Set Theory Questions in Hindi

(B) रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{1, -1\}$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$। ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग $-1$ हो। अतः,इस समुच्चय में कोई अवयव नहीं है और यह एक रिक्त समुच्चय है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{3, -3\}$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2, -1$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{2, -1\}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समुच्चय $A$ दो शर्तों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है: $x^2 = 16$ और $2x = 6$।
सबसे पहले,$x^2 = 16$ को हल करने पर $x = 4$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
दूसरा,$2x = 6$ को हल करने पर $x = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करता हो,इसलिए समुच्चय $A$ में कोई अवयव नहीं है।
अतः,$A = \phi$ (रिक्त समुच्चय)।

(B) चरण $1$: समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें,जिसे $B \cap C$ के रूप में दर्शाया जाता है।
सर्वनिष्ठ में वे अवयव शामिल होते हैं जो $B$ और $C$ दोनों में उभयनिष्ठ (common) हैं।
$B = \{3, 4\}$,$C = \{4, 5, 6\}$.
$B \cap C = \{4\}$.
चरण $2$: समुच्चय $A$ और चरण $1$ के परिणाम का संघ (union) ज्ञात करें,जिसे $A \cup (B \cap C)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
संघ में वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो $A$ या समुच्चय $\{4\}$ में मौजूद हैं।
$A = \{1, 2, 3\}$.
$A \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ होता है।
इसलिए,$A \cap (A \cap B)^c = A \cap (A^c \cup B^c)$।
वितरण नियम लागू करने पर,हमें $(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \cap A^c = \phi$ (रिक्त समुच्चय),व्यंजक $\phi \cup (A \cap B^c)$ बन जाता है।
अतः,अंतिम परिणाम $A \cap B^c$ है।

(C) सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हमें उन बिंदुओं $(x, y)$ को खोजना होगा जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं।
दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{x}$ और $y = -x$ हैं।
दूसरे समीकरण से $y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर,हमें $-x = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $-x^2 = 1$ या $x^2 = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या $(x \in R)$ होनी चाहिए,समीकरण $x^2 = -1$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
इसलिए,ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में हो।
अतः,$A \cap B = \phi$ है।

(B) दिया गया है $A = \{x : x \in R, |x| < 1\}$। इसका अर्थ है $-1 < x < 1$,अतः $A = (-1, 1)$।
दिया गया है $B = \{x : x \in R, |x - 1| \ge 1\}$। इसका अर्थ है $x - 1 \le -1$ या $x - 1 \ge 1$,जो सरल होकर $x \le 0$ या $x \ge 2$ हो जाता है। अतः $B = (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$।
अब,$A \cup B = (-1, 1) \cup (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$।
इन अंतरालों को संयोजित करने पर,हमें $A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है $A \cup B = R - D$। इसका अर्थ है कि $D$,$R$ में $A \cup B$ का पूरक समुच्चय है।
$(-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ का पूरक समुच्चय $[1, 2)$ है।
अतः,$D = \{x : x \in R, 1 \le x < 2\}$।

(C) समुच्चय $A$ चरघातांकी फलन $y = e^x$ का आलेख दर्शाता है। समुच्चय $B$ रैखिक फलन $y = x$ का आलेख दर्शाता है।
किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,यह एक ज्ञात गुण है कि $e^x > x$ होता है। विशेष रूप से,फलन $f(x) = e^x - x$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर $1$ होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $e^x - x \ge 1$ है।
चूंकि $e^x$ का मान किसी भी $x \in R$ के लिए $x$ के बराबर नहीं होता है,इसलिए इन दोनों समुच्चयों के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः,$A \cap B = \phi$।

(C) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$ होता है।
इसलिए,$n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B)$।
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करने पर: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$।
अब,$n(A^c \cap B^c) = 700 - 400 = 300$।

(B) कुल परिवार $= 10,000$ दिए गए हैं।
$n(A) = 40\% \text{ of } 10,000 = 4,000$
$n(B) = 20\% \text{ of } 10,000 = 2,000$
$n(C) = 10\% \text{ of } 10,000 = 1,000$
$n(A \cap B) = 5\% \text{ of } 10,000 = 500$
$n(B \cap C) = 3\% \text{ of } 10,000 = 300$
$n(A \cap C) = 4\% \text{ of } 10,000 = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 2\% \text{ of } 10,000 = 200$
केवल समाचार पत्र $A$ खरीदने वाले परिवारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
$n(\text{केवल } A) = n(A) - [n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$
$n(\text{केवल } A) = 4000 - [500 + 400 - 200]$
$n(\text{केवल } A) = 4000 - [700] = 3300.$

(C) माना कि $C$ कार से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है और $B$ बस से यात्रा करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(C) = 20\%$,$n(B) = 50\%$,और $n(C \cap B) = 10\%$.
हमें कार या बस से यात्रा करने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत ज्ञात करना है,जो $n(C \cup B)$ द्वारा दिया जाता है।
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$
मान रखने पर:
$n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
अतः,कार या बस से यात्रा करने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत $60\%$ है।

(D) मान लीजिए $M, P,$ और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान का अध्ययन करने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19, n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7, n(M \cap P \cap C) = 4$.
केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए:
$1$. केवल गणित: $n(M) - [n(M \cap P) + n(M \cap C) - n(M \cap P \cap C)] = 23 - [12 + 9 - 4] = 23 - 17 = 6$.
$2$. केवल भौतिकी: $n(P) - [n(P \cap M) + n(P \cap C) - n(M \cap P \cap C)] = 24 - [12 + 7 - 4] = 24 - 15 = 9$.
$3$. केवल रसायन विज्ञान: $n(C) - [n(C \cap M) + n(C \cap P) - n(M \cap P \cap C)] = 19 - [9 + 7 - 4] = 19 - 12 = 7$.
केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की कुल संख्या $6 + 9 + 7 = 22$ है।

(B) कार्तीय गुणन $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
यहाँ $A = \{ 2, 4, 5 \}$ दिया गया है,इसलिए $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
यहाँ $B = \{ 7, 8, 9 \}$ दिया गया है,इसलिए $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन में अवयवों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ है।
अतः,$n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ होगा।

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,और $C = \{d, e\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
अब,समुच्चय $A$ और परिणामी समुच्चय $(B \cup C)$ का कार्तीय गुणन (Cartesian product) ज्ञात करें:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\}$.
इससे क्रमित युग्मों (ordered pairs) का समुच्चय प्राप्त होता है:
$\{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
अतः,दिया गया समुच्चय $A \times (B \cup C)$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$.
मान लीजिए $x \in A$. चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ होगा।
चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $x \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$x \in A \cap B \implies x \in A$ और $x \in B$। अतः,$x \in B$ होगा।
चूँकि $x \in A \implies x \in B$,इसलिए $A \subseteq B$ सिद्ध होता है।
इसी प्रकार,मान लीजिए $y \in B$. चूँकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $y \in A \cup B$ होगा।
चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $y \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,$y \in A \cap B \implies y \in A$ और $y \in B$। अतः,$y \in A$ होगा।
चूँकि $y \in B \implies y \in A$,इसलिए $B \subseteq A$ सिद्ध होता है।
चूँकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$,इसलिए $A = B$ होगा।

(B) सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$-मानों को बराबर रखते हैं: $e^x = e^{-x}$।
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $e^{2x} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$।
$x = 0$ को किसी भी समीकरण में रखने पर,हमें $y = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(0, 1)$ समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में स्थित है।
चूंकि कम से कम एक उभयनिष्ठ बिंदु मौजूद है,इसलिए $A \cap B \neq \phi$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 8, 10\}$,$B = \{3, 4, 5, 10, 12\}$,और $C = \{4, 5, 6, 12, 14\}$ हैं।
सबसे पहले,सर्वनिष्ठ (intersection) $A \cap B$ ज्ञात करें:
$A \cap B = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{3, 4, 5, 10, 12\} = \{3, 4, 10\}$.
इसके बाद,सर्वनिष्ठ $A \cap C$ ज्ञात करें:
$A \cap C = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{4, 5, 6, 12, 14\} = \{4\}$.
अंत में,संघ (union) $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ ज्ञात करें:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4, 10\} \cup \{4\} = \{3, 4, 10\}$.

(A) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
अब,समुच्चय $A$ का परिणाम $(B \cup C)$ के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\}$.
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव $a, b,$ और $c$ हैं।
अतः,$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\}$.
सही विकल्प $A$ है।

(A) समुच्चय अंतर की परिभाषा के अनुसार,$B - A$ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
इसलिए,किसी भी अवयव $x \in (B - A)$ के लिए,यह सुनिश्चित है कि $x \notin A$।
चूंकि $A \cap (B - A)$ उन अवयवों के समुच्चय को दर्शाता है जो $A$ और $(B - A)$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं,और $A$ तथा $(B - A)$ में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है,इसलिए उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय होगा।
अतः,$A \cap (B - A) = \phi$।

(C) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(A \cup B)' = A' \cap B'$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A \cap (A' \cap B')$ प्राप्त होता है।
समुच्चयों के साहचर्य नियम (associative law) के अनुसार,इसे $(A \cap A') \cap B'$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $A \cap A' = \phi$ (रिक्त समुच्चय) होता है,इसलिए व्यंजक $\phi \cap B'$ बन जाता है।
किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) हमेशा रिक्त समुच्चय ही होता है,इसलिए $\phi \cap B' = \phi$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सार्वत्रिक समुच्चय $U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ है।
सबसे पहले,समुच्चय $B$ का पूरक समुच्चय $B'$ ज्ञात करें।
$B' = U \setminus B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 \}$।
अब,समुच्चय $A$ और $B'$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें।
$A \cap B' = \{ 1, 2, 5 \} \cap \{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 \}$।
उभयनिष्ठ अवयव $\{ 1, 2, 5 \}$ हैं।
चूंकि $\{ 1, 2, 5 \} = A$,इसलिए परिणाम $A$ है।

(C) दिया गया है कि ${N_a} = \{an : n \in N\}$,जो $a$ के सभी गुणजों का समुच्चय दर्शाता है।
अतः,${N_5} = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, \dots\}$ और ${N_7} = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, \dots\}$ है।
सर्वनिष्ठ ${N_5} \cap {N_7}$ में वे संख्याएँ शामिल हैं जो $5$ और $7$ दोनों की गुणज हैं।
चूँकि $5$ और $7$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $5 \times 7 = 35$ है।
इसलिए,उभयनिष्ठ गुणज $35$ के गुणज हैं,जिसे ${N_{35}}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है कि $aN = \{ ax : x \in N \}$,जो $a$ के सभी गुणजों का समुच्चय दर्शाता है।
$3N = \{ x \in N : x, 3 \text{ का एक गुणज है } \}$.
$7N = \{ x \in N : x, 7 \text{ का एक गुणज है } \}$.
सर्वनिष्ठ समुच्चय $3N \cap 7N$ में वे अवयव शामिल हैं जो $3$ और $7$ दोनों के गुणज हैं।
चूंकि $3$ और $7$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $3 \times 7 = 21$ है।
अतः,$3N \cap 7N = \{ x \in N : x, 21 \text{ का एक गुणज है } \} = 21N$.

(A) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cup B)' = A' \cap B'$.
अतः,व्यंजक $(A' \cap B') \cup (A' \cap B)$ हो जाता है।
वितरण नियम द्वारा,हम $A'$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(A' \cap B') \cup (A' \cap B) = A' \cap (B' \cup B)$.
चूंकि $B' \cup B = U$ (सार्वत्रिक समुच्चय),व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार है:
$A' \cap U = A'$.
इस प्रकार,$(A \cup B)' \cup (A' \cap B) = A'$.

(C) वेन आरेख से,समुच्चय $S = (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$ उस क्षेत्र को दर्शाता है जिसमें वे अवयव शामिल हैं जो केवल $A, B,$ या $C$ में से किसी एक में हैं,या वे अवयव जो केवल दो समुच्चयों में हैं,लेकिन यह तीनों समुच्चयों के सर्वनिष्ठ (intersection) $A \cap B \cap C$ को बाहर रखता है।
विशेष रूप से,क्षेत्र $(A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$ संघ $A \cup B \cup C$ के उन सभी भागों को कवर करता है,सिवाय उस केंद्रीय क्षेत्र के जहाँ तीनों समुच्चय एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।
इसलिए,सार्वत्रिक समुच्चय $U$ (जहाँ $U = A \cup B \cup C$) में इस समुच्चय का पूरक (complement) वह क्षेत्र है जो शेष रहता है,जो कि तीनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ है:
$\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)\} ' = A \cap B \cap C$.

(C) यह दिया गया है कि $A \subseteq B$,जिसका अर्थ है कि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव है।
इसलिए,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) समुच्चय $B$ के बराबर होता है,अर्थात $A \cup B = B$।
परिणामस्वरूप,$A \cup B$ में अवयवों की संख्या $B$ में अवयवों की संख्या के बराबर होगी।
$n(A \cup B) = n(B) = 6$।

(A) मान लीजिए कि कुल लड़ाकों की संख्या $100$ है।
मान लीजिए $A, B, C, D$ उन लड़ाकों के समुच्चय हैं जिन्होंने क्रमशः एक आँख,एक कान,एक हाथ और एक पैर खो दिया है।
दिया गया है: $n(A) = 70, n(B) = 80, n(C) = 75, n(D) = 85$।
जिन लोगों ने ये अंग नहीं खोए हैं उनकी संख्या है:
$n(A^c) = 100 - 70 = 30$
$n(B^c) = 100 - 80 = 20$
$n(C^c) = 100 - 75 = 25$
$n(D^c) = 100 - 85 = 15$
कम से कम एक अंग खोने वाले लोगों की संख्या $100 - n(A^c \cap B^c \cap C^c \cap D^c)$ है।
$x$ (चारों का सर्वनिष्ठ) को न्यूनतम करने के लिए,हम पूरक समुच्चयों के संघ को अधिकतम करते हैं।
कम से कम एक अंग खोने वाले लोगों की अधिकतम संख्या $100$ है।
पूरक समुच्चयों के लिए समावेश-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(A^c \cup B^c \cup C^c \cup D^c) \leq n(A^c) + n(B^c) + n(C^c) + n(D^c) = 30 + 20 + 25 + 15 = 90$।
अतः,चारों अंग खोने वाले लोगों की संख्या कम से कम $100 - 90 = 10$ है।
इसलिए,$x$ का न्यूनतम मान $10$ है।

(D) माना $C$,$H$,और $B$ क्रमशः क्रिकेट,हॉकी और बास्केटबॉल खेलने वाले लड़कों के समुच्चय हैं।
दिया गया है:
$n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$
$n(H \cap B) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40$
$n(C \cap H \cap B) = 24$
कुल लड़के $n(U) = 800$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - n(C \cap H) - n(H \cap B) - n(C \cap B) + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - 40 - 64 - 80 + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$
कोई भी खेल न खेलने वाले लड़कों की संख्या $n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$ है।

(C) मान लीजिए $A$ उन अमेरिकियों का समुच्चय है जो चीज़ पसंद करते हैं और $B$ उन अमेरिकियों का समुच्चय है जो सेब पसंद करते हैं।
मान लीजिए अमेरिकियों की कुल जनसंख्या $100$ है।
दिया गया है: $n(A) = 63$ और $n(B) = 76$.
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
$n(A \cup B) = 63 + 76 - n(A \cap B) = 139 - n(A \cap B)$.
चूंकि $n(A \cup B) \le 100$,इसलिए $139 - n(A \cap B) \le 100$,जिसका अर्थ है $n(A \cap B) \ge 39$.
साथ ही,दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है,इसलिए $n(A \cap B) \le n(A)$ और $n(A \cap B) \le n(B)$.
अतः,$n(A \cap B) \le 63$ और $n(A \cap B) \le 76$. यहाँ छोटी सीमा $n(A \cap B) \le 63$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $39 \le n(A \cap B) \le 63$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = n(A \cap B)$,इसलिए $39 \le x \le 63$ होगा।

(A) मान लीजिए $M$ गणित पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है।
दिया गया है:
कुल शिक्षक $n(M \cup P) = 20$
गणित पढ़ाने वाले शिक्षक $n(M) = 12$
दोनों विषय पढ़ाने वाले शिक्षक $n(M \cap P) = 4$
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8 = 12$
अतः,भौतिकी पढ़ाने वाले शिक्षकों की संख्या $12$ है।

(A) मान लीजिए कि $C, H, F$ क्रमशः क्रिकेट टीम,हॉकी टीम और फुटबॉल टीम के सदस्यों के समुच्चय हैं।
हमें दिया गया है:
$n(C) = 21, n(H) = 26, n(F) = 29$
$n(H \cap C) = 14, n(H \cap F) = 15, n(F \cap C) = 12$
$n(C \cap H \cap F) = 8$
हमें सदस्यों की कुल संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(C \cup H \cup F)$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - [n(C \cap H) + n(H \cap F) + n(F \cap C)] + n(C \cap H \cap F)$
मान रखने पर:
$n(C \cup H \cup F) = (21 + 26 + 29) - (14 + 15 + 12) + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 43$
अतः,कुल $43$ सदस्य हैं।

(D) मान लीजिए $n(M)$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या है और $n(P)$ भौतिकी में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या है।
दिया गया है: $n(M) = 55$,$n(P) = 67$,और कुल छात्रों की संख्या $n(M \cup P) = 100$ है।
दो समुच्चयों के संघ के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
मान रखने पर: $100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
इसलिए,$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
यह उन छात्रों की संख्या है जो गणित और भौतिकी दोनों में उत्तीर्ण हुए हैं।
केवल भौतिकी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $n(P \text{ only}) = n(P) - n(M \cap P)$ द्वारा दी जाती है।
$n(P \text{ only}) = 67 - 22 = 45$.

(C) सामान्यतः,दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल क्रमविनिमेय नहीं होता है,अर्थात $A \times B \neq B \times A$।
$A \times B = B \times A$ की स्थिति सत्य होने के लिए,समुच्चयों का समान होना आवश्यक है,अर्थात $A = B$।
यदि $A = B$ है,तो $A \times B = A \times A$ और $B \times A = A \times A$ होता है,जो समानता को संतुष्ट करता है।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 4\}$,$B = \{2, 4, 5\}$,और $C = \{2, 5\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय का अंतर $(A - B)$ ज्ञात करें:
$A - B$ उन अवयवों को दर्शाता है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
$A - B = \{1, 2, 4\} - \{2, 4, 5\} = \{1\}$.
इसके बाद,समुच्चय का अंतर $(B - C)$ ज्ञात करें:
$B - C$ उन अवयवों को दर्शाता है जो $B$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
$B - C = \{2, 4, 5\} - \{2, 5\} = \{4\}$.
अंत में,कार्तीय गुणन $(A - B) \times (B - C)$ की गणना करें:
$(A - B) \times (B - C) = \{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) दिया गया है कि $(1, 3), (2, 5), (3, 3) \in A \times B$.
कार्तीय गुणन $A \times B$ की परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ में सभी प्रथम निर्देशांक और समुच्चय $B$ में सभी द्वितीय निर्देशांक होते हैं।
अतः,$A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 5\}$।
$A \times B$ में अवयवों की कुल संख्या $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ है।
समुच्चय $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
$A \times B = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)\}$।
हमें तीन अवयव दिए गए हैं: $(1, 3), (2, 5), (3, 3)$।
शेष अवयव $(1, 5), (2, 3), (3, 5)$ हैं।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 8\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$।
इसके बाद,समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें: $A \cap B = \{3\}$।
अब,कार्तीय गुणनफल (Cartesian product) $(A \cup B) \times (A \cap B)$ ज्ञात करें:
$(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\} = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$।

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 5\}$ और $B = \{2, 5, 6\}$ हैं।
सबसे पहले,अंतर समुच्चय $(A - B)$ ज्ञात करें,जिसमें $A$ के वे अवयव शामिल हैं जो $B$ में नहीं हैं: $A - B = \{3\}$।
इसके बाद,सर्वनिष्ठ समुच्चय $(A \cap B)$ ज्ञात करें,जिसमें $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयव शामिल हैं: $A \cap B = \{2, 5\}$।
अंत में,कार्तीय गुणनफल $(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$ की गणना करें।

(A) मान लीजिए $N$,$P$,और $H$ क्रमशः नीडल वर्क,भौतिकी और इतिहास लेने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(N) = 12$,$n(P) = 16$,$n(H) = 18$,और $n(N \cup P \cup H) = 30$.
चूंकि कोई भी छात्र तीनों विषय नहीं लेता है,इसलिए $n(N \cap P \cap H) = 0$.
तीन समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$n(N \cup P \cup H) = n(N) + n(P) + n(H) - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + n(N \cap P \cap H)$.
मान रखने पर:
$30 = 12 + 16 + 18 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + 0$.
$30 = 46 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)]$.
अतः,$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) = 46 - 30 = 16$.
ठीक दो विषय लेने वाले छात्रों की संख्या $[n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] - 3n(N \cap P \cap H)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n(N \cap P \cap H) = 0$,इसलिए ठीक दो विषय लेने वाले छात्रों की संख्या $16 - 3(0) = 16$ है।

(D) दिया गया है कि $n(A) = 4$,$n(B) = 3$,और $n(A \times B \times C) = 24$ है।
हम जानते हैं कि तीन समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के लिए,अवयवों की संख्या $n(A \times B \times C) = n(A) \times n(B) \times n(C)$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \times 3 \times n(C) = 24$
$12 \times n(C) = 24$
$n(C) = \frac{24}{12}$
$n(C) = 2$.

(C) दिया गया समुच्चय समीकरण $2a^2 + 3b^2 = 35$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$ है।
हम $a$ और $b$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करते हैं:
यदि $a = \pm 2$ है,तो $2(4) + 3b^2 = 35 \implies 8 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 27 \implies b^2 = 9 \implies b = \pm 3$।
इससे हमें निम्नलिखित युग्म प्राप्त होते हैं: $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$।
यदि $a = \pm 4$ है,तो $2(16) + 3b^2 = 35 \implies 32 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1 \implies b = \pm 1$।
इससे हमें निम्नलिखित युग्म प्राप्त होते हैं: $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$।
$a$ के अन्य मानों की जाँच करने पर: यदि $a = 0$ है,तो $3b^2 = 35$ (कोई पूर्णांक हल नहीं); यदि $a = \pm 1$ है,तो $2 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 33 \implies b^2 = 11$ (कोई पूर्णांक हल नहीं); यदि $a = \pm 3$ है,तो $18 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 17$ (कोई पूर्णांक हल नहीं)।
अतः,समुच्चय में अवयवों की कुल संख्या $4 + 4 = 8$ है।

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन,जिसे $A \times B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x \in A$ और $y \in B$ होता है।
यहाँ $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$ और $B = \{ a, b \}$ दिया गया है।
अतः,$A \times B = \{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}$।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
इसके बाद,प्राप्त समुच्चय $(A \cup B)$ का समुच्चय $C$ के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{3, 4, 6\} = \{3, 4, 6\}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) किसी समुच्चय $A$ के घात समुच्चय को $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो $A$ के सभी संभावित उपसमुच्चयों का संग्रह है।
दिया गया है कि $A = \{x, y\}$।
$A$ के उपसमुच्चय निम्नलिखित हैं:
$1$. रिक्त समुच्चय: $\phi$
$2$. एकल अवयव वाले समुच्चय: $\{x\}$ और $\{y\}$
$3$. स्वयं समुच्चय: $\{x, y\}$
अतः,घात समुच्चय $P(A) = \{\phi, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ है।

(D) मान लीजिए समुच्चय $S$ में $N = 2n + 1$ अवयव हैं।
हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $n$ से अधिक अवयव हैं,अर्थात $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1)$ अवयव वाले उपसमुच्चय।
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या का योग है: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$।
द्विपद गुणांकों के गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को फिर से लिख सकते हैं:
$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,इत्यादि।
अतः,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$।
हम जानते हैं कि $m$ आकार के समुच्चय के लिए सभी द्विपद गुणांकों का योग $2^m$ होता है,अर्थात $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$।
$m = 2n + 1$ के लिए,कुल योग $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ है।
चूंकि $\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}$,गुणांकों के पहले आधे भाग का योग दूसरे आधे भाग के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$S = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$।

(A) समुच्चय सिद्धांत में, प्रतीक $\subseteq$ एक उपसमुच्चय संबंध को दर्शाता है, जबकि $\in$ एक अवयव संबंध को दर्शाता है।
समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ के लिए:
$1$. समुच्चय ${a}$, $A$ का एक उपसमुच्चय है क्योंकि ${a}$ का प्रत्येक अवयव $A$ का भी एक अवयव है। अतः, ${a} \subseteq {a, b, c}$ एक सत्य कथन है।
$2$. समुच्चय ${a}$, $A$ का अवयव नहीं है; केवल $a$, $A$ का अवयव है। अतः, ${a} \in {a, b, c}$ असत्य है।
$3$. रिक्त समुच्चय $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, लेकिन यह $A$ का अवयव नहीं है। अतः, $\phi \in {a, b, c}$ असत्य है।
इसलिए, सही कथन ${a} \subseteq {a, b, c}$ है।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots\}$ और $B = \{6, 12, 18, 24, 30, \dots\}$ हैं।
$A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयवों को देखते हैं।
उभयनिष्ठ अवयव $4$ और $6$ दोनों के गुणज हैं।
$4$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
अतः,सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B = \{12, 24, 36, \dots\}$ है,जो $12$ के सभी गुणजों को दर्शाता है।

(C) मान लीजिए कि $M$,$P$,और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान लेने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है:
$n(M) = 100$
$n(P) = 70$
$n(C) = 40$
$n(M \cap P) = 30$
$n(M \cap C) = 28$
$n(P \cap C) = 23$
$n(M \cap P \cap C) = 18$
केवल गणित लेने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(M \text{ only}) = n(M) - [n(M \cap P) + n(M \cap C) - n(M \cap P \cap C)]$
$n(M \text{ only}) = 100 - [30 + 28 - 18]$
$n(M \text{ only}) = 100 - [40]$
$n(M \text{ only}) = 60$
अतः,$60$ छात्रों ने केवल गणित विषय लिया है।

(D) आइए प्रत्येक संबंध का विश्लेषण करें:
$(1) \, A - B = A - (A \cap B)$: यह एक मानक समुच्चय पहचान है। समुच्चय $A - B$ में $A$ के वे अवयव होते हैं जो $B$ में नहीं हैं। चूंकि $A \cap B$,$A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय है,इसलिए $A$ से इन्हें हटाने पर ठीक $A - B$ प्राप्त होता है। अतः,$(1)$ सही है।
$(2) \, A = (A \cap B) \cup (A - B)$: यह समुच्चय $A$ का दो असंयुक्त समुच्चयों में विभाजन दर्शाता है: $B$ में उभयनिष्ठ भाग $(A \cap B)$ और वह भाग जो $B$ में नहीं है $(A - B)$। इनका संघ (union) वास्तव में $A$ है। अतः,$(2)$ सही है।
$(3) \, A - (B \cup C) = (A - B) \cup (A - C)$: समुच्चय अंतर के लिए डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार,$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ होता है। इसलिए,दिया गया संबंध गलत है।
निष्कर्ष: संबंध $(1)$ और $(2)$ सही हैं।

(B) समुच्चयों $A \times B$ और $B \times A$ में उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या उनके सर्वनिष्ठ (intersection) द्वारा दी जाती है:
$n((A \times B) \cap (B \times A))$
कार्तीय गुणन (Cartesian product) के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$ होता है।
चूंकि $n(A \cap B) = 99$ दिया गया है,इसलिए $n(B \cap A) = 99$ होगा।
अतः,उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या $n(A \cap B) \times n(B \cap A) = 99 \times 99 = 99^2$ है।

(D) सबसे पहले,हम सूत्र का उपयोग करके समुच्चय $A$ और $B$ के संघ (union) में अवयवों की संख्या ज्ञात करते हैं:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n(A \cup B) = 12 + 9 - 4 = 17$
अब,$(A \cup B)$ के पूरक (complement) में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n((A \cup B)^C) = n(U) - n(A \cup B)$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n((A \cup B)^C) = 20 - 17 = 3$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक समुच्चय $A$ पर संबंध को कार्तीय गुणनफल $A \times A$ के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3\}$,अतः $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
कार्तीय गुणनफल $A \times A$ में अवयवों की संख्या $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ है।
$m$ अवयवों वाले एक समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
इसलिए,$A$ पर परिभाषित किए जा सकने वाले कुल भिन्न संबंधों की संख्या $A \times A$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है,जो कि $2^9$ है।