h$
$1680 = 56 \times h$
$h = \frac{1680}{56} = 30 \, cm$.

(B) આપેલ છે:
$AB + BC = 12 \text{ cm}$
$BC + CA = 14 \text{ cm}$
$CA + AB = 18 \text{ cm}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(AB + BC) + (BC + CA) + (CA + AB) = 12 + 14 + 18$
$2(AB + BC + CA) = 44$
$AB + BC + CA = 22 \text{ cm}$
ત્રિકોણની પરિમિતિ $22 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળની પરિમિતિ (પરિઘ) $2 \pi r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વર્તુળની પરિમિતિ ત્રિકોણની પરિમિતિ જેટલી છે:
$2 \pi r = 22$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$
$r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{7}{2} \text{ cm}$

(A) દર $25$ પૈસા પ્રતિ $m^2$ છે,જે $₹ \frac{25}{100} = ₹ \frac{1}{4}$ પ્રતિ $m^2$ થાય છે.
લંબચોરસ મેદાનનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર પ્રતિ } m^2} = \frac{1000}{1/4} = 4000\, m^2$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ હોવાથી,$4000 = \text{લંબાઈ} \times 50$.
તેથી,મૂળ લંબાઈ = $\frac{4000}{50} = 80\, m$.
જો લંબાઈમાં $20\, m$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી લંબાઈ = $80 + 20 = 100\, m$.
નવું ક્ષેત્રફળ = $100\, m \times 50\, m = 5000\, m^2$.
નવો ખર્ચ = $\text{નવું ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 5000 \times \frac{1}{4} = ₹ 1250$.

(B) ધારો કે મધ્યગાઓ $m_1 = 9 \, cm$,$m_2 = 12 \, cm$ અને $m_3 = 15 \, cm$ છે.
મધ્યગાઓ $m_1, m_2, m_3$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{3} \sqrt{s_m(s_m - m_1)(s_m - m_2)(s_m - m_3)}$,જ્યાં $s_m = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{2}$.
અહીં,$s_m = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{3} \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{3} \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{3} \sqrt{2916}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{3} \times 54 = 72 \, cm^2$.

(D) લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(l + b) = 2(18 + 26) = 2(44) = 88 \text{ cm}$ છે.
વર્તુળની પરિમિતિ લંબચોરસની પરિમિતિ જેટલી હોવાથી,$2 \pi r = 88 \text{ cm}$ થાય.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$ મળે.
$\frac{44}{7} \times r = 88 \Rightarrow r = 88 \times \frac{7}{44} = 14 \text{ cm}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14$ થાય.
$A = 22 \times 2 \times 14 = 616 \text{ cm}^2$.

(A) ધારો કે વર્તુળની મૂળ ત્રિજ્યા $r\, cm$ છે.
મૂળ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^{2}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યામાં $1\, cm$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $(r + 1)\, cm$ થાય છે.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(r + 1)^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળમાં વધારો $22\, cm^{2}$ છે,તેથી $A_2 - A_1 = 22$.
$\pi(r + 1)^{2} - \pi r^{2} = 22$
$\pi(r^{2} + 2r + 1 - r^{2}) = 22$
$\pi(2r + 1) = 22$
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા:
$\frac{22}{7}(2r + 1) = 22$
બંને બાજુ $22$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{7}(2r + 1) = 1$
$2r + 1 = 7$
$2r = 6$
$r = 3\, cm$.
આમ,વર્તુળની મૂળ ત્રિજ્યા $3\, cm$ છે.

(D) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n-2) \times 180^{\circ}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બહિર્મુખ બહુકોણના તમામ બહિષ્કોણોનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતઃકોણોનો સરવાળો એ બહિષ્કોણોના સરવાળા કરતાં બમણો છે:
$(n-2) \times 180^{\circ} = 2 \times 360^{\circ}$
બંને બાજુઓને $180^{\circ}$ વડે ભાગતા:
$n-2 = 2 \times 2$
$n-2 = 4$
$n = 6$
તેથી,બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $6$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC = 8$ અને $BD = 6$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,જે બિંદુ $O$ પર છે.
તેથી,$BO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ એકમ અને $OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ એકમ.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BOC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BC^2 = BO^2 + OC^2$
$BC^2 = 3^2 + 4^2$
$BC^2 = 9 + 16 = 25$ ચોરસ એકમ.
આમ,તેની બાજુનો વર્ગ $25$ છે.

(C) વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 8\, cm$.
વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 8 = 16\, cm$.
તેથી,ચોરસનો વિકર્ણ $BD = 16\, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણનો ઉપયોગ કરીને નીચે મુજબ ગણી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{વિકર્ણ})^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (16)^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 256 = 128\, cm^2$.

(D) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 1444 \ m^2$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
તેથી,$a^2 = 1444$.
$\therefore a = \sqrt{1444} = 38 \ m$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $= \frac{1}{4} \times 38 = 9.5 \ m$.
લંબચોરસની લંબાઈ $= 3 \times 9.5 = 28.5 \ m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 28.5 \times 9.5 = 270.75 \ m^2$.
ચોરસના ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત $= 1444 - 270.75 = 1173.25 \ m^2$.

(A) ધારો કે ભોંયતળિયાની લંબાઈ $32x$ અને પહોળાઈ $21x$ છે.
આપેલ છે કે ભોંયતળિયાની પરિમિતિ $212$ ફૂટ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
તેથી,$2(32x + 21x) = 212$.
$2(53x) = 212$.
$106x = 212$.
$x = 2$.
તેથી,લંબાઈ $= 32 \times 2 = 64$ ફૂટ અને પહોળાઈ $= 21 \times 2 = 42$ ફૂટ.
ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 64 \times 42 = 2688$ ચોરસ ફૂટ.
કાર્પેટ પાથરવાનો ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{પ્રતિ ચોરસ ફૂટ ખર્ચ} = 2688 \times 2.5 = ₹ 6720$.

(D) નાના વર્તુળ માટે,પરિઘ $C_1 = 2 \pi r_1 = 88 \, m$ છે.
$r_1 = \frac{88 \times 7}{2 \times 22} = 14 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 616 \, m^2$.
મોટા વર્તુળ માટે,પરિઘ $C_2 = 2 \pi r_2 = 220 \, m$ છે.
$r_2 = \frac{220 \times 7}{2 \times 22} = 35 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3850 \, m^2$.
ક્ષેત્રફળો વચ્ચેનો તફાવત $A_2 - A_1 = 3850 - 616 = 3234 \, m^2$ છે.

(D) આકૃતિ એક મધ્ય લંબચોરસ અને બે છેડા પરના અર્ધવર્તુળોની બનેલી છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $= 28 \ cm$ છે,તેથી અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યા $r = 14 \ cm$ થશે.
કુલ લંબાઈ $53 \ cm$ છે. લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $= 53 - 14 - 14 = 25 \ cm$ થશે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 25 \times 28 = 700 \ cm^2$.
બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616 \ cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 700 + 616 = 1316 \ cm^2$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ ખોટો હતો. ભૂમિતિ મુજબ,સાચું ક્ષેત્રફળ $1316 \ cm^2$ છે. જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a = 22\, cm$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળનો પરિઘ ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે:
$2\pi r = a^2$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = (22)^2$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 484$
$r = \frac{484 \times 7}{2 \times 22} = \frac{484 \times 7}{44} = 11 \times 7 = 77\, cm$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 77 = 154\, cm$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $(l)$ વર્તુળના વ્યાસ કરતાં બમણી છે:
$l = 2 \times d = 2 \times 154 = 308\, cm$.
લંબચોરસની પરિમિતિ $668\, cm$ આપેલી છે:
$2(l + b) = 668$
$l + b = 334$
$308 + b = 334$
$b = 334 - 308 = 26\, cm$.
આમ,લંબચોરસની પહોળાઈ $26\, cm$ છે.

(C) પ્રથમ ચોરસની બાજુ $= \sqrt{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\, m$ છે.
તેનો વિકર્ણ $= \sqrt{2} \times \text{બાજુ} = \sqrt{2} \times 10\sqrt{2} = 20\, m$ છે.
નવા ચોરસનો વિકર્ણ $= \sqrt{2} \times 20 = 20\sqrt{2}\, m$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{વિકર્ણ})^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,નવા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (20\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times 2 = 400\, m^2$ થાય.

(D) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $B$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = L \times B$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી લંબાઈ $L' = L + 0.20L = 1.2L$ અને નવી પહોળાઈ $B' = B - 0.20B = 0.8B$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $192 \, m^2$ આપેલું છે.
તેથી,$L' \times B' = 192.$
કિંમતો મૂકતા,$(1.2L) \times (0.8B) = 192.$
$0.96 \times (L \times B) = 192.$
કારણ કે $L \times B = A,$ તેથી $0.96 \times A = 192.$
$A = \frac{192}{0.96} = \frac{19200}{96} = 200 \, m^2.$
આમ,મૂળ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $200 \, m^2$ છે.

(D) ચોરસ પ્લોટની બાજુ $a = 28\, m$ છે.
ચોરસ પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 28^2 = 784\, m^2$ છે.
ગોળાકાર બગીચાનો વ્યાસ $d = 28\, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 14\, m$ થશે.
ગોળાકાર બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616\, m^2$ છે.
બાકી રહેલી જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસના ક્ષેત્રફળ અને વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
બાકી રહેલી જગ્યા $= 784\, m^2 - 616\, m^2 = 168\, m^2$.

(C) ભોંયતળિયે ટાઇલ્સ લગાવવાનો ખર્ચ શોધવા માટે,આપણે હોલનું કુલ ક્ષેત્રફળ અને પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળનો દર જાણવો જરૂરી છે.
પગલું $1$: વિધાન $I$ પરથી,લંબાઈ $L = 6 \ m$.
પગલું $2$: વિધાન $II$ પરથી,પહોળાઈ $B = (2/3) \times 6 = 4 \ m$.
પગલું $3$: હોલનું ક્ષેત્રફળ = $L \times B = 6 \ m \times 4 \ m = 24 \ m^2$.
પગલું $4$: વિધાન $III$ ટાઇલ્સ લગાવવાનો દર આપે છે. ત્રણેય વિધાનોને જોડવાથી,આપણે કુલ ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર}$ ગણી શકીએ છીએ.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો જરૂરી છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a \, cm$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા ચોરસની બાજુ જેટલી છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = a$.
વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi r = 132 \, cm$ છે.
$\pi = 22/7$ લેતા,$2 \times (22/7) \times a = 132$.
$a = (132 \times 7) / (2 \times 22) = 66 \times 7 / 22 = 3 \times 7 = 21 \, cm$.
લંબચોરસની લંબાઈ ચોરસની બાજુના $3/5$ ભાગ છે,તેથી લંબાઈ $l = (3/5) \times 21 = 63/5 = 12.6 \, cm$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $b = 8 \, cm$ આપેલ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b = 12.6 \times 8 = 100.8 \, cm^2$ થાય.

(C) પગલું $1$: ચોરસની બાજુ શોધો.
ચોરસની પરિમિતિ $= 56\, cm$.
ચોરસની બાજુ $= \frac{56}{4} = 14\, cm$.
પગલું $2$: કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુ શોધો.
સૌથી નાની બાજુ $= 14 - 8 = 6\, cm$.
પગલું $3$: લંબચોરસની લંબાઈ શોધો.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 96\, cm^2$ અને પહોળાઈ $= 8\, cm$.
લંબાઈ $= \frac{96}{8} = 12\, cm$.
પગલું $4$: કાટકોણ ત્રિકોણની બીજી સૌથી મોટી બાજુ શોધો.
બીજી સૌથી મોટી બાજુ $= 12 - 4 = 8\, cm$.
પગલું $5$: કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ (કર્ણ) શોધો.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
સૌથી મોટી બાજુ $= \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, cm$.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $= \pi \times \text{વ્યાસ} = \frac{22}{7} \times 56 = 176 \, cm$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 272 - 176 = 96 \, cm$.
ચોરસની બાજુ $= \frac{96}{4} = 24 \, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 24 \times 24 = 576 \, cm^2$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $= \frac{56}{2} = 28 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = 2464 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળનો જરૂરી સરવાળો $= 576 + 2464 = 3040 \, cm^2$.

(C) ધારો કે સૌથી મોટો ખૂણો $4x$ છે અને બીજો સૌથી મોટો ખૂણો $3x$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી નાનો ખૂણો એ સૌથી મોટા ખૂણા કરતાં અડધો છે,તેથી સૌથી નાનો ખૂણો $= \frac{1}{2} \times 4x = 2x$ થાય.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$4x + 3x + 2x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો $= 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $= 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
સૌથી મોટા અને સૌથી નાના ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત $= 80^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ}$ થાય.

(D) ધારો કે ચતુષ્કોણના ત્રણ ખૂણાઓ અનુક્રમે $13x^{\circ}$,$9x^{\circ}$ અને $5x^{\circ}$ છે.
ચતુષ્કોણના તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ચોથો ખૂણો $36^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$13x + 9x + 5x + 36^{\circ} = 360^{\circ}$
$27x = 360^{\circ} - 36^{\circ}$
$27x = 324^{\circ}$
$x = \frac{324}{27} = 12$
ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$1^{st} = 13 \times 12 = 156^{\circ}$
$2^{nd} = 9 \times 12 = 108^{\circ}$
$3^{rd} = 5 \times 12 = 60^{\circ}$
$4^{th} = 36^{\circ}$
સૌથી મોટો ખૂણો $156^{\circ}$ છે અને બીજો સૌથી નાનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે (કારણ કે $36 < 60 < 108 < 156$).
તફાવત $= 156^{\circ} - 60^{\circ} = 96^{\circ}$.

(D) નાના વર્તુળ માટે,પરિઘ $C_1 = 2 \pi r = 88 \text{ m}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$,તેથી $r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \text{ m}$.
મોટા વર્તુળ માટે,પરિઘ $C_2 = 2 \pi R = 220 \text{ m}$.
$2 \times \frac{22}{7} \times R = 220$,તેથી $R = \frac{220 \times 7}{44} = 35 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$ છે.
તફાવત $= \frac{22}{7} \times (35^2 - 14^2) = \frac{22}{7} \times (35 - 14)(35 + 14)$.
તફાવત $= \frac{22}{7} \times 21 \times 49 = 22 \times 3 \times 49 = 3234 \text{ m}^2$.

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = 196 \, cm^2$.
તેથી,બાજુ $a = \sqrt{196} = 14 \, cm$.
આપેલ છે કે ચોરસની બાજુ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ કરતાં અડધી છે,તેથી $a = r/2$.
તેથી,$r = 2 \times a = 2 \times 14 = 28 \, cm$.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times (22/7) \times 28 = 176 \, cm$.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબચોરસની પહોળાઈ $(b)$ એ વર્તુળના પરિઘ જેટલી છે,તેથી $b = 176 \, cm$.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(l + b) = 712 \, cm$ આપેલ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા: $2(l + 176) = 712$.
$2$ વડે ભાગતા: $l + 176 = 356$.
તેથી,$l = 356 - 176 = 180 \, cm$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ $5x$ અને $12x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 270 \, cm^2$
$\frac{1}{2} \times 5x \times 12x = 270$
$30x^2 = 270$
$x^2 = \frac{270}{30} = 9$
$x = 3$
હવે,બાજુઓ $5 \times 3 = 15 \, cm$ અને $12 \times 3 = 36 \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ કર્ણની લંબાઈ:
$\text{કર્ણ} = \sqrt{(15)^2 + (36)^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39 \, cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,$5:12:13$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ $13x = 13 \times 3 = 39 \, cm$ થાય.

(B) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ છે કે,વિકર્ણ $d = 25\, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 168\, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 + b^2 = d^2 = 25^2 = 625$.
વળી,$ab = 168$.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $(a+b)^2 = 625 + 2(168) = 625 + 336 = 961$.
તેથી,$a+b = \sqrt{961} = 31\, cm$ (સમીકરણ $1$).
નિત્યસમ $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $(a-b)^2 = 625 - 336 = 289$.
તેથી,$a-b = \sqrt{289} = 17\, cm$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $2a = 31 + 17 = 48$,જેથી $a = 24\, cm$.
સમીકરણ $1$ માંથી $2$ બાદ કરતા: $2b = 31 - 17 = 14$,જેથી $b = 7\, cm$.
આમ,લંબચોરસની લંબાઈ $24\, cm$ છે.

(B) ધારો કે દરેક હરોળમાં ઉભેલા સૈનિકોની સંખ્યા $x$ છે.
ચોરસ આકારમાં ગોઠવાયેલા સૈનિકોની કુલ સંખ્યા $x^2$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૈનિકોની કુલ સંખ્યા $6000$ છે અને ચોરસ બનાવ્યા પછી $71$ સૈનિકો બાકી રહે છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $x^2 + 71 = 6000$.
બંને બાજુથી $71$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $x^2 = 6000 - 71 = 5929$.
$x$ શોધવા માટે,આપણે $5929$ નું વર્ગમૂળ કાઢીશું: $x = \sqrt{5929} = 77$.
આમ,દરેક હરોળમાં $77$ સૈનિકો ગોઠવવામાં આવ્યા હતા.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $B$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = L \times B$ છે.
ફેરફાર પછી,નવી લંબાઈ $L' = L + 0.10L = 1.10L$ અને નવી પહોળાઈ $B' = B - 0.10B = 0.90B$ થશે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = L' \times B' = (1.10L) \times (0.90B) = 0.99LB = 0.99A_1$ થશે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $A_2 - A_1 = 0.99A_1 - A_1 = -0.01A_1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રફળમાં $1 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_1 = 6x$ અને મૂળ પહોળાઈ $B_1 = 5y$ છે.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = L_1 \times B_1 = 6x \times 5y = 30xy$ થાય.
ફેરફાર પછી,નવી લંબાઈ $L_2 = 7x$ અને નવી પહોળાઈ $B_2 = 4y$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = L_2 \times B_2 = 7x \times 4y = 28xy$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલો ફેરફાર મૂળ ક્ષેત્રફળ અને નવા ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 30xy : 28xy = 30 : 28$ દ્વારા મળે છે.
આ ગુણોત્તરને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $15 : 14$ મળે છે.

(C) ઘોડાઓને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર $r = 7 \, m$ લંબાઈના દોરડા વડે બાંધવામાં આવ્યા છે. દરેક ઘોડા દ્વારા ચરવામાં આવતો વિસ્તાર એ $r$ ત્રિજ્યા અને ત્રિકોણના તે ખૂણા જેટલો કેન્દ્રિય ખૂણો ધરાવતો વૃત્તાંશ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પરના ખૂણાઓ અનુક્રમે $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
કુલ ચરેલો વિસ્તાર $= A$ પરના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $+ B$ પરના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $+ C$ પરના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ
$= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \pi r^2$
$= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \pi r^2$
કારણ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,
કુલ ચરેલો વિસ્તાર $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi r^2$
$= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 11 \times 7 = 77 \, m^2$.