Measurement of Area Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ખેતરની લંબાઈ $6x \, m$ અને પહોળાઈ $5x \, m$ છે.
આપેલ છે કે લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $27000 \, m^2$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ હોવાથી:
$6x \times 5x = 27000$
$30x^2 = 27000$
$x^2 = \frac{27000}{30} = 900$
$x = \sqrt{900} = 30$
તેથી,લંબાઈ $6 \times 30 = 180 \, m$ અને પહોળાઈ $5 \times 30 = 150 \, m$ થાય.

(C) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{ચાપની લંબાઈ} \times \text{ત્રિજ્યા}$.
અહીં,$\text{ચાપની લંબાઈ} = 3.5 \, cm$ અને $\text{ત્રિજ્યા} = 5 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5 \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{17.5}{2} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 8.75 \, cm^2$.

(C) ધારો કે પ્લોટની પહોળાઈ $w \, m$ છે. તો પ્લોટની લંબાઈ $l = 2w \, m$ થશે。
પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $= l \times w = (2w) \times w = 2w^2 \, m^2$.
આપેલ છે કે $150 \, m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો જમીનનો ચોરસ ટુકડો પ્લોટના કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{3}$ ભાગ જેટલી જગ્યા રોકે છે。
તેથી,$\frac{1}{3} \times (\text{પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ}) = 150 \, m^2$.
પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $= 150 \times 3 = 450 \, m^2$.
ક્ષેત્રફળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2w^2 = 450$.
$w^2 = 225$.
$w = \sqrt{225} = 15 \, m$.
પ્લોટની લંબાઈ $l = 2w = 2 \times 15 = 30 \, m$ છે.

(B) અર્ધવર્તુળના આકારમાં વાળેલા તારની લંબાઈ એ અર્ધવર્તુળની પરિમિતિ જેટલી હોય છે.
અર્ધવર્તુળની પરિમિતિનું સૂત્ર: $P = \pi r + 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 7 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$P = (\frac{22}{7} \times 7) + (2 \times 7)$
$P = 22 + 14$
$P = 36 \, cm$.
તેથી,તારની લંબાઈ $36 \, cm$ થશે.

(B) ધારો કે બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે અને અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ એ ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે $(R - r)$ છે.
બહારના વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi R$ છે અને અંદરના વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi r$ છે.
આપેલ છે કે પરિઘ વચ્ચેનો તફાવત $66 \, m$ છે:
$2 \pi R - 2 \pi r = 66$
$2 \pi (R - r) = 66$
$2 \times \frac{22}{7} \times (R - r) = 66$
$(R - r) = 66 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{2}$
$(R - r) = 3 \times 7 \times \frac{1}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \, m$.
આમ,રસ્તાની પહોળાઈ $10.5 \, m$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ છે કે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 50$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
$a^2 = 50$ મૂકતા,આપણને $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,વિકર્ણ $d = (5\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 10$ એકમ થાય.
વર્તુળ તેના વિકર્ણ પર વ્યાસ તરીકે દોરવામાં આવ્યું છે,તેથી વર્તુળનો વ્યાસ $10$ એકમ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = d/2 = 10/2 = 5$ એકમ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) લંબચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $Area_{rect} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4 \, cm \times 2 \, cm = 8 \, cm^{2}$ છે.
લંબચોરસમાંથી શક્ય હોય તેટલા મોટા ક્ષેત્રફળવાળું વર્તુળ કાપવા માટે,વર્તુળનો વ્યાસ લંબચોરસની નાની બાજુ જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં,નાની બાજુ $2 \, cm$ છે,તેથી વ્યાસ $d = 2 \, cm$,જેનો અર્થ છે કે ત્રિજ્યા $r = 1 \, cm$ છે.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $Area_{circle} = \pi r^{2} = \pi \times (1)^{2} = \pi \, cm^{2}$ થાય.
બાકી રહેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ અને વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$Area_{remaining} = Area_{rect} - Area_{circle} = 8 - \pi \, cm^{2}$.

(B) ધારો કે નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ આપેલા ત્રણ વર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું છે.
$\pi R^{2} = \pi(22)^{2} + \pi(19)^{2} + \pi(8)^{2}$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R^{2} = 22^{2} + 19^{2} + 8^{2}$
$R^{2} = 484 + 361 + 64$
$R^{2} = 909$
$R = \sqrt{909} \approx 30.15$
નજીકના $cm$ માં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $R = 30\, cm$ મળે છે.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $b$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = l \times b$ છે.
લંબાઈમાં $33.33 \%$ નો વધારો થાય છે,જે $\frac{1}{3}$ ના વધારા બરાબર છે.
નવી લંબાઈ $l' = l + \frac{1}{3}l = \frac{4}{3}l$ થશે.
ધારો કે નવી પહોળાઈ $b'$ છે. ક્ષેત્રફળ સમાન રાખવા માટે,$l \times b = l' \times b'$ હોવું જોઈએ.
$l \times b = \frac{4}{3}l \times b'$.
$b' = \frac{3}{4}b = 0.75b$ મળે.
પહોળાઈમાં ઘટાડો $b - b' = b - 0.75b = 0.25b$ છે.
પહોળાઈમાં ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{0.25b}{b} \times 100 \% = 25 \%$ થાય.

(D) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\text{લંબાઈ} = 6.4 \, m$ અને $\text{પહોળાઈ} = 2.5 \, m$.
$\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = 6.4 \, m \times 2.5 \, m = 16 \, m^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
તેથી,$\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = 16 \, m^2$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બાજુ}^2$ હોવાથી,$\text{બાજુ}^2 = 16 \, m^2$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,$\text{બાજુ} = \sqrt{16} \, m = 4 \, m$.
આમ,ચોરસની દરેક બાજુનું માપ $4 \, m$ છે.

(D) મોટા વર્તુળનો વ્યાસ $10\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 10/2 = 5\, cm$ થાય.
નાના વર્તુળનો વ્યાસ $8\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 8/2 = 4\, cm$ થાય.
બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \pi R^2 - \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \pi(5)^2 - \pi(4)^2$.
$\text{Area} = 25\pi - 16\pi = 9\pi\, cm^2$.

(B) લંબચોરસ રૂમની લંબાઈ $4\, m$ છે.
જ્યારે રૂમને બે સમાન ચોરસ રૂમમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે લંબચોરસની લંબાઈને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવી પડે છે જે ચોરસની બાજુઓ બનાવે છે.
દરેક ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4\, m / 2 = 2\, m$ થશે.
વિભાજન એ રેખાખંડ છે જે લંબચોરસને બે ભાગમાં વહેંચે છે,જે ચોરસની બાજુની લંબાઈ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,વિભાજનની લંબાઈ $2\, m$ છે.

(C) ધારો કે લંબાઈ $a \, m$ અને પહોળાઈ $b \, m$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $2(a + b) = 46 \, m$ છે.
તેથી,$a + b = 23 \, m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a \times b = 120 \, m^{2}$ છે.
વિકર્ણની લંબાઈ $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $a^{2} + b^{2} = (23)^{2} - 2(120) = 529 - 240 = 289$.
આમ,વિકર્ણ $d = \sqrt{289} = 17 \, m$ થાય.

(C) ચોરસની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર $P = 4 \times \text{બાજુ}$ છે.
અહીં બાજુનું માપ $22 \, m$ આપેલું છે,તેથી પરિમિતિ $P = 4 \times 22 \, m = 88 \, m$ થાય.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વર્તુળનો પરિઘ ચોરસની પરિમિતિ જેટલો છે,તેથી $2 \pi r = 88 \, m$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$.
$r = 88 \times \frac{7}{2 \times 22} = 88 \times \frac{7}{44} = 2 \times 7 = 14 \, m$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $14 \, m$ છે.

(C) દરેક આકારની પરિમિતિ $P = 132 \, cm$ છે.
$1$. સમબાજુ ત્રિકોણ માટે: $3a = 132 \implies a = 44 \, cm$. ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 44^2 \approx 838.31 \, cm^2$.
$2$. ચોરસ માટે: $4a = 132 \implies a = 33 \, cm$. ક્ષેત્રફળ $= a^2 = 33^2 = 1089 \, cm^2$.
$3$. નિયમિત ષટ્કોણ માટે: $6a = 132 \implies a = 22 \, cm$. ક્ષેત્રફળ $= \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 22^2 \approx 1257.47 \, cm^2$.
$4$. વર્તુળ માટે: $2\pi r = 132 \implies r = \frac{132}{2 \times (22/7)} = 21 \, cm$. ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21^2 = 1386 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળોની સરખામણી કરતા: $838.31 < 1089 < 1257.47 < 1386$. તેથી,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે.

(C) ધારો કે નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
તેથી,મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 12r$ થશે.
નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
મોટા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2 = \pi (12r)^2 = 144\pi r^2$ છે.
મોટા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ નાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતા કેટલા ગણું છે તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{144\pi r^2}{\pi r^2} = 144$.
આમ,મોટા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ નાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતા $144$ ગણું છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળનો પરિઘ = ચોરસની પરિમિતિ:
$2 \pi r = 4a$
$r = \frac{4a}{2 \pi} = \frac{2a}{\pi}$
હવે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2$ અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને ચોરસના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi (\frac{2a}{\pi})^2}{a^2}$
$= \frac{\pi \cdot \frac{4a^2}{\pi^2}}{a^2} = \frac{4}{\pi}$
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા:
$= \frac{4}{22/7} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
આમ,ગુણોત્તર $14: 11$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $x \ ft$ છે. તો,પ્લોટની લંબાઈ $3x \ ft$ થશે.
પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 3x \times x = 3x^2 \ ft^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $1200 \ ft^2$ નું રમતનું મેદાન પ્લોટના કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગમાં છે.
તેથી,$\frac{1}{4} \times \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} = 1200 \ ft^2$.
$\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} = 1200 \times 4 = 4800 \ ft^2$.
ક્ષેત્રફળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $3x^2 = 4800$.
$x^2 = \frac{4800}{3} = 1600$.
$x = \sqrt{1600} = 40 \ ft$.
લંબાઈ $3x$ હોવાથી,લંબાઈ $= 3 \times 40 = 120 \ ft$ થાય.

(B) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \text{side}^2$ છે.
ધારો કે ચોરસ $s_{1}$ અને $s_{2}$ ની બાજુઓ અનુક્રમે $a_{1}$ અને $a_{2}$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{a_{1}^2}{a_{2}^2} = \frac{4}{25}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$.
આપેલ છે કે $s_{1}$ ની બાજુ $(a_{1})$ $6 \text{ cm}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ: $\frac{6}{a_{2}} = \frac{2}{5}$.
$a_{2}$ માટે ઉકેલતા: $a_{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 3 \times 5 = 15 \text{ cm}$.
તેથી,$s_{2}$ ની બાજુનું માપ $15 \text{ cm}$ છે.

(B) પૈડાનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 70\, cm = 440\, cm$ થાય.
$10$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 10 \times 440\, cm = 4400\, cm = 44\, m$ થાય.
લાગતો સમય $5\, seconds$ છે.
ઝડપ ($m/s$ માં) $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{44}{5}\, m/s = 8.8\, m/s$ થાય.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{18}{5}$ વડે ગુણીએ છીએ:
ઝડપ $= 8.8 \times \frac{18}{5}\, km/h = 31.68\, km/h$.

(D) ધારો કે કાર્પેટની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે. આપેલ છે કે,$l \times b = 60 \, m^{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,વિકર્ણ $d = \sqrt{l^{2} + b^{2}}$,તેથી $d^{2} = l^{2} + b^{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$d + l = 5b$,જેનો અર્થ છે કે $d = 5b - l$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$d^{2} = (5b - l)^{2} = 25b^{2} + l^{2} - 10bl$.
$d^{2} = l^{2} + b^{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $l^{2} + b^{2} = 25b^{2} + l^{2} - 10bl$.
સાદુરૂપ આપતા,$b^{2} = 25b^{2} - 10(60)$,જે $24b^{2} = 600$ આપે છે.
આમ,$b^{2} = 25$,તેથી $b = 5 \, m$.
કારણ કે $l \times b = 60$,તેથી $l = 60 / 5 = 12 \, m$.

(B) રમતનું મેદાન એક લંબચોરસ અને તેની નાની બાજુઓ પરના બે અર્ધવર્તુળોનું બનેલું છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $(l)$ $= 36 \, m$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $(b)$ $= 24.5 \, m$.
દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $= 24.5 \, m$.
દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ $= \frac{24.5}{2} = 12.25 \, m$.
મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $+$ બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ
મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= (l \times b) + \pi r^2$
મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= (36 \times 24.5) + \left( \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12.25 \right)$
મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= 882 + \left( \frac{22}{7} \times 150.0625 \right)$
મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= 882 + 471.625 = 1353.625 \, m^2$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 50\, m$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 50 = 314\, m$ છે.
$10$ ચક્કર માટે કાપેલું કુલ અંતર $D = 10 \times C = 10 \times 314 = 3140\, m$ છે.
માણસની ઝડપ $v = 12\, km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
$v = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\, m/s$.
સેકન્ડમાં લાગતો સમય $t = \frac{D}{v} = \frac{3140}{10/3} = 3140 \times \frac{3}{10} = 314 \times 3 = 942\, s$.
સમયને મિનિટમાં ફેરવવા માટે, $60$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{942}{60} = 15.7\, \text{મિનિટ}$.

(D) રૂમનું માપ $5\, m$ અને $8\, m$ છે.
દરેક ચાર દીવાલથી $10\, cm$ $(0.1\, m)$ ની જગ્યા છોડવામાં આવે છે.
તેથી,કાર્પેટવાળા વિસ્તારની લંબાઈ $= 8\, m - (0.1\, m + 0.1\, m) = 8 - 0.2 = 7.8\, m$.
કાર્પેટવાળા વિસ્તારની પહોળાઈ $= 5\, m - (0.1\, m + 0.1\, m) = 5 - 0.2 = 4.8\, m$.
કાર્પેટ બિછાવવાનો વિસ્તાર $= 7.8\, m \times 4.8\, m = 37.44\, m^2$.
કાર્પેટ બિછાવવાનો કુલ ખર્ચ $= 37.44\, m^2 \times ₹ 18/m^2 = ₹ 673.92$.

(B) ધારો કે મોટા લંબચોરસની લંબાઈ $L$ છે અને પહોળાઈ $W_1 = 2 \ m$ છે.
મોટા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= L \times W_1 = L \times 2 = 2L \ m^2$.
ધારો કે નાના લંબચોરસની લંબાઈ $L$ છે (પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ સમાન છે) અને પહોળાઈ $W_2$ છે.
નાના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= L \times W_2$.
પ્રશ્ન મુજબ,મોટા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને નાના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
તેથી,$2L = L \times W_2$.
બંને બાજુ $L$ વડે ભાગતા ($L \neq 0$ ધારીને),આપણને $W_2 = 2 \ m$ મળે છે.
આમ,નાના લંબચોરસની પહોળાઈ $2 \ m$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે.
મૂળ પરિઘ $C_1 = 2 \pi r$ છે.
જો ત્રિજ્યામાં $40 \%$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = r - 0.40r = 0.60r$ થાય.
નવો પરિઘ $C_2 = 2 \pi (0.60r) = 1.2 \pi r$ થાય.
પરિઘમાં થયેલ ઘટાડો $C_1 - C_2 = 2 \pi r - 1.2 \pi r = 0.8 \pi r$ છે.
પરિઘમાં ટકાવારી ઘટાડો $\frac{C_1 - C_2}{C_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{0.8 \pi r}{2 \pi r} \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \%$.

(D) કુલ ક્ષેત્રફળ એ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને ચાર અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^{2}$.
ચોરસની દરેક બાજુ અર્ધવર્તુળના વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2}$ થાય.
એક અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^{2} = \frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^{2} = \frac{\pi a^{2}}{8}$.
આવા ચાર અર્ધવર્તુળો હોવાથી,ચાર અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{\pi a^{2}}{8} = \frac{\pi a^{2}}{2}$.
તેથી,આકૃતિનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= a^{2} + \frac{\pi a^{2}}{2}$ થાય.

(A) ચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $6050\, m^2$ છે. ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $a^2 = 6050$.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$d^2 = 2a^2 = 2 \times 6050 = 12100\, m^2$.
આમ,વિકર્ણની લંબાઈ $d = \sqrt{12100} = 110\, m$ થાય.
ઝડપ દર $30$ સેકન્ડમાં $10\, m$ આપેલી છે,જે દર $0.5$ મિનિટમાં $10\, m$ થાય છે.
લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{110\, m}{10\, m / 0.5\, \text{min}} = 11 \times 0.5 = 5.5$ મિનિટ.
આ $5 \frac{1}{2}$ મિનિટ બરાબર છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમબાજુ ત્રિકોણોનો બનેલો હોય છે,જેમાં દરેકની બાજુની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ જેટલી હોય છે.
તેથી,નિયમિત ષટ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $r$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ તેની $6$ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે.
પરિમિતિ $= 6 \times r = 6r$.
આમ,તેની પરિમિતિ $6r$ થાય છે.

(B) ધારો કે $AL$ અને $BM$ એ અનુક્રમે $15\, m$ અને $30\, m$ ઊંચાઈના બે થાંભલા છે,જે જમીન $AB = 36\, m$ પર ઉભા છે.
$AB$ ને સમાંતર એક રેખા $LN$ દોરો જેથી $LN = AB = 36\, m$ થાય અને $N$ એ $BM$ પર આવેલું હોય.
તેથી,$BN = AL = 15\, m$ થાય.
આમ,$MN = BM - BN = 30\, m - 15\, m = 15\, m$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle LNM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$LM^2 = LN^2 + MN^2$
$LM^2 = 36^2 + 15^2$
$LM^2 = 1296 + 225 = 1521$
$LM = \sqrt{1521} = 39\, m$.
આમ,તેમની ટોચ વચ્ચેનું અંતર $39\, m$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ હોલની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબાઈ તેની પહોળાઈના $\frac{4}{3}$ ગણી છે,તેથી લંબાઈ $= \frac{4x}{3} \, m$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4x}{3} \times x = 300$.
$\frac{4x^2}{3} = 300$.
$x^2 = 300 \times \frac{3}{4} = 75 \times 3 = 225$.
$x = \sqrt{225} = 15 \, m$.
તેથી,પહોળાઈ $15 \, m$ છે.
લંબાઈ $= \frac{4}{3} \times 15 = 20 \, m$ થાય.
લંબાઈ અને પહોળાઈ વચ્ચેનો તફાવત $= 20 \, m - 15 \, m = 5 \, m$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની મૂળ બાજુ $a$ છે.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
નવી બાજુની લંબાઈ $a' = a + 1.5\% \text{ of } a = a(1 + 0.015) = 1.015a$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{\sqrt{3}}{4} (a')^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1.015a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 (1.015)^2$ થાય.
કારણ કે $A' = A \times (1.015)^2$,આપણે $(1.015)^2 = 1.030225$ ગણીએ છીએ.
તેથી,$A' = 1.030225 A$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી વધારો $= \frac{A' - A}{A} \times 100 = (1.030225 - 1) \times 100 = 0.030225 \times 100 = 3.0225 \%.$

(C) ઘોડા દ્વારા ચરવામાં આવતું ક્ષેત્રફળ એ દોરડાની લંબાઈને ત્રિજ્યા ગણીને બનતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r = 12 \ m$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $R = 23 \ m$.
ચરવા માટેનું વધારાનું ક્ષેત્રફળ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનો ભાગ છે,જેનું સૂત્ર $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
વધારાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (23 + 12) \times (23 - 12) \ m^2$
$= \frac{22}{7} \times 35 \times 11 \ m^2$
$= 22 \times 5 \times 11 \ m^2$
$= 110 \times 11 \ m^2$
$= 1210 \ m^2$.

(A) ધારો કે ચોરસનો મૂળ વિકર્ણ $d$ છે.
વિકર્ણના સંદર્ભમાં ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{2} d^2$.
જો વિકર્ણ બમણો કરવામાં આવે,તો નવો વિકર્ણ $d' = 2d$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{1}{2} (d')^2 = \frac{1}{2} (2d)^2 = \frac{1}{2} (4d^2) = 2d^2$.
નવા ક્ષેત્રફળની મૂળ ક્ષેત્રફળ સાથે સરખામણી કરતા:
$A_2 = 4 \times (\frac{1}{2} d^2) = 4 A_1$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $4$ ગણું થઈ જાય છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $L$ છે અને તેની પહોળાઈ $B$ છે. મૂળ પરિમિતિ $P_1 = 2(L + B)$ છે.
જ્યારે બાજુઓમાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + 0.2L = 1.2L$ અને નવી પહોળાઈ $B' = B + 0.2B = 1.2B$ થાય છે.
નવી પરિમિતિ $P_2 = 2(L' + B') = 2(1.2L + 1.2B)$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P_2 = 2 \times 1.2(L + B) = 2.4(L + B)$ મળે છે.
પરિમિતિમાં થયેલો વધારો $\Delta P = P_2 - P_1 = 2.4(L + B) - 2(L + B) = 0.4(L + B)$ છે.
પરિમિતિમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = \frac{0.4(L + B)}{2(L + B)} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$ થાય છે.

(B) ધારો કે બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે અને અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $(R - r)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બહારના વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi R$ છે અને અંદરના વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi r$ છે.
આપેલ છે કે પરિઘ વચ્ચેનો તફાવત $44\, m$ છે:
$2 \pi R - 2 \pi r = 44$
$2 \pi (R - r) = 44$
$R - r = \frac{44}{2 \pi}$
$R - r = \frac{44}{2 \times (22/7)}$
$R - r = \frac{44 \times 7}{44} = 7\, m$.
આમ,રસ્તાની પહોળાઈ $7\, m$ છે.

(A) ચોરસ આકારના તળાવનું ક્ષેત્રફળ $= 8 \, m \times 8 \, m = 64 \, m^2$ છે.
આપેલ છે કે તળાવનું ક્ષેત્રફળ એ ખેતરના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{8}$ ભાગનું છે,તેથી ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 64 \, m^2 = 512 \, m^2$ થાય.
ધારો કે લંબચોરસ ખેતરની લંબાઈ $L$ છે અને તેની પહોળાઈ $W$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$L = 2W$,જેનો અર્થ છે કે $W = \frac{L}{2}$.
લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= L \times W = L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતને ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવતા: $\frac{L^2}{2} = 512$.
$L^2 = 512 \times 2 = 1024$.
$L = \sqrt{1024} = 32 \, m$.

(B) વર્તુળાકાર તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 0.49 \pi \, m^2$ આપેલ છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,$r^2 = 0.49$,જેનો અર્થ છે કે $r = 0.7 \, m$.
તકતીનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 4.4 \, m$ થાય.
કુલ કાપેલું અંતર $1.76 \, km = 1760 \, m$ છે.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા કુલ અંતર અને પરિઘના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\text{પરિભ્રમણોની સંખ્યા} = \frac{1760}{4.4} = 400$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 6\, cm$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$A = \pi \times (6)^2 = 36\pi\, cm^2$.
ધારો કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h\, cm$ છે અને પાયો $b = 6\, cm$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે:
$\frac{1}{2} \times 6 \times h = 36\pi$.
$3 \times h = 36\pi$.
$h = \frac{36\pi}{3} = 12\pi\, cm$.

(B) ધારો કે દીવાલની ઊંચાઈ $h$ ફૂટ છે. સીડીની લંબાઈ પણ $h$ ફૂટ છે.
જ્યારે સીડીને દીવાલથી $10$ ફૂટ દૂર $2$ ફૂટ ઊંચા સ્ટૂલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સીડી દ્વારા દીવાલ પર કપાતી ઊભી ઊંચાઈ $(h - 2)$ ફૂટ થાય છે.
આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં પાયો $10$ ફૂટ,લંબ ઊંચાઈ $(h - 2)$ ફૂટ અને કર્ણ (સીડી) $h$ ફૂટ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $h^2 = 10^2 + (h - 2)^2$.
$h^2 = 100 + (h^2 - 4h + 4)$.
$h^2 = 100 + h^2 - 4h + 4$.
બંને બાજુથી $h^2$ બાદ કરતા: $0 = 104 - 4h$.
$4h = 104$.
$h = 26$ ફૂટ.
આમ,દીવાલની ઊંચાઈ $26$ ફૂટ છે.

(A) ધારો કે મૂળ ચોરસની બાજુનું માપ $x \text{ cm}$ છે.
મૂળ ચોરસનો વિકર્ણ $d_1 = \sqrt{2}x \text{ cm}$ છે.
મૂળ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{d_1^2}{2} = \frac{(\sqrt{2}x)^2}{2} = x^2 \text{ cm}^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા ચોરસનો વિકર્ણ બમણો કરવામાં આવે છે,તેથી $d_2 = 2 \times d_1 = 2\sqrt{2}x \text{ cm}$.
નવા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{d_2^2}{2} = \frac{(2\sqrt{2}x)^2}{2} = \frac{8x^2}{2} = 4x^2 \text{ cm}^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,$A_2 = 4 \times A_1$.
તેથી,નવા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $4$ ગણું થશે.

(B) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$ આપેલ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} \times r^{2} = 154$.
$r^{2} = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ મળે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44 \, cm$ થાય.
કેન્દ્ર આગળ $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરતા ચાપની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ છે.
$L = \frac{45}{360} \times 44 = \frac{1}{8} \times 44 = 5.5 \, cm$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો $2x\, m$ અને ઊંચાઈ $3x\, m$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $1\, \text{હેક્ટર} = 10000\, m^2$,તેથી લૉનનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{12} \times 10000 = \frac{10000}{12} = \frac{2500}{3}\, m^2$ થાય.
સમીકરણ બનાવતા: $\frac{1}{2} \times (2x) \times (3x) = \frac{2500}{3}$.
$3x^2 = \frac{2500}{3}$.
$x^2 = \frac{2500}{9}$.
$x = \sqrt{\frac{2500}{9}} = \frac{50}{3}$.
પાયો $= 2x = 2 \times \frac{50}{3} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}\, m$.
ઊંચાઈ $= 3x = 3 \times \frac{50}{3} = 50\, m$.

(B) લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 1200 \ m^2$ છે.
આપેલ છે કે ટૂંકી બાજુ (પહોળાઈ) $30 \ m$ છે, તેથી લાંબી બાજુની લંબાઈ $\frac{1200}{30} = 40 \ m$ થશે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ તેની બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ m$ મળે.
વાડ માટે જરૂરી કુલ લંબાઈ એ એક લાંબી બાજુ, એક ટૂંકી બાજુ અને વિકર્ણનો સરવાળો છે: $40 + 30 + 50 = 120 \ m$.
વાડ કરવાનો ખર્ચ ₹ $10$ પ્રતિ $m$ હોવાથી, કામનો કુલ ખર્ચ $120 \times 10 = ₹ 1200$ થશે.

(D) ધારો કે વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે અને પરિઘ $C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનો પરિઘ $C = \pi d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વ્યાસ એ પરિઘ કરતાં $105 \, cm$ ઓછો છે,તેથી $d = C - 105$.
સમીકરણમાં $C = \pi d$ મૂકતા,આપણને $d = \pi d - 105$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\pi d - d = 105$,જેનો અર્થ છે કે $d(\pi - 1) = 105$.
$\pi = \frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d(\frac{22}{7} - 1) = 105$ મળે છે.
$d(\frac{22 - 7}{7}) = 105 \Rightarrow d(\frac{15}{7}) = 105$.
$d = 105 \times \frac{7}{15} = 7 \times 7 = 49 \, cm$.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $49 \, cm$ છે.

(C) બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= 24\, m \times 14\, m = 336\, m^2$.
રસ્તો બગીચાની બહાર $1\, m$ પહોળો છે,તેથી નવી લંબાઈ $= 24 + 1 + 1 = 26\, m$ અને નવી પહોળાઈ $= 14 + 1 + 1 = 16\, m$ થશે.
(બગીચો $+$ રસ્તા) નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 26\, m \times 16\, m = 416\, m^2$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= 416\, m^2 - 336\, m^2 = 80\, m^2$.
$1$ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 20\, cm \times 20\, cm = 400\, cm^2$.
$1\, m^2 = 10000\, cm^2$ હોવાથી,$1$ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $m^2$ માં $= \frac{400}{10000} = 0.04\, m^2$ થાય.
જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{\text{રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{1 ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{80}{0.04} = 2000$.

(B) ધારો કે મોટા વિકર્ણની લંબાઈ $d_1 = x$ છે.
તેથી,નાના વિકર્ણની લંબાઈ $d_2 = x$ ના $80 \% = 0.8x = \frac{4}{5}x$ થાય.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \times x \times \frac{4}{5}x = \frac{2}{5}x^2$ મળે.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ મોટા વિકર્ણની લંબાઈના વર્ગના $\frac{2}{5}$ ગણું છે.

(D) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB \parallel CD$ છે,ત્રિકોણ $\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ એ $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ સમરૂપ છે કારણ કે $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ).
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{AB}{CD} \right)^2$.
આપેલ છે કે $AB = 2CD$,તેથી $\frac{AB}{CD} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,$\frac{\text{Area}(\Delta AOB)}{\text{Area}(\Delta COD)} = \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{4}{1}$.
માટે,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના વર્ગોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $3x$ અને $4x$ છે.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $= \frac{(3x)^2}{(4x)^2} = \frac{9x^2}{16x^2} = \frac{9}{16}$.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $9:16$ છે.

(C) $24 \, cm$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,તેની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 24 = 12 \sqrt{3} \, cm$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{h}{3}$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \, cm$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \pi (4 \sqrt{3})^2 = \pi (16 \times 3) = 48 \pi \, cm^2$ થાય.