Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(B) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \lambda$ થાય.
આપેલ છે કે $\beta_1 = 2.4 \times 10^{-4} \, m$ જ્યારે $\lambda_1 = 6400 \, \mathring{A}$ છે.
જ્યારે $\lambda_2 = 4000 \, \mathring{A}$ હોય,ત્યારે નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{4000}{6400} = 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{8} = 1.5 \times 10^{-4} \, m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = (2.4 - 1.5) \times 10^{-4} \, m = 0.9 \times 10^{-4} \, m$ થાય.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,સ્લિટનું સ્થાન મધ્યસ્થ અક્ષથી $y = \pm d/2$ પર હોય છે.
પડદા પરના કોઈ બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ માટે,$y = d/2$ લેતા.
આ કિંમત પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n\lambda = \frac{d^2}{2D}$.
તેથી,$n = \frac{d^2}{2D\lambda}$.

(A) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું નવું અંતર $d' = 10d$ અને સ્ક્રીનથી નવું અંતર $D' = \frac{D}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (D / 2)}{10d}$ દ્વારા મળે છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\beta' = \frac{1}{20} \frac{\lambda D}{d} = \frac{\beta}{20}$ મળે છે.

(A) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $\angle S_1 C S_2 = \theta$,અને જો ખૂણો નાનો હોય,તો આપણે લખી શકીએ $\tan(\theta) \approx \theta = \frac{d}{D}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{D}{d} = \frac{1}{\theta}$ મળે છે.
આ કિંમતને ફ્રિન્જની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\beta = \lambda \times \frac{D}{d} = \lambda \times \frac{1}{\theta} = \frac{\lambda}{\theta}$.

(D) $n$ શલાકાઓ ધરાવતા વિસ્તારની પહોળાઈ $W = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,$n$ શલાકાઓ માટે કુલ પહોળાઈ $W = n \frac{\lambda D}{d}$ થાય.
આપેલ છે કે બંને કિસ્સામાં વિસ્તાર $W$ સમાન રહે છે,તેથી:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $16 \times 6000 = 24 \times \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{16 \times 6000}{24}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \times 6000 = 4000\,\mathring{A}$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઈ છે,$D$ પડદાનું અંતર છે અને $d$ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ પ્રકાશ સ્ત્રોત માટે: $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d} = 8.3 \, mm$.
બીજા પ્રકાશ સ્ત્રોત માટે: $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d} = 7.6 \, mm$.
બંને શલાકાની પહોળાઈનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
$\lambda_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\lambda_2 = \lambda_1 \times \left( \frac{\beta_2}{\beta_1} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda_2 = 630 \, nm \times \left( \frac{7.6 \, mm}{8.3 \, mm} \right) = 630 \times 0.91566 = 576.86 \, nm$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,$D = 1 \, m$,અને $\beta = 1.2 \, mm = 1.2 \times 10^{-3} \, m$.
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(600 \times 10^{-9} \, m) \times (1 \, m)}{1.2 \times 10^{-3} \, m}$.
$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{1.2 \times 10^{-3}} = \frac{600}{1.2} \times 10^{-6} = 500 \times 10^{-6} \, m$.
$d = 0.5 \times 10^{-3} \, m = 0.5 \, mm$.

(D) વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ નું સૂત્ર: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
ત્રીજી ન્યૂનતમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકીએ છીએ:
$\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (6 - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$
આમ,ત્રીજી ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવત $\frac{5\lambda}{2}$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\beta \propto D$ હોવાથી,જો પડદાને દૂર ખસેડવામાં આવે (એટલે કે $D$ વધે),તો શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ પણ વધે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) લાલ પ્રકાશની $n$ મી પ્રકાશિત શલાકા અને વાદળી પ્રકાશની $(n+1)$ મી પ્રકાશિત શલાકા એકબીજા પર સંપાત થાય તેની શરત નીચે મુજબ છે.
$n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાલ પ્રકાશ માટે: $y_{n, red} = \frac{n \lambda_{red} D}{d}$.
વાદળી પ્રકાશ માટે: $y_{n+1, blue} = \frac{(n+1) \lambda_{blue} D}{d}$.
બંને સ્થાનોને સરખાવતા: $\frac{n \lambda_{red} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{blue} D}{d}$.
આથી: $n \lambda_{red} = (n+1) \lambda_{blue}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(7800) = (n+1)(5200)$.
બંને બાજુ $2600$ વડે ભાગતા: $3n = 2(n+1)$.
$3n = 2n + 2$.
$n = 2$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ સમાન રહે તે માટે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda D}{d}$ અચળ રહેવો જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પ $B$ તપાસીએ: જો $d$ અને $D$ બંને બમણા કરવામાં આવે,તો નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ થશે: $\beta' = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d} = \beta$.
આમ,જ્યારે $d$ અને $D$ બંને બમણા કરવામાં આવે ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈ બદલાતી નથી.

(B) આપેલ છે:
બે ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર,$d = 0.1 \, mm = 10^{-4} \, m$
પડદાનું ઉદગમથી અંતર,$D = 1.2 \, m$
શલાકાની પહોળાઈ,$\beta = 6.0 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા:
$\lambda = \frac{\beta d}{D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(6 \times 10^{-3} \, m) \times (10^{-4} \, m)}{1.2 \, m}$
$\lambda = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.2} \, m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \, m$
મીટરને એંગસ્ટ્રોમ $(\mathring{A})$ માં ફેરવતા:
$1 \, m = 10^{10} \, \mathring{A}$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \, \mathring{A} = 5000 \, \mathring{A}$

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{m} \cos^{2}(\phi / 2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{m}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{m} / 4$,તેથી:
$I_{m} / 4 = I_{m} \cos^{2}(\phi / 2)$
$\cos^{2}(\phi / 2) = 1/4$
$\cos(\phi / 2) = 1/2 = \cos(\pi / 3)$
$\phi / 2 = \pi / 3 \Rightarrow \phi = 2\pi / 3$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = d \sin \theta$ હોવાથી,$\phi = (2\pi / \lambda) d \sin \theta$ થાય.
$\phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(2\pi / \lambda) d \sin \theta = 2\pi / 3$
$\sin \theta = \lambda / (3d)$
$\theta = \sin^{-1}(\lambda / 3d)$.

(A) ધારો કે માઈકા શીટ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવેલ કળા તફાવત $\phi$ છે.
કેન્દ્રની ઉપર દ્વિતીય ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,પથ તફાવતની શરત $\Delta x = \frac{3\lambda}{2}$ છે,જે $\Delta \phi = 3\pi$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ છે.
કેન્દ્રની નીચે દ્વિતીય ક્રમના મહત્તમ માટે,પથ તફાવતની શરત $\Delta x = 2\lambda$ છે,જે $\Delta \phi = 4\pi$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ છે.
માઈકા શીટ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવેલ કળા તફાવત $\phi$ એ $3\pi < \phi < 4\pi$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $\frac{\pi}{3} \approx 1.05\pi$ (રેન્જમાં નથી)
$(B)$ $\frac{7\pi}{3} \approx 2.33\pi$ (રેન્જમાં નથી)
$(C)$ $\frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi$ (રેન્જમાં છે)
$(D)$ $\frac{11\pi}{3} \approx 3.67\pi$ (રેન્જમાં છે)
પ્રશ્ન પૂછે છે કે કયું મૂલ્ય શક્ય નથી,તેથી $\frac{\pi}{3}$ એ શક્ય મૂલ્ય નથી.

(A) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{640 \times 10^{-9} \, m \times 1 \, m}{0.8 \times 10^{-3} \, m} = 800 \times 10^{-6} \, m = 0.8 \, mm$.
સ્થાન $y$ પર પથ તફાવત $\Delta x$ એ $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y = 0.4 \, mm$ માટે,$\Delta x = \frac{0.4 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^{-3}}{1} = 0.32 \times 10^{-6} \, m = 320 \, nm$.
કળા તફાવત $\phi$ એ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{640 \, nm} \times 320 \, nm = \pi$ છે.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે.
$\phi = \pi$ મૂકતા,$I = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં $D$ (સ્લિટ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર) અને $d$ (સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર) અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
રંગોની તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈનો ક્રમ પણ આ મુજબ થશે: $\beta_R > \beta_G > \beta_B$.

(A) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 6.5 \times 10^{-7}\, m$,પડદાનું અંતર $D = 1\, m$.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d} = \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 6.5 \times 10^{-4}\, m = 0.65\, mm$.
$n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n\beta$ છે.
પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા માટે,$y_5 = 5\beta$.
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_n = (n - 0.5)\beta$ છે.
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$y'_3 = (3 - 0.5)\beta = 2.5\beta$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_5 - y'_3 = 5\beta - 2.5\beta = 2.5\beta$.
$\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta y = 2.5 \times 0.65\, mm = 1.625\, mm$.

(A) જે તરંગલંબાઇઓ માટે અપ્રકાશિત શલાકા પિનહોલ પર પડે છે,તે તરંગલંબાઇઓ ગેરહાજર રહેશે. $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું મધ્યસ્થ શલાકાથી અંતર $y_n = (2n - 1) \frac{D \lambda}{2d}$ છે.
અહીં $y_n = 3.0\, mm = 0.30\, cm$,$D = 120\, cm$,અને $2d = 1.5\, mm = 0.15\, cm$ છે.
સૂત્ર મુજબ,$\lambda = \frac{2d \cdot y_n}{(2n - 1)D} = \frac{0.15 \times 0.30}{120(2n - 1)} = \frac{0.045}{120(2n - 1)} cm = \frac{37500}{2n - 1} \mathring{A}$.
$n=1$ માટે $\lambda = 37500\, \mathring{A}$,$n=2$ માટે $\lambda = 12500\, \mathring{A}$,$n=3$ માટે $\lambda = 7500\, \mathring{A}$,$n=4$ માટે $\lambda = 5357\, \mathring{A}$,$n=5$ માટે $\lambda = 4166\, \mathring{A}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી $5000\, \mathring{A}$ એ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોની નજીક છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આ પ્રયોગ $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા ગ્લિસરીન જેવા માધ્યમમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
આ કિંમતને ફ્રિન્જની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta^{\prime} = \frac{D \lambda^{\prime}}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ મળે છે.
ગ્લિસરીનનો વક્રીભવનાંક $\mu > 1$ હોવાથી,$\beta^{\prime} < \beta$ થાય છે.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટે છે.

(C) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda' D'}{d'}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda' = 3\lambda$,$D' = 3D$,અને $d' = d/3$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\beta = \frac{(3\lambda)(3D)}{d/3} = \frac{9\lambda D}{d/3} = 27 \frac{\lambda D}{d}$.
$x = 1/3 \ m$ અંતરમાં શલાકાઓની સંખ્યા $n = \frac{x}{\beta}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$n = \frac{1/3}{27 \lambda D / d} = \frac{d}{81 \lambda D}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, $\lambda$ તરંગલંબાઇ માટે $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 2500 \text{ Å}$ અને $\lambda_2 = 3500 \text{ Å}$ માટે શલાકાઓ સંપાત થાય ત્યારે તેમના સ્થાન સમાન હોય:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
$n_1 (2500) = n_2 (3500)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
આનો અર્થ એ છે કે $1^{st}$ સ્ત્રોતની $(\lambda_1)$ $7^{th}$ ક્રમની શલાકા $2^{nd}$ સ્ત્રોતની $(\lambda_2)$ $5^{th}$ ક્રમની શલાકા સાથે સંપાત થશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રશ્યક્ષેત્ર $L$ અચળ હોવાથી,શલાકાઓની કુલ સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{L}{\beta}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\beta} \propto \frac{1}{\lambda}$.
અહીં $\lambda_1 = 4000 \text{ } \mathring{A}$ માટે $n_1 = 10$ આપેલ છે અને $\lambda_2 = 5000 \text{ } \mathring{A}$ માટે $n_2$ શોધવાનું છે.
સંબંધ $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \times 4000 = n_2 \times 5000$.
$n_2 = \frac{10 \times 4000}{5000} = 8$.
આમ,મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $8$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શલાકાની પહોળાઈ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$,સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ અને પડદા સુધીનું અંતર $D$ પર આધાર રાખે છે,તેથી અપ્રકાશિત અને પ્રકાશિત શલાકાઓ માટે શલાકાની પહોળાઈ સમાન હોય છે. આમ,વિધાન ખોટું છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશનો સ્ત્રોત તરીકે ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યસ્થ શલાકા સફેદ હોય છે અને ત્યારબાદની શલાકાઓ રંગીન હોય છે કારણ કે વિવિધ તરંગલંબાઇઓ માટે શલાકાની પહોળાઈ અલગ-અલગ હોય છે. એકરંગી પ્રકાશની જેમ માત્ર કાળી અને પ્રકાશિત શલાકાઓ જોવા મળતી નથી. આમ,કારણ પણ ખોટું છે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે સફેદ પ્રકાશનો સ્ત્રોત માત્ર સફેદ અને કાળા નહીં,પરંતુ રંગીન ફ્રિન્જ બનાવે છે. આનું કારણ એ છે કે મધ્યસ્થ ફ્રિન્જ સફેદ હોય છે,પરંતુ સફેદ પ્રકાશમાં રહેલી વિવિધ તરંગલંબાઇઓને કારણે ત્યારબાદની ફ્રિન્જ રંગીન દેખાય છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જે દર્શાવે છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) ધારો કે બે સ્લિટ્સ $S_1$ અને $S_2$ છે. બિંદુ $P$ એ સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. તેથી,$S_1P = D$.
અંતર $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2} = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા ($d << D$ માટે),$S_2P \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\lambda/2$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ. પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$,જે આપે છે $\lambda = \frac{d^2}{D}$.
આમ,$\lambda \propto d^2$. વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે અપ્રકાશિત શલાકા માટે તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે,જે એક સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે સમજાવતું નથી કે આ ચોક્કસ ભૌમિતિક ગોઠવણીમાં તરંગલંબાઈ $d^2$ ના સમપ્રમાણમાં કેમ છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો (સ્લિટ) વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
જેમ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો એકબીજાની અત્યંત નજીક આવે છે,તેમ $d \to 0$ થાય છે.
પરિણામે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta \to \infty$ થાય છે.
જ્યારે શલાકાની પહોળાઈ અત્યંત મોટી થઈ જાય છે,ત્યારે આખો પડદો એક જ પ્રકાશિત અથવા અપ્રકાશિત શલાકાથી ભરાઈ શકે છે,જેના કારણે સ્પષ્ટ વ્યતિકરણ ભાતનું અવલોકન કરવું અશક્ય બને છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W$ પહોળાઈના પડદા પર જોઈ શકાતી પ્રકાશિત શલાકાઓની સંખ્યા $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{\lambda D}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શલાકાઓની સંખ્યા $N$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(N \propto \frac{1}{\lambda})$.
જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ બમણી કરવામાં આવે,તો શલાકાઓની સંખ્યા $N$ અડધી થઈ જશે,એટલે કે તે ઘટશે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે શલાકાઓની સંખ્યા વધવાને બદલે ઘટે છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે શલાકાઓની સંખ્યા તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,સમપ્રમાણમાં નથી.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ દર્શાવે છે.
પાંચમા ન્યૂનતમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકીએ છીએ:
$\Delta x = (2(5) - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (10 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = 9 \frac{\lambda}{2}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર: $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે.
અહીં,$D = 1.5 \; m$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda = 589 \; nm = 589 \times 10^{-9} \; m$ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતની તરંગલંબાઇ છે.
$d = 0.15 \; mm = 0.15 \times 10^{-3} \; m$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{1.5 \times 589 \times 10^{-9}}{0.15 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{1.5}{0.15} \times 589 \times 10^{-6} \; m$
$\beta = 10 \times 589 \times 10^{-6} \; m = 5890 \times 10^{-6} \; m = 5.89 \times 10^{-3} \; m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\beta \approx 5.9 \times 10^{-3} \; m = 5.9 \; mm$ મળે છે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max}$ એ પ્રકાશિત શલાકાના કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ માટે,કળા તફાવત:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$.
હવે,આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I}{I_{max}} = \cos^2 \left( \frac{\pi / 4}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{8} \right)$.
$\cos(\frac{\pi}{8}) \approx 0.9239$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I}{I_{max}} = (0.9239)^2 \approx 0.853$.

(A) પડદાના ભાગની પહોળાઈ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન છે.
ધારો કે પડદાના ભાગની પહોળાઈ $L$ છે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $L$ માં જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ $L = n \times \beta = n \times \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $L = 15 \times \frac{500 \; nm \times D}{d}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $L = 10 \times \frac{\lambda \times D}{d}$.
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$15 \times 500 = 10 \times \lambda$.
$\lambda = \frac{15 \times 500}{10} = 15 \times 50 = 750 \; nm$.

(C) ફ્રિન્જ પહોળાઈ (ફ્રિન્જ અંતર) માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર,$d = 1 \; mm = 1 \times 10^{-3} \; m$.
પડદાનું અંતર,$D = 1 \; m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 500 \; nm = 500 \times 10^{-9} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} \; m$.
$\beta = 5 \times 10^{-4} \; m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\beta = 5 \times 10^{-4} \times 10^3 \; mm = 0.5 \; mm$.

(N/A) શલાકાઓનું કોણીય અંતર અચળ $(=\lambda / d)$ રહે છે. શલાકાની વાસ્તવિક પહોળાઈ $\beta = \lambda D / d$,પડદાના અંતર $D$ ના પ્રમાણમાં વધે છે.
$(b)$ શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \lambda D / d$ ઘટે છે કારણ કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ નાની છે.
$(c)$ શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \lambda D / d$ ઘટે છે કારણ કે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે.
$(d)$ ધારો કે $s$ એ ઉદગમનું કદ છે અને $S$ એ બે સ્લિટના સમતલથી તેનું અંતર છે. વ્યતિકરણ શલાકાઓ જોવા માટે,શરત $s / S < \lambda / d$ સંતોષાવી જોઈએ. જેમ $S$ ઘટે છે,તેમ આ શરત સંતોષવી મુશ્કેલ બને છે. વ્યતિકરણ ભાત ઓછી સ્પષ્ટ બને છે અને અંતે શલાકાઓ અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.
$(e)$ $(d)$ ની જેમ જ,જેમ ઉદગમ સ્લિટની પહોળાઈ $s$ વધે છે,તેમ શરત $s / S < \lambda / d$ નું ઉલ્લંઘન થાય છે. વ્યતિકરણ ભાત ઓછી સ્પષ્ટ બને છે અને અંતે અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.
$(f)$ વિવિધ તરંગલંબાઈઓ માટેની વ્યતિકરણ ભાત એકબીજા પર સંપાત થાય છે. મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા સફેદ હોય છે. શલાકાની પહોળાઈ $\beta \propto \lambda$ હોવાથી,ટૂંકી તરંગલંબાઈ (વાદળી) માટેની શલાકાઓ લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ) કરતા કેન્દ્રની નજીક હોય છે. આમ,શલાકાઓ રંગીન દેખાય છે,જેમાં બહારની તરફ લાલ અને અંદરની તરફ વાદળી રંગ હોય છે,અને અંતે તે સફેદ/અસ્પષ્ટ થઈ જાય છે.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર,$d = 0.28 \; mm = 0.28 \times 10^{-3} \; m$
સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર,$D = 1.4 \; m$
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા અને ચોથી પ્રકાશિત શલાકા $(n = 4)$ વચ્ચેનું અંતર,$y_4 = 1.2 \; cm = 1.2 \times 10^{-2} \; m$
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર $y_n = n \lambda \frac{D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\lambda = \frac{y_n \cdot d}{n \cdot D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.28 \times 10^{-3}}{4 \times 1.4}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6}$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \; m = 6 \times 10^{-7} \; m$
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \; m = 10^9 \; nm)$:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^9 \; nm = 600 \; nm$.
તેથી,વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $600 \; nm$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
$\lambda_{1} = 650\; nm$
$\lambda_{2} = 520\; nm$
ધારો કે $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$(a)$ મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x_n = n \lambda \frac{D}{d}$ છે.
$\lambda_{1} = 650\; nm$ માટે ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકા $(n=3)$ માટે:
$x_3 = 3 \times 650 \times \frac{D}{d} = 1950 \frac{D}{d}\; nm$.
$(b)$ પ્રકાશિત શલાકાઓ ત્યારે સંપાત થાય છે જ્યારે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ થાય.
$n_1 (650) = n_2 (520)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{520}{650} = \frac{4}{5}$.
આમ, શલાકાઓ $\lambda_1$ ની $4^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા અને $\lambda_2$ ની $5^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા પર સંપાત થાય છે.
ન્યૂનતમ અંતર $x = 4 \times 650 \times \frac{D}{d} = 2600 \frac{D}{d}\; nm$ છે.

(A) દ્વિ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
પરિણામે,નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta'$ એ $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\theta = 0.2^{\circ}$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે,તેથી નવી કોણીય પહોળાઈ:
$\theta' = \frac{0.2^{\circ}}{4/3} = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$.
આમ,પાણીમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $0.15^{\circ}$ થશે.

(A) આપેલ છે: પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 600 \; nm = 600 \times 10^{-9} \; m$.
ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ,$\theta = 0.1^{\circ}$.
સૌ પ્રથમ,કોણીય પહોળાઈને રેડિયનમાં ફેરવો: $\theta = 0.1 \times \frac{\pi}{180} \; rad = \frac{0.1 \times 3.14159}{180} \approx 1.745 \times 10^{-3} \; rad$.
યંગના બે-સ્લિટના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $d = \frac{\lambda}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{600 \times 10^{-9}}{1.745 \times 10^{-3}} \approx 3.44 \times 10^{-4} \; m$.
આમ,બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $3.44 \times 10^{-4} \; m$ છે.

(N/A) બ્રિટિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી થોમસ યંગે તરંગાગ્રહના વિભાજન દ્વારા સુસંબદ્ધ ઉદગમો મેળવવા માટે એક ચતુર પદ્ધતિ વિકસાવી અને સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાતનું નિદર્શન કર્યું.
યંગના પ્રયોગની પ્રાયોગિક ગોઠવણી આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
$S$ એ પડદા $A$ પરનું એક નાનું છિદ્ર (ઉદગમ) છે. $S_1$ અને $S_2$ એ પડદા $A$ ને સમાંતર પડદા $B$ પરના બે સાંકડા પિનહોલ છે. અંતર $SS_1 = SS_2$ છે. પડદા $A$ અને પડદા $B$ વચ્ચેનું અંતર ખૂબ ઓછું ($mm$ ના ક્રમનું) છે. $C$ એ $B$ ને સમાંતર પડદો છે,જે $D$ અંતરે (મીટરના ક્રમમાં) મૂકવામાં આવ્યો છે.
છિદ્ર $S$ ને તેજસ્વી પ્રકાશના ઉદગમ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે. પ્રકાશ $S$ માંથી ફેલાય છે અને $S_1$ અને $S_2$ બંને પર પડે છે. અંતર $SS_1$ અને $SS_2$ સમાન હોવાથી,$S_1$ અને $S_2$ સુધી પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો સમાન કળામાં હોય છે.
કારણ કે $S_1$ અને $S_2$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશના તરંગો એક જ મૂળ ઉદગમમાંથી મેળવવામાં આવે છે,તેથી ઉદગમ $S$ માં થતો કોઈપણ અચાનક કળા ફેરફાર $S_1$ અને $S_2$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશમાં સમાન કળા ફેરફાર તરીકે દેખાશે.
આમ,બે ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ કળામાં બંધાયેલા રહે છે,જે તેમને સુસંબદ્ધ ઉદગમો બનાવે છે. આ સુસંબદ્ધ તરંગો પડદા $C$ પર સંપાત થઈને એક સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરે છે,જેમાં એકાંતરે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ જોવા મળે છે.

(N/A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,એક ઉદગમ $S$ માંથી આવતો પ્રકાશ સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ પર એકસાથે પહોંચે છે,જેથી તેઓ સુસંબદ્ધ ઉદગમો તરીકે વર્તે છે.
ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે અને પડદા $GG'$ નું અંતર $D$ છે.
પડદા પરના બિંદુ $P$ પર,જે મધ્યબિંદુ $O$ થી $x$ અંતરે છે,પથ તફાવત $\Delta p = S_2P - S_1P$ થાય.
ભૂમિતિ મુજબ:
$S_1P^2 = D^2 + (x - d/2)^2$
$S_2P^2 = D^2 + (x + d/2)^2$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S_2P^2 - S_1P^2 = (D^2 + x^2 + dx + d^2/4) - (D^2 + x^2 - dx + d^2/4) = 2xd$
$(S_2P - S_1P)(S_2P + S_1P) = 2xd$
જ્યારે $D \gg d$ અને $D \gg x$ હોય,ત્યારે $S_2P + S_1P \approx 2D$ લઈ શકાય.
તેથી,$\Delta p(2D) = 2xd$,જેનું સાદું રૂપ $\Delta p = \frac{xd}{D}$ મળે છે.

(N/A) સંવિનાશી વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકાઓ) માટે:
$n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n} = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n+1)$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n+1} = \frac{(n+1) \lambda D}{d}$ છે.
બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\beta = x_{n+1} - x_{n} = \frac{(n+1) \lambda D}{d} - \frac{n \lambda D}{d} = \frac{\lambda D}{d} (n+1-n) = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
વિનાશી વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકાઓ) માટે:
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x'_{n} = (2n-1) \frac{\lambda D}{2d}$ ($n=1, 2, 3...$ માટે) છે.
$(n+1)$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x'_{n+1} = (2(n+1)-1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n+1) \frac{\lambda D}{2d}$ છે.
બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\beta' = x'_{n+1} - x'_{n} = (2n+1) \frac{\lambda D}{2d} - (2n-1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{\lambda D}{2d} (2n+1-2n+1) = \frac{\lambda D}{2d} (2) = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આમ,બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ અને બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે,જે $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જેને શલાકાની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) $S_{1}$ અને $S_{2}$ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો છે અને $S$ તેમનું મધ્યબિંદુ છે। પડદા પરનું બિંદુ $O$ એ $S$ થી $D$ અંતરે છે। $SO$ એ $S_{1}S_{2}$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવાથી, તેના પરના દરેક બિંદુ માટે પથ તફાવત $S_{1}O = S_{2}O$ થાય છે। તેથી, $O$ પર મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા રચાય છે જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ સીધી રેખા જેવી દેખાય છે।
પડદા પર વ્યતિકરણ ભાતનો આકાર નક્કી કરવા માટે, જો પથ તફાવત $= n\lambda$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે) હોય તો શલાકા પ્રકાશિત મળે છે અને જો પથ તફાવત $= (2n+1)\lambda/2$ હોય તો શલાકા અપ્રકાશિત મળે છે।
જ્યારે $S_{2}P - S_{1}P = \Delta$ અચળ હોય, ત્યારે પડદા પર બિંદુ $P$ નો ગતિપથ અતિવલય (hyperbola) હોય છે, પરંતુ જો સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $(D)$ ખૂબ મોટું હોય, તો શલાકાઓ લગભગ સીધી રેખાઓ જેવી દેખાય છે। આ આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ માં દર્શાવેલ છે।
બે બિંદુવત ઉદગમો $S_{1}$ અને $S_{2}$ દ્વારા પડદા પર રચાતી શલાકા ભાત દર્શાવેલ છે। આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ અનુક્રમે $d = 0.005 \text{ mm}$ અને $d = 0.025 \text{ mm}$ માટે છે, જ્યાં $D = 5 \text{ cm}$ અને $\lambda = 5 \times 10^{-5} \text{ cm}$ છે।
દ્વિ-સ્લિટ પ્રયોગમાં, આપણે ધાર્યું છે કે ઉદગમ $S$ એ બે સ્લિટના લંબદ્વિભાજક પર છે। જો ઉદગમ $S$ ને લંબદ્વિભાજકથી દૂર કોઈ નવા બિંદુ $S^{\prime}$ પર ખસેડવામાં આવે, તો વ્યતિકરણ ભાત તે મુજબ સ્થાનાંતરિત થાય છે।

(N/A) યંગના બે સ્લિટના પ્રયોગમાં એક એકરંગી પ્રકાશના ઉદ્ગમ દ્વારા પડદા $A$ પર રહેલી એક સાંકડી સ્લિટ $S$ ને પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે.
આ પ્રકાશ ત્યારબાદ પડદા $B$ પર રહેલી બે સમાંતર અને સાંકડી સ્લિટો $S_1$ અને $S_2$ પર પડે છે,જે $S$ થી સમાન અંતરે છે (એટલે કે $SS_1 = SS_2$).
આ બે સ્લિટો પ્રકાશના સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ માંથી નીકળતા પ્રકાશના તરંગો દૂર રહેલા પડદા $C$ પર સંપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરે છે જેમાં એકાંતરે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ જોવા મળે છે.
તીવ્રતા વિતરણનો આલેખ દર્શાવે છે કે તમામ વ્યતિકરણ શલાકાઓની પહોળાઈ અને તીવ્રતા સમાન હોય છે. જે બિંદુઓ પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે ત્યાં તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે,જ્યારે સહાયક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર તીવ્રતા મહત્તમ $I_{max}$ હોય છે.
બે ક્રમિક પ્રકાશિત અથવા બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર અચળ હોય છે અને શલાકાની તીવ્રતા એ શલાકાના ક્રમ પર આધાર રાખતી નથી.

(N/A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ અથવા બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેના અંતરને શલાકાની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે,જેને $\beta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં:
- $\lambda$ એ વપરાયેલ એકવર્ણી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
- $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
- $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.

(N/A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $(\beta)$ એ બે ક્રમિક પ્રકાશિત અથવા અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ વચ્ચેનું અંતર છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં:
$\lambda$ = વપરાયેલ એકરંગી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ.
$D$ = સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર.
$d$ = બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો (સ્લિટ્સ) વચ્ચેનું અંતર.

(C) પડદા પરના બિંદુ $P$ માટે બે ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનો પથ તફાવત $|S_1P - S_2P| = \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
જો પથ તફાવત $\Delta x$ અચળ હોય, તો $|S_1P - S_2P| = \text{અચળ}$।
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ, જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) થી અંતરનો તફાવત અચળ રહેતો હોય તેવા બિંદુઓના બિંદુપથને અતિવલય કહે છે।
તેથી, પડદા પરના બિંદુના ગતિપથનો આકાર અતિવલય છે।

(A) ધારો કે વિભાગની લંબાઈ $\ell$ છે.
ધારો કે $\ell$ વિભાગમાં શલાકાઓની સંખ્યા $N$ છે અને $w$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
શલાકાઓની સંખ્યા અને શલાકાની પહોળાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $N w = \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈ $w = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $N \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \ell$.
ચોક્કસ વિભાગની લંબાઈ $\ell$ માટે,$N \lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે કારણ કે $D$ અને $d$ અચળ છે.
તેથી,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $N_1 = 16$,$\lambda_1 = 700 \,nm$,અને $\lambda_2 = 400 \,nm$.
કિંમતો મૂકતા: $16 \times 700 = N_2 \times 400$.
$N_2 = \frac{16 \times 700}{400} = \frac{16 \times 7}{4} = 4 \times 7 = 28$.
આમ,જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $28$ છે.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટનું અંતર $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 632.8 \, nm = 632.8 \times 10^{-9} \, m$
અંતર $D = 100 \, cm = 1 \, m$
પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y = 1.27 \, mm = 1.27 \times 10^{-3} \, m$
પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y = \frac{n D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
$n$ ની ગણતરી કરતા:
$n = \frac{y d}{D \lambda} = \frac{1.27 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{1 \times 632.8 \times 10^{-9}} = \frac{1.27 \times 10^{-6}}{632.8 \times 10^{-9}} = \frac{1270}{632.8} \approx 2$
પ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = 2 \times 632.8 \, nm = 1265.6 \, nm = 1.2656 \, \mu m \approx 1.27 \, \mu m$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$ અને $d = 0.05 \ mm = 0.05 \times 10^{-3} \ m = 5 \times 10^{-5} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \theta = \frac{500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-5}} = 100 \times 10^{-4} = 0.01 \ radians$.
કોણીય પહોળાઈને રેડિયનમાંથી ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\Delta \theta^{\circ} = 0.01 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.573^{\circ}$.
આમ,કોણીય પહોળાઈ $0.57^{\circ}$ ની નજીક છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $\lambda$ હોય ત્યારે તીવ્રતા $K$ છે,અને પથ તફાવત $\lambda$ એ $2\pi$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ હોવાથી,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0 = K$ થાય,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે.
તેથી,$I_0 = K/4$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{\pi}{3})$ છે.
$I_0 = K/4$ અને $\cos(\frac{\pi}{3}) = 1/2$ મૂકતા,આપણને $I = 2(K/4) + 2(K/4)(1/2) = K/2 + K/4 = 3K/4$ મળે છે.
આપણને $I = \frac{nK}{12}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{3K}{4} = \frac{nK}{12}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,$n = \frac{3 \times 12}{4} = 9$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ ઉદગમોથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $D^{\prime} = 2D$ અને નવું અંતર $d^{\prime} = \frac{d}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta^{\prime} = \frac{\lambda D^{\prime}}{d^{\prime}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $\beta^{\prime} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \times \frac{\lambda D}{d}$.
તેથી,$\beta^{\prime} = 4\beta$.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ કિંમત કરતા $4$ ગણી થાય છે.