Measurement of Area Questions in Gujarati

(C) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 121 \, cm^2$.
ચોરસની બાજુ $= \sqrt{121} = 11 \, cm$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 11 = 44 \, cm$.
તાર સમાન હોવાથી,ચોરસની પરિમિતિ એ વર્તુળના પરિઘ જેટલી થશે.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 44 \, cm$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$.
$r = \frac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે કે,વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ અને વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= 154 \, cm^2$.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times 154 = 38.5 \, cm^2$.
વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ અને વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર એ કેન્દ્ર આગળના ખૂણા $\theta$ અને $360^{\circ}$ ના ગુણોત્તર જેટલો હોવાથી,$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$,જે દર્શાવે છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
હવે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધીએ: $\pi r^2 = 154 \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7 \, cm$.
વૃતાંશની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r + 2r$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 + 2 \times 7$.
$P = \frac{1}{4} \times 44 + 14 = 11 + 14 = 25 \, cm$.

(A) ચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો તેમની બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
સરવાળો $= 20^2 + 21^2 + \ldots + 29^2$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \sum_{k=1}^{29} k^2 - \sum_{k=1}^{19} k^2$
$= \frac{29(29+1)(2 \times 29 + 1)}{6} - \frac{19(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6}$
$= \frac{29 \times 30 \times 59}{6} - \frac{19 \times 20 \times 39}{6}$
$= (29 \times 5 \times 59) - (19 \times 10 \times 13)$
$= 8555 - 2470 = 6085 \, cm^2$.

(B) ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2x, 4x, 7x,$ અને $5x$ છે.
$2x + 4x + 7x + 5x = 18x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 18 = 20^{\circ}$.
ચતુષ્કોણનો સૌથી નાનો ખૂણો $2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણનો સૌથી નાનો ખૂણો ચતુષ્કોણના સૌથી નાના ખૂણા જેટલો હોવાથી,ત્રિકોણનો સૌથી નાનો ખૂણો $40^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણનો બીજો ખૂણો સૌથી નાના ખૂણા કરતા બમણો છે,એટલે કે $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
ત્રીજો ખૂણો $180^{\circ} - (40^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $40^{\circ}, 60^{\circ},$ અને $80^{\circ}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનો બીજા ક્રમનો સૌથી મોટો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(D) ચોરસની બાજુ $= \sqrt{1024\, cm^2} = 32\, cm$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $= 2 \times 32\, cm = 64\, cm$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $= 32\, cm - 12\, cm = 20\, cm$ છે.
લંબાઈ અને પહોળાઈનો જરૂરી ગુણોત્તર $= 64 : 20$ છે.
બંને પદોને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $16 : 5$ મળે છે.

(A) લંબચોરસની પરિમિતિ $= 2 \times (8 + 7) = 2 \times 15 = 30 \, cm$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 2 \times 30 = 60 \, cm$.
ચોરસની બાજુ $= 60 / 4 = 15 \, cm$.
અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો છે,તેથી $d = 15 \, cm$,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r = 7.5 \, cm$.
અર્ધવર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = \pi r + d$ છે.
$C = (22 / 7) \times 7.5 + 15$.
$C = 23.5714 + 15 = 38.5714 \, cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $38.57 \, cm$ મળે છે.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના વર્તુળ માટે,$2 \times \frac{22}{7} \times r_1 = 132 \implies r_1 = \frac{132 \times 7}{44} = 21 \text{ m}$.
મોટા વર્તુળ માટે,$2 \times \frac{22}{7} \times r_2 = 176 \implies r_2 = \frac{176 \times 7}{44} = 28 \text{ m}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળો વચ્ચેનો તફાવત $\pi(r_2^2 - r_1^2) = \frac{22}{7} \times (28^2 - 21^2)$ છે.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{22}{7} \times (28 - 21)(28 + 21) = \frac{22}{7} \times 7 \times 49$ મળે છે.
તફાવત $= 22 \times 49 = 1078 \text{ m}^2$.