Set Theory Questions in Hindi

(D) $X$ से $Y$ में एक संबंध कार्तीय गुणनफल $X \times Y$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$R_1$ के लिए: यदि $x=1, y=3 \in Y$; $x=2, y=4 \notin Y$; $x=3, y=5 \in Y$; $x=4, y=6 \notin Y$; $x=5, y=7 \in Y$ है। चूँकि सभी $x \in X$ के लिए $y$ का $Y$ में होना आवश्यक है,$R_1$ में ऐसी जोड़ियाँ हैं जहाँ $y \notin Y$ है,इसलिए $R_1$ एक संबंध नहीं है।
$R_2$ के लिए: सभी जोड़ियाँ $(x, y)$ शर्तों $x \in X$ और $y \in Y$ को संतुष्ट करती हैं। अतः,$R_2 \subseteq X \times Y$,इसलिए यह एक संबंध है।
$R_3$ के लिए: सभी जोड़ियाँ $(x, y)$ शर्तों $x \in X$ और $y \in Y$ को संतुष्ट करती हैं। अतः,$R_3 \subseteq X \times Y$,इसलिए यह एक संबंध है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों $X$ से $Y$ में संबंध हैं।

(C) दिया गया है कि $n(A) = 2$ और $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध,$A \times B$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,$A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ है।

(B) संबंध $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $\{(a, b) : a - b = 3\}$ या $\{(a, b) : b - a = 3\}$ के रूप में परिभाषित है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,हम ऐसे युग्म देखते हैं जहाँ अंतर $3$ है।
यदि $b = n$ है,तो $a = n + 3$ होगा।
$n = 1$ के लिए,$a = 4 \implies (4, 1)$।
$n = 2$ के लिए,$a = 5 \implies (5, 2)$।
$n = 3$ के लिए,$a = 6 \implies (6, 3)$।
अतः,संबंध $R = \{(4, 1), (5, 2), (6, 3), .....\}$ है।

(B) दिया गया है कि ${N_a} = \{ an : n \in N \}$।
यह $a$ के सभी गुणजों का समुच्चय दर्शाता है।
अतः,${N_3} = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \}$ और ${N_4} = \{ 4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots \}$।
सर्वनिष्ठ ${N_3} \cap {N_4}$ में वे अवयव शामिल हैं जो दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ हैं,जो $3$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणज हैं।
$3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) $12$ है।
इस प्रकार,${N_3} \cap {N_4} = \{ 12, 24, 36, \dots \} = {N_{12}}$।
सामान्यतः,${N_a} \cap {N_b} = {N_{\text{lcm}(a, b)}}$।

(B) दो समुच्चयों के संघ (union) में अवयवों की संख्या का सूत्र है: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$।
यहाँ $n(A) = 3$ और $n(B) = 6$ दिया गया है।
$A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें सर्वनिष्ठ (intersection) $n(A \cap B)$ में अवयवों की संख्या को अधिकतम करना होगा।
$n(A \cap B)$ के लिए अधिकतम संभव मान छोटे समुच्चय के अवयवों की संख्या के बराबर होता है,जो कि $3$ है (क्योंकि $A \subseteq B$ संभव है)।
इन मानों को रखने पर: $n(A \cup B) = 3 + 6 - 3 = 6$।
अतः,$A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(D) समुच्चय $A$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है। इसका समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है।
समुच्चय $B$ एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जिसका समीकरण $x^2 + 9y^2 = 144$ है। $144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ मिलता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसमें अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 12$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 4$ है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $5$ है,और दीर्घवृत्त का लघु अक्ष $4$ तथा दीर्घ अक्ष $12$ है,वृत्त दीर्घवृत्त को चार अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है क्योंकि वृत्त की त्रिज्या दीर्घवृत्त के अर्ध-लघु अक्ष से बड़ी लेकिन अर्ध-दीर्घ अक्ष से छोटी है।
अतः,$A \cap B$ में चार बिंदु शामिल हैं।

(B) समुच्चय अंतर $A - B$ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
गणितीय रूप से,$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\}$।
चूंकि $x \notin B$ का अर्थ $x \in \bar B$ होता है (जहाँ $\bar B, B$ का पूरक समुच्चय है),हम लिख सकते हैं:
$A - B = A \cap \bar B$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ के लिए द्विघात समीकरण को हल करते हैं: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ या $x = 3$ है। इस प्रकार,$A = \{2, 3\}$ है।
इसके बाद,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं: $B \cap C = \{2, 4\} \cap \{4, 5\} = \{4\}$।
अंत में,कार्तीय गुणनफल $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$ की गणना करते हैं।
इससे क्रमित युग्मों का समुच्चय $\{(2, 4), (3, 4)\}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि समाचार पत्रों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक छात्र $5$ समाचार पत्र पढ़ता है,इसलिए सभी $300$ छात्रों द्वारा पढ़े गए कुल समाचार पत्रों की संख्या $300 \times 5 = 1500$ है।
प्रत्येक समाचार पत्र $60$ छात्रों द्वारा पढ़ा जाता है,इसलिए कुल पठन संख्या $x \times 60$ भी होगी।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $60x = 1500$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान निकालने पर,$x = 1500 / 60 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,समाचार पत्रों की संख्या $25$ है।

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणनफल $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ के रूप में परिभाषित होता है।
सर्वनिष्ठ $(A \times B) \cap (B \times A)$ के लिए,एक अवयव $(x, y)$ को $(x, y) \in A \times B$ और $(x, y) \in B \times A$ दोनों को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in A, y \in B$ और $x \in B, y \in A$।
अतः,$x \in (A \cap B)$ और $y \in (A \cap B)$।
दिया गया है कि $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{2, 3, 6, 7\}$,इसलिए इनका सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{2, 3\}$ है।
$A \cap B$ में अवयवों की संख्या $n(A \cap B) = 2$ है।
अतः,$(A \times B) \cap (B \times A)$ में अवयवों की संख्या $n(A \cap B) \times n(A \cap B) = 2 \times 2 = 4$ होगी।

(B) फलन $f(x) = \log(x^2)$ सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए परिभाषित है क्योंकि सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं के लिए $x^2 > 0$ होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करते समय,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि प्रांत (domain) समान रहे।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम लिख सकते हैं कि $\log(x^2) = \log(|x|^2) = 2 \log |x|$।
फलन $2 \log |x|$ भी सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए परिभाषित है।
अतः,समतुल्य फलन $2 \log |x|$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x - |x|}{|x|}$ है।
$f(-1)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = -1$ प्रतिस्थापित करें।
$f(-1) = \frac{-1 - |-1|}{|-1|}$.
चूंकि $|-1| = 1$,इसलिए:
$f(-1) = \frac{-1 - 1}{1} = \frac{-2}{1} = -2$.

(D) दिया गया है कि $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$ है।
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right)$ ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले फलन $f(x)$ में $x$ के स्थान पर $\frac{1}{x}$ रखें:
$f\left( \frac{1}{x} \right) = 4\left( \frac{1}{x} \right)^3 + 3\left( \frac{1}{x} \right)^2 + 3\left( \frac{1}{x} \right) + 4$
$f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$
अब,इस व्यंजक को $x^3$ से गुणा करें:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = x^3 \left( \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4 \right)$
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4 = f(x)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x + |x|$ है।
सबसे पहले,$f(2x)$ की गणना करें:
$f(2x) = 2(2x) + |2x| = 4x + 2|x|$.
इसके बाद,$f(-x)$ की गणना करें:
$f(-x) = 2(-x) + |-x| = -2x + |x|$.
अब,इन मानों को व्यंजक $f(2x) + f(-x) - f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$= (4x + 2|x|) + (-2x + |x|) - (2x + |x|)$.
$= 4x + 2|x| - 2x + |x| - 2x - |x|$.
समान पदों को संयोजित करने पर:
$= (4x - 2x - 2x) + (2|x| + |x| - |x|)$.
$= 0x + 2|x| = 2|x|$.

(D) दिया गया है $f(x) = \cos([\pi^2]x) + \cos([- \pi^2]x)$।
चूंकि $\pi^2 \approx 9.86$,इसलिए $[\pi^2] = 9$ है।
साथ ही,$[-\pi^2] = [-9.86] = -10$ है।
अतः,$f(x) = \cos(9x) + \cos(-10x) = \cos(9x) + \cos(10x)$।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2\cos\left(\frac{19x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$।
अब,$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$।
चूंकि $\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$।

(B) फलन $f(x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ के रूप में परिभाषित है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 3 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 3\text{।}$ अतः,प्रांत $R - \{3\}$ है।
अब,मापांक (absolute value) के लिए दो स्थितियों पर विचार करें:
स्थिति $1$: यदि $x > 3$ है,तो $|x - 3| = x - 3$। इसलिए,$f(x) = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$।
स्थिति $2$: यदि $x < 3$ है,तो $|x - 3| = -(x - 3)$। इसलिए,$f(x) = \frac{-(x - 3)}{x - 3} = -1$।
अतः,फलन का परिसर $\{1, -1\}$ समुच्चय है।

(C) फलन $f(x) = \log |x^2 - 9|$ केवल तभी परिभाषित होता है जब लघुगणक का तर्क (argument) धनात्मक हो।
अर्थात,$|x^2 - 9| > 0$ होना चाहिए।
चूंकि निरपेक्ष मान $|x^2 - 9|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|x^2 - 9| > 0$ की स्थिति सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए संतुष्ट होती है,सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ $|x^2 - 9| = 0$ हो।
$x^2 - 9 = 0$ रखने पर,हमें $x^2 = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$ या $x = -3$।
इसलिए,फलन $x = 3$ और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
अतः,फलन का प्रांत $\{-3, 3\}$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - \{-3, 3\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) फलन $f(x) = \log |\log x|$ तब परिभाषित होता है जब लघुगणक का तर्क धनात्मक हो।
$1$. आंतरिक लघुगणक $\log x$ केवल तब परिभाषित होता है जब $x > 0$ हो।
$2$. बाहरी लघुगणक $\log |\log x|$ तब परिभाषित होता है जब $|\log x| > 0$ हो।
$3$. शर्त $|\log x| > 0$ का अर्थ है कि $\log x \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $x \neq 1$।
$4$. दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $x > 0$ और $x \neq 1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\log_2(x + 3)}{x^2 + 3x + 2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x^2 + 3x + 2 \neq 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(x + 2) \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq -1$ और $x \neq -2$.
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x > -3$ और $x \notin \{-1, -2\}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $(-3, \infty) - \{-1, -2\}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 6x + 7$ है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 7$
$f(x) = (x - 3)^2 - 2$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 3)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए व्यंजक का न्यूनतम मान $0 - 2 = -2$ है।
जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$ होता है,$f(x) \to \infty$ होता है।
अतः,फलन का परिसर $[-2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log \frac{1}{|\sin x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए:
$\log \frac{1}{|\sin x|} \ge 0$
चूंकि $\log_a x \ge 0$ का अर्थ है $x \ge 1$ (आधार $10$ या $e$ के लिए),इसलिए:
$\frac{1}{|\sin x|} \ge 1$
$1 \ge |\sin x|$
यह असमिका उन सभी $x$ के लिए सत्य है जहाँ $\sin x$ परिभाषित है,बशर्ते $|\sin x| \neq 0$ हो।
चूंकि $x = n\pi$ (जहाँ $n \in I$) पर $\sin x = 0$ होता है,इसलिए इन बिंदुओं पर $\frac{1}{|\sin x|}$ अपरिभाषित हो जाता है।
अतः,फलन का प्रांत उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जहाँ $\sin x \neq 0$ है।
प्रांत $= R - \{ n\pi, n \in I \}$.

(C) फलन $f(x) = \log (\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x} )$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक (logarithm) के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर के मान ऋणेतर (non-negative) होने चाहिए।
$1$. $\sqrt {x - 4}$ को परिभाषित होने के लिए,$x - 4 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \ge 4$.
$2$. $\sqrt {6 - x}$ को परिभाषित होने के लिए,$6 - x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 6$.
$3$. योग $\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x}$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए। चूंकि दोनों वर्गमूल पद ऋणेतर हैं,उनका योग हमेशा $\ge 0$ होता है। योग $0$ केवल तभी होता है जब $x-4=0$ और $6-x=0$ एक साथ हों,जो कि असंभव है ($x=4$ और $x=6$ एक साथ नहीं हो सकते)। अतः,$x \in [4, 6]$ के लिए योग हमेशा धनात्मक रहता है।
इन शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $4 \le x \le 6$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $[4, 6]$ है।

(B) फलन $f(x) = {\left[ {{{\log }_{10}}\left( {\frac{{5x - {x^2}}}{4}} \right)} \right]^{1/2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए:
${\log _{10}}\left( {\frac{{5x - {x^2}}}{4}} \right) \ge 0$
चूंकि लघुगणक का आधार $10 > 1$ है,इसलिए घातांकीय रूप में बदलने पर असमिका अपरिवर्तित रहती है:
$\frac{{5x - {x^2}}}{4} \ge {10^0}$
$\frac{{5x - {x^2}}}{4} \ge 1$
$5x - {x^2} \ge 4$
${x^2} - 5x + 4 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x - 4) \le 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $1$ और $4$ के बीच (सहित) हो।
अतः,फलन का प्रांत $[1, 4]$ है।

(C) फलन $f(x) = \log_{3 + x}(x^2 - 1)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$,इसलिए $x < -1$ या $x > 1$।
$2$. लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए: $3 + x > 0$ और $3 + x \neq 1$।
$3 + x > 0$ से,हमें $x > -3$ प्राप्त होता है।
$3 + x \neq 1$ से,हमें $x \neq -2$ प्राप्त होता है।
इन सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x > -3$,$x \neq -2$,और ($x < -1$ या $x > 1$)।
इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लेने पर प्रांत प्राप्त होता है: $D_f = (-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\sin 2x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
अतः,$\sin 2x \ge 0$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $\sin \theta \ge 0$ तब होता है जब $\theta$ प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में हो,अर्थात $2n\pi \le \theta \le 2n\pi + \pi$।
$\theta = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2n\pi \le 2x \le 2n\pi + \pi$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $n\pi \le x \le n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $[n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}]$ है।
इसलिए,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) फलन $f(x) = \frac{3}{4 - x^2} + \log_{10}(x^3 - x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का मान धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x^2 - 1) > 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 1) > 0$.
वेवी कर्व (wavy curve) विधि का उपयोग करके,क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ के लिए,यह व्यंजक $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ अंतराल में धनात्मक है।
इन शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $(1, \infty)$ अंतराल से $x = 2$ को हटाना होगा।
अतः,प्रांत $(-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{2 - 2x - x^2}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$2 - 2x - x^2 \ge 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 2x - 2 \le 0$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को हल करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$x^2 + 2x + 1 - 1 - 2 \le 0$
$(x + 1)^2 - 3 \le 0$
$(x + 1)^2 \le 3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\sqrt{3} \le x + 1 \le \sqrt{3}$
सभी पदों में से $1$ घटाने पर:
$-1 - \sqrt{3} \le x \le -1 + \sqrt{3}$।
अतः,फलन का प्रांत $[-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}]$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{x - 3}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 4}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए और हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. वर्गमूल के लिए शर्त $x^2 - 4 > 0$ है,जिसका अर्थ है $x^2 > 4$। इससे $x > 2$ या $x < -2$ प्राप्त होता है।
$2$. हर के लिए शर्त $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ है। इसका अर्थ है कि $x - 1 \neq 0$ (अर्थात $x \neq 1$) और $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ (अर्थात $x^2 - 4 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq \pm 2$)।
$3$. इन सभी शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \in ( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है और $x \neq 1$ होना चाहिए। चूंकि $1$ अंतराल $( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ में नहीं आता है,इसलिए प्रांत $( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ होगा।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log \left( \frac{5x - x^2}{6} \right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\log \left( \frac{5x - x^2}{6} \right) \ge 0$
चूंकि लघुगणक का आधार $10$ है,इसलिए यह असमिका इस प्रकार होगी:
$\frac{5x - x^2}{6} \ge 10^0$
$\frac{5x - x^2}{6} \ge 1$
$5x - x^2 \ge 6$
$x^2 - 5x + 6 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x - 3) \le 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ द्विघात समीकरण के मूलों के बीच स्थित हो:
$2 \le x \le 3$
अतः,फलन का प्रांत $[2, 3]$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{2 - x} - \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$.
$2$. हर (denominator) में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $9 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow |x| < 3$,जिसका अर्थ है $-3 < x < 3$.
$3$. इन दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x \le 2$ और $-3 < x < 3$.
$4$. इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन (intersection) $(-3, 2]$ है।
अतः,फलन का प्रांत $(-3, 2]$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए:
$1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$
$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \in [-1, 1]$ प्राप्त होता है।
$2$. हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$x \neq 0$
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $[-1, 1] - \{0\}$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{x - x^2} + \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक गैर-ऋणात्मक होने चाहिए।
$1$. $\sqrt{4 + x}$ के लिए,$4 + x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \ge -4$।
$2$. $\sqrt{4 - x}$ के लिए,$4 - x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \le 4$।
$3$. $\sqrt{x - x^2}$ के लिए,$x - x^2 \ge 0$ होना चाहिए,अर्थात $x(1 - x) \ge 0$। यह असमिका $0 \le x \le 1$ के लिए सत्य है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेते हैं:
$x \in [-4, \infty) \cap (- \infty, 4] \cap [0, 1]$।
इन समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $[0, 1]$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $[0, 1]$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ का प्रांत उन सभी संभावित इनपुट मानों $(x)$ का समुच्चय है जिनके लिए फलन परिभाषित है।
फलन $f(x) = \frac{1}{1 + e^x}$ के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
चूँकि सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए $1 + e^x > 1$ होगा।
अतः,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए हर कभी शून्य नहीं होता है।
इसलिए,यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
अतः,प्रांत $(-\infty, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\log(x^2 - 6x + 6)}$ तब परिभाषित होता है जब वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) हो,अर्थात $\log(x^2 - 6x + 6) \ge 0$।
चूंकि $\log(y) \ge 0$ का अर्थ है $y \ge 1$ (आधार $10$ या $e$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$x^2 - 6x + 6 \ge 1$
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x - 5)(x - 1) \ge 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 5$ प्राप्त करते हैं। अंतरालों $(-\infty, 1]$,$(1, 5)$,और $[5, \infty)$ की जांच करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक $(-\infty, 1]$ और $[5, \infty)$ अंतरालों में ऋणेतर है।
इसके अतिरिक्त,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक का तर्क धनात्मक हो: $x^2 - 6x + 6 > 0$। चूंकि $x^2 - 6x + 6 \ge 1$ पहले से ही संतुष्ट है,इसलिए $x^2 - 6x + 6 > 0$ की शर्त स्वतः संतुष्ट हो जाती है।
अतः,फलन का प्रांत $( - \infty, 1 ] \cup [ 5, \infty )$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए:
$1 - \frac{1}{x} \ge 0$
$\frac{x - 1}{x} \ge 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम वे क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ अंश और हर शून्य होते हैं,जो $x = 1$ और $x = 0$ हैं।
चिह्न योजना (वेवी कर्व विधि) का उपयोग करते हुए:
$x > 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x} > 0$ (धनात्मक)।
$0 < x < 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x} < 0$ (ऋणात्मक)।
$x < 0$ के लिए,$\frac{x-1}{x} > 0$ (धनात्मक)।
चूंकि हमें व्यंजक $\ge 0$ चाहिए,इसलिए हल $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ है।
नोट: $x = 0$ को बाहर रखा गया है क्योंकि हर शून्य नहीं हो सकता।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ के रूप में परिभाषित है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए क्योंकि यह हर (denominator) में है।
इसलिए,$x^2 - 1 > 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x^2 > 1$।
असमिका $x^2 > 1$ को हल करने पर,हमें $|x| > 1$ प्राप्त होता है।
इसका मतलब है $x > 1$ या $x < -1$।
अंतराल संकेतन में,इसे $x \in ( - \infty, -1) \cup (1, \infty)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) फलन $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
हम जानते हैं कि मापांक फलन (absolute value function) की परिभाषा के अनुसार:
यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$,जिसका अर्थ है $x > x$,जो असंभव है।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,जिसका अर्थ है $-x > x$,या $0 > 2x$,जिसे सरल करने पर $x < 0$ प्राप्त होता है।
अतः,यह फलन सभी $x < 0$ के लिए परिभाषित है।
इसलिए,प्रांत $( - \infty, 0)$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x^2 + 1}$ द्वारा दिया गया है।
फलन को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंतर्गत व्यंजकों का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
प्रथम पद $\sqrt{x^2 - 1}$ के लिए,हमें $x^2 - 1 \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x^2 \ge 1$। यह असमिका तब सत्य होती है जब $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ हो।
दूसरे पद $\sqrt{x^2 + 1}$ के लिए,हमें $x^2 + 1 \ge 0$ की आवश्यकता है। चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $x^2 + 1 \ge 1$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है।
फलन $f(x)$ का प्रांत दोनों पदों के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) है।
अतः,प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है,जिसे $(-\infty, \infty) - (-1, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) फलन $f(x) = \exp (\sqrt {5x - 3 - 2{x^2}} )$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$5x - 3 - 2{x^2} \ge 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $2{x^2} - 5x + 3 \le 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $2{x^2} - 2x - 3x + 3 \le 0 \implies 2x(x - 1) - 3(x - 1) \le 0 \implies (2x - 3)(x - 1) \le 0$।
इसे $2(x - 3/2)(x - 1) \le 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $x \in [1, 3/2]$ के लिए $\le 0$ है।
अतः,प्रांत $[1, 3/2]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \cos^2 x \right)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ होता है।
इसलिए,सेकेंट फलन का कोण $\theta = \frac{\pi}{4} \cos^2 x$,अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में स्थित है।
चूंकि सेकेंट फलन $\sec(\theta)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में निरंतर वर्धमान है,इसलिए हम अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:
जब $\cos^2 x = 0$ है,तो $f(x) = \sec(0) = 1$ है।
जब $\cos^2 x = 1$ है,तो $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$ है।
अतः,फलन का परिसर $[1, \sqrt{2}]$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1}$ है।
हम फलन को $y = \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हमें व्यंजक $g(x) = x^2 + x + 1$ का परिसर ज्ञात करना होगा।
$g(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $g(x) = (x + 1/2)^2 + 3/4$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ का न्यूनतम मान $3/4$ ($x = -1/2$ पर) है और अधिकतम मान $\infty$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $[3/4, \infty)$ है।
अब,$\frac{1}{g(x)}$ का परिसर $(0, 1/(3/4)] = (0, 4/3]$ है।
इस परिसर में $1$ जोड़ने पर,$f(x)$ का परिसर $(1, 1 + 4/3] = (1, 7/3]$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = a\cos(bx + c) + d$ है।
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,$-1 \le \cos(bx + c) \le 1$।
$a$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $a > 0$),हमें $-a \le a\cos(bx + c) \le a$ प्राप्त होता है।
सभी पदों में $d$ जोड़ने पर,हमें $d - a \le a\cos(bx + c) + d \le d + a$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[d - a, d + a]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cos x - \sin x$ है।
हम जानते हैं कि $a \cos x + b \sin x$ के रूप के किसी भी व्यंजक को $R \cos(x + \alpha)$ या $R \sin(x + \beta)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -1$ है।
अतः,$R = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$।
चूँकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,इसलिए अंश ऋणेतर है और हर हमेशा अंश से बड़ा होता है।
जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$,$y \to 1$ होता है,लेकिन $y$ कभी भी $1$ तक नहीं पहुँचता क्योंकि $x^2 < x^2 + 1$ है।
जब $x = 0$ है,तो $y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 1)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos 2x - \sin 2x$ है।
हम इसे $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,अंतराल $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।
समुच्चय $[-1, 1]$,$[-1.414, 1.414]$ का उपसमुच्चय है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[-1, 1]$ समुच्चय को समाहित करता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{2 - \sin 3x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 3x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
मान लीजिए $u = \sin 3x$,तो $u \in [-1, 1]$ होगा।
फलन $f(u) = \frac{1}{2 - u}$ हो जाता है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $u$ की सीमाओं पर फलन का मान निकालते हैं:
जब $u = -1$ है,तो $f(-1) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$।
जब $u = 1$ है,तो $f(1) = \frac{1}{2 - 1} = 1$।
चूंकि फलन इस अंतराल में सतत और एकदिष्ट है,इसलिए फलन का परिसर $[\frac{1}{3}, 1]$ है।

(B) हम जानते हैं कि ज्या फलन (sine function) $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसका अर्थ है कि $-1 \le \sin x \le 1$ है।
$-7$ से गुणा करने पर,हमें $7 \ge -7 \sin x \ge -7$ प्राप्त होता है,जिसे $-7 \le -7 \sin x \le 7$ के रूप में लिखा जा सकता है।
असमिका के सभी भागों में $9$ जोड़ने पर,हमें $9 - 7 \le 9 - 7 \sin x \le 9 + 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 \le 9 - 7 \sin x \le 16$ है।
इसलिए,फलन $f(x) = 9 - 7 \sin x$ का परिसर $[2, 16]$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(x^2 + 2x - 7) = x^2 + 34x - 71$.
$x^2(y - 1) + x(2y - 34) - 7y + 71 = 0$.
$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (2y - 34)^2 - 4(y - 1)(-7y + 71) \ge 0$.
$4(y - 17)^2 - 4(-7y^2 + 71y + 7y - 71) \ge 0$.
$(y^2 - 34y + 289) - (-7y^2 + 78y - 71) \ge 0$.
$y^2 - 34y + 289 + 7y^2 - 78y + 71 \ge 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \ge 0$.
$8$ से भाग देने पर,हमें $y^2 - 14y + 45 \ge 0$ प्राप्त होता है।
$(y - 5)(y - 9) \ge 0$.
अतः,परिसर $y \in ( - \infty, 5] \cup [9, \infty)$ है।

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका ${\sin ^{ - 1}} \theta + {\cos ^{ - 1}} \theta = \frac{\pi }{2}$ सभी $\theta \in [-1, 1]$ के लिए मान्य है।
इस प्रश्न में,$\theta = \sqrt x$ है।
$\sqrt x$ को परिभाषित होने के लिए,$x \ge 0$ होना चाहिए।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित होने के लिए,$-1 \le \sqrt x \le 1$ होना चाहिए।
चूंकि $\sqrt x$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $-1 \le \sqrt x \le 1$ की शर्त $0 \le \sqrt x \le 1$ में सरल हो जाती है।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $0^2 \le x \le 1^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $0 \le x \le 1$।
अतः,वह अंतराल जिसके लिए समीकरण सत्य है,$x \in [0, 1]$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \cos^2 x + (1 - \cos^2 x)^2$
$f(x) = \cos^2 x + 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$
$f(x) = \cos^4 x - \cos^2 x + 1$
माना $t = \cos^2 x$,जहाँ $t \in [0, 1]$.
तब $g(t) = t^2 - t + 1$.
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $t = 1/2$ पर है।
चूंकि $1/2 \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $g(1/2) = (1/4) - (1/2) + 1 = 3/4$ है।
अधिकतम मान सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:
$g(0) = 1$ और $g(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
अतः,परिसर $[3/4, 1]$ है।