Measurement of Area Questions in Gujarati

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને કર્ણ $c = 20\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = 24\, cm$.
તેથી,$a + b + 20 = 2 \times 24 = 48$,જે આપણને $a + b = 28\, cm$ આપે છે $...(1)$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2 = 20^2 = 400$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
કિંમતો મૂકતા,$28^2 = 400 + 2ab$.
$784 = 400 + 2ab$,તેથી $2ab = 384$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 192$.
હવે,$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 28^2 - 4(192) = 784 - 768 = 16$.
આમ,$a - b = \sqrt{16} = 4\, cm$ $...(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2a = 32$,તેથી $a = 16\, cm$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$2b = 24$,તેથી $b = 12\, cm$.
આમ,બાકીની બે બાજુઓ $16\, cm$ અને $12\, cm$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x$,$4x$ અને $5x$ છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $36 \text{ cm}$ છે,તેથી:
$3x + 4x + 5x = 36$
$12x = 36$
$x = 3$
તેથી,બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
$a = 3(3) = 9 \text{ cm}$
$b = 4(3) = 12 \text{ cm}$
$c = 5(3) = 15 \text{ cm}$
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ મળે:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{2916} = 54 \text{ cm}^2$
વૈકલ્પિક રીતે,$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 50\, m$,$b = 78\, m$ અને $c = 112\, m$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 78 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120\, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{120(120-50)(120-78)(120-112)}$
$\text{Area} = \sqrt{120 \times 70 \times 42 \times 8}$
$\text{Area} = \sqrt{2822400} = 1680\, m^2$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા પણ મળે છે.
અહીં,પાયો $112\, m$ છે અને વેધ $h$ એ લંબની લંબાઈ છે.
$\frac{1}{2} \times 112 \times h = 1680$
$56 \times h = 1680$
$h = \frac{1680}{56} = 30\, m$.

(A) ધારો કે દીવાલ $AC$ છે અને જમીન $AB$ છે,જ્યાં $AC = 12\, m$ અને $AB = 5\, m$ છે.
નિસરણી કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ના કર્ણ $BC$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = AC^2 + AB^2$.
$BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
તેથી,$BC = \sqrt{169} = 13\, m$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $13\, m$ છે.

(C) ધારો કે નિસરણી $AC$ અને $CE$ છે,જ્યાં $AC = CE = 65 \ cm$ છે.
ધારો કે $AB = 63 \ cm$ એ એક બાજુની બારીની ઊંચાઈ છે અને $ED = 56 \ cm$ એ સામેની બાજુના બિંદુની ઊંચાઈ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BC^2 + AB^2 = AC^2$
$BC^2 + 63^2 = 65^2$
$BC^2 = 4225 - 3969 = 256$
$BC = \sqrt{256} = 16 \ cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CDE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$CD^2 + ED^2 = CE^2$
$CD^2 + 56^2 = 65^2$
$CD^2 = 4225 - 3136 = 1089$
$CD = \sqrt{1089} = 33 \ cm$.
તેથી,રસ્તાની પહોળાઈ $BD = BC + CD = 16 + 33 = 49 \ cm$ છે.

(C) $x$ પાયા અને $h$ વેધ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times x \times h$ દ્વારા મળે છે.
$x$ બાજુ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$\frac{1}{2} \times x \times h = x^2$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા અને $x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$):
$h = 2x$
તેથી,ત્રિકોણનો વેધ $2x$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો $3x$ છે અને ઊંચાઈ $4x$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $150 = \frac{1}{2} \times 3x \times 4x$.
$150 = 6x^{2}$.
$x^{2} = \frac{150}{6} = 25$.
$x = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,ઊંચાઈ $4x = 4 \times 5 = 20 \, m$ થાય.

(C) ખેતી કરવાનો કુલ ખર્ચ ₹ $495.72$ છે અને દર ₹ $36.72$ પ્રતિ હેક્ટર છે.
ખેતરનું ક્ષેત્રફળ હેક્ટરમાં $= \frac{495.72}{36.72} = 13.5 \text{ હેક્ટર}$.
$1 \text{ હેક્ટર} = 10,000 \, m^2$ હોવાથી,ચોરસ મીટરમાં ક્ષેત્રફળ $= 13.5 \times 10,000 = 135,000 \, m^2$ થાય.
ધારો કે ત્રિકોણાકાર ખેતરની ઊંચાઈ $h = x \, m$ છે.
તેથી,પાયો $b = 3x \, m$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = 135,000$.
$\frac{1}{2} \times 3x \times x = 135,000$.
$1.5x^2 = 135,000$.
$x^2 = \frac{135,000}{1.5} = 90,000$.
$x = \sqrt{90,000} = 300$.
આમ,ઊંચાઈ $= 300 \, m$ અને પાયો $= 3 \times 300 = 900 \, m$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની મૂળ બાજુઓ $a, b,$ અને $c$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{1}{2}(a + b + c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ છે.
જો બાજુઓ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી બાજુઓ $2a, 2b,$ અને $2c$ થાય છે.
નવી અર્ધ-પરિમિતિ $S = \frac{1}{2}(2a + 2b + 2c) = a + b + c = 2s$ છે.
નવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A' = \sqrt{S(S - 2a)(S - 2b)(S - 2c)}$ છે.
$S = 2s$ મૂકતા,આપણને $A' = \sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}$ મળે છે.
વર્ગમૂળની અંદરના દરેક પદમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢતા,$A' = \sqrt{2s \cdot 2(s - a) \cdot 2(s - b) \cdot 2(s - c)} = \sqrt{16s(s - a)(s - b)(s - c)}$ મળે છે.
$A' = 4 \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4A$.
આમ,ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું થાય છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 85 \, m$,$b = 154 \, m$ અને ત્રીજી બાજુ $c$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = 324 \, m$.
તેથી,$c = P - (a + b) = 324 - (85 + 154) = 324 - 239 = 85 \, m$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{P}{2} = \frac{324}{2} = 162 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{162(162-85)(162-154)(162-85)} = \sqrt{162 \times 77 \times 8 \times 77}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{162 \times 8 \times 77^2} = \sqrt{1296 \times 5929} = 36 \times 77 = 2772 \, m^2$.
ખેતર ખેડવાનો ખર્ચ ₹ $10$ પ્રતિ $m^2$ ના દરે $2772 \times 10 = ₹ 27720$ થાય.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં બાજુનું માપ $2 \sqrt{3} \text{ cm}$ આપેલું છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \sqrt{3})^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
ક્ષેત્રફળ $= 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $(h)$ અને બાજુની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = 2 \sqrt{3} \text{ cm}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{a}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$a = 4 \text{ cm}$.
તેથી,સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $4 \text{ cm}$ છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3 \times \text{બાજુ}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે,$3 \times \text{બાજુ} = 12\, m$.
તેથી,$\text{બાજુ} = \frac{12}{3} = 4\, m$.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
બાજુની કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}\, m^2$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3 \times \text{બાજુ} = 24 \, cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $\text{બાજુ} = \frac{24}{3} = 8 \, cm$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $(h)$ શોધવાનું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ}$ છે.
બાજુનું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \, cm$ મળે છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને કર્ણ $c = 39\, cm$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = a + b + c = 90\, cm$.
તેથી,$a + b + 39 = 90$,જેનો અર્થ છે કે $a + b = 51\, cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2 = 39^2 = 1521$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
કિંમતો મૂકતા: $51^2 = 1521 + 2ab$.
$2601 = 1521 + 2ab \Rightarrow 2ab = 1080 \Rightarrow ab = 540$.
હવે,આપણી પાસે $a + b = 51$ અને $ab = 540$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 51t + 540 = 0$ ના બીજ છે.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 - 4(540)}}{2} = \frac{51 \pm \sqrt{2601 - 2160}}{2} = \frac{51 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{51 \pm 21}{2}$.
$t_1 = \frac{72}{2} = 36$ અને $t_2 = \frac{30}{2} = 15$.
આમ,બાકીની બે બાજુઓ $36\, cm$ અને $15\, cm$ છે.

(B) ધારો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો $b$ છે અને દરેક સમાન બાજુ $a$ છે.
આપેલ છે કે $a = \frac{5}{8} b$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $2a + b = 306\, m$ છે.
પરિમિતિના સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $2(\frac{5}{8} b) + b = 306$.
$\frac{5}{4} b + b = 306 \Rightarrow \frac{9}{4} b = 306$.
$b = \frac{306 \times 4}{9} = 34 \times 4 = 136\, m$.
હવે,$a = \frac{5}{8} \times 136 = 5 \times 17 = 85\, m$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{136}{4} \sqrt{4(85)^2 - (136)^2}$.
ક્ષેત્રફળ $= 34 \sqrt{4(7225) - 18496} = 34 \sqrt{28900 - 18496}$.
ક્ષેત્રફળ $= 34 \sqrt{10404} = 34 \times 102 = 3468\, m^2$.

(C) સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે બે સમાન બાજુઓ $a$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $h = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ થાય.
અહીં કર્ણ $h = 8\, cm$ આપેલ છે,તેથી $a\sqrt{2} = 8$.
આમ,$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ થાય.
અહીં પાયો અને વેધ બંને $a$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a^2$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (16 \times 2) = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm^{2}$.

(B) ધારો કે સમાન બાજુ $= 5x$ અને પાયો $= 4x$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બે સમાન બાજુઓ સરખી હોય છે.
પરિમિતિ $= 5x + 5x + 4x = 14x$.
આપેલ પરિમિતિ $= 14 \ cm$ હોવાથી,$14x = 14 \Rightarrow x = 1$.
તેથી,બાજુઓ $5 \ cm, 5 \ cm$ અને $4 \ cm$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$,જ્યાં $a = 5$ અને $b = 4$.
$\text{Area} = \frac{4}{4} \sqrt{4(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \ cm^2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની મૂળ બાજુઓ $a, b,$ અને $c$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A$ હેરોનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
જ્યારે દરેક બાજુમાં $200 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી બાજુઓ $a' = a + 2a = 3a$,$b' = b + 2b = 3b$,અને $c' = c + 2c = 3c$ બને છે.
નવી અર્ધ-પરિમિતિ $s'$ એ $s' = \frac{3a+3b+3c}{2} = 3 \left( \frac{a+b+c}{2} \right) = 3s$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ $A' = \sqrt{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')} = \sqrt{3s(3s-3a)(3s-3b)(3s-3c)}$ છે.
વર્ગમૂળની અંદરના દરેક પદમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા: $A' = \sqrt{3s \cdot 3(s-a) \cdot 3(s-b) \cdot 3(s-c)} = \sqrt{81 \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)} = 9 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 9A$.
ક્ષેત્રફળમાં વધારો $A' - A = 9A - A = 8A$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{8A}{A} \times 100 \% = 800 \%$ છે.

(C) ધારો કે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની લંબાઈ $x \text{ m}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + x^2 = (50 \sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 2500 \times 2 = 5000$.
$x^2 = 2500$,તેથી $x = 50 \text{ m}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + x + 50 \sqrt{2} = 50 + 50 + 50 \times 1.414 = 100 + 70.7 = 170.7 \text{ m}$.
વાડ બનાવવાનો કુલ ખર્ચ $170.7 \times 3 = ₹512.1$ થશે.
અહીં $512.1 > 500$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ ₹$500$ થી વધુ છે.

(D) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનો પાયો $b$ અને સમાન બાજુઓ $a$ હોય તેનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ છે.
અહીં $b = 16 \, cm$ અને $a = 10 \, cm$ આપેલ છે:
$\text{Area} = \frac{16}{4} \sqrt{4(10)^2 - (16)^2} = 4 \sqrt{400 - 256} = 4 \sqrt{144} = 4 \times 12 = 48 \, cm^2$.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $s$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ થાય.
બંને ક્ષેત્રફળ સરખાવતા: $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = 48$.
$s^2 = \frac{48 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{192}{1.732} \approx 110.85$.
$s = \sqrt{110.85} \approx 10.53 \, cm$.
આમ,$10.53$ એ $10.5$ ની બરાબર નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(C) ધારો કે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x \, m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $h = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ થાય.
પરિમિતિ $P$ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + x + x\sqrt{2} = 2x + x\sqrt{2} = x(2 + \sqrt{2})$.
આને $P = x\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) = h(\sqrt{2} + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ પરિમિતિ $P = 4\sqrt{2} + 4 = 4(\sqrt{2} + 1) \, m$ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $h(\sqrt{2} + 1) = 4(\sqrt{2} + 1)$.
તેથી,કર્ણ $h = 4 \, m$ મળે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $a = 60 \, m$ અને $b = 40 \, m$ છે,અને વિકર્ણ $d = 80 \, m$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ બે બાજુઓ અને વિકર્ણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું હોય છે.
પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + d}{2} = \frac{60 + 40 + 80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$
$= \sqrt{90(90-60)(90-40)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 30 \times 50 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300 \sqrt{15} \, m^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે:
$\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = 2 \times 300 \sqrt{15} = 600 \sqrt{15} \, m^2$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં, પાયો એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ છે, જે $14\, cm$ છે.
સામેની બાજુથી તેનું અંતર એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ (વેધ) છે, જે $16\, cm$ છે.
તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ} = 14\, cm \times 16\, cm = 224\, cm^2$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $a = 65 \, m$,$b = 119 \, m$ અને વિકર્ણ $d = 156 \, m$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ આ ત્રણ બાજુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય છે.
પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + d}{2} = \frac{65 + 119 + 156}{2} = \frac{340}{2} = 170 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$
$= \sqrt{170(170-65)(170-119)(170-156)}$
$= \sqrt{170 \times 105 \times 51 \times 14}$
$= \sqrt{12751200} = 3570 \, m^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 3570 = 7140 \, m^2$.
કાંકરી પાથરવાનો ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 7140 \times 10 = ₹ 71400$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$ છે.
અહીં,$\text{પાયો} = 10\, m$ અને $\text{વેધ} = 7\, m$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 10\, m \times 7\, m = 70\, m^2$ થાય.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પાયો અને તેને અનુરૂપ વેધ (સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર) ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે。
ધારો કે બાજુઓ $a = 8\, m$ અને $b = 5\, m$ છે。
લાંબી બાજુઓ $(8\, m)$ વચ્ચેનું અંતર $h_1 = 4\, m$ આપેલ છે。
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 8\, m \times 4\, m = 32\, m^2$.
ધારો કે ટૂંકી બાજુઓ $(5\, m)$ વચ્ચેનું અંતર $h_2$ છે。
ક્ષેત્રફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$5\, m \times h_2 = 32\, m^2$.
$h_2 = \frac{32}{5} = 6.4\, m$.
આમ,ટૂંકી બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર $6.4\, m$ છે。

(C) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d \times (p_{1} + p_{2})$,જ્યાં $d$ એ વિકર્ણની લંબાઈ છે અને $p_{1}, p_{2}$ એ સામેના શિરોબિંદુઓમાંથી વિકર્ણ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 420 \, m^{2}$,$p_{1} = 18 \, m$,અને $p_{2} = 12 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$420 = \frac{1}{2} \times d \times (18 + 12)$
$420 = \frac{1}{2} \times d \times 30$
$420 = 15 \times d$
$d = \frac{420}{15}$
$d = 28 \, m$.
આમ,વિકર્ણની લંબાઈ $28 \, m$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો $x \, cm$ છે.
આપેલ છે કે વેધ તેના અનુરૂપ પાયા કરતાં બમણો છે,તેથી વેધ $2x \, cm$ થશે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $72 = x \times 2x$.
$72 = 2x^{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^{2} = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = 6$.
તેથી,પાયાની લંબાઈ $6 \, cm$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
અહીં આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $240 \, cm^{2}$ છે અને ઊંચાઈ $12 \, cm$ છે.
ધારો કે પાયો $x \, cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $240 = x \times 12$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,બંને બાજુને $12$ વડે ભાગતા: $x = \frac{240}{12} = 20 \, cm$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો $20 \, cm$ છે.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta ABC$ અને $\Delta ADC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\Delta ABC$ માટે,બાજુઓ $a = 20\, m, b = 13\, m, c = 21\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = \frac{20 + 13 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\, m$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{27(27 - 20)(27 - 13)(27 - 21)} = \sqrt{27 \times 7 \times 14 \times 6} = \sqrt{15876} = 126\, m^2$.
$\Delta ADC$ માટે,બાજુઓ $a = 10\, m, b = 17\, m, c = 21\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24\, m$.
$\Delta ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84\, m^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 126\, m^2 + 84\, m^2 = 210\, m^2$.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC = 72 \, cm$ અને $BD = 30 \, cm$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$OA = OC = \frac{72}{2} = 36 \, cm$ અને $OB = OD = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$ દ્વારા મળે છે.
$s = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,પરિમિતિ $4 \times 39 = 156 \, cm$ થાય.
નોંધ: જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો કાટખૂણે દુભાગતા હોય તો તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
આપેલ છે કે,$\text{પાયો} = (x+4)$,$\text{વેધ} = (x-3)$ અને $\text{ક્ષેત્રફળ} = (x^{2}-4)$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x^{2}-4) = (x+4)(x-3)$
$x^{2}-4 = x^{2} - 3x + 4x - 12$
$x^{2}-4 = x^{2} + x - 12$
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$-4 = x - 12$
$x = 12 - 4 = 8$.
હવે,ક્ષેત્રફળના પદમાં $x = 8$ મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = x^{2}-4 = (8)^{2}-4 = 64 - 4 = 60$ ચોરસ એકમ.

(B) કોઈપણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે જેની પાસપાસેની બાજુઓ $a$ અને $b$ હોય અને વિકર્ણો $d_1$ અને $d_2$ હોય,તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ આ મુજબ છે: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.
અહીં $a = 12\, cm$,$b = 14\, cm$,અને $d_1 = 16\, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$16^2 + d_2^2 = 2(12^2 + 14^2)$
$256 + d_2^2 = 2(144 + 196)$
$256 + d_2^2 = 2(340)$
$256 + d_2^2 = 680$
$d_2^2 = 680 - 256 = 424$
$d_2 = \sqrt{424} \approx 20.59\, cm \approx 20.6\, cm$.

(B) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં $A = 154 \, m^{2}$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$\frac{22}{7} \times r^{2} = 154$
$r^{2} = 154 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$
$r = \sqrt{49} = 7 \, m$.
વર્તુળની પરિમિતિ (પરિઘ) શોધવાનું સૂત્ર $P = 2 \pi r$ છે.
$P = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44 \, m$.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે અને વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વર્તુળની પરિમિતિ અને ચોરસની પરિમિતિ સમાન છે:
$2 \pi r = 4x$
$x = \frac{\pi r}{2}$
હવે,આપણે વર્તુળના ક્ષેત્રફળ $(A_c = \pi r^2)$ અને ચોરસના ક્ષેત્રફળ $(A_s = x^2)$ ની તુલના કરીએ:
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{x^2} = \frac{\pi r^2}{(\frac{\pi r}{2})^2} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}}$
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{4}{\pi} = \frac{4}{22/7} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
આમ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $14: 11$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $3x \, m$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(l + b)$ છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $96 \, m$ છે,તેથી $2(3x + x) = 96$.
$2(4x) = 96 \Rightarrow 8x = 96$.
$x = 12 \, m$.
આમ,પહોળાઈ $12 \, m$ છે અને લંબાઈ $3 \times 12 = 36 \, m$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 36 \times 12 = 432 \, m^2$ થાય.

(D) ગાયને લંબચોરસ ખેતરના ખૂણે બાંધેલી હોવાથી,તે જે વિસ્તારમાં ચરી શકે છે તે એક વર્તુળનો વૃત્તાંશ બનાવે છે,જેની ત્રિજ્યા $r = 14\, m$ છે અને કેન્દ્રિય ખૂણો $90^{\circ}$ છે (કારણ કે લંબચોરસનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$.
$\text{Area} = \frac{1}{4} \times 22 \times 28$.
$\text{Area} = 154\, m^2$.

(C) સ્કૂટરની ઝડપ $66\, km/h$ છે.
એક મિનિટમાં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,ઝડપને $cm/min$ માં ફેરવો:
પ્રતિ મિનિટ અંતર $= \frac{66 \times 1000 \times 100}{60} = 110000\, cm/min$.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે:
પરિઘ $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220\, cm$.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણની સંખ્યા એ એક મિનિટમાં કાપેલા કુલ અંતરને એક પરિભ્રમણમાં કાપેલા અંતર વડે ભાગવાથી મળે છે:
પરિભ્રમણની સંખ્યા $= \frac{110000}{220} = 500$.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ બગીચા માટે,વ્યાસ $16 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = 16 / 2 = 8 \ m$ થાય.
પ્રથમ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (8)^2 = 64\pi \ m^2$ થાય.
બીજા બગીચા માટે,વ્યાસ $12 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_2 = 12 / 2 = 6 \ m$ થાય.
બીજા બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (6)^2 = 36\pi \ m^2$ થાય.
બંને બગીચાઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{total} = 64\pi + 36\pi = 100\pi \ m^2$ થાય.
ધારો કે નવા બગીચાની ત્રિજ્યા $R$ છે. નવો બગીચો તેટલી જ જગ્યા રોકતો હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ બે નાના બગીચાઓના કુલ ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\pi R^2 = 100\pi$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10 \ m$.
તેથી,નવા બગીચાની ત્રિજ્યા $10 \ m$ હશે.

(C) લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ $L = 65\, m$ અને પહોળાઈ $W = 50\, m$ છે.
રસ્તાઓની પહોળાઈ $w = 2\, m$ છે.
લંબાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $L \times w = 65 \times 2 = 130\, m^2$ છે.
પહોળાઈને સમાંતર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $W \times w = 50 \times 2 = 100\, m^2$ છે.
કારણ કે બંને રસ્તાઓ કેન્દ્રમાં એકબીજાને છેદે છે,તેથી છેદનબિંદુનું ક્ષેત્રફળ $w^2 = 2 \times 2 = 4\, m^2$ જેટલું ચોરસ છે.
રસ્તાઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ $(130 + 100 - 4) = 226\, m^2$ છે.
બાંધકામનો કુલ ખર્ચ $226 \times 17.25 = ₹ 3898.50$ થાય.

(D) સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ (તેમની વચ્ચેનું અંતર) છે.
આપેલ છે: $\text{Area} = 2500 \, m^2$,$a = 75 \, m$,અને $h = 40 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2500 = \frac{1}{2} \times (75 + b) \times 40$
$2500 = (75 + b) \times 20$
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા:
$125 = 75 + b$
$b = 125 - 75$
$b = 50 \, m$.
તેથી,બીજી સમાંતર બાજુની લંબાઈ $50 \, m$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \, cm$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $(x + 3) \, cm$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષેત્રફળનું આંકડાકીય મૂલ્ય અને પરિમિતિનું આંકડાકીય મૂલ્ય સમાન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = x(x + 3) \, cm^2$.
પરિમિતિ $= 2(\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) = 2(x + 3 + x) = 2(2x + 3) = (4x + 6) \, cm$.
બંનેને સરખાવતા: $x(x + 3) = 4x + 6$.
$x^2 + 3x = 4x + 6$.
$x^2 - x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે.
પહોળાઈ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી પહોળાઈ $3 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે બે ચોરસની બાજુઓ અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \text{side}^2$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{x^2}{y^2} = \frac{9}{1}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ મળે છે.
ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $\text{Perimeter} = 4 \times \text{side}$ છે.
તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{4x}{4y} = \frac{x}{y}$ થાય.
$\frac{x}{y}$ ની કિંમત મૂકતા,પરિમિતિનો ગુણોત્તર $3: 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે રસ્તાની પહોળાઈ $x$ (મીટરમાં) છે.
અંદરના ચોરસની બાજુ $30\, m$ છે.
બહારના ચોરસની બાજુ $(30 + 2x)\, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના ચોરસના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના ચોરસના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= (30 + 2x)^2 - 30^2 = 256$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $(900 + 120x + 4x^2) - 900 = 256$.
$4x^2 + 120x = 256$.
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 30x = 64$.
$x^2 + 30x - 64 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 32)(x - 2) = 0$.
આથી $x = -32$ અથવા $x = 2$ મળે.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 2\, m$ છે.

(C) વાછરડા દ્વારા ચરાયેલ વિસ્તાર એ દોરડાની લંબાઈને ત્રિજ્યા ગણીને બનતા વર્તુળનો વિસ્તાર છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $(r_1)$ = $12 \ m$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $(r_2)$ = $23 \ m$.
વધારાનો ચરાયેલ વિસ્તાર = $r_2$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો વિસ્તાર - $r_1$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો વિસ્તાર.
વધારાનો વિસ્તાર = $\pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi(r_2^2 - r_1^2)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
વધારાનો વિસ્તાર = $\pi(23 - 12)(23 + 12) = \pi(11)(35)$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
વધારાનો વિસ્તાર = $\frac{22}{7} \times 11 \times 35 = 22 \times 11 \times 5 = 1210 \ m^2$.

(B) જ્યારે $r = 7\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાર વર્તુળોને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે દરેક વર્તુળ અન્ય બેને સ્પર્શે,ત્યારે તેમના કેન્દ્રો $s = 2r = 14\, cm$ બાજુવાળા ચોરસ બનાવે છે.
આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = 14 \times 14 = 196\, cm^2$ છે.
ચાર ટુકડાઓ દ્વારા ઘેરાયેલી જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી ચોરસની અંદર રહેલા ચાર વૃતાંશ (quadrants) ના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે.
દરેક વૃતાંશનો ખૂણો $90^\circ$ છે. ચાર વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times (\frac{90}{360} \times \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154\, cm^2$ થાય.
તેથી,જરૂરી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $196 - 154 = 42\, cm^2$ છે.

(C) ખેતી કરવાનો કુલ ખર્ચ ₹ $6000$ છે અને દર $25$ પૈસા પ્રતિ ચોરસ મીટર છે.
$100$ પૈસા $= ₹ 1$ હોવાથી,દર ₹ $0.25$ પ્રતિ $m^2$ થાય.
ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{6000}{0.25} = 24000 \, m^2$.
ધારો કે લંબાઈ $5x$ અને પહોળાઈ $3x$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
તેથી,$5x \times 3x = 24000$.
$15x^2 = 24000$.
$x^2 = \frac{24000}{15} = 1600$.
$x = \sqrt{1600} = 40$.
તેથી,લંબાઈ $= 5 \times 40 = 200 \, m$ અને પહોળાઈ $= 3 \times 40 = 120 \, m$.

(C) કાર્પેટ બિછાવવાનો કુલ ખર્ચ ₹ $105$ છે અને દર ₹ $3.50$ પ્રતિ $m^2$ છે.
કાર્પેટનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{105}{3.50} = 30 \ m^2$.
કાર્પેટનું ક્ષેત્રફળ એ રૂમના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવાથી,રૂમનું ક્ષેત્રફળ $30 \ m^2$ થાય.
રૂમની પહોળાઈ $5 \ m$ આપેલી છે.
રૂમનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
$30 = \text{લંબાઈ} \times 5$.
લંબાઈ = $\frac{30}{5} = 6 \ m$.

(A) લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{28000}{3500} = 8$ હેક્ટર.
$1$ હેક્ટર $= 10000 \text{ m}^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 10000 = 80000 \text{ m}^2$ થાય.
ધારો કે પહોળાઈ $x$ મીટર છે અને લંબાઈ $2x$ મીટર છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 2x \times x = 2x^2$.
$2x^2 = 80000 \implies x^2 = 40000 \implies x = 200 \text{ m}$.
પહોળાઈ $= 200 \text{ m}$,લંબાઈ $= 400 \text{ m}$.
પરિમિતિ $= 2(\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) = 2(400 + 200) = 2(600) = 1200 \text{ m}$.
વાડ બનાવવાનો ખર્ચ $= 1200 \times 5 = ₹ 6000$.