Set Theory Questions in Hindi

(B) दो समुच्चयों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें अवयवों की संख्या समान हो,अर्थात उनकी कार्डिनल संख्या बराबर हो।
विकल्प $A$ में: $n(A) = 4$ और $n(B) = 4$ है। चूँकि $n(A) = n(B)$,इसलिए वे समतुल्य हैं।
विकल्प $B$ में: $n(A) = 3$ और $n(B) = 4$ है। चूँकि $n(A) \neq n(B)$,इसलिए वे समतुल्य नहीं हैं।
विकल्प $C$ में: $n(A) = 0$ और $n(B) = 0$ है। चूँकि $n(A) = n(B)$,इसलिए वे समतुल्य हैं।
विकल्प $D$ में: $n(A) = 3$ और $n(B) = 3$ है। चूँकि $n(A) = n(B)$,इसलिए वे समतुल्य हैं।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया युग्म समतुल्य नहीं है।

(B) समुच्चय की कार्डिनल संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले '$ASSASSINATION$' शब्द में मौजूद अद्वितीय अक्षरों की सूची बनाते हैं।
अक्षर हैं: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
विशिष्ट अक्षर हैं: $A, S, I, N, T, O$.
समुच्चय $\{A, S, I, N, T, O\}$ है।
इस समुच्चय में अवयवों की संख्या $6$ है।
अतः,कार्डिनल संख्या $6$ है।

(C) मान लीजिए $A$ उन प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है जो $\leq 30$ हैं और $7$ या $11$ से विभाज्य हैं।
$30$ तक $7$ से विभाज्य संख्याएँ हैं: $7, 14, 21, 28$।
$30$ तक $11$ से विभाज्य संख्याएँ हैं: $11, 22$।
इन दोनों को मिलाने पर,समुच्चय $A = \{7, 11, 14, 21, 22, 28\}$ प्राप्त होता है।
किसी समुच्चय की कार्डिनल संख्या उस समुच्चय में अवयवों की संख्या होती है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की गणना करने पर,हमें $n(A) = 6$ प्राप्त होता है।

(B) समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $S = \{x: x = 2n, n \in N, 4 \leq x \leq 11\}$.
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) है,हम $n$ के उन मानों की जाँच करते हैं जो $4 \leq 2n \leq 11$ को संतुष्ट करते हैं।
असमिका को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2 \leq n \leq 5.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक प्राकृत संख्या होनी चाहिए,इसलिए $n$ के संभावित मान $2, 3, 4, 5$ हैं।
$n = 2$ के लिए,$x = 2(2) = 4$.
$n = 3$ के लिए,$x = 2(3) = 6$.
$n = 4$ के लिए,$x = 2(4) = 8$.
$n = 5$ के लिए,$x = 2(5) = 10$.
अतः समुच्चय $S = \{4, 6, 8, 10\}$ है।
किसी समुच्चय की कार्डिनल संख्या उस समुच्चय में अवयवों की कुल संख्या होती है।
इसलिए,कार्डिनल संख्या $4$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा समुच्चय परिमित है,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है।
$B$: एक समतल पर अनंत चतुर्भुज खींचे जा सकते हैं।
$C$: हमें शर्त $x \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) और $x^2 - 25 \leq 0$ दी गई है। $x^2 \leq 25$ को हल करने पर $-5 \leq x \leq 5$ प्राप्त होता है। चूँकि $x \in N$,इसलिए $x$ के संभावित मान ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। इस समुच्चय में $5$ अवयव हैं,इसलिए यह परिमित है।
$D$: प्राकृत संख्याओं में $3$ के गुणजों का समुच्चय ${3, 6, 9, 12, \dots}$ है,जो अनंत है।
अतः,सही समुच्चय ${x: x \in N \text{ और } x^2 - 25 \leq 0}$ है।

(C) दो समुच्चय $A$ और $B$ समतुल्य कहलाते हैं यदि उनमें अवयवों की संख्या समान हो,अर्थात $n(A) = n(B)$।
विकल्प $A$ के लिए: $n(A) = 26$ (अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर) और $n(B) = 24$। चूँकि $26 \neq 24$,वे समतुल्य नहीं हैं।
विकल्प $B$ के लिए: $n(A) = 3$। समुच्चय $B$ एक अनंत समुच्चय है क्योंकि $n \in N$,इसलिए $n(B) = \infty$। वे समतुल्य नहीं हैं।
विकल्प $C$ के लिए: $n(A) = 3$। समुच्चय $B$ में क्रमित युग्म हैं,$n(B) = 3$। चूँकि $n(A) = n(B) = 3$,समुच्चय $A$ और $B$ समतुल्य हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $n(A) = 4$ ($n = 0, 1, 2, 3$ के लिए) और $n(B) = 3$। चूँकि $4 \neq 3$,वे समतुल्य नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दो समुच्चय $A$ और $B$ समान कहलाते हैं यदि उनमें बिल्कुल एक जैसे अवयव हों।
विकल्प $A$: $A=\{12, 14, 16\}$ और $B=\{16, 18, 20\}$। यहाँ $12 \in A$ है लेकिन $12 \notin B$ है,इसलिए $A \neq B$ है।
विकल्प $B$: $A=\phi$ (रिक्त समुच्चय) और $B=\{\}$ (रिक्त समुच्चय)। दोनों समुच्चयों में कोई अवयव नहीं है,इसलिए $A=B$ है।
विकल्प $C$: $A=\{x: x \in W \text{ और } x < 1\}$। $W$ (पूर्ण संख्याएँ) $0$ से शुरू होती हैं,इसलिए एकमात्र अवयव $0$ है। अतः $A=\{0\}$,जबकि $B=\phi$ है। इसलिए $A \neq B$ है।
विकल्प $D$: $A=\{x: x \text{ सप्ताह का एक दिन है जो } S \text{ से शुरू होता है}\} = \{\text{Sunday, Saturday}\}$। $B=\{\text{Sunday}\}$ है। इसलिए $A \neq B$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए $C$ क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है और $F$ फुटबॉल खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है:
$n(C) = 50$
$n(F) = 20$
$n(C \cap F) = 10$
हमें उन छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है जो इन दो खेलों में से कम से कम एक खेल खेलते हैं,जो $n(C \cup F)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $n(C \cup F) = n(C) + n(F) - n(C \cap F)$
$n(C \cup F) = 50 + 20 - 10 = 60$
वैकल्पिक रूप से,वेन आरेख से:
केवल क्रिकेट खेलने वाले छात्र = $50 - 10 = 40$
केवल फुटबॉल खेलने वाले छात्र = $20 - 10 = 10$
दोनों खेल खेलने वाले छात्र = $10$
कम से कम एक खेल खेलने वाले कुल छात्र = $40 + 10 + 10 = 60$.

(D) माना $A = {0}.$ किसी समुच्चय $A$ के घात समुच्चय को $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो $A$ के सभी संभावित उपसमुच्चयों का संग्रह है।
समुच्चय $A = {0}$ के लिए,इसके उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय $\phi$ और स्वयं समुच्चय ${0}$ हैं।
अतः,घात समुच्चय $P(A) = {\phi, {0}}$ होगा।

(D) माना $A = \{\{a, b\}, c\}$ है।
घात समुच्चय $P(A)$ निर्धारित करने के लिए,हम देखते हैं कि समुच्चय $A$ में दो अवयव हैं: $x = \{a, b\}$ और $y = c$।
घात समुच्चय $P(A)$ में अवयवों की संख्या $2^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या है।
यहाँ,$n = 2$ है,इसलिए $P(A)$ में $2^2 = 4$ अवयव होंगे।
घात समुच्चय $P(A)$ के अवयव $A$ के उपसमुच्चय हैं,जो इस प्रकार हैं:
$1$. रिक्त समुच्चय: $\phi$
$2$. पहले अवयव वाला समुच्चय: $\{\{a, b\}\}$
$3$. दूसरे अवयव वाला समुच्चय: $\{c\}$
$4$. स्वयं समुच्चय $A$: $\{\{a, b\}, c\}$
अतः,$P(A) = \{\phi, \{\{a, b\}\}, \{c\}, A\}$।

(B) दो समुच्चय $A$ और $B$ तुलनीय कहलाते हैं यदि $A \subseteq B$ या $B \subseteq A$ हो।
$(a)$ $1 \in A$ लेकिन $1 \notin B$ और $6 \in B$ लेकिन $6 \notin A$ है। अतः,$A \not\subseteq B$ और $B \not\subseteq A$ है। इसलिए,वे तुलनीय नहीं हैं।
$(b)$ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ और $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है। चूँकि $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में है,इसलिए $A \subset B$ है। अतः,$A$ और $B$ तुलनीय हैं।
$(c)$ $\{4, 5\} \in A$ लेकिन $\{4, 5\} \notin B$ और $4 \in B$ लेकिन $4 \notin A$ है। अतः,$A \not\subseteq B$ और $B \not\subseteq A$ है। इसलिए,वे तुलनीय नहीं हैं।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{\phi, \{\phi\}, 1, \{1, \phi\}, 7\}$ है।
$1$. $\phi \in A$: रिक्त समुच्चय $\phi$,$A$ का एक अवयव है,इसलिए यह कथन सत्य है।
$2$. $\{\phi\} \in A$: रिक्त समुच्चय वाला समुच्चय $\{\phi\}$,$A$ का एक अवयव है,इसलिए यह कथन सत्य है।
$3$. $\{1\} \in A$: समुच्चय $\{1\}$,$A$ का अवयव नहीं है। $A$ के अवयव $\phi, \{\phi\}, 1, \{1, \phi\}$ और $7$ हैं। चूँकि $\{1\}$ अवयव के रूप में सूचीबद्ध नहीं है,इसलिए यह कथन असत्य है।
$4$. $\{7, \phi\} \subset A$: चूँकि $7 \in A$ और $\phi \in A$ दोनों सत्य हैं,इसलिए समुच्चय $\{7, \phi\}$,$A$ का उपसमुच्चय है,अतः यह कथन सत्य है।
अतः,असत्य कथन $\{1\} \in A$ है।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ है।
$1$. समुच्चय $A$ के अवयव $1$,$2$,${3, 4}$,और $5$ हैं।
$2$. चूंकि ${3, 4}$ समुच्चय $A$ के भीतर एक अवयव के रूप में सूचीबद्ध है,इसलिए कथन ${3, 4} \in A$ सत्य है।
$3$. कथन ${3, 4} \subset A$ असत्य है क्योंकि समुच्चय ${3, 4}$ के अवयव $3$ और $4$ हैं,जो $A$ के अवयव नहीं हैं।
$4$. कथन $1 \subset A$ असत्य है क्योंकि $1$ समुच्चय $A$ का एक अवयव है,न कि उपसमुच्चय ($1 \in A$ सत्य है)।
$5$. कथन ${1, 2, 5} \in A$ असत्य है क्योंकि समुच्चय ${1, 2, 5}$ समुच्चय $A$ का अवयव नहीं है (हालांकि यह $A$ का एक उपसमुच्चय है)।

(D) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 3, 5\}$ और $B = \{x : x, 6 \text{ से छोटी एक विषम प्राकृतिक संख्या है\}}$ हैं।
चूंकि $6$ से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5$ हैं,इसलिए $B = \{1, 3, 5\}$ प्राप्त होता है।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $A = B$ है।
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,यदि $A = B$ है,तो $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ होता है। चूँकि $A$ और $B$ समान हैं,इसलिए कथन $A \subset B$,$B \subset A$ और $A = B$ सभी समुच्चय की समानता के साथ सुसंगत हैं।
अतः,दिए गए विकल्पों $A, B, C$ में से कोई भी असत्य नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B, C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ है।
$1$. $A$ के अवयव $1$,$2$,$\{3, 4\}$,और $5$ हैं।
$2$. चूंकि $\{3, 4\}$ समुच्चय $A$ का एक अवयव है,इसलिए कथन $\{3, 4\} \in A$ सत्य है।
$3$. चूंकि $\{3, 4\}$ समुच्चय $A$ का एक अवयव है,इसलिए इस अवयव को समाहित करने वाला समुच्चय $\{\{3, 4\}\}$,$A$ का एक उपसमुच्चय (subset) है। अतः,$\{\{3, 4\}\} \subset A$ भी सत्य है।
$4$. $3$ और $4$ समुच्चय $A$ के स्वतंत्र अवयव नहीं हैं; वे $\{3, 4\}$ समुच्चय का हिस्सा हैं। इसलिए,$\{3, 4\} \subset A$ असत्य है और $\{1, 3, 5\} \subset A$ भी असत्य है।

(A) किसी समुच्चय $A$ का घात समुच्चय,जिसे $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A$ के सभी संभावित उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है।
दिया गया समुच्चय $A = \{8, 9\}$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या $n = 2$ है।
घात समुच्चय $P(A)$ में अवयवों की संख्या $2^n = 2^2 = 4$ होगी।
$A$ के उपसमुच्चय हैं: $\phi$ (रिक्त समुच्चय),$\{8\}$,$\{9\}$,और $\{8, 9\}$।
अतः,घात समुच्चय $P(A) = \{\phi, \{8\}, \{9\}, \{8, 9\}\}$ है।

(B) किसी समुच्चय $C$ का घात समुच्चय,जिसे $P(C)$ द्वारा दर्शाया जाता है,$C$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है।
दिया गया है $C = \{1, \{2\}\}$।
$C$ के अवयव $1$ और $\{2\}$ हैं।
$C$ के उपसमुच्चय निम्नलिखित हैं:
$1$. रिक्त समुच्चय: $\phi$
$2$. पहले अवयव वाला समुच्चय: $\{1\}$
$3$. दूसरे अवयव वाला समुच्चय: $\{\{2\}\}$
$4$. दोनों अवयवों वाला समुच्चय: $\{1, \{2\}\}$
अतः,घात समुच्चय $P(C) = \{\phi, \{1\}, \{\{2\}\}, \{1, \{2\}\}\}$ है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{x : x = \frac{n-1}{n+1},\ n \in W,\ n \le 10\}$ है।
चूंकि $n \in W$ (पूर्ण संख्याएँ), $n$ के संभावित मान हैं:
$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
जब हम $n = 1$ लेते हैं:
$x = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$
अतः, $0$ समुच्चय $A$ का एक अवयव है।
इसलिए, $0 \in A$ एक सही कथन है।

(D) सबसे पहले,हम दिए गए शब्दों में अद्वितीय अक्षरों की पहचान करके प्रत्येक समुच्चय के अवयव लिखते हैं:
$A = \{B, O, W, L\}$
$B = \{E, L, B, O, W\}$
$C = \{B, E, L, O, W\}$
समुच्चयों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $A = \{B, O, W, L\}$ और $B = \{B, O, W, L, E\}$ है। चूंकि $A$ के सभी अवयव $B$ में हैं,इसलिए $A \subset B$ सत्य है।
$B$ और $C$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $B = \{B, E, L, O, W\}$ और $C = \{B, E, L, O, W\}$ है। अतः,$B = C$ है।
चूंकि $B = C$ है,इसलिए कथन $B \supset C$ सत्य है (क्योंकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है)।
कथन '$B, C$ का उचित उपसमुच्चय है' असत्य है क्योंकि $B, C$ के बराबर है,और कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं हो सकता है।

(A) यदि किसी समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित है,तो उसे परिमित समुच्चय कहा जाता है। यदि समुच्चय $A$ परिमित है,तो उसका कोई भी उपसमुच्चय $B$ (जहाँ $B \subseteq A$) भी परिमित ही होगा,क्योंकि $B$ में अवयवों की संख्या $A$ के अवयवों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती। इसलिए,परिमित समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय परिमित होता है। विकल्प $B$ गलत है क्योंकि एक अपरिमित समुच्चय का उपसमुच्चय परिमित हो सकता है (उदाहरण के लिए,${1}$ प्राकृतिक संख्याओं के अपरिमित समुच्चय $\mathbb{N}$ का एक उपसमुच्चय है)। विकल्प $C$ गलत है क्योंकि अपरिमित समुच्चय का उपसमुच्चय अपरिमित भी हो सकता है (उदाहरण के लिए,सम संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{N}$ का एक उपसमुच्चय है)। विकल्प $D$ गलत है क्योंकि परिमित समुच्चय के उचित उपसमुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय से कम अवयव होते हैं,इसलिए वह मूल समुच्चय के समतुल्य नहीं हो सकता।

(D) दिए गए समुच्चय हैं:
$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots\}$
$B = \{5, 10, 15, 20, 25, \dots\}$
$C = \{10, 20, 30, 40, \dots\}$
सबसे पहले,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात कीजिए:
$A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $2$ और $5$ दोनों के गुणज हैं। चूँकि $2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $10$ है,इसलिए $A \cap B = \{10, 20, 30, \dots\}$।
इसकी तुलना समुच्चय $C$ से करने पर,हम देखते हैं कि $A \cap B = C$ है।
अब,$(A \cap B) \cap C$ ज्ञात कीजिए:
$(A \cap B) \cap C = C \cap C = C$।
अतः,समुच्चय $(A \cap B) \cap C$ समुच्चय $C$ के बराबर है।

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$,$B = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$,और $C = \{10, 20, 30, \dots\}$ हैं।
चूँकि $C \subset B$,इसलिए संघ $B \cup C$ का मान $B$ ही होगा।
अतः,$B \cup C = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, \dots\} = B$ है।
अब,हम सर्वनिष्ठ $A \cap (B \cup C) = A \cap B$ ज्ञात करते हैं।
$A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $2$ और $5$ दोनों के गुणज हैं।
$2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) $10$ है।
इस प्रकार,$A \cap B = \{10, 20, 30, \dots\} = C$ है।

(A) चरण $1$: $A \cap U$ ज्ञात कीजिए।
चूंकि $A = \{2, 4, 7\}$ और $U = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है,इसलिए $A \cap U$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय है,जो $\{2, 4, 7\}$ है।
चरण $2$: $B \cup C$ ज्ञात कीजिए।
चूंकि $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ और $C = \{7, 8, 9, 10, 11\}$ है,इसलिए $B \cup C$ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $B$ या $C$ में उपस्थित हैं,जो $\{3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है।
चरण $3$: $(A \cap U) \cap (B \cup C)$ की गणना कीजिए।
हमें $\{2, 4, 7\}$ और $\{3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करना है।
दोनों में एकमात्र उभयनिष्ठ अवयव $7$ है।
अतः,$(A \cap U) \cap (B \cup C) = \{7\}$।

(A) दिया गया है कि $U = \{a, b, c, d, e, f\}$ और $A = \{a, b, c\}$ है।
सबसे पहले,$A$ का पूरक समुच्चय $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए।
$A^{\prime} = U - A = \{d, e, f\}$.
अब,$U$ और $A^{\prime}$ का संघ (union) ज्ञात कीजिए।
$U \cup A^{\prime} = \{a, b, c, d, e, f\} \cup \{d, e, f\}$.
चूंकि $\{d, e, f\}$,$U$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए इनका संघ $U$ ही होगा।
$U \cup A^{\prime} = \{a, b, c, d, e, f\} = U$.

(D) सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$A \cup B = \{a, b, c\} \cup \{c, d, e, f\} = \{a, b, c, d, e, f\}$
अब,इस परिणाम का समुच्चय $C$ के साथ संघ ज्ञात करें:
$(A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d, e, f\} \cup \{c, d, e\}$
दोनों समुच्चयों के सभी अद्वितीय अवयवों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d, e, f\}$
चूंकि यह समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के बराबर है,इसलिए अंतिम उत्तर $U$ है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap B = \{a, b, c\} \cap \{c, d, e, f\} = \{c\}$
इसके बाद,समुच्चय $A$ और $C$ का सर्वनिष्ठ ज्ञात करें:
$A \cap C = \{a, b, c\} \cap \{c, d, e\} = \{c\}$
अंत में,दोनों परिणामी समुच्चयों का संघ (union) ज्ञात करें:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{c\} \cup \{c\} = \{c\}$

(C) दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो,अर्थात उनमें कोई भी उभयनिष्ठ अवयव न हो।
$(i)$ समुच्चय ${x : x in mathbb{N}, 4 leq x leq 6} = {4, 5, 6}$ है। ${1, 2, 3, 4}$ और ${4, 5, 6}$ का सर्वनिष्ठ ${4}$ है। चूँकि उनमें एक उभयनिष्ठ अवयव है,इसलिए वे असंयुक्त नहीं हैं।
$(ii)$ समुच्चय ${a, e, i, o, u}$ और ${c, d, e, f}$ में अवयव $e$ उभयनिष्ठ है। अतः,वे असंयुक्त नहीं हैं।
$(iii)$ सम पूर्णांकों का समुच्चय और विषम पूर्णांकों का समुच्चय कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं रखते हैं क्योंकि कोई भी पूर्णांक एक साथ सम और विषम नहीं हो सकता है। इसलिए,उनका सर्वनिष्ठ $emptyset$ है। अतः,वे असंयुक्त समुच्चय हैं।

(D) समुच्चय $A - B$ उन अवयवों से बना है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{3, 5, 7, 11\}$ और $B = \{7, 8, 9, 10, 11\}$।
$A$ से $B$ के अवयवों को हटाने पर,हमें $A - B = \{3, 5\}$ प्राप्त होता है।
पूरक समुच्चय $(A - B)'$ को $U - (A - B)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$U = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$।
$(A - B)' = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} - \{3, 5\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$।
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में मौजूद नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $E$, $M$, और $C$ क्रमशः अंग्रेजी, गणित और वाणिज्य में उत्तीर्ण छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है:
केवल अंग्रेजी में उत्तीर्ण $= 46$
केवल गणित में उत्तीर्ण $= 46$
केवल वाणिज्य में उत्तीर्ण $= 58$
अंग्रेजी और गणित में उत्तीर्ण (तीनों सहित) $= 16$। अतः, केवल अंग्रेजी और गणित $= 16 - 7 = 9$।
गणित और वाणिज्य में उत्तीर्ण (तीनों सहित) $= 24$। अतः, केवल गणित और वाणिज्य $= 24 - 7 = 17$।
अंग्रेजी और वाणिज्य में उत्तीर्ण (तीनों सहित) $= 26$। अतः, केवल अंग्रेजी और वाणिज्य $= 26 - 7 = 19$।
तीनों विषयों में उत्तीर्ण $= 7$।
कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण कुल छात्र $= (\text{केवल } E) + (\text{केवल } M) + (\text{केवल } C) + (\text{केवल } E \cap M) + (\text{केवल } M \cap C) + (\text{केवल } E \cap C) + (E \cap M \cap C)$
$= 11 + 13 + 15 + 9 + 17 + 19 + 7 = 91$।
सभी विषयों में अनुत्तीर्ण छात्र $= 100 - 91 = 9$।

(A) हमें दिया गया है कि $n(X \cup Y) = 18$,$n(X) = 8$,और $n(Y) = 15$ है।
दो समुच्चयों के संघ (union) के लिए समुच्चय सिद्धांत के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y)$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n(X \cap Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cup Y)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n(X \cap Y) = 8 + 15 - 18$
$n(X \cap Y) = 23 - 18$
$n(X \cap Y) = 5$
अतः,$X \cap Y$ में अवयवों की संख्या $5$ है।

(B) दिया गया है कि $n(A) = 40$,$n(A \cup B) = 60$,और $n(A \cap B) = 10$ है।
हम दो समुच्चयों के संघ (union) के अवयवों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$60 = 40 + n(B) - 10$
$60 = 30 + n(B)$
$n(B) = 60 - 30$
$n(B) = 30$
अतः,समुच्चय $B$ में $30$ अवयव हैं।

(C) दिया गया है:
$n(S) = 21$
$n(T) = 32$
$n(S \cap T) = 11$
दो समुच्चयों के संघ (union) में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n(S \cup T) = 21 + 32 - 11$
$n(S \cup T) = 53 - 11$
$n(S \cup T) = 42$
अतः,समुच्चय $S \cup T$ में $42$ अवयव हैं।

(A) माना कि $H$ हिंदी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(H \cup E) = 1000$,$n(H) = 750$,$n(E) = 400$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$.
मान रखने पर: $1000 = 750 + 400 - n(H \cap E)$.
$1000 = 1150 - n(H \cap E)$.
$n(H \cap E) = 1150 - 1000 = 150$.
केवल हिंदी बोलने वाले लोगों की संख्या $n(H) - n(H \cap E)$ द्वारा प्राप्त होती है।
$= 750 - 150 = 600$.

(A) मान लीजिए $M$ गणित चुनने वाले छात्रों का समुच्चय है और $B$ जीव विज्ञान चुनने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(M \cup B) = 50$,$n(M) = 35$,$n(B) = 37$.
सूत्र $n(M \cup B) = n(M) + n(B) - n(M \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$50 = 35 + 37 - n(M \cap B)$
$50 = 72 - n(M \cap B)$
$n(M \cap B) = 72 - 50 = 22$.
अतः,$22$ छात्रों ने गणित और जीव विज्ञान दोनों का विकल्प चुना है।
केवल गणित चुनने वाले छात्रों की संख्या $= n(M) - n(M \cap B) = 35 - 22 = 13$.

(A) मान लीजिए $A$ उन लोगों का समुच्चय है जो कॉफी पसंद करते हैं और $B$ उन लोगों का समुच्चय है जो चाय पसंद करते हैं।
यह दिया गया है कि प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक पेय पसंद करता है,इसलिए कुल लोगों की संख्या दोनों समुच्चयों के संघ (union) द्वारा दर्शाई जाती है: $n(A \cup B) = 70$.
हमें $n(A) = 37$ और $n(B) = 52$ दिया गया है।
हम दो समुच्चयों के संघ के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
सूत्र में ज्ञात मान रखने पर:
$70 = 37 + 52 - n(A \cap B)$
$70 = 89 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 89 - 70 = 19$.
अतः,$19$ लोग कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं।

(B) माना $E$ अंडा खाने वाले लोगों का समुच्चय है और $M$ मांसाहारी लोगों का समुच्चय है।
हमें दिया गया है:
$n(U) = 5000$ (कुल जनसंख्या)
$n(E) = 3200$
$n(M) = 2500$
$n(E \cap M) = 1500$
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 3200 + 2500 - 1500$
$n(E \cup M) = 5700 - 1500 = 4200$
यह उन लोगों की संख्या है जो अंडा या मांस या दोनों खाते हैं।
पूर्णतः शाकाहारी लोगों की संख्या कुल जनसंख्या में से अंडा या मांस खाने वालों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$\text{पूर्णतः शाकाहारी} = n(U) - n(E \cup M)$
$= 5000 - 4200 = 800$

(C) कार्तीय गुणन $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
दिया गया है कि $A = \{1, 2\}$ और $B = \{2, 3\}$ है।
$A \times B = \{1, 2\} \times \{2, 3\}$
$= \{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)\}$

(D) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात कीजिए:
$(B \cap C) = \{2, 3, 5, 6, 7\} \cap \{5, 6, 7, 8, 9\} = \{5, 6, 7\}$.
इसके बाद,समुच्चय $A$ और प्राप्त समुच्चय $(B \cap C)$ का कार्तीय गुणन (Cartesian product) ज्ञात कीजिए:
$A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{5, 6, 7\}$.
समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव को सर्वनिष्ठ समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$A \times (B \cap C) = \{(a, 5), (a, 6), (a, 7), (b, 5), (b, 6), (b, 7)\}$.

(C) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$(B \cup C) = \{b, c, e\} \cup \{b, c, f\} = \{b, c, e, f\}$.
अब,कार्तीय गुणन (Cartesian product) $A \times (B \cup C)$ की गणना करें:
$A \times (B \cup C) = \{a, d\} \times \{b, c, e, f\} = \{(a, b), (a, c), (a, e), (a, f), (d, b), (d, c), (d, e), (d, f)\}$.
संघ पर कार्तीय गुणन के वितरण नियम के अनुसार,$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(A \times B) \cup (A \times C)$ है।

(B) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$(B \cap C) = \{b, c, e\} \cap \{b, c, f\} = \{b, c\}$
अब,$A$ और $(B \cap C)$ का कार्तीय गुणन (Cartesian product) ज्ञात करें:
$A \times (B \cap C) = \{a, d\} \times \{b, c\} = \{(a, b), (a, c), (d, b), (d, c)\}$
कार्तीय गुणन के सर्वनिष्ठ पर वितरण नियम (distributive property) के अनुसार,$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(A \times B) \cap (A \times C)$ है।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{a, d\}, B = \{b, c, e\}$ और $C = \{b, c, f\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय का अंतर $(B - C)$ ज्ञात करें:
$(B - C) = \{b, c, e\} - \{b, c, f\} = \{e\}$.
अब,कार्तीय गुणनफल $A \times (B - C)$ ज्ञात करें:
$A \times (B - C) = \{a, d\} \times \{e\} = \{(a, e), (d, e)\}$.
इसके बाद,$(A \times B) - (A \times C)$ की गणना करें:
$A \times B = \{(a, b), (a, c), (a, e), (d, b), (d, c), (d, e)\}$.
$A \times C = \{(a, b), (a, c), (a, f), (d, b), (d, c), (d, f)\}$.
$(A \times B) - (A \times C) = \{(a, e), (d, e)\}$.
चूंकि दोनों परिणाम समान हैं,इसलिए $A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$ है।

(B) दिए गए समुच्चय $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}, C=\{1,3,4\}$ और $D=\{2,4,5\}$ हैं।
सबसे पहले,हम कार्तीय गुणन ज्ञात करते हैं:
$(A \times B) = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)\}$
$(C \times D) = \{(1,2), (1,4), (1,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,4), (4,5)\}$
अब,इन दोनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं:
$(A \times B) \cap (C \times D) = \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\}$
अब,विकल्प $B$ में दिए गए व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(A \cap C) = \{1,3\} \cap \{1,3,4\} = \{1,3\}$
$(B \cap D) = \{2,3,4\} \cap \{2,4,5\} = \{2,4\}$
$(A \cap C) \times (B \cap D) = \{1,3\} \times \{2,4\} = \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\}$
चूंकि दोनों परिणाम समान हैं,इसलिए सही विकल्प $(A \cap C) \times (B \cap D)$ है।

(C) मान लीजिए कि $A \cap B$,$A$ और $B$ के बीच उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय है। दिया गया है कि $A$ और $B$ में $n$ उभयनिष्ठ अवयव हैं,इसलिए $A \cap B$ में अवयवों की संख्या $n$ है,अर्थात $|A \cap B| = n$.
एक क्रमित युग्म $(x, y)$,$(A \times B) \cap (B \times A)$ में तभी होगा यदि $(x, y) \in A \times B$ और $(x, y) \in B \times A$ हो।
इसका अर्थ है कि $x \in A$ और $y \in B$,तथा $x \in B$ और $y \in A$ है।
अतः,$x \in A \cap B$ और $y \in A \cap B$ है।
चूंकि $A \cap B$ से $x$ के लिए $n$ विकल्प हैं और $A \cap B$ से $y$ के लिए $n$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे कुल क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या $n \times n = n^{2}$ होगी।
इस प्रकार,$A \times B$ और $B \times A$ में $n^{2}$ उभयनिष्ठ अवयव हैं।

(C) दो समुच्चयों के संघ (union) में अवयवों की संख्या का सूत्र इस प्रकार है:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
दिए गए मान:
$n(A) = 40$
$n(B) = 26$
$n(A \cap B) = 16$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n(A \cup B) = 40 + 26 - 16$
$n(A \cup B) = 66 - 16$
$n(A \cup B) = 50$

(C) माना कुल छात्रों की संख्या $100$ है।
माना $H$ हिंदी में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(H) = 30$,$n(E) = 45$,और $n(H \cap E) = 20$।
हमें उन छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हुए हैं,जिसे संघ $n(H \cup E)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$।
$n(H \cup E) = 30 + 45 - 20 = 55$।
अतः,$55 \%$ छात्र कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हुए हैं।
दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का पूरक है।
उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत $= 100 \% - 55 \% = 45 \%$।

(D) मान लीजिए कि $H$ हिंदी में अनुत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(H) = 40 \%$,$n(E) = 50 \%$,और $n(H \cap E) = 21 \%$.
हिंदी में अनुत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत $40 \%$ है।
अतः,हिंदी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत $100 \% - n(H) = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ होगा।

(C) मान लीजिए $H$ हिंदी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है:
कुल लोगों की संख्या $n(H \cup E) = 50$
हिंदी बोलने वाले लोगों की संख्या $n(H) = 35$
हिंदी और अंग्रेजी दोनों बोलने वाले लोगों की संख्या $n(H \cap E) = 25$
सबसे पहले, केवल हिंदी बोलने वाले लोगों की संख्या ज्ञात करें:
$n(\text{केवल } H) = n(H) - n(H \cap E) = 35 - 25 = 10$
चूंकि सभी लोग या तो हिंदी या अंग्रेजी या दोनों बोलते हैं, इसलिए कुल लोगों की संख्या इस प्रकार दी गई है:
$n(H \cup E) = n(\text{केवल } H) + n(\text{केवल } E) + n(H \cap E)$
$50 = 10 + n(\text{केवल } E) + 25$
$50 = 35 + n(\text{केवल } E)$
$n(\text{केवल } E) = 50 - 35 = 15$
अतः, केवल अंग्रेजी बोलने वाले लोगों की संख्या $15$ है।

(B) माना कर्मचारियों की कुल संख्या $x$ है।
माना $C$ कोल्ड ड्रिंक पसंद करने वाले कर्मचारियों का समुच्चय है और $T$ चाय पसंद करने वाले कर्मचारियों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(C) = 72 \% \text{ of } x$,$n(T) = 44 \% \text{ of } x$.
चूंकि प्रत्येक कर्मचारी कम से कम एक पेय पसंद करता है,इसलिए $n(C \cup T) = 100 \% \text{ of } x$.
हम जानते हैं कि $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$.
मान रखने पर: $100 \% = 72 \% + 44 \% - n(C \cap T) \%$.
$100 \% = 116 \% - n(C \cap T) \%$.
अतः,$n(C \cap T) = 116 \% - 100 \% = 16 \%$.
यह दिया गया है कि $40$ कर्मचारी दोनों पसंद करते हैं,इसलिए $x$ का $16 \% = 40$.
$x = \frac{40 \times 100}{16} = 250$.
अतः,कर्मचारियों की कुल संख्या $250$ है।

(C) मान लीजिए $A$ उन लोगों का समुच्चय है जो $T.V.$ पर समाचार देखते हैं और $B$ उन लोगों का समुच्चय है जो समाचार पत्र पढ़ते हैं।
दिया गया है: $n(A) = 65 \%$,$n(B) = 40 \%$ और $n(A \cap B) = 25 \%$.
$T.V.$ पर समाचार देखने वाले या समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों का प्रतिशत संघ (union) सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 65 \% + 40 \% - 25 \% = 80 \%$.
वे लोग जो न तो $T.V.$ पर समाचार देखते हैं और न ही समाचार पत्र पढ़ते हैं,उनका प्रतिशत है:
$100 \% - n(A \cup B) = 100 \% - 80 \% = 20 \%$.

(B) कुल परिवारों की संख्या $= 80$ है।
कार रखने वाले परिवारों की संख्या $= 80 \text{ का } 20 \% = \frac{20}{100} \times 80 = 16$ है।
शेष परिवार $= 80 - 16 = 64$ हैं।
मोटरसाइकिल रखने वाले परिवारों की संख्या $= \text{शेष परिवारों का } 50 \% = \frac{50}{100} \times 64 = 32$ है।
वाहन रखने वाले कुल परिवारों की संख्या $= 16 + 32 = 48$ है।
कोई भी वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या $= 80 - 48 = 32$ है।