HCF and LCM Questions in Gujarati

(C) $27, 18$ અને $36$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
પગલું $1$: $27$ અને $18$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$27 = 18 \times 1 + 9$
$18 = 9 \times 2 + 0$
તેથી,$27$ અને $18$ નો ગુ.સા.અ. $9$ છે.
પગલું $2$: પરિણામ $(9)$ અને બાકી રહેલી સંખ્યા $(36)$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$36 = 9 \times 4 + 0$
તેથી,$9$ અને $36$ નો ગુ.સા.અ. $9$ છે.
આમ,$27, 18$ અને $36$ નો ગુ.સા.અ. $9$ છે.

(A) અપૂર્ણાંકોનો $L.C.M.$ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L.C.M. = \frac{\text{અંશનો } L.C.M.}{\text{છેદનો } H.C.F.}$
અપૂર્ણાંકો $\frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{6}{25}$ માટે:
$2, 3$ અને $6$ નો $L.C.M. = 6$
$5, 10$ અને $25$ નો $H.C.F. = 5$
તેથી,જરૂરી $L.C.M. = \frac{6}{5}$ થાય.

(B) $25, 30, 35$ અને $40$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

$2$	$25, 30, 35, 40$
$5$	$25, 15, 35, 20$
	$5, 3, 7, 4$

$\therefore \quad$ લ.સા.અ. એ ભાજક અને બાકી રહેલા પદોનો ગુણાકાર છે:
$L.C.M. = 2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 10 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 50 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 150 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 1050 \times 4$
$L.C.M. = 4200$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $852, 1065$ અને $1491$ ને નિઃશેષ ભાગતી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $852$ અને $1065$ નો $H.C.F.$ શોધો.
$1065 = 852 \times 1 + 213$
$852 = 213 \times 4 + 0$
તેથી,$852$ અને $1065$ નો $H.C.F.$ $213$ છે.
પગલું $2$: પરિણામ $(213)$ અને ત્રીજી સંખ્યા $(1491)$ નો $H.C.F.$ શોધો.
$1491 = 213 \times 7 + 0$
કારણ કે $1491$ એ $213$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી ત્રણેય સંખ્યાઓનો $H.C.F.$ $213$ છે.

(C) અપૂર્ણાંકોનો $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$H.C.F. = \frac{\text{અંશનો } H.C.F.}{\text{છેદનો } L.C.M.}$
આપેલ અપૂર્ણાંકો: $\frac{4}{9}, \frac{10}{21}, \frac{20}{63}$
પગલું $1$: અંશ $(4, 10, 20)$ નો $H.C.F.$ શોધો:
$4$ ના અવયવો = $2 \times 2$
$10$ ના અવયવો = $2 \times 5$
$20$ ના અવયવો = $2 \times 2 \times 5$
સામાન્ય અવયવ $2$ છે. તેથી,$H.C.F. = 2$.
પગલું $2$: છેદ $(9, 21, 63)$ નો $L.C.M.$ (લ.સા.અ.) શોધો:
$9 = 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$63 = 3^2 \times 7$
$L.C.M. = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63$.
પગલું $3$: પરિણામોને ભેગા કરો:
$H.C.F. = \frac{2}{63}$.

(C) સૌ પ્રથમ,$16, 18, 20$ અને $25$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધો.
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$20 = 2^2 \times 5$
$25 = 5^2$
$L.C.M. = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600$.
કોઈપણ સંખ્યા જેને $16, 18, 20$ અને $25$ વડે ભાગતા $4$ શેષ વધે,તે $(3600K + 4)$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $K$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંખ્યા $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(3600K + 4) \div 7$ માં શેષ $0$ વધે છે.
$3600 \div 7$ કરતા $2$ શેષ વધે છે (કારણ કે $3600 = 7 \times 514 + 2$).
તેથી,$(2K + 4)$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$K = 5$ માટે,$2(5) + 4 = 14$,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $= 3600 \times 5 + 4 = 18000 + 4 = 18004$.

(D) ધારો કે ફૂલના ક્યારાની લંબાઈ $L$ મીટર છે. પહોળાઈ $3 \ m$ હોવાથી,દરેક ખેતરમાં ફૂલના ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ $3L \ m^2$ થશે.
$3L$ એ $165, 195$ અને $85$ ક્ષેત્રફળોનો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ,તેથી આપણે પહેલા $165, 195$ અને $85$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) શોધીશું.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$165 = 3 \times 5 \times 11$
$195 = 3 \times 5 \times 13$
$85 = 5 \times 17$
$165, 195$ અને $85$ નો ગુ.સા.અ. $5$ છે.
આમ,દરેક ખેતરમાંથી બનાવી શકાય તેવા ફૂલના ક્યારાનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $5 \ m^2$ છે.
પહોળાઈ $3 \ m$ આપેલી હોવાથી,$3 \times L = 5$.
તેથી,$L = \frac{5}{3} \ m \approx 1.67 \ m$.
આમ,$\frac{5}{3}$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ "આમાંથી કોઈ નહીં" છે.

(B) $2112$ અને $2792$ ને ભાગતા દરેક કિસ્સામાં $4$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. આપેલી સંખ્યાઓને જરૂરી સંખ્યા વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાય તે માટે બંને સંખ્યાઓમાંથી $4$ શેષ બાદ કરો.
$2112 - 4 = 2108$
$2792 - 4 = 2788$
$2$. હવે $2108$ અને $2788$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધો.
$2108$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 17 \times 31 = 4 \times 17 \times 31$
$2788$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 17 \times 41 = 4 \times 17 \times 41$
$3$. $HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 4 \times 17 = 68$
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $68$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $12x$ અને $12y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે અને $x < y$ છે.
$H.C.F.$ $12$ હોવાથી,બંને સંખ્યાઓ $12$ ના ગુણક હોવી જોઈએ.
સંખ્યાઓનો તફાવત $12y - 12x = 12$ આપેલ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $y - x = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ $12$ ના ક્રમિક ગુણકો છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$84$ અને $96$ માટે: $H.C.F.(84, 96) = 12$ અને $96 - 84 = 12$ થાય છે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $84$ અને $96$ છે.

(A) પીપડાઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,દરેક પીપડાની ક્ષમતા એવી મહત્તમ સંખ્યા હોવી જોઈએ જે $435$,$493$ અને $551$ ને નિઃશેષ ભાગી શકે. આ ક્ષમતા $435$,$493$ અને $551$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) છે.
પ્રથમ,$435$ અને $493$ નો ગુ.સા.અ. શોધો:
$493 = 435 \times 1 + 58$
$435 = 58 \times 7 + 29$
$58 = 29 \times 2 + 0$
તેથી,$435$ અને $493$ નો ગુ.સા.અ. $29$ છે.
હવે,તપાસો કે $551$ એ $29$ વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં:
$551 \div 29 = 19$.
આમ,$435, 493$ અને $551$ નો ગુ.સા.અ. $29$ છે.
દરેક પીપડાની ક્ષમતા $29$ લિટર છે.
જરૂરી પીપડાઓની કુલ સંખ્યા $= (435 \div 29) + (493 \div 29) + (551 \div 29)$
$= 15 + 17 + 19 = 51$.

(C) $25, 73$ અને $97$ ને ભાગતી વખતે સમાન શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત શોધીશું:
$73 - 25 = 48$
$97 - 73 = 24$
$97 - 25 = 72$
હવે,આ તફાવતોનો ગુ.સા.અ. $(H.C.F.)$ શોધો: $48, 24$ અને $72$.
સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$48 = 2^4 \times 3$
$24 = 2^3 \times 3$
$72 = 2^3 \times 3^2$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે: $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$.
આમ,સૌથી મોટી સંખ્યા $24$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $27a$ અને $27b$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $216$ છે,તેથી:
$27a + 27b = 216$
$27(a + b) = 216$
$a + b = \frac{216}{27} = 8$
હવે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી $(a, b)$ શોધીએ જેનો સરવાળો $8$ થાય:
શક્ય જોડીઓ $(1, 7)$ અને $(3, 5)$ છે.
જોડી $(1, 7)$ માટે,સંખ્યાઓ $(27 \times 1, 27 \times 7) = (27, 189)$ થાય.
જોડી $(3, 5)$ માટે,સંખ્યાઓ $(27 \times 3, 27 \times 5) = (81, 135)$ થાય.
વિકલ્પોમાં $(27, 189)$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $(27, 189)$ છે.

(C) પાંચ ઘંટ જે સમયના અંતરાલ પછી એકસાથે વાગશે તે $5, 6, 8, 12$ અને $20$ સેકન્ડનો $L.C.M.$ (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$L.C.M. = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ સેકન્ડ.
$120$ સેકન્ડ $= 2$ મિનિટ હોવાથી,ઘંટ દર $2$ મિનિટે એકસાથે વાગે છે.
એક કલાકમાં ($3600$ સેકન્ડ),અંતરાલોની સંખ્યા $3600 \div 120 = 30$ છે.
ઘંટ શરૂઆતમાં ($0$ સેકન્ડ પર) એકસાથે વાગવાનું શરૂ કરે છે,તેથી આપણે કુલ અંતરાલોની સંખ્યામાં $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તેઓ કુલ $30 + 1 = 31$ વખત એકસાથે વાગશે.

(A) સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે જે $964, 1238$ અને $1400$ ને ભાગતા અનુક્રમે $41, 31$ અને $51$ શેષ આપે,આપણે પહેલા આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$964 - 41 = 923$
$1238 - 31 = 1207$
$1400 - 51 = 1349$
હવે,આપણે $923, 1207$ અને $1349$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
પહેલા $923$ અને $1207$ નો $H.C.F.$ શોધીએ:
$1207 = 923 \times 1 + 284$
$923 = 284 \times 3 + 71$
$284 = 71 \times 4 + 0$
તેથી,$923$ અને $1207$ નો $H.C.F.$ $71$ છે.
હવે,$71$ અને $1349$ નો $H.C.F.$ શોધીએ:
$1349 = 71 \times 19 + 0$
કારણ કે $1349$ એ $71$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $923, 1207$ અને $1349$ નો $H.C.F.$ $71$ છે.
આમ,સૌથી મોટી સંખ્યા $71$ છે.

(D) સૌથી મોટી ચોરસ લાદીની બાજુ શોધવા માટે,આપણે ઓરડાની લંબાઈ અને પહોળાઈનો $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
પ્રથમ,પરિમાણોને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવો:
લંબાઈ $= 5 \, m \, 44 \, cm = 544 \, cm$.
પહોળાઈ $= 3 \, m \, 74 \, cm = 374 \, cm$.
હવે,$544$ અને $374$ નો $H.C.F.$ શોધો:
$544 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 17 = 2^5 \times 17$.
$374 = 2 \times 11 \times 17$.
$H.C.F.$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોના સૌથી નાના ઘાતાંકનો ગુણાકાર છે:
$H.C.F. = 2 \times 17 = 34$.
તેથી,સૌથી મોટી ચોરસ લાદીની બાજુ $34 \, cm$ છે.

(A) ટ્રાફિક સિગ્નલ ફરીથી ક્યારે એકસાથે બદલાશે તે શોધવા માટે,આપણે આપેલા સમયગાળા $48, 72$ અને $108$ સેકન્ડનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$48$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^4 \times 3^1$.
$72$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^3 \times 3^2$.
$108$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^2 \times 3^3$.
$LCM = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$ સેકન્ડ.
હવે,$432$ સેકન્ડને મિનિટ અને સેકન્ડમાં ફેરવતા:
$432 \div 60 = 7$ મિનિટ અને $12$ સેકન્ડ.
તેથી,સિગ્નલ $7$ મિનિટ અને $12$ સેકન્ડ પછી ફરીથી એકસાથે બદલાશે.
આ સમયને શરૂઆતના સમય $8: 20: 00$ માં ઉમેરતા:
$8: 20: 00 + 0: 07: 12 = 8: 27: 12$ કલાકે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $13x$ અને $13y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $6760$ છે.
$13x \times 13y = 6760$
$169xy = 6760$
$xy = \frac{6760}{169} = 40$
હવે,આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે જેમનો ગુણાકાર $40$ થાય.
$40$ ના અવયવો $(1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)$ છે.
સંખ્યાઓનો $H.C.F.$ $13$ હોવા માટે,$x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવા જોઈએ (એટલે કે તેમનો $H.C.F.$ $1$ હોવો જોઈએ).
જોડીઓ તપાસતા:
$(1, 40)$: $H.C.F.(1, 40) = 1$ (માન્ય)
$(2, 20)$: $H.C.F.(2, 20) = 2$ (અમાન્ય)
$(4, 10)$: $H.C.F.(4, 10) = 2$ (અમાન્ય)
$(5, 8)$: $H.C.F.(5, 8) = 1$ (માન્ય)
આમ,આવી $2$ જોડીઓ શક્ય છે: $(1, 40)$ અને $(5, 8)$.

(A) પગલું $1$: ભાજક અને તેમની સંબંધિત શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$10 - 4 = 6$
$15 - 9 = 6$
$21 - 15 = 6$
$28 - 22 = 6$
તફાવત સમાન $(6)$ હોવાથી,જરૂરી સંખ્યા $(10, 15, 21, 28 \text{ \text{નો લ}.\text{સા}.\text{અ}.}) \times k - 6$ થશે.
પગલું $2$: $10, 15, 21, 28$ નો લ.સા.અ. શોધો.
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
લ.સા.અ. $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
પગલું $3$: $420$ વડે ભાગી શકાય તેવી ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો.
ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$9999 \div 420 = 23$ અને શેષ $339$ વધે છે.
તેથી,$9999 - 339 = 9660$.
પગલું $4$: આ સંખ્યામાંથી અચળ તફાવત $(6)$ બાદ કરો.
$9660 - 6 = 9654$.

(B) અવિભાજ્ય અવયવોની સંખ્યા શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આધાર $6$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવો: $6 = 2 \times 3$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $(2 \times 3)^{10} \times (7)^{17} \times (11)^{27} = 2^{10} \times 3^{10} \times 7^{17} \times 11^{27}$.
અવિભાજ્ય અવયવોની કુલ સંખ્યા એ આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે.
અવિભાજ્ય અવયવોની કુલ સંખ્યા $= 10 + 10 + 17 + 27 = 64$.

(C) $3962, 4085$ અને $4167$ ને ભાગતા સમાન શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત શોધીશું:
$4085 - 3962 = 123$
$4167 - 4085 = 82$
$4167 - 3962 = 205$
હવે,આપણે આ તફાવતોનો ગુ.સા.અ. $(H.C.F.)$ શોધીશું: $123, 82$ અને $205$.
$123 = 41 \times 3$
$82 = 41 \times 2$
$205 = 41 \times 5$
તેથી,ગુ.સા.અ. $41$ છે.
આમ,સૌથી મોટી સંખ્યા $41$ છે.

(D) દરેક પ્રકારની ચાને સંપૂર્ણ રીતે પેક કરી શકાય તેવા સૌથી મોટા બોક્સની ક્ષમતા શોધવા માટે,આપણે $408, 468$ અને $516$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: $408$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^3 \times 3 \times 17$ છે.
પગલું $2$: $468$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 3^2 \times 13$ છે.
પગલું $3$: $516$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 3 \times 43$ છે.
પગલું $4$: $H.C.F.$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ થાય છે.
તેથી,સૌથી મોટા શક્ય બોક્સની ક્ષમતા $12 \text{ kg}$ છે.

(C) રૂમની લંબાઈ $= 4\, m\, 37\, cm = 437\, cm$.
રૂમની પહોળાઈ $= 3\, m\, 23\, cm = 323\, cm$.
ઓછામાં ઓછી સંખ્યામાં ચોરસ ટાઇલ્સ મેળવવા માટે,દરેક ચોરસ ટાઇલની બાજુનું માપ એ રૂમની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુ.સા.અ. $(H.C.F.)$ હોવો જોઈએ.
$437$ અને $323$ નો ગુ.સા.અ.:
$437 = 19 \times 23$
$323 = 19 \times 17$
આમ,ગુ.સા.અ. $= 19\, cm$.
ચોરસ ટાઇલની બાજુનું માપ $19\, cm$ છે.
ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{\text{રૂમનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{437 \times 323}{19 \times 19}$.
ટાઇલ્સની સંખ્યા $= 23 \times 17 = 391$.

(D) $3, 4, 5, 6$ અને $8$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી નાની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 3, & 4, & 5, & 6, & 8 \\ \hline 2 & 3, & 2, & 5, & 3, & 4 \\ \hline 3 & 3, & 1, & 5, & 3, & 2 \\ \hline & 1, & 1, & 5, & 1, & 2 \end{array}$
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2 = 120$.
$120$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^3 \times 3^1 \times 5^1$.
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ હોય તે માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવનો ઘાતાંક બેકી સંખ્યા હોવો જોઈએ. $120$ ને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે તેને જરૂરી અવયવો વડે ગુણીશું જેથી ઘાતાંક બેકી બને: $2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$.
જરૂરી સંખ્યા $= 120 \times 30 = 3600$.

(A) પગલું $1$: $12, 16, 21, 36, 40$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધો.
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$21 = 3 \times 7$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$40 = 2^3 \times 5$
$L.C.M. = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 16 \times 9 \times 5 \times 7 = 5040$.
પગલું $2$: પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $5040$ વડે ભાગતા: $10000 = 5040 \times 1 + 4960$.
પગલું $3$: $5040$ વડે ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $10000$ માં $(5040 - 4960) = 80$ ઉમેરીશું.
સંખ્યા $= 10000 + 80 = 10080$.
પગલું $4$: દરેક કિસ્સામાં $8$ શેષ મેળવવા માટે,લ.સા.અ. ના ગુણકમાં શેષ ઉમેરો.
જરૂરી સંખ્યા $= 10080 + 8 = 10088$.

(A) દરેક પાટિયાની મહત્તમ શક્ય લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે લાકડાના ટુકડાઓની લંબાઈ,એટલે કે $42 \ m$,$49 \ m$ અને $63 \ m$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$49 = 7 \times 7$
$63 = 3 \times 3 \times 7$
પગલું $2$: ત્રણેય સંખ્યાઓમાં સામાન્ય હોય તેવો અવયવ શોધો:
અહીં સામાન્ય અવયવ માત્ર $7$ છે.
તેથી,$42, 49$ અને $63$ નો $HCF$ $7$ છે.
આમ,દરેક પાટિયાની મહત્તમ શક્ય લંબાઈ $7 \ m$ છે.

(D) દરેક વ્યક્તિ દ્વારા એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ વ્યક્તિ માટે: $T_1 = \frac{11}{4} \text{ કલાક}$.
બીજી વ્યક્તિ માટે: $T_2 = \frac{11}{5.5} = \frac{11}{11/2} = 2 \text{ કલાક}$.
ત્રીજી વ્યક્તિ માટે: $T_3 = \frac{11}{8} \text{ કલાક}$.
તેઓ શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે સમય એ એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે: $\text{LCM}(\frac{11}{4}, 2, \frac{11}{8})$.
અપૂર્ણાંકોનો $LCM$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{LCM}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}) = \frac{\text{LCM}(a, c, e)}{\text{HCF}(b, d, f)}$.
અહીં,અપૂર્ણાંકો $\frac{11}{4}, \frac{2}{1}, \frac{11}{8}$ છે.
$\text{LCM}(11, 2, 11) = 22$.
$\text{HCF}(4, 1, 8) = 1$.
તેથી,જરૂરી સમય $\frac{22}{1} = 22 \text{ કલાક}$ છે.

(A) ઘંટ ફરીથી ક્યારે એકસાથે વાગશે તે શોધવા માટે,આપણે આપેલા અંતરાલો $36, 45, 72, 81$ અને $108$ સેકન્ડનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ શોધવો પડશે.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:

$2$	$36, 45, 72, 81, 108$
$2$	$18, 45, 36, 81, 54$
$2$	$9, 45, 18, 81, 27$
$3$	$9, 45, 9, 81, 27$
$3$	$3, 15, 3, 27, 9$
$3$	$1, 5, 1, 9, 3$
$3$	$1, 5, 1, 3, 1$
$5$	$1, 5, 1, 1, 1$

$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3240$
આમ,ઘંટ $3240$ સેકન્ડ પછી ફરીથી એકસાથે વાગશે.

(C) આપેલ તમામ જથ્થાને ચોકસાઈપૂર્વક માપી શકાય તેવું સૌથી મોટું માપ શોધવા માટે,આપણે $403$,$434$ અને $465$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$403 = 13 \times 31$
$434 = 2 \times 7 \times 31$
$465 = 3 \times 5 \times 31$
પગલું $2$: સામાન્ય અવયવ શોધો.
$403$,$434$ અને $465$ માં સામાન્ય અવયવ $31$ છે.
તેથી,સૌથી મોટું માપ $31 \ kg$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $51x$ અને $51y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે (એટલે કે $gcd(x, y) = 1$).
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $L.C.M.$ અને $G.C.D.$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
તેથી,$(51x) \times (51y) = 51 \times 1530$.
બંને બાજુ $51^2$ વડે ભાગતા,આપણને $x \times y = \frac{1530}{51} = 30$ મળે છે.
આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે જેમનો ગુણાકાર $30$ થાય.
$30$ ના અવયવો $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ છે.
$x \times y = 30$ અને $gcd(x, y) = 1$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
$1) (1, 30)$
$2) (2, 15)$
$3) (3, 10)$
$4) (5, 6)$
આ ચારેય જોડીઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,આવી કુલ $4$ જોડીઓ શક્ય છે.

(B) $63, 56$ અને $42$ વડે ભાગતા $1$ શેષ વધે તેવી $5$ અંકની નાનામાં નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા આ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધીશું.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$63 = 3^2 \times 7$
$56 = 2^3 \times 7$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
લ.સા.અ. $= 2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504$.
$5$ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $504$ વડે ભાગતા:
$10000 \div 504 = 19$ અને શેષ $424$ વધે છે.
$504$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી $5$ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000 + (504 - 424) = 10000 + 80 = 10080$ છે.
આપણે દરેક કિસ્સામાં $1$ શેષ જોઈએ છે,તેથી આપણે લ.સા.અ. ના ગુણકમાં $1$ ઉમેરીશું:
જરૂરી સંખ્યા $= 10080 + 1 = 10081$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $H.C.F.$ અને $L.C.M.$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે: $H.C.F. = 44$,$L.C.M. = 264.$
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ સંખ્યા $x$ ને $2$ વડે ભાગતા ભાગફળ $44$ મળે છે.
તેથી,$x / 2 = 44 \implies x = 44 \times 2 = 88.$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x \times y = H.C.F. \times L.C.M.$
$88 \times y = 44 \times 264.$
$y = (44 \times 264) / 88.$
$y = 264 / 2 = 132.$
તેથી,બીજી સંખ્યા $132$ છે.

(C) $n$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $n!$ (n ફેક્ટોરિયલ) વડે વિભાજ્ય હોય છે.
$n = 4$ માટે,કોઈપણ ચાર ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $4!$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
ચકાસણી કરવા માટે,પ્રથમ ચાર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ લો: $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
આગળનો સમૂહ લો: $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$,જે પણ $24$ વડે વિભાજ્ય છે $(120 / 24 = 5)$.
તેથી,કોઈપણ ચાર ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારને ભાગતી સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $24$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$15, 21$ અને $28$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
લ.સા.અ. $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $100000$ છે.
$100000$ ને $420$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધો:
$100000 \div 420 = 238$ અને શેષ $40$ મળે છે.
$420$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા માટે,ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યામાં ઉમેરવો પડે:
જરૂરી સંખ્યા $= 100000 + (420 - 40) = 100000 + 380 = 100380$.

(D) પ્રથમ, ભાજક અને તેમની સંબંધિત શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$12 - 5 = 7$
$15 - 8 = 7$
$21 - 14 = 7$
$25 - 18 = 7$
$28 - 21 = 7$
તફાવત સમાન $(7)$ હોવાથી, જરૂરી સંખ્યા $(12, 15, 21, 25, 28 \text{ નો લ.સા.અ.}) \times k - 7$ થશે.
$12, 15, 21, 25, 28$ નો લ.સા.અ. શોધો:
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$25 = 5^2$
$28 = 2^2 \times 7$
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 2100$.
પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99999$ છે.
$99999$ ને $2100$ વડે ભાગતા:
$99999 \div 2100 = 47$ અને શેષ $1299$ વધે છે.
$100000$ થી નાનો $2100$ નો સૌથી મોટો ગુણક શોધવા માટે શેષને $99999$ માંથી બાદ કરો:
$99999 - 1299 = 98700$.
છેલ્લે, અચળ તફાવત $(7)$ બાદ કરો:
$98700 - 7 = 98693$.

(D) $16, 24, 30$ અને $32$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$16 = 2^4$
$24 = 2^3 \times 3^1$
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$
$32 = 2^5$
$LCM = 2^5 \times 3^1 \times 5^1 = 32 \times 3 \times 5 = 480$.
આપણે જે સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ,તેમાં $3$ ઉમેરતા તે $480$ બને છે.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $= 480 - 3 = 477$.

(C) સૌ પ્રથમ,રૂમના માપને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવો:
લંબાઈ $= 15\, m\, 17\, cm = 1517\, cm$
પહોળાઈ $= 9\, m\, 2\, cm = 902\, cm$
ચોરસ ટાઇલ્સની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,દરેક ચોરસ ટાઇલની બાજુનું માપ રૂમની લંબાઈ અને પહોળાઈના $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) જેટલું હોવું જોઈએ.
$1517$ અને $902$ નો $H.C.F.$:
$1517 = 41 \times 37$
$902 = 41 \times 22$
આમ,$H.C.F. = 41\, cm$.
દરેક ચોરસ ટાઇલની બાજુનું માપ $41\, cm$ છે.
જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{\text{છતનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{1517 \times 902}{41 \times 41} = 37 \times 22 = 814$.

(B) ધારો કે સંખ્યા $x$ છે. શરતો મુજબ $x \equiv 1 \pmod 2$,$x \equiv 2 \pmod 3$,$x \equiv 3 \pmod 4$,$x \equiv 4 \pmod 5$,અને $x \equiv 5 \pmod 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x+1$ એ $2, 3, 4, 5$ અને $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2, 3, 4, 5, 6$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) $60$ થાય છે.
તેથી,$x+1 = 60k$,જેનો અર્થ છે $x = 60k - 1$.
$k=1$ માટે,$x = 59$. $k=2$ માટે,$x = 119$. $k=3$ માટે,$x = 179$.
આપણને આપેલ છે કે $x$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિંમતો તપાસતા: $59/7$ (શેષ $3$),$119/7 = 17$ (શેષ $0$).
આમ,સૌથી નાની સંખ્યા $119$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,ભાજક $4, 6, 10$ અને $15$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધો.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ: $4 = 2^2, 6 = 2 \times 3, 10 = 2 \times 5, 15 = 3 \times 5$.
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99999$ છે.
$99999$ ને $60$ વડે ભાગતા શેષ $39$ મળે છે ($99999 \div 60 = 1666$ અને શેષ $39$).
$60$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા મેળવવા માટે $99999$ માંથી $39$ બાદ કરો: $99999 - 39 = 99960$.
દરેક કિસ્સામાં $3$ શેષ વધે તે માટે આ સંખ્યામાં $3$ ઉમેરો: $99960 + 3 = 99963$.

(B) ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $N$ છે.
આપેલ છે કે $N$ એ $31$ નો ગુણક છે,તેથી $N = 31k$.
વળી,$N$ ને $15, 24$ અને $32$ વડે ભાગતા અનુક્રમે $2, 11$ અને $19$ શેષ વધે છે.
અહીં $15 - 2 = 13$,$24 - 11 = 13$ અને $32 - 19 = 13$ છે.
તેથી,$N + 13$ એ $15, 24$ અને $32$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
$15, 24$ અને $32$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) $480$ છે.
તેથી,$N + 13 = 480m$,જેનો અર્થ છે કે $N = 480m - 13$.
$N$ એ $31$ નો ગુણક હોવાથી,$480m - 13 \equiv 0 \pmod{31}$.
$480 = 31 \times 15 + 15$,તેથી $15m - 13 \equiv 0 \pmod{31}$.
જો $m = 5$ લઈએ,તો $15(5) - 13 = 75 - 13 = 62$,જે $31$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$N = 480(5) - 13 = 2400 - 13 = 2387$.

(B) ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે।
$9999$ થી નાની અથવા તેના જેટલી $531$ ની સૌથી મોટી ગુણક સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે $9999$ ને $531$ વડે ભાગીએ છીએ।
$9999 \div 531 \approx 18.83$।
તેથી, $531$ ની ચાર અંકની સૌથી મોટી ગુણક સંખ્યા $531 \times 18 = 9558$ છે।
$531$ ની ચાર અંકની બીજી સૌથી મોટી ગુણક સંખ્યા $9558 - 531 = 9027$ છે।
આમ, $531$ ને $H.C.F$ તરીકે ધરાવતી ચાર અંકની બે સૌથી મોટી સંખ્યાઓ $9558$ અને $9027$ છે।

(B) સૌ પ્રથમ,$10, 12, 15$ અને $18$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
$10 = 2 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$L.C.M. = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$(x + 3769)$ એ $180$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$5$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99999$ છે.
આપણે સૌથી મોટી $x$ એવી રીતે શોધવી છે કે જેથી $x + 3769 = 180k$ થાય,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$x$ એ $5$ અંકની સંખ્યા હોવાથી,$x \leq 99999$,તેથી $x + 3769 \leq 99999 + 3769 = 103768$.
$103768$ ને $180$ વડે ભાગતા,$103768 = 180 \times 576 + 88$ મળે છે.
$103768$ થી નાની અથવા તેના જેટલી $180$ ની સૌથી મોટી ગુણક શોધવા માટે,આપણે શેષ બાદ કરીશું: $103768 - 88 = 103680$.
આમ,$x + 3769 = 103680$.
$x = 103680 - 3769 = 99911$.

(C) આપેલ શરત સંતોષતી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $14, 15, 21, 32$ અને $60$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$14 = 2 \times 7$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$32 = 2^5$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$LCM = 2^5 \times 3 \times 5 \times 7 = 32 \times 15 \times 7 = 480 \times 7 = 3360$.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે સંખ્યામાંથી $11$ બાદ કરવામાં આવે,ત્યારે તે આ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય બને છે. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી સંખ્યા $= LCM + 11$ છે.
જરૂરી સંખ્યા $= 3360 + 11 = 3371$.

(C) સૌ પ્રથમ, ભાજક અને તેમની અનુરૂપ શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$8 - 1 = 7$
$12 - 5 = 7$
$16 - 9 = 7$
$20 - 13 = 7$
સામાન્ય તફાવત $7$ છે.
હવે, $8, 12, 16$ અને $20$ નો લ.સા.અ. ($L.C.M.$) શોધો:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$20 = 2^2 \times 5$
$L.C.M. = 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240$.
પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $240$ વડે ભાગતા:
$10000 \div 240 = 41$ અને શેષ $160$ વધે છે.
$240$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000 + (240 - 160) = 10080$ છે.
જરૂરી સંખ્યા $= (L.C.M. - \text{સામાન્ય તફાવત}) = 10080 - 7 = 10073$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $H.C.F.$ અને $L.C.M.$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે: $H.C.F. = 11$,$L.C.M. = 693$,અને એક સંખ્યા $= 77$.
સૂત્ર મુજબ: $77 \times x = 11 \times 693$.
$x = \frac{11 \times 693}{77}$.
$x = \frac{693}{7} = 99$.
તેથી,બીજી સંખ્યા $99$ છે.

(B) $24, 28, 30$ અને $35$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા આ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધીશું.
$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 24, & 28, & 30, & 35 \\ \hline 2 & 12, & 14, & 15, & 35 \\ \hline 3 & 6, & 7, & 15, & 35 \\ \hline 5 & 2, & 7, & 5, & 35 \\ \hline 7 & 2, & 7, & 1, & 7 \\ \hline & 2, & 1, & 1, & 1 \end{array}$
$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 840$.
ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$9999$ ને $840$ વડે ભાગતા:
$9999 \div 840 = 11$ અને શેષ $759$ વધે છે.
$840$ વડે ભાગી શકાય તેવી ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,$9999$ માંથી શેષ બાદ કરો:
$9999 - 759 = 9240$.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $9240$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$12, 15, 27, 32$ અને $40$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધો.
$12 = 2^2 \times 3, 15 = 3 \times 5, 27 = 3^3, 32 = 2^5, 40 = 2^3 \times 5$.
$L.C.M. = 2^5 \times 3^3 \times 5 = 4320$.
$12960$ એ $4320$ નો ગુણક છે.
$12960 - 5231 = 7729$.

(A) ધારો કે પથ્થરોની સંખ્યા $N$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$N$ એ $21$ નો ગુણક છે,તેથી $N = 21k$ (જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે).
વળી,જ્યારે $N$ ને $16, 20, 25$ અને $45$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે દરેક કિસ્સામાં $3$ શેષ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $N - 3$ એ $16, 20, 25$ અને $45$ ના લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
પ્રથમ,$16, 20, 25$ અને $45$ નો લ.સા.અ. શોધીએ:
$16 = 2^4$
$20 = 2^2 \times 5$
$25 = 5^2$
$45 = 3^2 \times 5$
લ.સા.અ. $= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600$.
તેથી,$N = 3600m + 3$ (જ્યાં $m$ એક પૂર્ણાંક છે).
હવે આપણે $m$ ની એવી કિંમતો ચકાસીએ કે જેથી $3600m + 3$ ને $21$ વડે ભાગી શકાય:
જો $m = 1$ હોય,તો $N = 3600(1) + 3 = 3603$. $3603 / 21 = 171.57$ (ભાગી શકાતું નથી).
જો $m = 2$ હોય,તો $N = 3600(2) + 3 = 7203$. $7203 / 21 = 343$ (નિઃશેષ ભાગી શકાય છે).
આમ,પથ્થરોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $7203$ છે.

(B) પગલું $1$: $8, 9$ અને $10$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
લ.સા.અ. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$.
પગલું $2$: $5$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $99999$ છે.
પગલું $3$: $99999$ ને $360$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધો.
$99999 \div 360 = 277$ અને શેષ $279$ વધે છે.
પગલું $4$: $5$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યામાંથી શેષ બાદ કરો જેથી $360$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા મળે.
$99999 - 279 = 99720$.
પગલું $5$: આ સંખ્યામાં જરૂરી શેષ $(3)$ ઉમેરો.
$99720 + 3 = 99723$.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $99723$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,બંને લંબાઈને મિલીમીટરમાં રૂપાંતરિત કરો:
$10\, m\, 857\, mm = 10857\, mm$
$15\, m\, 87\, mm = 15087\, mm$
ટુકડાઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા મેળવવા માટે,દરેક ટુકડાની લંબાઈ બંને લંબાઈના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) જેટલી હોવી જોઈએ.
$10857$ અને $15087$ નો ગુ.સા.અ. શોધો:
$10857 = 141 \times 77$
$15087 = 141 \times 107$
ગુ.સા.અ. $= 141\, mm$.
પ્રથમ લંબાઈમાંથી ટુકડાઓની સંખ્યા $= 10857 \div 141 = 77$.
બીજી લંબાઈમાંથી ટુકડાઓની સંખ્યા $= 15087 \div 141 = 107$.
ટુકડાઓની કુલ સંખ્યા $= 77 + 107 = 184$.

(B) ભાજક $4, 5, 6, 7$ છે અને શેષ $2, 3, 4, 5$ છે. નોંધો કે દરેક ભાજક અને તેની સંબંધિત શેષ વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે: $4-2=2, 5-3=2, 6-4=2, 7-5=2$.
ધારો કે સંખ્યા $N$ છે. તો $N = k \times LCM(4, 5, 6, 7) - 2$.
$LCM(4, 5, 6, 7) = 420$.
તેથી,$N = 420k - 2$.
આપણે $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $M$ જોઈએ છે. $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$420k - 2 \leq 9999 \implies 420k \leq 10001 \implies k \leq 23.81$.
$k = 23$ લેતા,$M = 420(23) - 2 = 9660 - 2 = 9658$.
હવે,જ્યારે $M = 9658$ ને $9$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધો.
$9658$ ના અંકોનો સરવાળો $9 + 6 + 5 + 8 = 28$ છે.
$28 \div 9$ કરતા શેષ $1$ મળે છે (કારણ કે $28 = 9 \times 3 + 1$).