Set Theory Questions in Hindi

(C) माना $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ है।
दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + 14x + 9 = y(x^2 + 2x + 3)$।
पदों को $x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2(1 - y) + x(14 - 2y) + (9 - 3y) = 0$।
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए $(D \ge 0)$।
$D = (14 - 2y)^2 - 4(1 - y)(9 - 3y) \ge 0$।
पदों का विस्तार करने पर: $(196 + 4y^2 - 56y) - 4(9 - 3y - 9y + 3y^2) \ge 0$।
$196 + 4y^2 - 56y - 36 + 48y - 12y^2 \ge 0$।
$-8y^2 - 8y + 160 \ge 0$।
$-8$ से भाग देने पर (और असमिका के चिह्न को बदलने पर): $y^2 + y - 20 \le 0$।
द्विघात का गुणनखंड करने पर: $(y + 5)(y - 4) \le 0$।
अतः,$y$ का मान $-5$ और $4$ के बीच स्थित है,अर्थात $-5 \le y \le 4$।

(D) दिया गया है $f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$\sec^2 \theta \ge 1$ और $0 < \cos^2 \theta \le 1$ होता है।
विशेष रूप से,$\theta > \frac{\pi}{3}$ के लिए,$\sec \theta > \sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ होता है,इसलिए $\sec^2 \theta > 4$ होता है।
हालाँकि,धनात्मक पदों $a = \sec^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta \ge 2 \sqrt{\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta} = 2 \sqrt{1} = 2$.
न्यूनतम मान $2$ तब प्राप्त होता है जब $\sec^2 \theta = \cos^2 \theta$ हो,जिसका अर्थ है $\cos^4 \theta = 1$,या $\cos^2 \theta = 1$ (अर्थात $\theta = 0$,लेकिन यहाँ $\theta > \frac{\pi}{3}$ है)।
जैसे-जैसे $\theta \to \frac{\pi}{2}$ होता है,$\sec^2 \theta \to \infty$ होता है,इसलिए $f(\theta) \to \infty$ होता है।
अतः,अंतराल $[2, \infty)$ है।

(A) फलन तब परिभाषित होता है जब प्राकृतिक लघुगणक का तर्क (argument) धनात्मक हो।
अतः,हमें $x - [x] > 0$ की आवश्यकता है।
परिभाषा के अनुसार,$x$ का भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x - [x]$ द्वारा दर्शाया जाता है।
शर्त $x - [x] > 0$ का अर्थ है $\{x\} > 0$।
भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\{x\} \ge 0$।
यह $0$ केवल तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो $(x \in Z)$।
इसलिए,$\{x\} > 0$ पूर्णांकों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $R - Z$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1 - x)} + \sqrt{x + 2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर की संख्या ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log_{10}(1 - x) \ne 0 \implies 1 - x \ne 1 \implies x \ne 0$.
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $x \ge -2$,$x < 1$,और $x \ne 0$.
अतः,प्रांत $[-2, 0) \cup (0, 1)$ है।

(B) दिया गया है: $A \cap B = A \cap C$ और $A \cup B = A \cup C$.
समुच्चय $B$ पर विचार करें। हम लिख सकते हैं $B = B \cap (A \cup B)$.
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = B \cap (A \cup C)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
चूंकि $A \cap B = A \cap C$,इसलिए $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
वितरण नियम के अनुसार,$B = (A \cup B) \cap C$.
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = (A \cup C) \cap C$.
चूंकि $(A \cup C) \cap C = C$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $B = C$.

(B) समुच्चय $X$ के लिए,हमारे पास $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$ है।
$n = 1$ के लिए,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$ है।
$n = 2$ के लिए,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$ है।
$n = 3$ के लिए,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$ है।
अतः,$X = \{ 0, 9, 54, 243, \dots \}$ है।
समुच्चय $Y$ के लिए,हमारे पास $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$ है।
$n = 1$ के लिए,$9(1 - 1) = 0$ है।
$n = 2$ के लिए,$9(2 - 1) = 9$ है।
$n = 3$ के लिए,$9(3 - 1) = 18$ है।
अतः,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$ है।
चूंकि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है और $X \subset Y$ (क्योंकि $n \in N$ के लिए $4^n - 3n - 1$ हमेशा $9$ से विभाज्य होता है),इसलिए संघ $X \cup Y$,$Y$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ हो जाता है।
स्थिति-$I$: $0 \le t < 3$ (अर्थात $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$6 - 2t + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ या $t = 2$ है। चूँकि $0 \le t < 3$ है,इसलिए $t = 2$ होगा,जिसका अर्थ है $x = 4$ है।
स्थिति-$II$: $t \ge 3$ (अर्थात $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$2t - 6 + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ या $t = 4$ है। चूँकि $t \ge 3$ है,इसलिए $t = 4$ होगा,जिसका अर्थ है $x = 16$ है।
अतः,$S = \{4, 16\}$,जिसमें केवल दो अवयव हैं।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x| - x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए।
अतः,हमें $|x| - x > 0$ की आवश्यकता है।
इस असमिका को $|x| > x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ होता है। असमिका $x - x > 0$ हो जाती है,जो $0 > 0$ है। यह $x \geq 0$ के लिए असत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होता है। असमिका $-x - x > 0$ हो जाती है,जो $-2x > 0$ अर्थात $x < 0$ है।
चूंकि शर्त $x < 0$ सभी ऋणात्मक मानों के लिए असमिका को संतुष्ट करती है,इसलिए फलन का प्रांत $(-\infty, 0)$ है।

(B) माना कि दो समुच्चय $A$ और $B$ हैं जिनमें $|A| = m$ और $|B| = n$ है।
समुच्चय $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ है और समुच्चय $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2^m - 2^n = 56$ है।
इसे हम $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$ है,हम $2$ की घातों और विषम गुणनखंडों की तुलना करते हैं।
अतः,$2^n = 2^3$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$2^{m-n} - 1 = 7$,जिससे $2^{m-n} = 8 = 2^3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m - n = 3$ है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $m - 3 = 3$ मिलता है,अर्थात $m = 6$ है।
अतः,$m = 6$ और $n = 3$ है।

(C) मान लीजिए $n(S)$ समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या है।
यह दिया गया है कि $30$ समुच्चयों $A_i$ में से प्रत्येक में $5$ अवयव हैं, इसलिए पुनरावृत्ति के साथ गिने गए अवयवों की कुल संख्या $30 \times 5 = 150$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $10$ समुच्चयों $A_i$ में स्थित है, इसलिए $n(S) = \frac{30 \times 5}{10} = 15$ है।
इसी प्रकार, $n$ समुच्चयों $B_j$ में से प्रत्येक में $3$ अवयव हैं, इसलिए पुनरावृत्ति के साथ गिने गए अवयवों की कुल संख्या $n \times 3 = 3n$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $9$ समुच्चयों $B_j$ में स्थित है, इसलिए $n(S) = \frac{3n}{9} = \frac{n}{3}$ है।
$n(S)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $\frac{n}{3} = 15$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $n = 45$।

(C) $n$ अवयवों वाले एक समुच्चय $A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र $2^n$ होता है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ में $n = 5$ अवयव हैं।
अतः,कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 = 32$ है।
उचित उपसमुच्चय वह होता है जो स्वयं समुच्चय $A$ के बराबर न हो।
इस प्रकार,उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ होती है।
$n = 5$ रखने पर,हमें $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A$, $B$ का उपसमुच्चय नहीं है $(A \not\subseteq B)$।
परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि कम से कम एक अवयव $x$ ऐसा मौजूद है कि $x \in A$ और $x \notin B$।
चूंकि $x \notin B$, इसलिए $x \in B^c$ (जहाँ $B^c$, $X$ के सापेक्ष $B$ का पूरक है)।
अतः, एक अवयव $x$ ऐसा है कि $x \in A$ और $x \in B^c$।
यह दर्शाता है कि उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B^c$ अरिक्त है $(A \cap B^c \neq \emptyset)$।
इस प्रकार, $A$ और $B$ का पूरक हमेशा असंयुक्त नहीं हैं।

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection),जिसे $A \cap B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो $A$ और $B$ दोनों में सामान्य हैं।
परिभाषा के अनुसार,$A \cap B = \{x : x \in A \text{ और } x \in B\}$।
दिया गया है कि $A = \{x : f(x) = 0\}$ और $B = \{x : g(x) = 0\}$,इसलिए सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{x : f(x) = 0 \text{ और } g(x) = 0\}$ होगा।
वास्तविक मान वाले फलनों के लिए,$f(x) = 0$ और $g(x) = 0$ की स्थिति ${[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0$ की स्थिति के समतुल्य है,क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक संख्या व्यक्तिगत रूप से शून्य हो।

(A) दिया गया है कि $A \subseteq B$,जिसका अर्थ है कि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव है।
इसलिए,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) समुच्चय $A$ ही होगा,अर्थात $A \cap B = A$।
अतः,$A \cap B$ में अवयवों की संख्या $A$ में अवयवों की संख्या के बराबर होगी।
$n(A \cap B) = n(A) = 3$।

(C) मान लीजिए $P$ फोन रखने वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार रखने वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$ और $n(P^c \cap C^c) = 65\%$.
चूंकि $n(P^c \cap C^c) = 65\%$,इसलिए कम से कम एक (फोन या कार) रखने वाले परिवारों का प्रतिशत $n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
सूत्र $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ का उपयोग करने पर:
$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$
$n(P \cap C) = 40\% - 35\% = 5\%$.
अतः,कथन $1$ गलत है क्योंकि $10\%$ नहीं बल्कि $5\%$ परिवारों के पास दोनों हैं।
कथन $2$ सही है क्योंकि $n(P \cup C) = 35\%$.
चूंकि कुल परिवारों का $5\% = 2000$ है,इसलिए कुल परिवारों की संख्या $= (2000 / 5) \times 100 = 40,000$.
अतः,कथन $3$ सही है।
इसलिए,कथन $2$ और $3$ सही हैं।

(C) दी गई रैखिक सर्वांगसमता $8x \equiv 6 \pmod{14}$ है।
इसे किसी पूर्णांक $k \in \mathbb{Z}$ के लिए $8x - 6 = 14k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x - 3 = 7k$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x \equiv 3 \pmod{7}$।
$x$ के लिए हल करने हेतु,हम $4$ के मॉड्यूलर व्युत्क्रम $7$ से गुणा करते हैं। चूंकि $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,इसलिए व्युत्क्रम $2$ है।
$2$ से गुणा करने पर: $8x \equiv 6 \pmod{7}$,जो सरल होकर $x \equiv 6 \pmod{7}$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $x$ किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $7n + 6$ के रूप में हो सकता है।
$n=0$ के लिए $x=6$; $n=1$ के लिए $x=13$; $n=2$ के लिए $x=20$; $n=3$ के लिए $x=27$,इत्यादि।
हल का समुच्चय ${..., 6, 13, 20, 27, 34, 41, ...}$ है।
इस समुच्चय को $14$ के मॉड्यूलो दो तुल्यता वर्गों के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है: $[6] = {..., 6, 20, 34, ...}$ और $[13] = {..., 13, 27, 41, ...}$।
अतः,हल समुच्चय $[6] \cup [13]$ है।

(D) $1$. वेन आरेख का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें।
$2$. समुच्चय $C$ पूरे वृत्त $C$ को दर्शाता है।
$3$. छायांकित भाग उन सभी अवयवों को दर्शाता है जो समुच्चय $C$ में हैं लेकिन समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ में नहीं हैं।
$4$. इसका अर्थ है कि हम समुच्चय $C$ से समुच्चय $A$ और $B$ के संघ (union) को हटा रहे हैं।
$5$. गणितीय रूप से,इसे $C - (A \cup B)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) समुच्चय $S$ के प्रत्येक अवयव $x$ के लिए,$A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के लिए चार संभावनाएं हैं,ताकि $x \in A \cup B$ हो:
$1$. $x \in A$ और $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ और $x \in B$
$3$. $x \in A$ और $x \in B$
चूंकि $A \cup B = S$ है,इसलिए वह स्थिति जिसमें $x \notin A$ और $x \notin B$ हो,उसे हटा दिया जाता है।
इस प्रकार,$S$ के प्रत्येक $4$ अवयवों के लिए,$3$ विकल्प हैं।
चूंकि $S$ में $4$ अवयव हैं,इसलिए $(A, B)$ के कुल क्रमित युग्मों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ होगी।

(A) दिया गया है $2n(A \setminus B) = n(B \setminus A)$। चूँकि $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B)$ और $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B)$,इसलिए:
$2(n(A) - n(A \cap B)) = n(B) - n(A \cap B)$
$2n(A) - 2n(A \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 2n(A) - n(B) \quad \dots(1)$
साथ ही $5n(A \cap B) = n(A) + 3n(B) \quad \dots(2)$ दिया गया है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2n(A) - n(B)) = n(A) + 3n(B)$
$10n(A) - 5n(B) = n(A) + 3n(B)$
$9n(A) = 8n(B) \implies \frac{n(A)}{n(B)} = \frac{8}{9}$.
माना $n(A) = 8k$ और $n(B) = 9k$ है। तब $n(A \cap B) = 2(8k) - 9k = 7k$ होगा।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8k + 9k - 7k = 10k$ है।
दिया गया है कि $n(A \cup B) \leq 10$,इसलिए $10k \leq 10 \implies k = 1$ है।
अतः,$n(A) = 8, n(B) = 9, n(A \cap B) = 7$ है।
अभीष्ट मान $\frac{8 \cdot 9 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं भी समुच्चयों $A, B, C$ के लिए,दो कार्तीय गुणनफल का सर्वनिष्ठ (intersection) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)$.
अतः,अवयवों की संख्या इस प्रकार होगी:
$n((A \times B) \cap (B \times C)) = n((A \cap B) \times (B \cap C)) = n(A \cap B) \times n(B \cap C)$.
दिया गया है कि $n(A \cap B) = 2$ और $n(B \cap C) = 2$,इसलिए:
$n((A \times B) \cap (B \times C)) = 2 \times 2 = 4$.

(C) समुच्चय अंतर $A - B$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
$1$. $A - B = A \cap B'$ एक मानक सर्वसमिका है।
$2$. $A - (A \cap B) = A \cap (A \cap B)' = A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$,जो $A - B$ के बराबर है।
$3$. $(A \cup B) - B = (A \cup B) \cap B' = (A \cap B') \cup (B \cap B') = (A \cap B') \cup \emptyset = A \cap B'$,जो $A - B$ के बराबर है।
$4$. $A - B'$ का मान $A \cap (B')' = A \cap B$ होता है,जो सामान्यतः $A - B$ के बराबर नहीं होता है जब तक कि $A \cap B = \emptyset$ न हो।
अतः,कथन $A - B = A - B'$ असत्य है।

(A) माना समुच्चय $S$ में कुल भिन्न अवयवों की संख्या $N$ है।
यह दिया गया है कि प्रत्येक समुच्चय $X_r$ में $5$ अवयव हैं और ऐसे $24$ समुच्चय हैं,इसलिए पुनरावृत्ति के साथ कुल अवयवों की संख्या $5 \times 24 = 120$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $10$ $X_r$ में आता है,इसलिए $10N = 120$,जिसका अर्थ है कि $N = 12$ है।
इसी प्रकार,प्रत्येक समुच्चय $Y_r$ में $4$ अवयव हैं और ऐसे $n$ समुच्चय हैं,इसलिए पुनरावृत्ति के साथ कुल अवयवों की संख्या $4n$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $6$ $Y_r$ में आता है,इसलिए $6N = 4n$ होगा।
समीकरण में $N = 12$ का मान रखने पर,$6(12) = 4n$ प्राप्त होता है।
$72 = 4n$,जिससे $n = 18$ प्राप्त होता है।

(A) हम $n$ के विभिन्न मानों के लिए असमिका $3^n < n!$ की जाँच करते हैं:
$n = 1$ के लिए: $3^1 = 3, 1! = 1$. $3 < 1$ असत्य है।
$n = 2$ के लिए: $3^2 = 9, 2! = 2$. $9 < 2$ असत्य है।
$n = 3$ के लिए: $3^3 = 27, 3! = 6$. $27 < 6$ असत्य है।
$n = 4$ के लिए: $3^4 = 81, 4! = 24$. $81 < 24$ असत्य है।
$n = 5$ के लिए: $3^5 = 243, 5! = 120$. $243 < 120$ असत्य है।
$n = 6$ के लिए: $3^6 = 729, 6! = 720$. $729 < 720$ असत्य है।
$n = 7$ के लिए: $3^7 = 2187, 7! = 5040$. $2187 < 5040$ सत्य है।
चूँकि असमिका $n = 7$ के लिए सत्य है और $n > 6$ के लिए $n!$ की वृद्धि दर $3^n$ से अधिक है,इसलिए $\lambda$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(B) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = n(\overline{A \cup B})$ होता है।
हम जानते हैं कि $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ होता है।
सबसे पहले,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $n(A \cup B)$ की गणना करें।
दिए गए मानों को रखने पर: $n(A \cup B) = 100 + 200 - 50 = 250$।
अब,इस मान को सार्वत्रिक समुच्चय के समीकरण में रखने पर: $n(\bar{A} \cap \bar{B}) = 600 - 250 = 350$।

(C) छायांकित क्षेत्र में $A$ के वे भाग शामिल हैं जो $B$ या $C$ में नहीं हैं,$C$ के वे भाग जो $A$ या $B$ में नहीं हैं,और केंद्रीय सर्वनिष्ठ $A \cap B \cap C$ शामिल है।
विशेष रूप से,यह क्षेत्र $(A \setminus (B \cup C)) \cup (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B \cap C)$ को दर्शाता है।
तार्किक अभिव्यक्तियों का विश्लेषण करने पर,$(A \cup C) \cap (A^C \cup B^C) \cap (A^C \cup C^C) \cap (B^C \cup C^C) \cup (A \cap B \cap C)$ अभिव्यक्ति $A$ और $C$ के विशिष्ट क्षेत्रों के संघ को केंद्रीय सर्वनिष्ठ $A \cap B \cap C$ के साथ सही ढंग से पहचानती है।

(B) दिया गया है कि $A$,$B$ का उचित उपसमुच्चय है,जिसे $A \subset B$ और $A \neq B$ के रूप में दर्शाया जाता है।
चूंकि $A \subset B$,इसलिए $A - B = \emptyset$,जिसका अर्थ है कि $n(A - B) = 0$ है।
परिभाषा के अनुसार,सममित अंतर $A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$ है।
अतः,$n(A \Delta B) = n(A - B) + n(B - A) = 0 + n(B - A) = n(B - A)$ है।
चूंकि $A$,$B$ का उचित उपसमुच्चय है,इसलिए $B$ में कम से कम एक ऐसा अवयव होना चाहिए जो $A$ में न हो। इसलिए,$n(B - A) \geq 1$ है।
$n(A \Delta B)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $n(B - A)$ के लिए सबसे छोटा संभावित मान $1$ चुनते हैं।
अतः,$n(A \Delta B)$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, ..., 100\}$ और $B = \{51, 52, 53, ..., 180\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें: $A \cap B = \{51, 52, 53, ..., 100\}$।
$A \cap B$ में अवयवों की संख्या $n(A \cap B) = 100 - 51 + 1 = 50$ है।
हम जानते हैं कि $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$ होता है।
चूंकि $(A \cap B) = (B \cap A)$,इसलिए हमें $(A \cap B) \times (A \cap B)$ प्राप्त होता है।
अतः अवयवों की संख्या $n((A \times B) \cap (B \times A)) = n(A \cap B) \times n(B \cap A) = 50 \times 50 = 2500$ है।

(B) हम जानते हैं कि समुच्चय अंतर $A - B$ उन तत्वों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं। गणितीय रूप से,$A - B = A \cap B^c$ होता है।
इस मान को व्यंजक $A - (A - B)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A - (A \cap B^c)$
$X - Y = X \cap Y^c$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$A \cap (A \cap B^c)^c$
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$ होता है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$A \cap (A^c \cup B)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
चूंकि $A \cap A^c = \emptyset$ (रिक्त समुच्चय):
$\emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$।
इसलिए,$A - (A - B) = A \cap B$।

(C) समुच्चय $P$ के लिए,हमारे पास $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ है।
इसका अर्थ है $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$।
दोनों पक्षों को $(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करने पर,हमें $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (2 - 1) \cos \theta = \cos \theta$।
अतः,$\sqrt{2} \sin \theta - \sin \theta = \cos \theta$,जिससे $\sqrt{2} \sin \theta = \sin \theta + \cos \theta$ प्राप्त होता है।
यह समुच्चय $Q$ के लिए परिभाषित शर्त है।
इसी प्रकार,समुच्चय $Q$ की शर्त $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ से शुरू करके,हम $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ प्राप्त कर सकते हैं।
चूंकि $P$ का प्रत्येक अवयव $Q$ में है और $Q$ का प्रत्येक अवयव $P$ में है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $P = Q$।

(C) माना $P$ फोन रखने वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार रखने वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,और $n(P' \cap C') = 65\%$.
चूंकि $n(P' \cap C') = 1 - n(P \cup C)$,इसलिए $n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$ है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि $35\%$ परिवारों के पास या तो फोन है या कार है।
सूत्र $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ का उपयोग करने पर,$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$,जिसका अर्थ है $n(P \cap C) = 5\%$.
कथन $(A)$ सही है क्योंकि $5\%$ परिवारों के पास दोनों हैं।
दिया गया है कि $n(P \cap C) = 2,000$,माना $x$ परिवारों की कुल संख्या है। तो $x$ का $5\% = 2,000$,यानी $0.05x = 2,000$,जिससे $x = 40,000$ प्राप्त होता है।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि कस्बे में $40,000$ परिवार हैं।
अतः,सभी कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{ \theta : \sin \theta = \tan \theta \}$ और $B = \{ \theta : \cos \theta = 1 \}$ हैं।
समुच्चय $A$ के लिए,$\sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta (1 - \frac{1}{\cos \theta}) = 0$।
इससे $\sin \theta = 0$ या $\cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $\sin \theta = 0$ है,तो $\theta = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
यदि $\cos \theta = 1$ है,तो $\theta = 2n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अतः,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots \}$।
समुच्चय $B$ के लिए,$\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 2n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अतः,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,$B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में है,इसलिए $B \subset A$। हालाँकि,$\pi$ जैसे अवयव $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं,इसलिए $A \not\subset B$।

(D) माना $M, P, C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान चुनने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
कुल छात्र $N = 140$.
$n(M) = \lfloor \frac{140}{2} \rfloor = 70$
$n(P) = \lfloor \frac{140}{3} \rfloor = 46$
$n(C) = \lfloor \frac{140}{5} \rfloor = 28$
अब,सर्वनिष्ठ (intersections) ज्ञात करते हैं:
$n(M \cap P) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,3)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{6} \rfloor = 23$
$n(M \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{10} \rfloor = 14$
$n(P \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{15} \rfloor = 9$
$n(M \cap P \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{30} \rfloor = 4$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - (n(M \cap P) + n(M \cap C) + n(P \cap C)) + n(M \cap P \cap C)$
$n(M \cup P \cup C) = 70 + 46 + 28 - (23 + 14 + 9) + 4$
$n(M \cup P \cup C) = 144 - 46 + 4 = 102$
कोई भी विषय न चुनने वाले छात्रों की संख्या = $140 - 102 = 38$.

(C) उपसमुच्चय $A$ के अवयवों का गुणनफल सम तब होता है जब उपसमुच्चय में कम से कम एक अवयव सम हो।
$S$ के कुल अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^{100} - 1$ है।
केवल विषम अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^{50} - 1$ है (क्योंकि $S = \{1, 2, \dots, 100\}$ में $50$ विषम संख्याएँ हैं)।
अतः,उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें गुणनफल सम है = कुल अरिक्त उपसमुच्चय - केवल विषम अवयवों वाले उपसमुच्चय।
उपसमुच्चयों की संख्या = $(2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(A) दिया गया है $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
चूंकि $2^0 = 1$,इसलिए $(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$ होगा।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$.
अतः,$x = -2, 2, 3$। इस प्रकार,$A = \{ -2, 2, 3 \}$ और $n(A) = 3$ है।
दिया गया है $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $-2 < 2x < 10$।
$2$ से भाग देने पर: $-1 < x < 5$।
चूंकि $x \in Z$,इसलिए $B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ और $n(B) = 5$ है।
$A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
इसलिए,$A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{15}$ है।

(C) माना कुल जनसंख्या $100$ है।
दिया गया है:
$n(A) = 25$
$n(B) = 20$
$n(A \cap B) = 8$
अब, केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों की संख्या ज्ञात करें:
$n(A \text{केवल}) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$
$n(B \text{केवल}) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$
विज्ञापन देखने वाली जनसंख्या का प्रतिशत:
$= (17 \text{का } 30\%) + (12 \text{का } 40\%) + (8 \text{का } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0$
$= 13.9$
अतः, $13.9\%$ जनसंख्या विज्ञापन देखती है।

(A) दिया गया है कि $\phi \ne A \cap B \subseteq C$ है।
विकल्प (A) की जाँच करें: यदि $(A - C) \subseteq B$ तो $A \subseteq B$ है।
मान लीजिए $A = \{1, 2\},\ B = \{2, 3\},\ C = \{2\}$ है।
यहाँ $A \cap B = \{2\} \ne \phi$ और $A \cap B = \{2\} \subseteq C = \{2\}$ है।
अब,
$A - C = \{1, 2\} - \{2\} = \{1\}$ है।
चूँकि $\{1\} \not\subseteq B = \{2, 3\}$, इसलिए शर्त $(A - C) \subseteq B$ इस उदाहरण के लिए गलत है।
यदि हम $A = \{1, 2\},\ B = \{1, 3\},\ C = \{1, 2\}$ लें, तो
$A \cap B = \{1\} \subseteq C$ होता है।
यहाँ $A - C = \phi \subseteq B$ सत्य है, लेकिन $A = \{1, 2\} \not\subseteq B = \{1, 3\}$ है।
अतः, कथन (A) सत्य नहीं है।
विकल्प (B) की जाँच करें: यदि $(A - B) \subseteq C$ तो $A \subseteq C$ है।
मान लीजिए $x \in A$ है। यदि $x \in B$ है, तो $x \in A \cap B$ है। चूँकि $A \cap B \subseteq C$ है, इसलिए $x \in C$ है।
यदि $x \notin B$ है, तो $x \in A - B$ है। चूँकि $A - B \subseteq C$ है, इसलिए $x \in C$ है।
अतः $A \subseteq C$ है। यह कथन सत्य है।
विकल्प (C) की जाँच करें:
$(C \cup A) \cap (C \cup B) = C \cup (A \cap B)$ है।
चूँकि $A \cap B \subseteq C$ है, इसलिए $C \cup (A \cap B) = C$ है। यह कथन सत्य है।
विकल्प (D) की जाँच करें: चूँकि $A \cap B \subseteq C$ और $A \cap B \ne \phi$ है, इसलिए कम से कम एक अवयव $x \in A \cap B$ मौजूद है।
इससे $x \in B$ और $x \in C$ होता है, इसलिए $x \in B \cap C$ है।
अतः $B \cap C \ne \phi$ है। यह कथन सत्य है।
अतः, जो कथन सत्य नहीं है वह (A) है।

(A) समुच्चय $X$ में $1$ से $50$ तक के पूर्णांक हैं,इसलिए $n(X) = 50$ है।
समुच्चय $A$ में $50$ तक के $2$ के गुणज हैं: $A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$। अवयवों की संख्या $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$ है।
समुच्चय $B$ में $50$ तक के $7$ के गुणज हैं: $B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$। अवयवों की संख्या $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में $50$ तक के $\text{lcm}(2, 7) = 14$ के गुणज हैं: $A \cap B = \{14, 28, 42\}$। अवयवों की संख्या $n(A \cap B) = 3$ है।
$A$ और $B$ दोनों को समाहित करने वाला $X$ का सबसे छोटा उपसमुच्चय उनका संघ $A \cup B$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 7 - 3 = 29$ है।

(C) दिया गया है $A = \{x \in R : |x| < 2\}$।
इसका अर्थ है $-2 < x < 2$,अतः $A = (-2, 2)$।
दिया गया है $B = \{x \in R : |x - 2| \geq 3\}$।
इसका अर्थ है $x - 2 \geq 3$ या $x - 2 \leq -3$।
अतः,$x \geq 5$ या $x \leq -1$।
इस प्रकार,$B = (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$।
अब,$B - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [5, \infty)) - (-2, 2)$।
चूंकि अंतराल $(-2, 2)$,$(-\infty, -1]$ के साथ केवल $(-2, -1]$ अंतराल पर ओवरलैप करता है,इसलिए हम $B$ से इस भाग को हटा देते हैं।
$B - A = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$।
इसे $R - (-2, 5)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
अतः,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
इसलिए,$A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
दिया गया है $B = [-3, 5)$.
$1$. $A - B$: $A$ के वे अवयव जो $B$ में नहीं हैं। $A - B = (-\infty, -3) \cup [5, \infty)$. (सत्य)
$2$. $A \cap B$: $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ। उभयनिष्ठ अवयव $\{-3\}$ है। (सत्य)
$3$. $B - A$: $B$ के वे अवयव जो $A$ में नहीं हैं। $B - A = (-3, 5)$. (सत्य)
$4$. $A \cup B$: $A$ और $B$ का संघ। $A \cup B = R$. (सत्य)

(D) मान लीजिए $n(T)$ समुच्चय $T$ में अवयवों की संख्या है।
यह दिया गया है कि $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ और प्रत्येक $X_{i}$ में $10$ अवयव हैं,इसलिए सभी $X_{i}$ में अवयवों का योग $50 \times 10 = 500$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव $X_{i}$ के ठीक $20$ समुच्चयों में आता है,इसलिए $T$ में भिन्न अवयवों की संख्या $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ है।
इसी प्रकार,$Y_{i}$ समुच्चयों के लिए,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ और प्रत्येक $Y_{i}$ में $5$ अवयव हैं। सभी $Y_{i}$ में अवयवों का योग $n \times 5 = 5n$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव $Y_{i}$ के ठीक $6$ समुच्चयों में आता है,इसलिए $T$ में भिन्न अवयवों की संख्या $n(T) = \frac{5n}{6}$ है।
$n(T)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{5n}{6} = 25$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए हल करने पर,$5n = 150$,जिसका अर्थ है कि $n = 30$।

(D) माना $n(A) = 63$ और $n(B) = 76$ है। माना $x = n(A \cap B)$ है।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$ है।
चूंकि लोगों का कुल प्रतिशत $100 \%$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(A \cup B) \leq 100$ होगा,जिसका अर्थ है $139 - x \leq 100$,अर्थात $x \geq 39$ है।
साथ ही,दोनों समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों की संख्या किसी भी एक समाचार पत्र को पढ़ने वाले लोगों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती,इसलिए $x \leq n(A)$ और $x \leq n(B)$ होगा। अतः,$x \leq 63$ है।
इसलिए,$x$ के लिए संभावित सीमा $39 \leq x \leq 63$ है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $55$ इस सीमा के भीतर आता है।

(B) समुच्चय $C$ उन सभी फलनों $f: A \rightarrow B$ से बना है जिनमें $2 \in f(A)$ है और $f$ एकैकी नहीं है।
$A$ से $B$ तक के कुल फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है,की गणना इस प्रकार है: (कुल फलन) - (वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है)।
कुल फलन $= 4^3 = 64$.
वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है (अर्थात $f: A \rightarrow \{1, 3, 4\}$) $= 3^3 = 27$.
अतः,वे फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है $= 64 - 27 = 37$.
अब,हम इसमें से उन एकैकी फलनों को घटाएंगे जिनमें $2 \in f(A)$ है।
$A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ है।
इन $24$ एकैकी फलनों में से कितने फलनों के परिसर (range) में $2$ शामिल है?
यदि $2$ परिसर में नहीं है,तो फलन $A$ को ${1, 3, 4}$ पर मैप करता है। एकैकी फलनों की संख्या $= P(3, 3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
अतः,वे एकैकी फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है $= 24 - 6 = 18$.
इसलिए,उन फलनों की संख्या जो एकैकी नहीं हैं और जिनमें $2 \in f(A)$ है $= 37 - 18 = 19$.

(D) मान लीजिए $C$ कॉफी पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है और $T$ चाय पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(C) = 73$,$n(T) = 65$.
मान लीजिए $x$ उन लोगों का प्रतिशत है जो दोनों पसंद करते हैं,अर्थात $n(C \cap T) = x$.
हम जानते हैं कि कुल प्रतिशत $100 \%$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(C \cup T) \leq 100$.
सूत्र $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ का उपयोग करने पर:
$73 + 65 - x \leq 100$
$138 - x \leq 100$
$x \geq 38$.
साथ ही,केवल कॉफी या केवल चाय पसंद करने वाले लोगों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती:
$n(C) - x \geq 0 \Rightarrow 73 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 73$
$n(T) - x \geq 0 \Rightarrow 65 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 65$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $38 \leq x \leq 65$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का मान $[38, 65]$ की सीमा में होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$36$ इस सीमा से बाहर है। इसलिए,$x$ का मान $36$ नहीं हो सकता है।

(C) $k$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^k$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या से $112$ अधिक है,इसलिए हमारे पास समीकरण है: $2^m - 2^n = 112$.
हम इसे $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ के रूप में लिख सकते हैं।
$112$ का गुणनखंड करने पर,हमें $112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $n = 4$ और $m - n = 3$ प्राप्त होता है।
$m - n = 3$ में $n = 4$ रखने पर,हमें $m - 4 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $m = 7$ है।
अतः,$m \times n = 7 \times 4 = 28$ है।

(C) चूँकि कोई भी विषम प्राकृत संख्या $2$ से विभाज्य नहीं होती है,इसलिए समुच्चय $A$ रिक्त है।
$(b)$ चूँकि कोई भी प्राकृत संख्या समीकरण $x + 5 = 0$ को संतुष्ट नहीं करती है,इसलिए $B = \phi$ है।
$(c)$ चूँकि $2$ एक सम अभाज्य संख्या है,अर्थात $C = \{2\}$,इसलिए $C$ एक रिक्त समुच्चय नहीं है।
$(d)$ चूँकि $1$ और $2$ के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है,इसलिए $D$ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) विकल्प $A$ के लिए: समीकरण $x^{2}-2x-3=0$ का गुणनखंड करने पर $(x-3)(x+1)=0$ प्राप्त होता है। अतः,$x=3$ या $x=-1$ है। चूँकि $3$ और $-1$ दोनों पूर्णांक हैं,समुच्चय $A = \{3, -1\}$ है। इस समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित है,इसलिए यह एक परिमित समुच्चय है।
विकल्प $B$ के लिए: $2$ से विभाज्य प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ${2, 4, 6, 8, 10, \dots}$ है। यह समुच्चय अनंत तक जाता है,इसलिए यह एक अपरिमित समुच्चय है।
विकल्प $C$ के लिए: एक समतल में एक बिंदु से होकर अनंत रेखाएँ गुजर सकती हैं। इसलिए,$C$ एक अपरिमित समुच्चय है।
विकल्प $D$ के लिए: $-5$ से बड़ी पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ है। यह समुच्चय अनंत तक जाता है,इसलिए यह एक अपरिमित समुच्चय है।
निष्कर्ष: केवल समुच्चय $A$ परिमित है।

(A) दो समुच्चय समान होते हैं यदि उनमें बिल्कुल एक जैसे अवयव हों। समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति समुच्चय को नहीं बदलती है।
$(a)$ $A=\{1, 3, 3, 1\} = \{1, 3\}$ और $B=\{1, 4\}$। यहाँ $3 \in A$ है लेकिन $3 \notin B$ है,इसलिए $A \neq B$।
$(b)$ $A=\{x: x+2=2\} = \{0\}$ और $B=\{0\}$। दोनों समुच्चयों में समान अवयव हैं,इसलिए $A = B$।
$(c)$ $A=\{1, 3, 4, 4\} = \{1, 3, 4\}$ और $B=\{3, 1, 4\}$। दोनों समुच्चयों में समान अवयव हैं,इसलिए $A = B$।
$(d)$ $A=\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\} = \{\frac{1}{n}: n \in N\}$ और $B=\{\frac{1}{n}: n \in N\}$। दोनों समुच्चयों में समान अवयव हैं,इसलिए $A = B$।

(B) रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$A = \{x : x \in N \text{ और } x \leq 1\}$। चूंकि $1 \in N$,इसलिए $A = \{1\}$,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$B = \{x : 3x + 1 = 0, x \in N\}$। समीकरण $3x + 1 = 0$ को हल करने पर $x = -1/3$ प्राप्त होता है। चूंकि $-1/3$ एक प्राकृत संख्या $(N)$ नहीं है,इसलिए $N$ में ऐसा कोई $x$ नहीं है। अतः,$B = \emptyset$ (रिक्त समुच्चय है)।
विकल्प $(C)$ के लिए,$C = \{x : x \text{ एक पूर्णांक है और } -1 < x < 1\}$। पूर्णांक $0$ इस शर्त को पूरा करता है,इसलिए $C = \{0\}$,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $(D)$ के लिए,$D = F \text{ से शुरू होने वाले वर्ष के महीनों का समुच्चय}$। फरवरी $(February)$ $F$ से शुरू होता है,इसलिए $D = \{\text{February}\}$,जो रिक्त नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) यदि किसी समुच्चय में अवयवों की संख्या असीमित हो,तो उसे अनंत समुच्चय कहा जाता है।
$(a)$ सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय केवल एक अवयव रखता है,{$2$}। यह एक परिमित समुच्चय है।
$(b)$ भारत की सभी नदियों का समुच्चय एक परिमित समुच्चय है क्योंकि नदियों की संख्या गिनी जा सकती है।
$(c)$ सभी संकेंद्रीय वृत्तों का समुच्चय अनंत है क्योंकि हम एक ही केंद्र और अलग-अलग त्रिज्याओं वाले अनंत वृत्त खींच सकते हैं।
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(A) जिस समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित होती है,उसे परिमित समुच्चय कहा जाता है।
$(A)$ एक वर्ष के महीनों का समुच्चय में ठीक $12$ अवयव होते हैं (जनवरी से दिसंबर),इसलिए यह एक परिमित समुच्चय है।
$(B)$ समुच्चय ${1, 2, 3, .....}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,जो अनंत है।
$(C)$ समुच्चय ${1, 2, 3, ......., 99, 100}$ भी एक परिमित समुच्चय है।
$(D)$ $x$-अक्ष के समांतर अनंत रेखाएं खींची जा सकती हैं,इसलिए यह समुच्चय अनंत है।