HCF and LCM Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $39x$ અને $39y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (એટલે કે $gcd(x, y) = 1$).
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $468$ છે,તેથી $39x + 39y = 468$.
$39$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y = \frac{468}{39} = 12$ મળે છે.
આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે જેનો સરવાળો $12$ થાય અને $x < y$ હોય.
$12$ સરવાળો ધરાવતી શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$(1, 11)$ જ્યાં $gcd(1, 11) = 1$ (માન્ય)
$(2, 10)$ જ્યાં $gcd(2, 10) = 2$ (અમાન્ય)
$(3, 9)$ જ્યાં $gcd(3, 9) = 3$ (અમાન્ય)
$(4, 8)$ જ્યાં $gcd(4, 8) = 4$ (અમાન્ય)
$(5, 7)$ જ્યાં $gcd(5, 7) = 1$ (માન્ય)
$(6, 6)$ જ્યાં $gcd(6, 6) = 6$ (અમાન્ય)
આમ,આવી $2$ જોડીઓ શક્ય છે: $(1, 11)$ અને $(5, 7)$.

(D) $6, 8$ અને $12$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા એ $6, 8$ અને $12$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ છે,જે $24$ છે.
આપણે $500$ અને $700$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે $24$ ના ગુણક હોય.
$500$ ને $24$ વડે ભાગતા: $500 = 24 \times 20 + 20$. તેથી $500$ થી મોટી $24$ ની પ્રથમ ગુણક સંખ્યા $24 \times 21 = 504$ છે.
$700$ ને $24$ વડે ભાગતા: $700 = 24 \times 29 + 4$. તેથી $700$ થી નાની $24$ ની છેલ્લી ગુણક સંખ્યા $24 \times 29 = 696$ છે.
આ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $504, 528, 552, \dots, 696$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 504$,છેલ્લું પદ $l = 696$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 24$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા: $696 = 504 + (n - 1)24$.
$192 = (n - 1)24 \implies n - 1 = 8 \implies n = 9$.
સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{9}{2}(504 + 696) = \frac{9}{2}(1200) = 9 \times 600 = 5400$.

(D) ધારો કે બે ભાગ $15x$ અને $15y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે.
તેમનો સરવાળો $15x + 15y = 1000$ છે.
$15$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y = 1000 / 15 = 200 / 3$ મળે છે.
કારણ કે $x$ અને $y$ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,તેમનો સરવાળો $x + y$ પણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
જોકે,$200 / 3$ એ પૂર્ણાંક નથી $(66.66...)$.
તેથી,$1000$ ને બે ભાગમાં એવી રીતે વિભાજિત કરવું શક્ય નથી કે જેથી તેમનો $HCF$ $15$ હોય.
આથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) છોકરાઓની સંખ્યા $= 442$; છોકરીઓની સંખ્યા $= 374$.
દરેક વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની શક્ય તેટલી મોટી સમાન સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $442$ અને $374$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધીશું.
$442$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 13 \times 17$.
$374$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 11 \times 17$.
$HCF(442, 374) = 2 \times 17 = 34$.
તેથી,દરેક વર્ગમાં $34$ વિદ્યાર્થીઓ છે.
છોકરાઓના વર્ગોની સંખ્યા $= 442 \div 34 = 13$.
છોકરીઓના વર્ગોની સંખ્યા $= 374 \div 34 = 11$.
વર્ગોની કુલ સંખ્યા $= 13 + 11 = 24$.

(B) $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$9999$ ને $196$ વડે ભાગતા,આપણને $9999 = 196 \times 51 + 3$ મળે છે. શેષ $3$ વધે છે.
તેથી,$196$ વડે ભાગી શકાય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999 - 3 = 9996$ છે.
$5$ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
$10000$ ને $196$ વડે ભાગતા,આપણને $10000 = 196 \times 51 + 4$ મળે છે. શેષ $4$ વધે છે.
$196$ વડે ભાગી શકાય તેવી $5$ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $10000$ માં $(196 - 4)$ ઉમેરીશું.
તેથી,જરૂરી $5$ અંકની સંખ્યા $10000 + (196 - 4) = 10000 + 192 = 10192$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $9a$ અને $9b$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $4212$ છે.
તેથી,$(9a) \times (9b) = 4212$.
$81ab = 4212$.
$ab = \frac{4212}{81} = 52$.
હવે,આપણે $52$ ના પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવોની જોડી શોધીએ. $52$ ના અવયવો $(1, 52)$ અને $(4, 13)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $a=1, b=52$ હોય,તો સંખ્યાઓ $9 \times 1 = 9$ અને $9 \times 52 = 468$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $a=4, b=13$ હોય,તો સંખ્યાઓ $9 \times 4 = 36$ અને $9 \times 13 = 117$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જોડી $(36, 117)$ સાચી છે.

(B) આપેલ છે કે $HCF = 36$ અને $LCM = 756$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $36a$ અને $36b$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$HCF \times LCM = 36a \times 36b = 36 \times 756$.
બંને બાજુ $36^2$ વડે ભાગતા,આપણને $a \times b = \frac{756}{36} = 21$ મળે છે.
$21$ ના પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવોની શક્ય જોડો $(1, 21)$ અને $(3, 7)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $(a, b) = (1, 21)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(36 \times 1, 36 \times 21) = (36, 756)$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $(a, b) = (3, 7)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(36 \times 3, 36 \times 7) = (108, 252)$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(108, 252)$ જોડ ઉપલબ્ધ છે.

(B) આપેલ લંબાઈને ચોકસાઈપૂર્વક માપી શકાય તેવી મહત્તમ લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે લંબાઈઓનો $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ - ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,બધી લંબાઈઓને સેન્ટિમીટરમાં $(cm)$ ફેરવો:
$6 \, m = 600 \, cm$
$4 \, m \, 75 \, cm = 475 \, cm$
$10 \, m \, 25 \, cm = 1025 \, cm$
હવે,$600$,$475$,અને $1025$ નો $HCF$ શોધો:
$600$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^3 \times 3 \times 5^2$
$475$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 5^2 \times 19$
$1025$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 5^2 \times 41$
સૌથી નાની ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવયવ $5^2 = 25$ છે.
તેથી,મહત્તમ શક્ય લંબાઈ $25 \, cm$ છે.

(B) ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$x \times 144 = 36 \times 1008$
$x = \frac{36 \times 1008}{144}$
કારણ કે $144 = 36 \times 4$,તેથી:
$x = \frac{36 \times 1008}{36 \times 4} = \frac{1008}{4} = 252$
તેથી,બીજી સંખ્યા $252$ છે.

(C) ત્રણ ઘંટ અનુક્રમે $6$ સેકન્ડ,$7$ સેકન્ડ અને $8$ સેકન્ડના અંતરે વાગતા હોવાથી,તેઓ ફરીથી એકસાથે $6, 7$ અને $8$ સેકન્ડના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ જેટલા સમય પછી વાગશે.
$6, 7$ અને $8$ નો $LCM$ શોધવા માટે:
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7 \times 1$
$8 = 2^3$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 24 \times 7 = 168$.
તેથી,જરૂરી સમય $168$ સેકન્ડ છે.

(A) ચોરસ ટાઇલ્સની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ ચોરસ ટાઇલનું મહત્તમ કદ નક્કી કરવું જોઈએ જે હોલના પરિમાણોમાં સંપૂર્ણ રીતે બંધબેસતું હોય.
ચોરસ ટાઇલની મહત્તમ બાજુની લંબાઈ એ હોલની લંબાઈ અને પહોળાઈનો $HCF$ (ગુ.સા.અ.) છે.
લંબાઈ $= 17 \, m \, 55 \, cm = 1755 \, cm$.
પહોળાઈ $= 8 \, m \, 10 \, cm = 810 \, cm$.
હવે,$1755$ અને $810$ નો $HCF$ શોધો:
$1755 = 135 \times 13$
$810 = 135 \times 6$
તેથી,$HCF = 135 \, cm$.
જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા $= \frac{\text{હોલનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{1755 \times 810}{135 \times 135}$.
$= \frac{1755}{135} \times \frac{810}{135} = 13 \times 6 = 78$.

(D) આપેલ સંખ્યાઓ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2^3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાત નક્કી કરો:
અહીં અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3,$ અને $5$ છે.
$2$ ની સૌથી મોટી ઘાત $= 2^3 = 8$
$3$ ની સૌથી મોટી ઘાત $= 3^2 = 9$
$5$ ની સૌથી મોટી ઘાત $= 5^1 = 5$
પગલું $3$: $LCM$ શોધવા માટે આ સૌથી મોટી ઘાતોનો ગુણાકાર કરો:
$LCM = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$.
આમ,$6, 8, 15, 18$ અને $24$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા $360$ છે.

(C) $36$ અને $84$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$HCF$ એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$HCF = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
તેથી,$36$ અને $84$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $12$ છે.

(C) $24, 36$ અને $40$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીત અથવા ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{array}{c|ccc} 2 & 24, & 36, & 40 \\ \hline 2 & 12, & 18, & 20 \\ \hline 2 & 6, & 9, & 10 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 5 \\ \hline & 1, & 3, & 5 \end{array}$
$\therefore LCM = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 360$
આમ,$24, 36$ અને $40$ નો $LCM$ $360$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $4x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $4$ છે,તેથી $x = 4$ થાય.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $3 \times 4 = 12$ અને $4 \times 4 = 16$ છે.
બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $(LCM)$ એ ગુણોત્તરના પદો અને ગુ.સા.અ. નો ગુણાકાર છે: $LCM = 3 \times 4 \times 4 = 48$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $37x$ અને $37y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $4107$ છે.
તેથી,$(37x) \times (37y) = 4107$.
$1369 \times (xy) = 4107$.
$xy = \frac{4107}{1369} = 3$.
કારણ કે $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $(x, y)$ માટે શક્ય જોડી $(1, 3)$ છે.
તેથી,સંખ્યાઓ $37 \times 1 = 37$ અને $37 \times 3 = 111$ છે.
મોટી સંખ્યા $111$ છે.

(C) આપેલ છે: $HCF = 21$ અને $LCM = 84$.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $21x$ અને $21y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $1:4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{21x}{21y} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= HCF \times LCM$.
તેથી,$(21x) \times (21y) = 21 \times 84$.
$441(xy) = 1764$.
$xy = \frac{1764}{441} = 4$.
કારણ કે $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$,તેથી $y = 4x$. આ કિંમત $xy = 4$ માં મૂકતા,$x(4x) = 4$,એટલે કે $4x^2 = 4$,જેનો અર્થ છે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$.
તેથી $y = 4(1) = 4$.
આમ,સંખ્યાઓ $21(1) = 21$ અને $21(4) = 84$ છે.
તેથી મોટી સંખ્યા $84$ છે.

(D) બે સંખ્યાઓનો $HCF$ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા તેમના $LCM$ (લ.સા.અ.) ને નિઃશેષ ભાગે છે.
આપેલ છે કે $HCF = 8$ છે,તેથી $LCM$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$24 \div 8 = 3$ (વિભાજ્ય છે)
$48 \div 8 = 6$ (વિભાજ્ય છે)
$56 \div 8 = 7$ (વિભાજ્ય છે)
$60 \div 8 = 7.5$ (વિભાજ્ય નથી)
તેથી,$60$ એ એવી બે સંખ્યાઓનો $LCM$ ક્યારેય ન હોઈ શકે જેનો $HCF$ $8$ હોય.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $29x$ અને $29y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે $LCM = 29 \times x \times y = 4147$.
તેથી,$xy = \frac{4147}{29} = 143$.
$143$ ના અવયવો $(1, 143)$ અને $(11, 13)$ છે.
જો આપણે $(1, 143)$ લઈએ,તો સંખ્યાઓ $29 \times 1 = 29$ અને $29 \times 143 = 4147$ મળે. પરંતુ પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બંને સંખ્યાઓ $29$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
જો આપણે $(11, 13)$ લઈએ,તો સંખ્યાઓ $29 \times 11 = 319$ અને $29 \times 13 = 377$ મળે.
$319$ અને $377$ બંને $29$ કરતા મોટી છે.
તેથી,સંખ્યાઓનો સરવાળો $319 + 377 = 696$ થાય.

(B) સૌ પ્રથમ,$5, 6, 7$ અને $8$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 5, & 6, & 7, & 8 \\ \hline & 5, & 3, & 7, & 4 \end{array}$
$LCM = 2 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4 = 840$.
સંખ્યા $840k + 3$ સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ,જ્યાં $k$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
આપણે $k$ ની એવી સૌથી નાની કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $(840k + 3)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$840k + 3 = (837k + 3k) + 3 = 9(93k) + 3k + 3$.
$(840k + 3)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$(3k + 3)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
જો $k = 1$ હોય,તો $3(1) + 3 = 6$ ($9$ વડે વિભાજ્ય નથી).
જો $k = 2$ હોય,તો $3(2) + 3 = 9$ ($9$ વડે વિભાજ્ય છે).
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$6, 9, 15$ અને $18$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 6, & 9, & 15, & 18 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 15, & 9 \\ \hline 3 & 1, & 3, & 5, & 3 \\ \hline & 1, & 1, & 5, & 1 \end{array}$
$LCM = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$.
ધારો કે સંખ્યા $90k + 4$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંખ્યા $7$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$90k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$.
$90 \pmod{7}$ નું સાદું રૂપ આપતા: $90 = 7 \times 12 + 6$,તેથી $90 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$.
આમ,$-k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $k \equiv 4 \pmod{7}$.
$k$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત $4$ છે.
$k = 4$ ને $90k + 4$ માં મૂકતા:
જરૂરી સંખ્યા $= 90(4) + 4 = 360 + 4 = 364$.

(D) $12, 15, 20$ અને $54$ વડે ભાગતા $8$ શેષ વધે તેવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીશું.
$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 12, & 15, & 20, & 54 \\ \hline 2 & 6, & 15, & 10, & 27 \\ \hline 3 & 3, & 15, & 5, & 27 \\ \hline 3 & 1, & 5, & 5, & 9 \\ \hline 5 & 1, & 1, & 1, & 3 \end{array}$
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 = 540$.
જરૂરી સંખ્યા = $LCM + \text{શેષ} = 540 + 8 = 548$.

(B) સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે જેને $7$ વડે ઘટાડતા તે $12, 16, 18, 21$ અને $28$ વડે વિભાજ્ય હોય,આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
પગલું $2$: $LCM$ એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 = 1008$
પગલું $3$: જે સંખ્યાને $7$ વડે ઘટાડતા $1008$ મળે તે સંખ્યા $1008 + 7 = 1015$ છે.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $1015$ છે.

(B) તેવી નાનીમાં નાની સંખ્યા શોધવા માટે જેને બમણી કરવાથી તે $12, 18, 21$ અને $30$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય,આપણે સૌ પ્રથમ આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$12, 18, 21, 30$ નો $LCM$:

$2$	$12, 18, 21, 30$
$3$	$6, 9, 21, 15$
	$2, 3, 7, 5$

$LCM = 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 7 \times 5 = 1260$.
ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$2x$ એ $1260$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
તેથી,$2x = 1260$.
$x = \frac{1260}{2} = 630$.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $630$ છે.

(B) સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે જે $1657$ અને $2037$ ને ભાગતા અનુક્રમે $6$ અને $5$ શેષ વધે,આપણે $(1657 - 6)$ અને $(2037 - 5)$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરો.
$1657 - 6 = 1651$
$2037 - 5 = 2032$
પગલું $2$: ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $1651$ અને $2032$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$2032 = 1651 \times 1 + 381$
$1651 = 381 \times 4 + 127$
$381 = 127 \times 3 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,ગુ.સા.અ. $127$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $127$ છે.

(A) સમાન શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા $N$ શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓના તફાવતનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધીએ છીએ: $(b-a), (c-b),$ અને $(c-a)$.
અહીં,$a = 1305, b = 4665, c = 6905$.
તફાવત નીચે મુજબ છે:
$4665 - 1305 = 3360$
$6905 - 4665 = 2240$
$6905 - 1305 = 5600$
હવે,$3360, 2240$ અને $5600$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$3360 = 1120 \times 3$
$2240 = 1120 \times 2$
$5600 = 1120 \times 5$
આમ,$N = HCF(3360, 2240, 5600) = 1120$.
$N$ ના અંકોનો સરવાળો $= 1 + 1 + 2 + 0 = 4$.

(A) $43, 91$ અને $183$ ને ભાગતા સમાન શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત શોધીશું:
$91 - 43 = 48$
$183 - 91 = 92$
$183 - 43 = 140$
હવે,આપણે આ તફાવતોનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધીશું: $48, 92$ અને $140$.
$48$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^4 \times 3$
$92$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^2 \times 23$
$140$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^2 \times 5 \times 7$
સૌથી ઓછી ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવયવ $2^2 = 4$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $4$ છે.

(A) વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $1001$ અને $910$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1001 = 910 \times 1 + 91$
$910 = 91 \times 10 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$1001$ અને $910$ નો $HCF$ $91$ છે.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા $91$ છે.

(C) આપેલ લંબાઈઓને ચોકસાઈપૂર્વક માપી શકાય તેવી મહત્તમ લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે આપેલ મૂલ્યોનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,બધી લંબાઈઓને સેન્ટિમીટરમાં $(cm)$ ફેરવો:
$7 \ m = 700 \ cm$
$3 \ m \ 85 \ cm = 385 \ cm$
$12 \ m \ 95 \ cm = 1295 \ cm$
હવે,$700$,$385$ અને $1295$ નો $HCF$ શોધો.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$700$ અને $385$ નો $HCF$:
$700 = 385 \times 1 + 315$
$385 = 315 \times 1 + 70$
$315 = 70 \times 4 + 35$
$70 = 35 \times 2 + 0$
તેથી,$700$ અને $385$ નો $HCF$ $35$ છે.
હવે,$35$ અને $1295$ નો $HCF$ શોધો:
$1295 = 35 \times 37 + 0$
આમ,$700$,$385$ અને $1295$ નો $HCF$ $35$ છે.
તેથી,મહત્તમ શક્ય લંબાઈ $35 \ cm$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,તેથી $a \times b = HCF \times LCM$.
અહીં $HCF = 11$ અને $LCM = 385$ આપેલ છે.
તેથી,$a \times b = 11 \times 385 = 11 \times (5 \times 7 \times 11) = (11 \times 5) \times (11 \times 7) = 55 \times 77$.
બંને સંખ્યાઓ $HCF$ $(11)$ ના ગુણક હોવી જોઈએ,તેથી શક્ય અવયવો $11 \times 1, 11 \times 5, 11 \times 7, 11 \times 35$ છે.
આમ,બે સંખ્યાઓ $55$ અને $77$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે એક સંખ્યા $75$ અને $125$ ની વચ્ચે છે.
$77$ એ $75$ અને $125$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી માંગેલ સંખ્યા $77$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે બે સંખ્યાઓનો $HCF$ $23$ છે.
કોઈપણ બે સંખ્યાઓને $a = HCF \times x$ અને $b = HCF \times y$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવો છે.
આ બે સંખ્યાઓનો $LCM$ $LCM = HCF \times x \times y$ દ્વારા મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $LCM$ ના અન્ય બે અવયવો $13$ અને $14$ છે,તેથી $x = 13$ અને $y = 14$ છે.
તેથી બે સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$a = 23 \times 13 = 299$
$b = 23 \times 14 = 322$
બંને સંખ્યાઓની સરખામણી કરતા,મોટી સંખ્યા $322$ છે.

(B) બે સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય (co-prime) કહેવાય છે જો તેમનો $HCF$ (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) $1$ હોય.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ,તેમના $HCF$ અને તેમના $LCM$ (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = HCF \times LCM$
અહીં આપેલ છે કે બે સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $117$ છે અને તેમનો $HCF$ $1$ છે,તેથી:
$117 = 1 \times LCM$
તેથી,$LCM = 117$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 55$ છે $....(1)$
આપણને $HCF = 5$ અને $LCM = 120$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$x \times y = HCF \times LCM$
$x \times y = 5 \times 120 = 600$ $....(2)$
આપણે સંખ્યાઓના વ્યસ્તનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ છે.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x \times y}$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{55}{600}$
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{55 \div 5}{600 \div 5} = \frac{11}{120}$

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $x + y = 100$ $....(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $LCM$ અને $HCF$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$x \times y = LCM \times HCF$
$x \times y = 495 \times 5 = 2475$ $....(2)$
આપણે તફાવત $|x - y|$ શોધવાનો છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - y)^2 = (100)^2 - 4(2475)$
$(x - y)^2 = 10000 - 9900$
$(x - y)^2 = 100$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$x - y = \sqrt{100} = 10$
તેથી,બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $10$ છે.

(C) આપેલ છે: $HCF = 11$,$LCM = 7700$,અને એક સંખ્યા $x = 275$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = HCF \times LCM$.
ધારો કે બીજી સંખ્યા $y$ છે.
તેથી,$275 \times y = 11 \times 7700$.
$y = \frac{11 \times 7700}{275}$.
$275$ ને $11$ વડે ભાગતા,આપણને $25$ મળે છે.
$y = \frac{7700}{25}$.
$y = 308$.
તેથી,બીજી સંખ્યા $308$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $x \times y = 2028$ અને $HCF = 13$.
$HCF$ એ બંને સંખ્યાઓનો અવયવ હોવાથી,આપણે $x = 13a$ અને $y = 13b$ લખી શકીએ,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે (એટલે કે $gcd(a, b) = 1$).
આ કિંમતોને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $(13a) \times (13b) = 2028$.
$169 \times ab = 2028$.
$ab = \frac{2028}{169} = 12$.
હવે,આપણે $(a, b)$ ના એવા અવયવોની જોડી શોધીએ જેનો ગુણાકાર $12$ હોય અને તે પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય:
$1$. $(1, 12)$ જ્યાં $gcd(1, 12) = 1$.
$2$. $(3, 4)$ જ્યાં $gcd(3, 4) = 1$.
નોંધ: $(2, 6)$ ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે નહીં કારણ કે $gcd(2, 6) = 2 \neq 1$.
આમ,આવી સંખ્યાઓની $2$ જોડીઓ શક્ય છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $33a$ અને $33b$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે (એટલે કે $gcd(a, b) = 1$).
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $528$ છે,તેથી $33a + 33b = 528$.
$33$ વડે ભાગતા,આપણને $a + b = \frac{528}{33} = 16$ મળે છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(a, b)$ શોધવાની છે કે જેથી $a + b = 16$ અને $gcd(a, b) = 1$ થાય (કારણ કે ગુ.સા.અ. $33$ છે):
શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ જ્યાં $a < b$ હોય તે $(1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9)$ છે.
નોંધ: $(2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8)$ ને બાકાત રાખવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો $1$ સિવાયનો સામાન્ય અવયવ છે.
આમ,આવી કુલ $4$ જોડીઓ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, 2x,$ અને $3x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
આપેલ છે કે આ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $12$ છે,તેથી સામાન્ય અવયવ $x = 12$ થશે.
હવે $x$ ની કિંમત પદોમાં મૂકતા:
પ્રથમ સંખ્યા $= 1 \times 12 = 12$
બીજી સંખ્યા $= 2 \times 12 = 24$
ત્રીજી સંખ્યા $= 3 \times 12 = 36$
આમ,તે સંખ્યાઓ $12, 24,$ અને $36$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) $22, 54, 108, 135$ અને $198$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$22 = 2 \times 11$
$54 = 2 \times 3^3$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$135 = 3^3 \times 5$
$198 = 2 \times 3^2 \times 11$
લ.સા.અ. એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 11 = 4 \times 27 \times 5 \times 11 = 5940$
વૈકલ્પિક રીતે,ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:

$2$	$22, 54, 108, 135, 198$
$2$	$11, 27, 54, 135, 99$
$3$	$11, 27, 27, 135, 99$
$3$	$11, 9, 9, 45, 33$
$3$	$11, 3, 3, 15, 11$
$5$	$11, 1, 1, 5, 11$
$11$	$11, 1, 1, 1, 11$
	$1, 1, 1, 1, 1$

$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11 = 5940$.

(A) સૌ પ્રથમ,દરેક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો:
$4 \times 27 \times 3125 = 2^2 \times 3^3 \times 5^5$
$8 \times 9 \times 25 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$
$16 \times 81 \times 5 \times 11 \times 49 = 2^4 \times 3^4 \times 5^1 \times 11^1 \times 7^2$
$HCF$ શોધવા માટે,ત્રણેય સંખ્યાઓમાં સામાન્ય હોય તેવા અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ અને $5$ છે.
$2$ ની સૌથી નાની ઘાત $2^2 = 4$ છે.
$3$ ની સૌથી નાની ઘાત $3^2 = 9$ છે.
$5$ ની સૌથી નાની ઘાત $5^1 = 5$ છે.
તેથી,$HCF = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.

(B) અપૂર્ણાંક $\frac{1095}{1168}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $1095$ અને $1168$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવો પડશે.
યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરતા:
$1168 = 1 \times 1095 + 73$
$1095 = 15 \times 73 + 0$
આમ,ગુ.સા.અ. $73$ છે.
હવે,અંશ અને છેદ બંનેને $73$ વડે ભાગતા:
$\frac{1095 \div 73}{1168 \div 73} = \frac{15}{16}$.

(C) ધારો કે ત્રણ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $x, y,$ અને $z$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ બેનો ગુણાકાર $xy = 551$ અને છેલ્લી બેનો ગુણાકાર $yz = 1073$ છે.
અહીં $y$ એ બંને ગુણાકારનો સામાન્ય અવયવ હોવાથી,આપણે $551$ અને $1073$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધીશું.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1073 = 551 \times 1 + 522$
$551 = 522 \times 1 + 29$
$522 = 29 \times 18 + 0$
આમ,$HCF$ $29$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 29$.
હવે,$x$ અને $z$ શોધો:
$x = 551 / 29 = 19$
$z = 1073 / 29 = 37$
આમ,ત્રણ સંખ્યાઓ $19, 29,$ અને $37$ છે. આ સંખ્યાઓ એકબીજા સાથે સહ-અવિભાજ્ય છે.
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $19 + 29 + 37 = 85$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે બે સંખ્યાઓનો $LCM$ $48$ છે અને સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $2x$ અને $3x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
$2x$ અને $3x$ નો $LCM$ $2 \times 3 \times x = 6x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$6x = 48$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 48 / 6 = 8$ મળે છે.
તેથી,સંખ્યાઓ $2 \times 8 = 16$ અને $3 \times 8 = 24$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $16 + 24 = 40$ થાય છે.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x, 4x,$ અને $5x$ છે, જ્યાં $x$ એ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. છે.
આ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ સામાન્ય અવયવ $x$ અને બાકીના ગુણોત્તર $(3, 4, 5)$ ના લ.સા.અ. નો ગુણાકાર છે.
લ.સા.અ. $= x \times \text{લ.સા.અ.}(3, 4, 5) = x \times 60 = 60x$.
આપેલ છે કે લ.સા.અ. $2400$ છે, તેથી:
$60x = 2400$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 2400 / 60 = 40$.
જે $x$ એ ગુ.સા.અ. દર્શાવે છે, તેથી સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. $40$ છે.

(A) આપેલ છે કે બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ $161$ છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ માટે,$LCM \times HCF = \text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}$.
તેથી,$x \times y = 161$.
$161$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા,$161 = 7 \times 23$ મળે છે.
અહીં $x > y$ હોવાથી,$x = 23$ અને $y = 7$ લેતા.
હવે,$3y - x$ ની કિંમત શોધતા:
$3(7) - 23 = 21 - 23 = -2$.

(B) પ્રથમ, દરેક ભાજક અને તેની અનુરૂપ શેષ વચ્ચેનો તફાવત જુઓ:
$48 - 38 = 10$
$60 - 50 = 10$
$72 - 62 = 10$
$108 - 98 = 10$
$140 - 130 = 10$
તફાવત સમાન $(10)$ હોવાથી, જરૂરી સંખ્યા $= (48, 60, 72, 108, 140 \text{ નો } LCM) - 10$ થશે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$48 = 2^4 \times 3$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$140 = 2^2 \times 5 \times 7$
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 16 \times 27 \times 35 = 15120$.
તેથી, જરૂરી સંખ્યા $= 15120 - 10 = 15110$.

(C) સૌ પ્રથમ,$4, 6, 10$ અને $15$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
$4 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $100000$ છે.
$100000$ ને $60$ વડે ભાગતા:
$100000 = 60 \times 1666 + 40$.
$60$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી છ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા માટે,આપણે $100000$ માં $(60 - 40) = 20$ ઉમેરીશું.
તેથી,તે સંખ્યા $100000 + 20 = 100020$ છે.
કારણ કે સંખ્યાને દરેક કિસ્સામાં $2$ શેષ વધવી જોઈએ,તેથી આપણે આ પરિણામમાં $2$ ઉમેરીશું:
$N = 100020 + 2 = 100022$.
$N$ ના અંકોનો સરવાળો $1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 2 = 5$ થાય છે.

(C) પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા $10000$ છે.
પ્રથમ,$12, 16, 18$ અને $27$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$27 = 3^3$
$LCM = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$.
હવે,શેષ શોધવા માટે $10000$ ને $432$ વડે ભાગો:
$10000 \div 432 = 23$ અને શેષ $64$ મળે છે.
$432$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ભાજકમાંથી શેષ બાદ કરીશું અને તેને પાંચ અંકની સૌથી નાની સંખ્યામાં ઉમેરીશું:
જરૂરી સંખ્યા $= 10000 - 64 + 432 = 10368$.

(C) ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$14, 24, 27$ અને $32$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધીશું:
$14 = 2 \times 7$
$24 = 2^{3} \times 3$
$27 = 3^{3}$
$32 = 2^{5}$
$LCM = 2^{5} \times 3^{3} \times 7 = 32 \times 27 \times 7 = 6048$.
હવે,ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યાને $LCM$ વડે ભાગતા:
$9999 \div 6048 = 1$ અને શેષ $3951$ વધે છે.
$6048$ વડે ભાગી શકાય તેવી ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9999$ માંથી શેષ બાદ કરીશું:
$9999 - 3951 = 6048$.
તેથી,$14, 24, 27$ અને $32$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી ચાર અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $6048$ છે.

(B) અવિભાજ્ય અવયવીકરણ સ્વરૂપમાં આપેલી સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાત લઈએ છીએ.
આપેલી સંખ્યાઓ છે:
$1) \ 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{1} \times 11^{1}$
$2) \ 2^{4} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{1}$
$3) \ 2^{5} \times 3^{3} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$
દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાત ઓળખતા:
- $2$ માટે: સૌથી મોટી ઘાત $2^{5}$ છે.
- $3$ માટે: સૌથી મોટી ઘાત $3^{4}$ છે.
- $5$ માટે: સૌથી મોટી ઘાત $5^{2}$ છે.
- $7$ માટે: સૌથી મોટી ઘાત $7^{2}$ છે.
- $11$ માટે: સૌથી મોટી ઘાત $11^{1}$ છે.
તેથી,લ.સા.અ. $(LCM)$ $= 2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$ થાય.