H.C.F. and L.C.M. of Polynomials Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $p(x) = 3 + 13x - 30x^2$.
પદોને ગોઠવતા: $p(x) = -30x^2 + 13x + 3$.
$p(x)$ ના અવયવ પાડતા: $p(x) = -30x^2 + 18x - 5x + 3 = -6x(5x - 3) - 1(5x - 3) = -(6x + 1)(5x - 3)$.
ધારો કે $q(x) = 25x^2 - 30x + 9$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે: $q(x) = (5x)^2 - 2(5x)(3) + 3^2 = (5x - 3)^2$.
$G.C.D.$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ $p(x)$ અને $q(x)$ વચ્ચેનો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ છે.
$p(x) = -(6x + 1)(5x - 3)$ અને $q(x) = (5x - 3)(5x - 3)$ ની સરખામણી કરતા,સામાન્ય અવયવ $(5x - 3)$ મળે છે.
તેથી,$G.C.D.$ એ $(5x - 3)$ છે.

(C) ધારો કે બે બહુપદીઓ $p(x) = (x+3)^{2}(x-2)(x+1)^{2}$ અને $q(x) = (x+1)^{3}(x+3)(x+4)$ છે.
બહુપદીઓનો $L.C.M.$ એ પદાવલિઓમાં રહેલા તમામ ભિન્ન અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં ભિન્ન અવયવો $(x+3)$,$(x-2)$,$(x+1)$,અને $(x+4)$ છે.
$(x+3)$ ની મહત્તમ ઘાત $(x+3)^{2}$ છે.
$(x-2)$ ની મહત્તમ ઘાત $(x-2)^{1}$ છે.
$(x+1)$ ની મહત્તમ ઘાત $(x+1)^{3}$ છે.
$(x+4)$ ની મહત્તમ ઘાત $(x+4)^{1}$ છે.
તેથી,$L.C.M.$ = $(x+3)^{2}(x+1)^{3}(x-2)(x+4)$ થાય.

(A) આપેલ બહુપદીઓ $p(x) = 2x^{2}-3x-2$ અને $q(x) = x^{3}-4x^{2}+4x$ છે.
પ્રથમ,$p(x)$ ના અવયવ પાડો:
$p(x) = 2x^{2}-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2) = (2x+1)(x-2)$.
ત્યારબાદ,$q(x)$ ના અવયવ પાડો:
$q(x) = x(x^{2}-4x+4) = x(x-2)^{2}$.
લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ એ પદાવલિઓમાં રહેલા તમામ અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$L.C.M. = x(x-2)^{2}(2x+1)$.

(B) પ્રથમ,આપેલી પદાવલિઓના અવયવ પાડો:
$p(x) = 8(x^{3}-x^{2}+x) = 2^{3} \cdot x \cdot (x^{2}-x+1)$
$q(x) = 28(x^{3}+1) = 2^{2} \cdot 7 \cdot (x+1)(x^{2}-x+1)$
ત્યારબાદ,સામાન્ય અવયવો શોધો:
$8$ અને $28$ નો સંખ્યાત્મક $G.C.D.$ $2^{2} = 4$ છે.
સામાન્ય બહુપદી અવયવ $(x^{2}-x+1)$ છે.
તેથી,જરૂરી $G.C.D.$ $4(x^{2}-x+1)$ છે.

(A) ધારો કે પદાવલિઓ $E_1 = 4x^4 + y^4$,$E_2 = 2x^3 - xy^2 - y^3$ અને $E_3 = 2x^2 + 2xy + y^2$ છે.
$E_1 = 4x^4 + y^4$ માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવી શકીએ: $4x^4 + y^4 = (2x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = (2x^2 + y^2 - 2xy)(2x^2 + y^2 + 2xy)$.
$E_2 = 2x^3 - xy^2 - y^3$ માટે,આપણે તેને $2x^3 - 2y^3 + y^3 - xy^2 - y^3$ તરીકે લખી શકીએ = $2(x^3 - y^3) - y^2(x - y) = 2(x - y)(x^2 + xy + y^2) - y^2(x - y) = (x - y)(2x^2 + 2xy + 2y^2 - y^2) = (x - y)(2x^2 + 2xy + y^2)$.
$E_3 = 2x^2 + 2xy + y^2$ માટે,તે પહેલેથી જ તેના સરળ સ્વરૂપમાં છે.
ત્રણેય પદાવલિઓમાં સામાન્ય અવયવ $(2x^2 + 2xy + y^2)$ છે.
તેથી,$G.C.D.$ એ $2x^2 + 2xy + y^2$ છે.

(C) ધારો કે બે બહુપદીઓ $p(x) = (x+4)^{2}(x-3)^{2}$ અને $q(x) = (x-1)(x+4)(x-3)^{2}$ છે.
$G.C.D.$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ આપેલી બહુપદીઓમાં રહેલા તમામ સામાન્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$p(x)$ ના અવયવો $(x+4)^{2}$ અને $(x-3)^{2}$ છે.
$q(x)$ ના અવયવો $(x-1)$,$(x+4)$ અને $(x-3)^{2}$ છે.
સામાન્ય અવયવો $(x+4)$ અને $(x-3)^{2}$ છે.
$(x+4)$ ની સૌથી નાની ઘાત $(x+4)^{1}$ છે.
$(x-3)$ ની સૌથી નાની ઘાત $(x-3)^{2}$ છે.
તેથી,$G.C.D.$ એ $(x+4)(x-3)^{2}$ થશે.

(A) આપેલ બહુપદીઓ $p(x) = 16 - 4x^{2}$ અને $q(x) = x^{2} + x - 6$ છે.
પગલું $1$: $p(x)$ ના અવયવ પાડો.
$p(x) = 16 - 4x^{2} = 4(4 - x^{2}) = 4(2 - x)(2 + x) = -4(x - 2)(x + 2)$.
પગલું $2$: $q(x)$ ના અવયવ પાડો.
$q(x) = x^{2} + x - 6 = x^{2} + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 2)$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
લ.સા.અ. એ પદાવલિઓમાં રહેલા તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે.
લ.સા.અ. $= -4(x - 2)(x + 2)(x + 3)$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
લ.સા.અ. $= -4(x^{2} - 4)(x + 3)$.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{2}-4$.
$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$p(x) = (x-2)(x+2)$.
હવે,ધારો કે $q(x) = x^{2}-5x+6$.
આ દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $6$ અને સરવાળો $-5$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-2$ અને $-3$ છે.
$q(x) = x^{2}-2x-3x+6$
$q(x) = x(x-2)-3(x-2)$
$q(x) = (x-2)(x-3)$.
$G.C.D.$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ બંને બહુપદીઓમાં રહેલો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ છે.
$p(x) = (x-2)(x+2)$ અને $q(x) = (x-2)(x-3)$ ની સરખામણી કરતા,સામાન્ય અવયવ $(x-2)$ છે.
તેથી,$G.C.D.$ એ $x-2$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે બહુપદીઓ $p(y)$ અને $q(y)$ માટે,સંબંધ છે: $p(y) \times q(y) = H.C.F. \times L.C.M.$
આપેલ છે:
$H.C.F. = (y-7)$
$L.C.M. = y^{3}-10y^{2}+11y+70$
$p(y) = y^{2}-5y-14 = (y-7)(y+2)$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(y-7)(y+2) \times q(y) = (y-7) \times (y^{3}-10y^{2}+11y+70)$
$q(y) = \frac{(y-7)(y^{3}-10y^{2}+11y+70)}{(y-7)(y+2)}$
$q(y) = \frac{y^{3}-10y^{2}+11y+70}{y+2}$
$(y^{3}-10y^{2}+11y+70)$ ને $(y+2)$ વડે ભાગતા:
$y^{3}+2y^{2} - 12y^{2}-24y + 35y+70 = y^{2}(y+2) - 12y(y+2) + 35(y+2)$
$= (y^{2}-12y+35)(y+2)$
આમ,$q(y) = y^{2}-12y+35$.

(C) $G.C.D.$ (ગુ.સા.અ.) $(x-4)$ આપેલ છે.
ધારો કે $p(x) = x^{2}-x-12$. તેના અવયવ પાડતા,આપણને $p(x) = (x-4)(x+3)$ મળે છે.
ધારો કે $q(x) = x^{2}-mx-8$.
કારણ કે $(x-4)$ એ $G.C.D.$ છે,તેથી તે $q(x)$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-4)$ એ $q(x)$ નો અવયવ હોય,તો $q(4) = 0$ થાય.
$q(x)$ માં $x = 4$ મૂકતા:
$q(4) = (4)^{2} - m(4) - 8 = 0$
$16 - 4m - 8 = 0$
$8 - 4m = 0$
$4m = 8$
$m = 2$.

(C) ધારો કે બે બહુપદીઓ $p(x) = (x-2)^{2}(x+3)(x-4)$ અને $q(x) = (x-2)(x+2)(x-5)$ છે.
$G.C.D.$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે,આપણે બંને પદાવલિઓમાં રહેલા સામાન્ય અવયવોને ઓળખીએ છીએ.
$p(x)$ ના અવયવો $(x-2)$,$(x-2)$,$(x+3)$ અને $(x-4)$ છે.
$q(x)$ ના અવયવો $(x-2)$,$(x+2)$ અને $(x-5)$ છે.
બંને બહુપદીઓમાં રહેલો એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $(x-2)$ છે.
તેથી,આપેલી બહુપદીઓનો $G.C.D.$ $(x-2)$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{2}-2x-24$ અને $q(x) = x^{2}-ax-6$ છે.
કારણ કે $(x-6)$ એ $p(x)$ અને $q(x)$ નો ગુ.સા.અ. છે,તેથી તે બંને બહુપદીઓનો અવયવ હોવો જોઈએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-6)$ એ $q(x)$ નો અવયવ હોય,તો $q(6) = 0$ થાય.
$q(x)$ માં $x = 6$ મૂકતા:
$q(6) = (6)^{2} - a(6) - 6 = 0$
$36 - 6a - 6 = 0$
$30 - 6a = 0$
$6a = 30$
$a = 5$
આમ,$a$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે બહુપદીઓ $p(x)$ અને $q(x)$ માટે:
$p(x) \times q(x) = \text{લ.સા.અ.} \times \text{ગુ.સા.અ.}$
આપેલ છે:
$p(x) = 4 x^{2}(x^{2}-a^{2})$
$\text{લ.સા.અ.} = 36 x^{3}(x+a)(x^{3}-a^{3})$
$\text{ગુ.સા.અ.} = x^{2}(x-a)$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 x^{2}(x^{2}-a^{2}) \times q(x) = 36 x^{3}(x+a)(x^{3}-a^{3}) \times x^{2}(x-a)$
કારણ કે $(x^{2}-a^{2}) = (x-a)(x+a)$,આપણે લખી શકીએ:
$4 x^{2}(x-a)(x+a) \times q(x) = 36 x^{5}(x+a)(x-a)(x^{3}-a^{3})$
$q(x) = \frac{36 x^{5}(x+a)(x-a)(x^{3}-a^{3})}{4 x^{2}(x+a)(x-a)}$
$q(x) = 9 x^{3}(x^{3}-a^{3})$

(A) ધારો કે $p(x) = x^{2}-x-6$ અને $q(x) = x^{2}+3x-18$.
કારણ કે $(x-a)$ એ $p(x)$ અને $q(x)$ નો ગુ.સા.અ. છે,તેથી $(x-a)$ એ બંને બહુપદીઓનો સામાન્ય અવયવ હોવો જોઈએ.
$p(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$p(x) = x^{2}-3x+2x-6 = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2)$.
$q(x)$ ના અવયવ પાડતા:
$q(x) = x^{2}+6x-3x-18 = x(x+6)-3(x+6) = (x-3)(x+6)$.
સામાન્ય અવયવ $(x-3)$ છે.
$(x-3)$ ની સરખામણી $(x-a)$ સાથે કરતા,આપણને $a = 3$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે બહુપદીઓ $p(x)$ અને $q(x)$ માટે,બહુપદીઓનો ગુણાકાર તેમના $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) અને $L.C.M.$ (લ.સા.અ.) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$p(x) \times q(x) = H.C.F. \times L.C.M.$
આપેલ છે:
$H.C.F. = x(x+a)$
$L.C.M. = 12x^2(x+a)(x^2-a^2)$
$p(x) = 4x(x+a)^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$q(x) = \frac{H.C.F. \times L.C.M.}{p(x)}$
$q(x) = \frac{x(x+a) \times 12x^2(x+a)(x^2-a^2)}{4x(x+a)^2}$
$q(x) = \frac{12x^3(x+a)^2(x^2-a^2)}{4x(x+a)^2}$
$q(x) = 3x^2(x^2-a^2)$

(B) ધારો કે $p(x) = 8(x^{4}-16)$.
$p(x)$ ના અવયવો પાડતા:
$p(x) = 8(x^{2}-4)(x^{2}+4) = 8(x-2)(x+2)(x^{2}+4) = 4 \times 2(x-2)(x+2)(x^{2}+4)$.
ધારો કે $q(x) = 12(x^{3}-8)$.
$a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $q(x)$ ના અવયવો પાડતા:
$q(x) = 12(x-2)(x^{2}+2x+4) = 4 \times 3(x-2)(x^{2}+2x+4)$.
$G.C.D.$ એ સામાન્ય અવયવોનો ગુણાકાર છે જેની ઘાત સૌથી ઓછી હોય.
અહીં સામાન્ય અવયવ $4(x-2)$ છે.
તેથી,$G.C.D.$ $= 4(x-2)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = (x+3)(-6x^2+5x+4)$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $-6x^2+5x+4 = -6x^2+8x-3x+4 = -2x(3x-4)-1(3x-4) = -(3x-4)(2x+1)$.
તેથી,$p(x) = -(x+3)(3x-4)(2x+1)$.
ધારો કે $q(x) = (2x^2+7x+3)(x+3)$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3 = 2x(x+3)+1(x+3) = (2x+1)(x+3)$.
તેથી,$q(x) = (2x+1)(x+3)(x+3) = (x+3)^2(2x+1)$.
લ.સા.અ. એ પદાવલિઓમાં રહેલા તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે.
લ.સા.અ. $= -(x+3)^2(3x-4)(2x+1)$.

(C) ધારો કે $p(x) = 36 x^{2}-49$.
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = (6 x)^{2}-(7)^{2} = (6 x+7)(6 x-7)$.
ધારો કે $q(x) = 6 x^{2}-25 x+21$.
આ દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ છીએ:
$q(x) = 6 x^{2}-18 x-7 x+21$
$q(x) = 6 x(x-3)-7(x-3)$
$q(x) = (6 x-7)(x-3)$.
$G.C.D.$ (ગુ.સા.અ.) એ બંને બહુપદીઓમાં રહેલો સામાન્ય અવયવ છે.
તેથી,$G.C.D. = (6 x-7)$.

(B) પ્રથમ,પ્રથમ બહુપદીના અવયવ પાડો: $30 x^{2}+13 x-3 = 30 x^{2}+18 x-5 x-3 = 6 x(5 x+3)-1(5 x+3) = (5 x+3)(6 x-1)$.
ત્યારબાદ,બીજી બહુપદીના અવયવ પાડો: $25 x^{2}-30 x+9 = 25 x^{2}-15 x-15 x+9 = 5 x(5 x-3)-3(5 x-3) = (5 x-3)^{2}$.
$L.C.M.$ એ પદાવલિઓમાં હાજર તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$L.C.M. = (5 x-3)^{2}(5 x+3)(6 x-1)$.

(C) ધારો કે પ્રથમ બહુપદી $p(x) = 6 x^{2} + 11 x + 3$ છે.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $6 x^{2} + 9 x + 2 x + 3 = 3 x(2 x + 3) + 1(2 x + 3) = (2 x + 3)(3 x + 1)$.
ધારો કે બીજી બહુપદી $q(x) = 2 x^{2} + x - 3$ છે.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 = x(2 x + 3) - 1(2 x + 3) = (2 x + 3)(x - 1)$.
$G.C.D.$ એ બંને બહુપદીઓ વચ્ચેનો સામાન્ય અવયવ છે.
તેથી,$G.C.D. = (2 x + 3)$.

(C) બે પદાવલિઓ,તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$L.C.M. \times H.C.F. = \text{બે પદાવલિઓનો ગુણાકાર}$
અહીં આપેલ છે કે $p$ અને $q$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$L.C.M. \times 1 = p \times q$
આમ,$L.C.M. = p \cdot q$ થાય.

(D) પ્રથમ,દરેક પદાવલિના અવયવો પાડો:
$2x^2 - 4x = 2x(x - 2)$
$3x^4 - 12x^2 = 3x^2(x^2 - 4) = 3x^2(x - 2)(x + 2)$
$2x^5 - 2x^4 - 4x^3 = 2x^3(x^2 - x - 2) = 2x^3(x - 2)(x + 1)$
ત્રણેય પદાવલિઓમાં સામાન્ય અવયવો $x$ અને $(x - 2)$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. = $x(x - 2)$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે બે પદાવલિઓનો ગુણાકાર અને તેમના $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) તથા $L.C.M.$ (લ.સા.અ.) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
બે પદાવલિઓનો ગુણાકાર $= H.C.F. \times L.C.M.$
આપેલ છે:
ગુણાકાર $= (x+y+z) p^{3}$
$H.C.F. = p^{2}$
તેથી,$L.C.M. = \frac{\text{ગુણાકાર}}{H.C.F.}$
$L.C.M. = \frac{(x+y+z) p^{3}}{p^{2}}$
$L.C.M. = (x+y+z) p$

(A) કારણ કે $(x-1)$ એ આપેલી પદાવલિઓનો $H.C.F.$ છે,તેથી તે બંને પદાવલિઓનો અવયવ હોવો જોઈએ.
તેથી,$x=1$ કિંમત મૂકતા દરેક પદાવલિની કિંમત શૂન્ય થવી જોઈએ.
બીજી પદાવલિ $[p x^{2}-q(x+1)]$ માં $x=1$ મૂકતા:
$p(1)^{2} - q(1+1) = 0$
$p(1) - q(2) = 0$
$p - 2q = 0$
$p = 2q$.

(B) પ્રથમ,દરેક પદાવલિના અવયવો પાડો:
$1. x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y)$
$2. x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$
$3. x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3} = x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y) = (x^{2}-y^{2})(x-y) = (x+y)(x-y)(x-y) = (x+y)(x-y)^{2}$
લ.સા.અ. શોધવા માટે,દરેક અલગ અવયવની સૌથી મોટી ઘાત લો:
અવયવો $(x+y)$,$(x-y)$,અને $(x^{2}+xy+y^{2})$ છે.
$(x+y)$ ની સૌથી મોટી ઘાત $(x+y)^{1}$ છે.
$(x-y)$ ની સૌથી મોટી ઘાત $(x-y)^{2}$ છે.
$(x^{2}+xy+y^{2})$ ની સૌથી મોટી ઘાત $(x^{2}+xy+y^{2})^{1}$ છે.
તેથી,લ.સા.અ. $= (x+y)(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})$.