Measurement of Area Questions in Gujarati

(B) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
અહીં,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 180 \, m^2$ અને $\text{લંબાઈ} = 18 \, m$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{પહોળાઈ} = \frac{\text{ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{180}{18} = 10 \, m$.
લંબચોરસની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{પરિમિતિ} = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{પરિમિતિ} = 2 \times (18 + 10) = 2 \times 28 = 56 \, m$.

(C) ધારો કે પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x\, cm$ છે.
તેથી,બીજા ચોરસની બાજુ $(x + 4)\, cm$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $400\, cm^2$ છે:
$x^2 + (x + 4)^2 = 400$
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400$
$2x^2 + 8x - 384 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + 4x - 192 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 16x - 12x - 192 = 0$
$x(x + 16) - 12(x + 16) = 0$
$(x - 12)(x + 16) = 0$
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 12$.
આમ,પ્રથમ ચોરસની બાજુ $12\, cm$ અને બીજા ચોરસની બાજુ $12 + 4 = 16\, cm$ છે.

(C) ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= 960\, m^{2}$.
એક ગાલીચાનું ક્ષેત્રફળ $= 6\, m \times 4\, m = 24\, m^{2}$.
તેથી,જરૂરી ગાલીચાની સંખ્યા $= \frac{\text{ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ગાલીચાનું ક્ષેત્રફળ}}$.
ગાલીચાની સંખ્યા $= \frac{960}{24} = 40$.

(B) બહારના લંબચોરસની લંબાઈ $= 60 \ m$.
બહારના લંબચોરસની પહોળાઈ $= 40 \ m$.
બહારના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 60 \ m \times 40 \ m = 2400 \ m^2$.
રસ્તાની પહોળાઈ $= 1 \ m$.
રસ્તો બગીચાની અંદરની બાજુએ હોવાથી,અંદરના લંબચોરસની લંબાઈ $= 60 \ m - (1 \ m + 1 \ m) = 58 \ m$.
અંદરના લંબચોરસની પહોળાઈ $= 40 \ m - (1 \ m + 1 \ m) = 38 \ m$.
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 58 \ m \times 38 \ m = 2204 \ m^2$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બહારના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= 2400 \ m^2 - 2204 \ m^2 = 196 \ m^2$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
આપેલ આકૃતિમાં,પાયો $CD = 3 \text{ cm}$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $BD = 4 \text{ cm}$ છે.
તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બે એકરૂપ ત્રિકોણો,$\Delta ABD$ અને $\Delta BDC$ નો બનેલો છે.
$\Delta BDC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2$.
$\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} = 2 \times 6 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 9\, cm$,$b = 12\, cm$ અને $c = 15\, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{2916} = 54\, cm^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\, cm^2$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $\text{Area} = 4 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
તેથી,$\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = 4 \sqrt{3}$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a^2}{4} = 4$ મળે છે.
$a^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4 \text{ cm}$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3 \times a$ થાય.
પરિમિતિ $= 3 \times 4 = 12 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r\, m$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં $A = 24.64\, m^{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{22}{7} \times r^{2} = 24.64$.
$r^{2}$ માટે ગણતરી કરતા: $r^{2} = \frac{24.64 \times 7}{22} = 1.12 \times 7 = 7.84$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \sqrt{7.84} = 2.8\, m$.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 = 2 \times 22 \times 0.4 = 17.6\, m$.

(C) ધારો કે વર્તુળની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે.
$20 \%$ ઘટાડા પછી નવી ત્રિજ્યા $r$ ના $80 \%$ થશે,જે $r \times \frac{80}{100} = \frac{4r}{5}$ છે.
વર્તુળનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
વર્તુળનું નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi \left(\frac{4r}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ ઘટાડો $A_1 - A_2 = \pi r^2 - \frac{16}{25} \pi r^2 = \frac{9}{25} \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો = $\frac{\text{ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો}}{\text{પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ}} \times 100 = \frac{\frac{9}{25} \pi r^2}{\pi r^2} \times 100$ છે.
આની ગણતરી કરતા $\frac{9}{25} \times 100 = 9 \times 4 = 36 \%$ મળે છે.

(D) ધારો કે અર્ધવર્તુળાકાર કોણમાપકની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
અર્ધવર્તુળની પરિમિતિ એ ચાપની લંબાઈ $(\pi r)$ અને વ્યાસ $(2r)$ નો સરવાળો છે.
પરિમિતિ $= \pi r + 2r = r(\pi + 2) = 36 \, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને મળે $r(\frac{22}{7} + 2) = 36$.
$r(\frac{22 + 14}{7}) = 36 \Rightarrow r(\frac{36}{7}) = 36$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = 7 \, cm$ મળે છે.
કોણમાપકનો વ્યાસ $2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ થાય.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $x$ છે.
અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $(r)$ એ ચોરસની બાજુના માપથી અડધી હોય છે: $r = \frac{x}{2}$.
અંતઃવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{x}{2})^2 = \frac{\pi x^2}{4}$ થાય.
ચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{2}x$ છે. પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $(R)$ એ વિકર્ણના માપથી અડધી હોય છે: $R = \frac{\sqrt{2}x}{2} = \frac{x}{\sqrt{2}}$.
પરિવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2 = \pi (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi x^2}{2}$ થાય.
અંતઃવૃત્ત અને પરિવૃત્તનાં ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi x^2 / 4}{\pi x^2 / 2} = \frac{2}{4} = 1:2$ મળે.

(A) ચોરસના વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $d = 50 \, m$ આપેલ છે.
તેથી,$a\sqrt{2} = 50$,જેનો અર્થ થાય છે કે $a = \frac{50}{\sqrt{2}} \, m$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $Area = a^2$ છે.
$Area = \left(\frac{50}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2500}{2} = 1250 \, m^2$.

(A) આપેલ છે,પરિઘ $(C) = 2 \pi r = 176\, m$.
$r = \frac{176}{2 \times \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = \frac{88 \times 7}{22} = 4 \times 7 = 28\, m$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $(A) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28 \times 28$.
$A = 22 \times 4 \times 28 = 88 \times 28 = 2464\, m^2$.

(A) ચાપની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 42\, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 72^{\circ}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 \times \frac{72}{360}$.
$L = 2 \times 22 \times 6 \times \frac{1}{5}$.
$L = 44 \times 6 \times 0.2$.
$L = 264 \times 0.2 = 52.8\, cm$.

(D) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $a$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયો અને વેધ સમાન છે,તેથી $\text{Area} = \frac{1}{2} a^2$.
આપેલ છે કે $\text{Area} = 200 \, cm^2$,તેથી:
$200 = \frac{1}{2} a^2$
$a^2 = 400$
$a = 20 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ $h$ એ $h = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = 20 \sqrt{2} \, cm$.

(C) ચોરસ સ્લેબની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌથી મોટી શક્ય ચોરસ ટાઇલની બાજુ શોધવી જોઈએ જે રૂમના પરિમાણોમાં સંપૂર્ણ રીતે ફિટ થઈ શકે.
$1$. સૌથી મોટી ચોરસ ટાઇલની બાજુ એ રૂમની લંબાઈ $(10.5 \text{ m})$ અને પહોળાઈ $(3 \text{ m})$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ છે.
$2$. $10.5$ અને $3$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $10.5 = \frac{21}{2}$ અને $3 = \frac{6}{2}$.
$3$. $\frac{21}{2}$ અને $\frac{6}{2}$ નો $HCF$ = $\frac{\text{HCF}(21, 6)}{\text{LCM}(2, 2)} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m}$.
$4$. રૂમનું ક્ષેત્રફળ = $10.5 \times 3 = 31.5 \text{ m}^2$.
$5$. એક ચોરસ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ = $1.5 \times 1.5 = 2.25 \text{ m}^2$.
$6$. જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા = $\frac{\text{રૂમનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{31.5}{2.25} = 14$.

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \, cm$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $(x + 2) \, cm$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
આપેલ છે કે $P = 48 \, cm$,તેથી $2(x + x + 2) = 48$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x + 2 = 24$ મળે છે.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,$2x = 22$,જેનો અર્થ છે કે $x = 11 \, cm$.
આમ,પહોળાઈ $11 \, cm$ છે અને લંબાઈ $11 + 2 = 13 \, cm$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 13 \, cm \times 11 \, cm = 143 \, cm^2$ થાય.

(C) સમતલ કરવાનો કુલ ખર્ચ એ ક્ષેત્રફળ અને પ્રતિ ચોરસ મીટરના દરના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
કુલ ખર્ચ = ક્ષેત્રફળ $\times$ દર
$900 = \text{ક્ષેત્રફળ} \times 1.25$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{900}{1.25} = 720 \ m^2$
મેદાન લંબચોરસ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
$720 = 30 \times \text{પહોળાઈ}$
પહોળાઈ = $\frac{720}{30} = 24 \ m$.

(C) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x\, cm$ છે. તેથી,લંબાઈ $2x\, cm$ થશે.
લંબચોરસનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2x)(x) = 2x^2\, cm^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી લંબાઈ $(2x - 5)\, cm$ અને નવી પહોળાઈ $(x + 5)\, cm$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (2x - 5)(x + 5) = 2x^2 + 10x - 5x - 25 = 2x^2 + 5x - 25$ થશે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળમાં $75\, cm^2$ નો વધારો થાય છે,તેથી $A_2 = A_1 + 75$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2x^2 + 5x - 25 = 2x^2 + 75$.
બંને બાજુથી $2x^2$ બાદ કરતા: $5x - 25 = 75$.
$5x = 100 \Rightarrow x = 20\, cm$.
લંબચોરસની લંબાઈ $2x = 2 \times 20 = 40\, cm$ છે.

(C) ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= 4\, m \times 3\, m = 12\, m^2$ છે.
$1\, m = 100\, cm$ હોવાથી,$1\, m^2 = 10,000\, cm^2$ થાય.
તેથી,ચોરસ સેન્ટિમીટરમાં ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= 12 \times 10,000 = 120,000\, cm^2$ થાય.
એક લંબચોરસ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 8\, cm \times 6\, cm = 48\, cm^2$ છે.
જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા શોધવા માટે ભોંયતળિયાના કુલ ક્ષેત્રફળને એક ટાઇલના ક્ષેત્રફળ વડે ભાગવું પડે.
ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{120,000}{48} = 2,500$.

(A) પગલું $1$: ચોરસ રૂમનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
રૂમની બાજુ $= 3\, m = 300\, cm$.
રૂમનું ક્ષેત્રફળ $= 300\, cm \times 300\, cm = 90,000\, cm^2$.
પગલું $2$: એક માર્બલની લાદીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ $= 20\, cm \times 30\, cm = 600\, cm^2$.
પગલું $3$: જરૂરી લાદીઓની સંખ્યા શોધો.
લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{રૂમનું કુલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{90,000}{600} = 150$.
આમ,$150$ માર્બલની લાદીઓની જરૂર પડશે.

(B) આપેલ છે કે,લંબચોરસની પરિમિતિ $= 200\, m$.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(l + b)$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $b$ એ પહોળાઈ છે.
$2(l + 40) = 200$
$l + 40 = 100$
$l = 100 - 40 = 60\, m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times b$ દ્વારા મળે છે.
$A = 60\, m \times 40\, m = 2400\, m^2$.

(A) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
પ્રથમ,પાયાને મીટરમાંથી સેન્ટિમીટરમાં ફેરવો: $1.5\, m = 1.5 \times 100\, cm = 150\, cm$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 150\, cm \times 75\, cm$.
$\text{Area} = 75\, cm \times 75\, cm = 5625\, cm^2$.

(C) આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે કારણ કે તેની ત્રણેય બાજુઓ સમાન $(8 \text{ cm})$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{બાજુ}^2$ છે.
બાજુની લંબાઈ $a = 8 \text{ cm}$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.

(D) ધારો કે સમાન બાજુઓ $5x$ અને પાયો $4x$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બે સમાન બાજુઓ $5x$ અને $5x$ થશે.
પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $5x + 5x + 4x = 14x$.
આપેલ પરિમિતિ $14 \ cm$ હોવાથી,$14x = 14$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $5 \ cm, 5 \ cm$ અને $4 \ cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{5+5+4}{2} = 7 \ cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{7(7-5)(7-5)(7-4)} = \sqrt{7 \times 2 \times 2 \times 3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{7 \times 4 \times 3} = 2 \sqrt{21} \ cm^2$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $(h)$ અને બાજુ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
અહીં ઊંચાઈ $h = 6 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
$a = \frac{6 \times 2}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \, cm$
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુનું માપ $4 \sqrt{3} \, cm$ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $(h)$ શોધવાનું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $h = 9 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $9 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$.
આમ,$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \ cm$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (36 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3} \ cm^2$.

(A) ચોરસ માટે,વિકર્ણ $d = a \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $d = 12 \sqrt{2} \text{ cm}$,તેથી $a = 12 \text{ cm}$.
ચોરસની પરિમિતિ $P = 4a = 4 \times 12 = 48 \text{ cm}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ ચોરસની પરિમિતિ જેટલી હોવાથી,ત્રિકોણની પરિમિતિ $48 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $s$ છે. તેથી $3s = 48 \text{ cm}$,જે આપણને $s = 16 \text{ cm}$ આપે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256 = 64 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ બગીચાની પહોળાઈ $w$ મીટર છે.
તેથી,લંબાઈ $l = 2w$ મીટર થાય.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3}$ હેક્ટર આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ હેક્ટર} = 10,000 \, m^2$,તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{2}{3} \times 10,000 = \frac{20,000}{3} \, m^2$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = l \times w$.
કિંમતો મૂકતા: $(2w) \times w = \frac{20,000}{3}$.
$2w^2 = \frac{20,000}{3} \Rightarrow w^2 = \frac{10,000}{3}$.
$w = \sqrt{\frac{10,000}{3}} = \frac{100}{\sqrt{3}} \, m$.
લંબાઈ $l = 2w = 2 \times \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, m$ થાય.

(D) $X$ અને $Z$ વચ્ચેનો ટૂંકામાં ટૂંકો રસ્તો એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle XYZ$ નો કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$.
અહીં $XY = 15 \ m$ અને $YZ = 20 \ m$ આપેલ છે.
$XZ = \sqrt{15^2 + 20^2} \ m$.
$XZ = \sqrt{225 + 400} \ m$.
$XZ = \sqrt{625} \ m$.
$XZ = 25 \ m$.

(A) ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{675}{50} = 13.5 \text{ હેક્ટર}$.
$1 \text{ હેક્ટર} = 10,000 \, m^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 13.5 \times 10,000 = 135,000 \, m^2$ થાય.
ધારો કે ઊંચાઈ $x \, m$ છે. તેથી પાયો $3x \, m$ થશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 3x \times x = 135,000$.
$\frac{3x^2}{2} = 135,000$.
$3x^2 = 270,000$.
$x^2 = 90,000$.
$x = 300 \, m$ (ઊંચાઈ).
પાયો $= 3x = 3 \times 300 = 900 \, m$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. કર્ણ $5 \, cm$ છે.
પરિમિતિ $= a + b + 5 = 12 \, cm \implies a + b = 7 \, cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
કિંમતો મૂકતા: $(7)^2 = 25 + 2ab$.
$49 = 25 + 2ab \implies 2ab = 24 \implies ab = 12$.
હવે,$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = (7)^2 - 4(12) = 49 - 48 = 1$.
તેથી,$a - b = 1$ (ધારો કે $a > b$).
$a + b = 7$ અને $a - b = 1$ ઉકેલતા,આપણને $2a = 8 \implies a = 4 \, cm$ અને $b = 3 \, cm$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, cm^2$.

(B) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(R) = 20 \, cm$
અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 15 \, cm$
$\therefore$ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ})$
$= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \frac{22}{7}(20^2 - 15^2)$
$= \frac{22}{7}(20 + 15)(20 - 15) = \frac{22}{7}(35)(5) = 22 \times 5 \times 5 = 550 \, cm^2$

(A) ઘડિયાળનો મિનિટ કાંટો $60 \, min$ માં એક પૂર્ણ વર્તુળ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,$30 \, min$ માં મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 30 = 180^{\circ}$ છે.
મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $r = 14 \, cm$.
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $\theta$ ખૂણા દ્વારા બનતા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 22 \times 2 \times 14$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 11 \times 28 = 308 \, cm^2$.

(D) ધારો કે નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $116 \, \pi \, cm^2$ છે,તેથી $\pi R^2 + \pi r^2 = 116 \, \pi$,જેનું સાદું રૂપ $R^2 + r^2 = 116$ થાય છે.
વર્તુળો અંદરની તરફ સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $R - r = 6 \, cm$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(R + r)^2 + (R - r)^2 = 2(R^2 + r^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $(R + r)^2 + (6)^2 = 2(116)$.
$(R + r)^2 + 36 = 232$.
$(R + r)^2 = 232 - 36 = 196$.
વર્ગમૂળ લેતા,$R + r = 14$.
હવે આપણી પાસે બે સમીકરણો છે: $R + r = 14$ અને $R - r = 6$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2R = 20 \Rightarrow R = 10 \, cm$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2r = 8 \Rightarrow r = 4 \, cm$.
આમ,વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $10 \, cm$ અને $4 \, cm$ છે.

(D) ચોરસની બાજુનું માપ $a = 21 \, m$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^{2} = 21 \times 21 = 441 \, m^{2}$.
ચોરસની ચારેય બાજુઓ પર ચાર અર્ધવર્તુળો છે. દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો એટલે કે $21 \, m$ છે.
તેથી,દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{21}{2} = 10.5 \, m$ થશે.
ચાર અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\frac{1}{2} \times \pi \times r^{2}) = 2 \times \pi \times r^{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} = 22 \times 3 \times 10.5 = 693 \, m^{2}$.
ક્યારીનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 441 + 693 = 1134 \, m^{2}$.
આપેલ છે કે દરેક ગુલાબના છોડને $6 \, m^{2}$ જગ્યાની જરૂર છે.
છોડની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{છોડ દીઠ ક્ષેત્રફળ}} = \frac{1134}{6} = 189$.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યગા એ વેધ સમાન જ હોય છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ '$a$' છે.
વેધ (મધ્યગા) '$x$' નું સૂત્ર: $x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
આના પરથી,આપણે બાજુ '$a$' ને '$x$' ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ: $a = \frac{2x}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
'$a$' ની કિંમત મૂકતા: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right)^2$.
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4x^2}{3}$.
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3} x^2}{3} = \frac{x^2}{\sqrt{3}}$.

(B) વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
અહીં $r = 42 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પરિઘ $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 2 \times 22 \times 6 = 264 \ cm$ થાય.
તારને વાળીને ચોરસ બનાવવામાં આવે છે,તેથી ચોરસની પરિમિતિ એ વર્તુળના પરિઘ જેટલી જ રહેશે.
ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 264 \ cm$.
તેથી,ચોરસની બાજુનું માપ $\frac{264}{4} = 66 \ cm$ થાય.

(A) પૈડાનો પરિઘ $C = \pi \times d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આપેલ છે કે $d = 105\, cm$,તેથી પરિઘ $C = \frac{22}{7} \times 105 = 22 \times 15 = 330\, cm$.
આનો અર્થ એ છે કે પૈડું એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં $330\, cm$ અંતર કાપે છે.
કુલ કાપવાનું અંતર $330\, m$ છે. તેને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,આપણને $330\, m = 330 \times 100 = 33000\, cm$ મળે છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા કુલ અંતરને પૈડાના પરિઘ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{33000\, cm}{330\, cm} = 100$.
તેથી,પૈડું $100$ વાર ફરશે.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $W$ છે. મૂળ ક્ષેત્રફળ $A = L \times W$ છે.
નવી લંબાઈ $L' = L + 0.60L = 1.6L = \frac{8}{5}L$ થાય.
ધારો કે નવી પહોળાઈ $W'$ છે. ક્ષેત્રફળ સમાન રાખવા માટે,$L' \times W' = L \times W$ થવું જોઈએ.
$L'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{8}{5}L \times W' = L \times W$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $W' = \frac{5}{8}W$ મળે.
પહોળાઈમાં ઘટાડો $W - W' = W - \frac{5}{8}W = \frac{3}{8}W$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{\text{ઘટાડો}}{\text{મૂળ પહોળાઈ}} \times 100 = \frac{\frac{3}{8}W}{W} \times 100 = \frac{3}{8} \times 100 = 37.5 \% = 37 \frac{1}{2} \%$ થાય.

(C) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $x$ છે અને મૂળ પહોળાઈ $y$ છે.
મૂળ ક્ષેત્રફળ $= x \times y = xy$.
નવી લંબાઈ $= x + 50\% \text{ of } x = x + 0.5x = 1.5x = \frac{3x}{2}$.
નવી પહોળાઈ $= y + 20\% \text{ of } y = y + 0.2y = 1.2y = \frac{6y}{5}$.
નવું ક્ષેત્રફળ $= \text{નવી લંબાઈ} \times \text{નવી પહોળાઈ} = \frac{3x}{2} \times \frac{6y}{5} = \frac{18xy}{10} = \frac{9}{5}xy$.
તેથી,નવું ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળના $\frac{9}{5}$ ગણું થાય છે.

(B) $10 \, cm$ ની ધારવાળા બે સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવાથી એક લંબઘન બને છે.
પરિણામી લંબઘનની લંબાઈ $(l) = 10 \, cm + 10 \, cm = 20 \, cm$.
પરિણામી લંબઘનની પહોળાઈ $(b) = 10 \, cm$.
પરિણામી લંબઘનની ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $2(lb + bh + hl)$.
કિંમતો મૂકતા: $2(20 \times 10 + 10 \times 10 + 10 \times 20) \, cm^2$.
$= 2(200 + 100 + 200) \, cm^2$.
$= 2(500) \, cm^2 = 1000 \, cm^2$.

(B) ધારો કે લંબઘનના પરિમાણો $l, b,$ અને $h$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $V = l \times b \times h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ પાસપાસેની બાજુઓના ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$x = l \times b$
$y = b \times h$
$z = h \times l$
આ ત્રણેય ક્ષેત્રફળોનો ગુણાકાર કરતા:
$x \times y \times z = (l \times b) \times (b \times h) \times (h \times l)$
$xyz = l^{2} \times b^{2} \times h^{2}$
$xyz = (l \times b \times h)^{2}$
કારણ કે $V = l \times b \times h$,તેથી સમીકરણમાં $V$ મૂકતા:
$xyz = V^{2}$
આમ,$V^{2} = xyz$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે: નળાકારનું ઘનફળ $V = 448 \pi \, cm^3$ અને ઊંચાઈ $h = 7 \, cm$.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ છે.
ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $448 \pi = \pi r^2 (7)$.
$r^2 = \frac{448}{7} = 64$,તેથી $r = 8 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(LSA)$ $= 2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 7 = 352 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$.
$TSA$ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times (7 + 8) = 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 15 = \frac{5280}{7} \approx 754.286 \, cm^2$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 5 \text{ cm}$,ઊંચાઈ $(h) = 12 \text{ cm}$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ ની ગણતરી સૂત્ર $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ નો ઉપયોગ કરીને કરો.
$l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r l$ છે.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$A = \frac{22}{7} \times 5 \times 13 = \frac{1430}{7} \approx 204.285 \text{ cm}^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $204.3 \text{ cm}^2$ મળે છે.

(A) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આપેલ છે કે $V = 38808 \, cm^{3}$.
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{3} = 38808$.
$r^{3} = 38808 \times \frac{3 \times 7}{4 \times 22} = 9261$.
ઘનમૂળ લેતા,$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^{2}$.
આમ,ત્રિજ્યા $21 \, cm$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $5544 \, cm^{2}$ છે.

(A) ધારો કે બે અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_1$ અને $V_2$ છે,અને તેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
અર્ધગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ ઘનફળનો ગુણોત્તર: $V_1 : V_2 = 8 : 27$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{\frac{2}{3} \pi r_1^3}{\frac{2}{3} \pi r_2^3} = \frac{8}{27}$.
પદને સરળ બનાવતા: $\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{8}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) જ્યારે ગોળાને તારમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થનું ઘનફળ સમાન રહે છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $R = \frac{18}{2} = 9\, cm$.
તારનો વ્યાસ $= 40\, mm = 4\, cm$,તેથી તારની ત્રિજ્યા $r = \frac{4}{2} = 2\, cm$.
ધારો કે તારની લંબાઈ $h\, cm$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi (729) = 972\pi\, cm^3$.
નળાકાર તારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi (2)^2 h = 4\pi h\, cm^3$.
ઘનફળને સરખાવતા: $972\pi = 4\pi h$.
$h = \frac{972}{4} = 243\, cm$.
આમ,તારની લંબાઈ $243\, cm$ છે.

(A) ધારો કે સમઘનની શરૂઆતની બાજુ $x \text{ cm}$ છે.
સમઘનનું શરૂઆતનું પૃષ્ઠફળ $S_1 = 6x^2$ છે.
$50 \%$ ના વધારા પછી નવી બાજુ $x + 0.5x = 1.5x = \frac{3x}{2} \text{ cm}$ થાય છે.
નવું પૃષ્ઠફળ $S_2 = 6 \left( \frac{3x}{2} \right)^2 = 6 \left( \frac{9x^2}{4} \right) = \frac{54x^2}{4} = 13.5x^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થયેલો વધારો $S_2 - S_1 = 13.5x^2 - 6x^2 = 7.5x^2$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{\text{વધારો}}{\text{શરૂઆતનું ક્ષેત્રફળ}} \right) \times 100 = \left( \frac{7.5x^2}{6x^2} \right) \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ થાય.

(C) સૌ પ્રથમ,બધા માપને મીટર $(m)$ માં ફેરવો:
દીવાલના માપ: $10\, m$,$4\, dm = 0.4\, m$,$5\, m$.
દીવાલનું કુલ કદ $= 10\, m \times 0.4\, m \times 5\, m = 20\, m^3$.
સિમેન્ટ (મોર્ટાર) દ્વારા રોકાયેલ કદ $= \frac{1}{10} \times 20\, m^3 = 2\, m^3$.
ઈંટો દ્વારા રોકાયેલ કદ $= 20\, m^3 - 2\, m^3 = 18\, m^3$.
એક ઈંટનું કદ $= 0.25\, m \times 0.15\, m \times 0.08\, m = 0.003\, m^3 = \frac{3}{1000}\, m^3$.
જરૂરી ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{ઈંટોનું કુલ કદ}}{\text{એક ઈંટનું કદ}} = \frac{18}{3/1000} = \frac{18 \times 1000}{3} = 6000$.