HCF and LCM Questions in Gujarati

(A) ઉપકરણો ફરીથી ક્યારે એકસાથે બીપ કરશે તે શોધવા માટે,આપણે તેમના વ્યક્તિગત બીપ અંતરાલોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે: $48$,$72$,અને $108$.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$48 = 2^4 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$LCM(48, 72, 108) = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432\, \text{સેકન્ડ}$.
હવે,$432\, \text{સેકન્ડને}$ મિનિટ અને સેકન્ડમાં ફેરવો:
$432 \div 60 = 7\, \text{મિનિટ}$ અને $12\, \text{સેકન્ડ}$.
તેથી,તેઓ છેલ્લે સવારે $10:00$ વાગ્યે એકસાથે બીપ કર્યા હતા,તેથી તેઓ હવે પછી સવારે $10:00 + 7\, \text{મિનિટ}\, 12\, \text{સેકન્ડ }= 10:07:12\, a.m.$ વાગ્યે એકસાથે બીપ કરશે.

(C) બંને પાઈપમાંથી કોઈપણ વધારાની લંબાઈ છોડ્યા વગર સમાન કદના ટુકડા કાપવા માટે,આપણે બંને લંબાઈનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
આપેલ લંબાઈ $1.5\, m$ અને $1.2\, m$ છે.
સરળતા માટે,આપણે તેને $10$ વડે ગુણીએ તો $15$ અને $12$ મળે.
$15$ ના અવયવો $1, 3, 5, 15$ છે.
$12$ ના અવયવો $1, 2, 3, 4, 6, 12$ છે.
$15$ અને $12$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $3$ છે.
તેથી,$1.5$ અને $1.2$ નો $HCF$ $0.3\, m$ થશે.

(B) $7, 11$ અને $14$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: $\operatorname{LCM}(7, 11, 14)$ શોધો.
$7 = 7 \times 1$
$11 = 11 \times 1$
$14 = 2 \times 7$
$\operatorname{LCM} = 2 \times 7 \times 11 = 154$.
પગલું $2$: શેષ શોધવા માટે $1812$ ને $154$ વડે ભાગો.
$1812 \div 154 = 11$ અને શેષ વધે છે.
$154 \times 11 = 1694$.
$1812 - 1694 = 118$.
તેથી,શેષ $118$ છે.
પગલું $3$: ઉમેરવાની કિંમતની ગણતરી કરો.
$1812$ ને $154$ વડે નિઃશેષ ભાગવા માટે,આપણે ભાજક $(154)$ અને શેષ $(118)$ વચ્ચેનો તફાવત ઉમેરવો પડશે.
ઉમેરવાની કિંમત $= 154 - 118 = 36$.

(C) $2, 3$ અને $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
$2, 3$ અને $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $LCM = 2 \times 3 \times 7 = 42$ થાય.
આપણે $[300, 700]$ ની રેન્જમાં $42$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધવાની છે.
પ્રથમ,$700$ સુધી $42$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધો: $\lfloor 700 / 42 \rfloor = 16$.
ત્યારબાદ,$299$ સુધી $42$ ના ગુણકોની સંખ્યા શોધો: $\lfloor 299 / 42 \rfloor = 7$.
$300$ અને $700$ ની વચ્ચે $42$ ના ગુણકોની સંખ્યા $16 - 7 = 9$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x$ અને $y$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનો લ.સા.અ. $(LCM)$ તેમનો ગુણાકાર થાય છે,એટલે કે $x \times y = 161$.
$161$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા: $161 = 7 \times 23$.
અહીં $x > y$ આપેલ હોવાથી,આપણે $x = 23$ અને $y = 7$ લઈશું.
હવે,આ કિંમતોને $(3y - x)$ માં મૂકતા:
$(3 \times 7) - 23 = 21 - 23 = -2$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $12x$ અને $12y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $2160$ છે,તેથી:
$12x \times 12y = 2160$
$144xy = 2160$
$xy = \frac{2160}{144} = 15$
કારણ કે $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને તેમનો ગુણાકાર $15$ છે,તેથી $(x, y)$ માટે શક્ય જોડીઓ $(1, 15)$ અથવા $(3, 5)$ છે.
જો $(x, y) = (1, 15)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $12(1) = 12$ અને $12(15) = 180$ થાય. પરંતુ $180$ એ $2$-અંકી સંખ્યા નથી.
જો $(x, y) = (3, 5)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $12(3) = 36$ અને $12(5) = 60$ થાય. બંને $2$-અંકી સંખ્યાઓ છે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $(36, 60)$ છે.

(B) $390, 495,$ અને $300$ ને નિઃશેષ ભાગી શકે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13$
$495 = 3^2 \times 5 \times 11$
$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$
પગલું $2$: સૌથી ઓછી ઘાત ધરાવતા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $3$ અને $5$ છે.
$3$ ની સૌથી ઓછી ઘાત $3^1 = 3$ છે.
$5$ ની સૌથી ઓછી ઘાત $5^1 = 5$ છે.
પગલું $3$: $HCF$ ની ગણતરી કરો:
$HCF = 3 \times 5 = 15$.
તેથી,ત્રણેય સંખ્યાઓને ભાગી શકે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા $15$ છે.

(C) દરેક વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની શક્ય તેટલી મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે જેથી દરેક વર્ગમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન રહે,આપણે $391$ અને $323$ નો ગુ.સા.અ. $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,$391$ અને $323$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$391 = 17 \times 23$
$323 = 17 \times 19$
$391$ અને $323$ નો ગુ.સા.અ. $17$ છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક વર્ગમાં $17$ વિદ્યાર્થીઓ છે.
હવે,વર્ગોની કુલ સંખ્યાની ગણતરી કરો:
છોકરાઓના વર્ગોની સંખ્યા = $391 / 17 = 23$
છોકરીઓના વર્ગોની સંખ્યા = $323 / 17 = 19$
વર્ગોની કુલ સંખ્યા = $23 + 19 = 42$.

(C) ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે બંને પદાવલિઓના અવયવો પાડીશું.
પ્રથમ પદાવલિ: $x^{8}-1 = (x^{4}-1)(x^{4}+1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$.
બીજી પદાવલિ: $x^{4}+2x^{3}-2x-1 = (x^{4}-1) + 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1) + 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+2x+1) = (x-1)(x+1)(x+1)^{2} = (x-1)(x+1)^{3}$.
સામાન્ય અવયવો $(x-1)$ અને $(x+1)$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. $= (x-1)(x+1) = x^{2}-1$.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $1x, 2x$ અને $3x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
આપેલ છે કે આ સંખ્યાઓનો $HCF$ (ગુ.સા.અ.) $12$ છે,તેથી સામાન્ય અવયવ $x = 12$ થશે.
તેથી,સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 12 = 24$
$3 \times 12 = 36$
આમ,તે સંખ્યાઓ $12, 24, 36$ છે.

(D) જરૂરી સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{જરૂરી સંખ્યા} = (15, 20, 36, 48 \text{ નો લ.સા.અ.}) + 3$.
સૌ પ્રથમ,ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $15, 20, 36$ અને $48$ નો લ.સા.અ. શોધીએ:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 15, & 20, & 36, & 48 \\ \hline 2 & 15, & 10, & 18, & 24 \\ \hline 3 & 15, & 5, & 9, & 12 \\ \hline 5 & 5, & 1, & 3, & 4 \end{array}$
$\therefore \text{લ.સા.અ.} = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 1 \times 1 \times 3 \times 4 = 720$.
હવે,લ.સા.અ. માં શેષ $3$ ઉમેરો:
$\text{જરૂરી સંખ્યા} = 720 + 3 = 723$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે પદાવલિઓ માટે, પદાવલિઓનો ગુણાકાર તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
પ્રથમ પદાવલિ $\times$ બીજી પદાવલિ $= \text{ગુ.સા.અ.} \times \text{લ.સા.અ.}$
આપેલ છે:
$\text{લ.સા.અ.} = (x^{2}+6x+8)(x+1) = (x+2)(x+4)(x+1)$
$\text{ગુ.સા.અ.} = (x+1)$
પ્રથમ પદાવલિ $= x^{2}+3x+2 = (x+2)(x+1)$
ધારો કે બીજી પદાવલિ $P(x)$ છે.
$(x+2)(x+1) \times P(x) = (x+2)(x+4)(x+1) \times (x+1)$
$P(x) = \frac{(x+2)(x+4)(x+1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}$
$P(x) = (x+4)(x+1)$
$P(x) = x^{2}+x+4x+4 = x^{2}+5x+4$

(B) સૌ પ્રથમ,$625$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$\begin{array}{l|l} 5 & 625 \\ \hline 5 & 125 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline & 5 \end{array}$
આમ,$625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \times 5$.
ભાગફળને પૂર્ણ ઘન બનાવવા માટે,આપણે $625$ ને તે અવયવ વડે ભાગવું પડશે જે ત્રણની જોડીમાં નથી,એટલે કે $5$.
તેથી,$625 \div 5 = 125$,અને $125 = 5^3$ એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.
આમ,સૌથી નાની સંખ્યા $5$ છે.

(D) $200$ અને $320$ ને બરાબર ભાગી શકે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $200$ અને $320$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$320 = 200 \times 1 + 120$
$200 = 120 \times 1 + 80$
$120 = 80 \times 1 + 40$
$80 = 40 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$H.C.F.$ $40$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $40$ છે.

(B) પગલું $1$: $10, 15$ અને $20$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$20 = 2^2 \times 5$
લ.સા.અ. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
પગલું $2$: સૌથી મોટી $4$ અંકની સંખ્યા $9999$ છે.
પગલું $3$: $9999$ ને $60$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધો.
$9999 \div 60 = 166$ અને શેષ $39$ વધે છે.
પગલું $4$: સૌથી મોટી $4$ અંકની સંખ્યામાંથી શેષ બાદ કરતા $60$ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા મળે.
$9999 - 39 = 9960$.
આમ,$10, 15$ અને $20$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સૌથી મોટી $4$ અંકની સંખ્યા $9960$ છે.

(D) વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે જેમને $6, 8, 12$ અથવા $16$ ની હરોળમાં કોઈ પણ વિદ્યાર્થી બાકી રહ્યા વગર ગોઠવી શકાય,આપણે આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ શોધવો પડશે.
$6, 8, 12, 16$ નો $L.C.M.$:

$2$	$6, 8, 12, 16$
$2$	$3, 4, 6, 8$
$2$	$3, 2, 3, 4$
$2$	$3, 1, 3, 2$
$3$	$3, 1, 3, 1$
	$1, 1, 1, 1$

$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48$.
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $48$ નો ગુણક હોવી જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$96$ એ $48$ નો ગુણક છે $(48 \times 2 = 96)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ અથવા પદાવલિઓ $x$ અને $y$ માટે,તેમના $H.C.F.$ $(A)$ અને $L.C.M.$ $(B)$ નો ગુણાકાર તે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો થાય છે.
તેથી,$A \times B = x \times y$.
આપણને આપેલ છે કે $A + B = x + y$.
નિત્યસમ $(A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $(x+y)^3 = A^3 + B^3 + 3xy(x+y)$.
$A^3 + B^3$ ને કર્તા બનાવતા,$A^3 + B^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
$(x+y)$ સામાન્ય લેતા,$A^3 + B^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.
કૌંસની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા: $A^3 + B^3 = (x+y)(x^2 + 2xy + y^2 - 3xy)$.
$A^3 + B^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
બૈજિક નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કહી શકીએ કે $A^3 + B^3 = x^3 + y^3$.

(C) $411, 684$ અને $821$ ને ભાગતા અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ શેષ વધે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$411 - 3 = 408$
$684 - 4 = 680$
$821 - 5 = 816$
હવે,આપણે $408, 680$ અને $816$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) શોધવો પડશે.
પહેલા,$408$ અને $680$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$680 = 408 \times 1 + 272$
$408 = 272 \times 1 + 136$
$272 = 136 \times 2 + 0$
તેથી,$408$ અને $680$ નો ગુ.સા.અ. $136$ છે.
હવે,$136$ અને $816$ નો ગુ.સા.અ. શોધીએ:
$816 = 136 \times 6 + 0$
આમ,$136$ એ $816$ ને સંપૂર્ણપણે ભાગે છે,તેથી $408, 680$ અને $816$ નો ગુ.સા.અ. $136$ છે.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $136$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $H.C.F.$ અને $L.C.M.$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$x \times y = H.C.F. \times L.C.M.$
અહીં $H.C.F. = 3$ અને $L.C.M. = 315$ આપેલ છે,તેથી:
$x \times y = 3 \times 315 = 945$
આપણે $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$
$x + y = 36$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{36}{3 \times 315}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{12}{315} = \frac{4}{35}$

(B) કરણીઓની ઘાત $(3, 2, 6, 12)$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધતા,જે $12$ મળે છે.
દરેક કરણીને $12$ ઘાત વાળી સમાન કરણીમાં ફેરવતા:
$1. \sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$2. \sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$3. \sqrt[6]{25} = 25^{1/6} = 25^{2/12} = \sqrt[12]{25^2} = \sqrt[12]{625}$
$4. \sqrt[12]{289} = \sqrt[12]{289}$
અંદરની સંખ્યાઓની સરખામણી કરતા: $729 > 625 > 289 > 256$.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $\sqrt{3}$ અને સૌથી નાની સંખ્યા $\sqrt[3]{4}$ છે.

(B) ધારો કે ચાર ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ચડતા ક્રમમાં $a, b, c$ અને $d$ છે,જ્યાં $a < b < c < d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ત્રણનો ગુણાકાર $a \times b \times c = 385$ અને છેલ્લી ત્રણનો ગુણાકાર $b \times c \times d = 1001$ છે.
સામાન્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે $385$ અને $1001$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધીએ.
$385 = 5 \times 7 \times 11$
$1001 = 7 \times 11 \times 13$
સામાન્ય અવયવો $7$ અને $11$ છે,તેથી $b \times c = 7 \times 11 = 77$ થાય.
હવે,છેલ્લી ત્રણ સંખ્યાઓના ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $b \times c \times d = 1001$.
$b \times c = 77$ મૂકતા,આપણને $77 \times d = 1001$ મળે છે.
તેથી,$d = \frac{1001}{77} = 13$.
આમ,ચાર ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 7, 11, 13$ છે. સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા $13$ છે.

(B) અપૂર્ણાંકોનો $H.C.F.$ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$H.C.F. = \frac{\text{અંશનો } H.C.F.}{\text{છેદનો } L.C.M.}$
આપેલ અપૂર્ણાંકો: $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{6}{7}$
પગલું $1$: અંશ $(2, 4, 6)$ નો $H.C.F.$ શોધો.
$2$ ના અવયવો $1, 2$ છે.
$4$ ના અવયવો $1, 2, 4$ છે.
$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.
તેથી,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $2$ છે.
પગલું $2$: છેદ $(3, 5, 7)$ નો $L.C.M.$ (લ.સા.અ.) શોધો.
$3, 5$ અને $7$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $L.C.M.$ તેમનો ગુણાકાર થશે:
$3 \times 5 \times 7 = 105$.
પગલું $3$: પરિણામોને ભેગા કરો.
$H.C.F. = \frac{2}{105}$.

(A) ઘંટ ક્યારે એકસાથે વાગશે તે શોધવા માટે,આપણે આપેલા અંતરાલોનો $L.C.M.$ (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) શોધવો પડશે: $3, 6, 9, 12, 15$ સેકન્ડ.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$3 = 3^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$L.C.M. = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ સેકન્ડ.
આનો અર્થ એ છે કે ઘંટ દર $180$ સેકન્ડે એકસાથે વાગે છે,જે $3$ મિનિટ બરાબર છે.
$36$ મિનિટમાં,તેઓ કેટલી વાર એકસાથે વાગશે તે $\frac{36}{3} = 12$ વખત થશે.
કારણ કે તેઓ $0$ મી મિનિટે એકસાથે વાગવાનું શરૂ કરે છે,તેથી આપણે પરિણામમાં $1$ ઉમેરીશું.
કુલ વખત = $12 + 1 = 13$ વખત.

(C) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે, આપણે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા એક રાઉન્ડ પૂર્ણ કરવા માટે લેવાયેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સમય $18\, \text{સેકન્ડ}$, $22\, \text{સેકન્ડ}$ અને $30\, \text{સેકન્ડ}$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$18 = 2 \times 3^2$
$22 = 2 \times 11$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$LCM(18, 22, 30) = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 11^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 11 = 990\, \text{સેકન્ડ}$.
હવે, $990\, \text{સેકન્ડ}$ ને મિનિટમાં ફેરવો:
$990 / 60 = 16.5\, \text{મિનિટ}$.
$0.5\, \text{મિનિટ} = 0.5 \times 60 = 30\, \text{સેકન્ડ}$.
તેથી, તેઓ $16\, \text{મિનિટ અને } 30\, \text{સેકન્ડ}$ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ મળશે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $12x$ અને $12y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય (coprime) છે (એટલે કે તેમનો $H.C.F.$ $1$ છે).
આ બે સંખ્યાઓનો $L.C.M.$ $12xy$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$12xy = 924$.
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા,આપણને $xy = \frac{924}{12} = 77$ મળે છે.
હવે,આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવોની એવી જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે જેમનો ગુણાકાર $77$ થાય.
$77$ ના અવયવો $1, 7, 11, 77$ છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ એ $(1, 77)$ અને $(7, 11)$ છે.
બંને જોડીઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવતી હોવાથી,આવી કુલ $2$ જોડીઓ શક્ય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,$5, 6, 7, 8$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) શોધો.
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$L.C.M. = 5 \times 3 \times 7 \times 8 = 840$.
કોઈપણ સંખ્યા જેને $5, 6, 7, 8$ વડે ભાગતા $3$ શેષ વધે,તે $(840x + 3)$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંખ્યા $9$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
તેથી,$(840x + 3) \div 9$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$840x + 3 = (837x + 3x + 3) = 9(93x) + 3(x + 1)$.
આ સંખ્યા $9$ વડે ભાગી શકાય તે માટે,$(x + 1)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
નાનામાં નાની સંખ્યા માટે,ધારો કે $x + 1 = 3$,જે આપણને $x = 2$ આપે છે.
$x = 2$ ને $(840x + 3)$ માં મૂકતા:
જરૂરી સંખ્યા $= 840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $10x$ અને $10y$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આપેલ છે કે $H.C.F.$ $10$ છે,તેથી સંખ્યાઓ $10$ ના ગુણક હોવી જોઈએ.
$10x$ અને $10y$ નો $L.C.M.$ $10xy$ થાય.
આપણને $10xy = 120$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $xy = 12$.
$(x, y)$ ની શક્ય જોડીઓ જે પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય તે $(1, 12)$ અને $(3, 4)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો જોડી $(1, 12)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $10(1) = 10$ અને $10(12) = 120$ થાય. તેમનો સરવાળો $10 + 120 = 130$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો જોડી $(3, 4)$ હોય,તો સંખ્યાઓ $10(3) = 30$ અને $10(4) = 40$ થાય. તેમનો સરવાળો $30 + 40 = 70$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$70$ વિકલ્પમાં ઉપલબ્ધ છે.

(B) ટ્રાફિક લાઈટો ફરીથી ક્યારે એકસાથે બદલાશે તે શોધવા માટે,આપણે સમયના અંતરાલોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે: $24$,$36$ અને $54$ સેકન્ડ.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$54 = 2^1 \times 3^3$
$LCM = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$ સેકન્ડ.
$216$ સેકન્ડને મિનિટમાં ફેરવતા:
$216 \div 60 = 3$ મિનિટ અને $36$ સેકન્ડ.
આ સમયગાળાને પ્રારંભિક સમય $10:15:00$ am માં ઉમેરતા:
$10:15:00 + 0:03:36 = 10:18:36$ am.
તેથી,ટ્રાફિક લાઈટો ફરીથી સવારે $10:18:36$ વાગ્યે એકસાથે બદલાશે.

(B) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લેવાયેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
લેવાયેલ સમય $18$,$24$ અને $32$ સેકન્ડ છે.
અવિભાજ્ય અવયવો:
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
$32 = 2^5$
$LCM$ એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(18, 24, 32) = 2^5 \times 3^2 = 32 \times 9 = 288$.
તેથી,તેઓ $288 \text{ સેકન્ડ}$ પછી ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ મળશે.

(D) તેઓ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા એક રાઉન્ડ પૂર્ણ કરવા માટે લેવાયેલ સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સમય $54 \text{ સેકન્ડ}$,$42 \text{ સેકન્ડ}$ અને $63 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$54 = 2 \times 3^3$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$63 = 3^2 \times 7$
$LCM = 2 \times 3^3 \times 7 = 2 \times 27 \times 7 = 378 \text{ સેકન્ડ}$.
સેકન્ડને મિનિટમાં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ભાગાકાર કરો:
$\frac{378}{60} = 6.3 \text{ મિનિટ}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તેઓ આશરે $6 \text{ મિનિટ}$ પછી ફરીથી મળશે.

(B) $20, 28, 32$ અને $35$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ શોધવો પડે.
અવિભાજ્ય અવયવો:
$20 = 2^2 \times 5$
$28 = 2^2 \times 7$
$32 = 2^5$
$35 = 5 \times 7$
$L.C.M. = 2^5 \times 5 \times 7 = 32 \times 35 = 1120$.
આપણે એવી સંખ્યા $x$ શોધવાની છે કે જેથી $(5834 - x)$ એ $1120$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય. પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ની મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,$(5834 - x)$ એ $1120$ નો સૌથી નાનો ગુણક હોવો જોઈએ,જે $1120$ છે.
$5834 - x = 1120$
$x = 5834 - 1120 = 4714$.

(D) બે સંખ્યાઓ અને તેમના $H.C.F.$ તથા $L.C.M.$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $= H.C.F. \times L.C.M.$
ધારો કે બીજી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે: $H.C.F. = 8$,$L.C.M. = 48$,અને એક સંખ્યા $= 24$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$24 \times x = 8 \times 48$
$x = \frac{8 \times 48}{24}$
$x = 8 \times 2 = 16$
તેથી,બીજી સંખ્યા $16$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $4x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ છે:
$3x = 3 \times x$
$4x = 2^2 \times x$
$3x$ અને $4x$ નો લ.સા.અ. $3 \times 2^2 \times x = 12x$ થાય.
આપેલ છે કે લ.સા.અ. $84$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$12x = 84$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 84 / 12 = 7$
હવે,બંને સંખ્યાઓની ગણતરી કરીએ:
પ્રથમ સંખ્યા $= 3x = 3 \times 7 = 21$
બીજી સંખ્યા $= 4x = 4 \times 7 = 28$
$21$ અને $28$ ની સરખામણી કરતા,મોટી સંખ્યા $28$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $6x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય અવયવ છે.
$5x$ અને $6x$ નો ગુ.સા.અ. $x$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુ.સા.અ. $4$ છે,તેથી $x = 4$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $5 \times 4 = 20$ અને $6 \times 4 = 24$ છે.
બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ ગુણોત્તરના ભાગો અને ગુ.સા.અ. ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
લ.સા.અ. $= 5 \times 6 \times 4 = 120$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: લ.સા.અ. $= \frac{\text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}}{\text{ગુ.સા.અ.}} = \frac{20 \times 24}{4} = 20 \times 6 = 120$.

(C) દરેક કિસ્સામાં ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$4 - 2 = 2$  
$5 - 3 = 2$  
$6 - 4 = 2$
અહીં તફાવત સમાન $(2)$ હોવાથી, જરૂરી સંખ્યા
$(4, 5, 6 \text{ નો લ.સા.અ.}) - 2$ સ્વરૂપમાં હશે।
સૌ પ્રથમ, $4, 5$ અને $6$ નો લ.સા.અ. શોધો:
$4 = 2^2$  
$5 = 5^1$  
$6 = 2 \times 3$
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
તેથી, આવી સૌથી નાની સંખ્યા $60 - 2 = 58$ છે।

(C) ધારો કે સૌથી મોટી સંખ્યા $x$ છે અને સમાન શેષ $k$ છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$43 = nx + k$ $...(1)$
$91 = mx + k$ $...(2)$
$183 = lx + k$ $...(3)$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(2) - (1) \Rightarrow 91 - 43 = (m - n)x \Rightarrow 48 = (m - n)x$
$(3) - (2) \Rightarrow 183 - 91 = (l - m)x \Rightarrow 92 = (l - m)x$
$(3) - (1) \Rightarrow 183 - 43 = (l - n)x \Rightarrow 140 = (l - n)x$
સૌથી મોટી સંખ્યા $x$ એ $48, 92,$ અને $140$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) છે.
અવિભાજ્ય અવયવો:
$48 = 2^4 \times 3$
$92 = 2^2 \times 23$
$140 = 2^2 \times 5 \times 7$
ગુ.સા.અ. = $2^2 = 4$.
આમ,સૌથી મોટી સંખ્યા $4$ છે.