Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ મહત્તમ માટે,$n = 1$,તેથી $y_1 = \frac{\lambda D}{d}$.
પ્રથમ મહત્તમ જે ઝડપે ગતિ કરે છે તે શોધવા માટે,આપણે સ્થાનનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dy_1}{dt} = \frac{\lambda}{d} \frac{dD}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$,$d = 0.4 \, mm = 0.4 \times 10^{-3} \, m$,અને $\frac{dD}{dt} = 4 \, m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \frac{500 \times 10^{-9} \, m}{0.4 \times 10^{-3} \, m} \times 4 \, m/s$.
$v = \frac{500 \times 10^{-6}}{0.4} \times 4 = 500 \times 10^{-6} \times 10 = 5000 \times 10^{-6} \, m/s = 5 \times 10^{-3} \, m/s$.
$mm/s$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v = 5 \, mm/s$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કેન્દ્રથી $n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 5$,તેથી $y_5 = (2(5) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$.
આપેલ છે કે $y_5 = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$,$D = 2 \, m$,અને $\lambda = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 \times 10^{-3} = \frac{9 \times (6 \times 10^{-7}) \times 2}{2d}$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 6 \times 10^{-7}}{d}$.
$d = \frac{54 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-3}} = 13.5 \times 10^{-4} \, m = 1.35 \times 10^{-3} \, m$.
તેથી,$d = 1.35 \, mm$.

(D) $YDSE$ માં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{2}$,તેથી:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{2}$
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \phi = \frac{\pi}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ કળા તફાવત $\phi$ સાથે $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ મળે છે.
કેન્દ્રીય મહત્તમથી અંતર $y$ એ $y = \frac{\Delta x D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,$D = 2 \, m$,$a = 2 \times 10^{-3} \, m$,અને $\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$ મૂકતા:
$y = \frac{\lambda D}{4a} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 2}{4 \times 2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{1000 \times 10^{-9}}{8 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-6} \, m = 125 \, \mu m$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\beta = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$,$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,અને $D = 10 \ m$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{(6 \times 10^{-3} \ m) \times (1 \times 10^{-3} \ m)}{10 \ m}$.
$\lambda = \frac{6 \times 10^{-6}}{10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
આને નેનોમીટર $(nm)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $10^9$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^9 \ nm = 600 \ nm$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $600$ છે.

(B) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5890 \, \text{Å} = 5890 \times 10^{-10} \, m$, $D = 0.5 \, m$, અને $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{5890 \times 10^{-10} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 5890 \times 10^{-7} \, m = 589 \times 10^{-6} \, m$.
$n$-મી અને $m$-મી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $(n-m) \beta$ થાય.
પ્રથમ અને ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકા માટે, અંતર $(3-1) \beta = 2 \beta$ થશે.
અંતર $= 2 \times 589 \times 10^{-6} \, m = 1178 \times 10^{-6} \, m$.

(C) આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $A \propto w$.
ધારો કે પહોળાઈ $w_1$ અને $w_2$ છે,જ્યાં $w_2 = 3w_1$. તેથી,કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2 = 3A_1$ થશે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,$I \propto A^2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{|A_1 - A_2|}\right)^2$
સમીકરણમાં $A_2 = 3A_1$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + 3A_1}{|A_1 - 3A_1|}\right)^2$
$= \left(\frac{4A_1}{2A_1}\right)^2$
$= (2)^2 = 4$
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ (ફ્રિન્જ સેપરેશન) માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 250 \times 10^{-6} \, m$
$\beta = 0.25 \times 10^{-3} \, m$
કારણ કે $10^{-3} \, m = 1 \, mm$,તેથી $\beta = 0.25 \, mm$ મળે છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{R}$ એ જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{V}$ કરતા વધારે છે (એટલે કે $\lambda_{R} > \lambda_{V}$).
કારણ કે $\beta$ એ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\beta \propto \lambda)$,તેથી $\beta_{R} > \beta_{V}$ થાય.
જ્યારે પ્રકાશના સ્ત્રોતને લાલથી બદલીને જાંબલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ક્રમિક ફ્રિન્જ રેખાઓ એકબીજાની નજીક આવશે.

(C) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y = n \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકા $(n = 1)$ માટે,સ્થાન $y = \frac{D \lambda}{d}$ છે.
અહીં $D = 1.5 \, m$,$d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે.
લાલ પ્રકાશ માટે,$y_r = 3.5 \, mm = 3.5 \times 10^{-3} \, m$. તેથી,$\lambda_r = \frac{y_r d}{D} = \frac{3.5 \times 10^{-3} \times 0.3 \times 10^{-3}}{1.5} = 0.7 \times 10^{-6} \, m = 700 \, nm$.
જાંબલી પ્રકાશ માટે,$y_v = 2.0 \, mm = 2.0 \times 10^{-3} \, m$. તેથી,$\lambda_v = \frac{y_v d}{D} = \frac{2.0 \times 10^{-3} \times 0.3 \times 10^{-3}}{1.5} = 0.4 \times 10^{-6} \, m = 400 \, nm$.
તરંગલંબાઇનો તફાવત $\Delta \lambda = \lambda_r - \lambda_v = 700 \, nm - 400 \, nm = 300 \, nm$ થાય.

(D) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બંને બાજુની $4^{\text{થી}}$ પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2 y_4 = 2 \times \frac{4 \lambda D}{d} = \frac{8 \lambda D}{d}$ થાય।
આપેલ છે: $2 y_4 = 2.4 \, cm = 2.4 \times 10^{-2} \, m$, $D = 1.5 \, m$, $d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{8 \times c \times D}{f \times d} = 2.4 \times 10^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8 \times (3 \times 10^8) \times 1.5}{f \times (0.3 \times 10^{-3})} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$\frac{36 \times 10^8}{f \times 0.3 \times 10^{-3}} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$f = \frac{36 \times 10^{11}}{0.3 \times 2.4 \times 10^{-2}} = \frac{36 \times 10^{13}}{0.72} = 50 \times 10^{13} = 5 \times 10^{14} \, Hz$.

(A) આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $A \propto w$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,$I \propto A^2 \propto w^2$.
ધારો કે પહોળાઈ $w_1 = 3w_0$ અને $w_2 = w_0$ છે. તેથી તીવ્રતાઓ $I_1$ અને $I_2$ માટે $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{w_1}{w_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$ થાય.
આમ,$I_1 = 9I_2$. જો $I_2 = I$ લઈએ,તો $I_1 = 9I$ થાય.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}\right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{9I} - \sqrt{I}}{\sqrt{9I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{I} - \sqrt{I}}{3\sqrt{I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{I}}{4\sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x:4$ હોવાથી,$\frac{x}{4} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જ વિડ્થ મહત્તમ હોવા માટે,સ્લિટનું અંતર $d$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ અને ફ્રિન્જ વિડ્થ ન્યૂનતમ હોવા માટે,સ્લિટનું અંતર $d$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
સ્લિટનું અંતર $d(t) = d_{0} + a_{0} \sin \omega t$ છે.
$d$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $d_{\max} = d_{0} + a_{0}$ અને $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $d_{\min} = d_{0} - a_{0}$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ અને મહત્તમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_{\max} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}}$ છે.
સૌથી મોટી અને સૌથી નાની ફ્રિન્જ વિડ્થ વચ્ચેનો તફાવત $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}} - \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \lambda D \left( \frac{(d_{0} + a_{0}) - (d_{0} - a_{0})}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}} \right) = \frac{2 \lambda D a_{0}}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત નારંગીથી વાદળીમાં બદલાય છે,ત્યારે તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે કારણ કે વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ નારંગી પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે.
જેમ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ (ક્રમિક શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર) પણ ઘટે છે.

(C) પડદા પરના ભાગની પહોળાઈ $y = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
આમ,$y = n \lambda \left(\frac{D}{d}\right)$.
અહીં ભાગની લંબાઈ $y$ અને પ્રાયોગિક પરિમાણો $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ થાય.
આપેલ છે કે $n_1 = 8$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \times 600 = n_2 \times 400$.
$n_2 = \frac{8 \times 600}{400} = \frac{4800}{400} = 12$.
તેથી,વિદ્યાર્થી $12$ શલાકાઓનું અવલોકન કરશે.

(A) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.6 \; mm = 0.6 \times 10^{-3} \; m$. પડદાનું અંતર $D = 80 \; cm = 0.8 \; m$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y = \frac{D \lambda}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{D \lambda}{2d} = \frac{d}{2}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{d^2}{D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(0.6 \times 10^{-3})^2}{0.8} = \frac{0.36 \times 10^{-6}}{0.8} = 0.45 \times 10^{-6} \; m$.
નેનોમીટરમાં ફેરવતા: $\lambda = 450 \times 10^{-9} \; m = 450 \; nm$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે સિસ્ટમને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta'$ એ $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 0.35^{\circ}$ અને $\mu = 7/5 = 1.4$.
આમ,$\theta' = \frac{0.35^{\circ}}{1.4} = \frac{0.35}{1.4} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4}^{\circ}$.
આને $\frac{1}{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પડદાને $\Delta D$ જેટલું ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ થાય છે.
આપેલ છે: $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$,$\Delta \beta = 3 \times 10^{-3} \,cm = 3 \times 10^{-5} \,m$,અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
$\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^{-5} \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \,m$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(D) ફ્રિન્જ પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે:
$\lambda_1 = 5000 \,\mathring A$,$d_1 = d$,$\beta_1 = 0.5 \,mm$.
તેથી,$\beta_1 = \frac{D \lambda_1}{d} = 0.5 \,mm$ ... $(I)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$\lambda_2 = 6000 \,\mathring A$,$d_2 = 2d$,$\beta_2 = ?$
તેથી,$\beta_2 = \frac{D \lambda_2}{d_2} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A}{2d}$ ... $(II)$
$(II)$ ને $(I)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A / 2d}{D \times 5000 \,\mathring A / d} = \frac{6000}{2 \times 5000} = \frac{6}{10} = 0.6$
તેથી,$\beta_2 = 0.6 \times \beta_1 = 0.6 \times 0.5 \,mm = 0.3 \,mm$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આખી ગોઠવણીને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
પરિણામે,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\beta = 12 \ mm$ અને $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \ mm$ થશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \lambda$ મળે.
તેથી,$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આપેલ છે કે $\beta_1 = 7.2\,mm$,$\lambda_1 = 560\,nm$,અને $\beta_2 = 8.1\,mm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8.1}{7.2} = \frac{\lambda_2}{560}$.
$\lambda_2 = \frac{8.1}{7.2} \times 560 = \frac{9}{8} \times 560$.
$\lambda_2 = 9 \times 70 = 630\,nm$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તરંગલંબાઈઓને કારણે મળતી તીવ્રતાનો સરવાળો છે કારણ કે તેઓ એકબીજાના સંદર્ભમાં અસંગત (incoherent) છે.
$I_{0}$ સ્લિટ તીવ્રતા ધરાવતી એક તરંગલંબાઈ માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેহেতু સ્ત્રોત $400 \,nm$ અને $800 \,nm$ એમ બે તરંગલંબાઈઓનું ઉત્સર્જન કરે છે,જે દરેકની સ્લિટ તીવ્રતા $I_{0}$ છે,તેથી દરેક તરંગલંબાઈ માટે મહત્તમ તીવ્રતા $4I_{0}$ થાય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maxima) પર,બંને તરંગલંબાઈઓ એકસાથે તેમની સંબંધિત મહત્તમ તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,કુલ મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\text{total}} = 4I_{0} + 4I_{0} = 8I_{0}$ થાય છે.

(C) જ્યારે $A_{1}$ અને $A_{2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો $\phi$ કળા તફાવત સાથે વ્યતિકરણ પામે ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા $I \propto A^{2}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $I = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} \cos \phi$.
અહીં $A_{1} = A$ અને $A_{2} = 2A$ આપેલ છે,તેથી પરિણામી તીવ્રતા:
$I = A^{2} + (2A)^{2} + 2(A)(2A) \cos \phi = A^{2}(1 + 4 + 4 \cos \phi) = A^{2}(5 + 4 \cos \phi) \quad \dots (i)$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{0}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \phi = 1$ હોય:
$I_{0} = A^{2}(5 + 4(1)) = 9A^{2} \implies A^{2} = \frac{I_{0}}{9} \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{I_{0}}{9}(5 + 4 \cos \phi)$.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ વોલ્ટના સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલ વેગમાન $p = \sqrt{2meV}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ સ્થિતિમાન છે.
આ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meV}}$ મળે છે. આમ,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
જો સ્થિતિમાન બમણું કરવામાં આવે $(V_f = 2V_i)$,તો નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_f = \frac{\beta_i}{\sqrt{2}} = \frac{\omega}{\sqrt{2}} \approx 0.707\omega$ થાય.
તેથી,પહોળાઈ $0.7\omega$ ની નજીક છે.

(B) પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે અને તેથી તેઓ વ્યતિકરણ ભાત બનાવે છે. ભાતની શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,જ્યાં $\lambda$ એ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને શલાકાની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meU}}$.
અહીં $h, D, d, m,$ અને $e$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{U}}$ થાય.
ધારો કે $U$ પોટેન્શિયલ સાથેની પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta_i$ છે અને $4U$ પોટેન્શિયલ સાથેની અંતિમ શલાકાની પહોળાઈ $\beta_f$ છે.
તેથી,$\frac{\beta_f}{\beta_i} = \sqrt{\frac{U}{4U}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\beta_f = \frac{1}{2} \beta_i$,જેનો અર્થ છે કે શલાકાની પહોળાઈ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_1 = I_2 = I_0$ છે.
તેથી,$I = 2 I_0 + 2 I_0 \cos \phi = 4 I_0 \cos^2(\phi / 2)$.
$1$. ન્યૂનતમ તીવ્રતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2(\phi / 2) = 0$ હોય,તેથી $I_{\min} = 0$.
$2$. મહત્તમ તીવ્રતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2(\phi / 2) = 1$ હોય,તેથી $I_{\max} = 4 I_0$.
$3$. સમગ્ર પડદા પર સરેરાશ તીવ્રતા $I_{\text{avg}}$ એ સાઇનસૉઇડલ વ્યતિકરણ ભાત માટે $I_{\max}$ અને $I_{\min}$ ની સરેરાશ છે,જે $I_{\text{avg}} = \frac{I_{\max} + I_{\min}}{2} = \frac{4 I_0 + 0}{2} = 2 I_0$ થાય છે.
તેથી,મૂલ્યો $0, 4 I_0, 2 I_0$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જની પહોળાઈ (ફ્રિન્જનું અંતર) $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,તેથી આપણે આ સૂત્રમાં કિંમત મૂકી શકીએ:
$\beta = \frac{cD}{fd}$
ધારો કે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ અને પડદા સુધીનું અંતર $D$ અચળ રહે છે,તો ફ્રિન્જની પહોળાઈ આવૃત્તિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\beta \propto \frac{1}{f}$
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ફ્રિન્જ અંતર $\beta_1 = 1.0 \,mm$ છે જ્યારે આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે. જ્યારે આવૃત્તિ બમણી $(f_2 = 2f)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું ફ્રિન્જ અંતર $\beta_2$ નીચે મુજબ થશે:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{f_1}{f_2} = 1.0 \,mm \times \frac{f}{2f} = 0.5 \,mm$
તેથી,તેજસ્વી ફ્રિન્જનું નવું અંતર $0.5 \,mm$ છે.

(A) ધારો કે દરેક સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I_0$ છે. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ પરની તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતાના $75 \%$ છે,તેથી $I = 0.75 \times 4I_0 = 3I_0$.
વ્યતિકરણમાં તીવ્રતા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે:
$3I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 3/4 \implies \cos(\phi/2) = \sqrt{3}/2$.
આમ,$\phi/2 = \pi/6$,જે કળા તફાવત $\phi = \pi/3$ આપે છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે. તેથી,$\Delta x = (\lambda/2\pi) \times \phi = (\lambda/2\pi) \times (\pi/3) = \lambda/6$.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ શલાકાથી $y$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = yd/D$ છે.
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $yd/D = \lambda/6$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = (\lambda D) / (6d)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m$,$D = 1 \,m$,$d = 0.1 \times 10^{-3} \,m$.
$y = (600 \times 10^{-9} \times 1) / (6 \times 0.1 \times 10^{-3}) = (600 \times 10^{-9}) / (0.6 \times 10^{-3}) = 1000 \times 10^{-6} \,m = 1 \times 10^{-3} \,m = 1 \,mm$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
સંબંધ $\beta \propto \frac{1}{d}$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જો આપણે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ ઘટાડીએ,તો ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ વધશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,બે સ્લિટ પ્રકાશના સુસંબદ્ધ (coherent) સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
સુસંબદ્ધ સ્ત્રોત એવા સ્ત્રોત છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશ તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને તેમની વચ્ચે કળા તફાવત અચળ રહે છે.
આ પ્રાપ્ત કરવા માટે,બંને સ્લિટને એક જ મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશના સ્ત્રોત દ્વારા પ્રકાશિત કરવી આવશ્યક છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે બંને સ્લિટ એક જ મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશના સ્ત્રોતમાંથી પ્રકાશ મેળવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{\text{th}}$ તેજસ્વી પટ્ટીનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{th}}$ લાલ તેજસ્વી પટ્ટી માટે: $y_{R,n} = \frac{n \lambda_R D}{d}$.
$(n+1)^{\text{th}}$ વાદળી તેજસ્વી પટ્ટી માટે: $y_{B,n+1} = \frac{(n+1) \lambda_B D}{d}$.
આ બંને પટ્ટીઓ એકબીજા પર સંપાત થાય છે,તેથી $y_{R,n} = y_{B,n+1}$.
તેથી,$\frac{n \lambda_R D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_B D}{d}$.
બંને બાજુથી $D/d$ દૂર કરતા,આપણને $n \lambda_R = (n+1) \lambda_B$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(7.8 \times 10^{-5}) = (n+1)(5.2 \times 10^{-5})$.
$7.8n = 5.2n + 5.2$.
$2.6n = 5.2$.
$n = 2$.

(C) કાણા પાસે સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
$\Delta x = d \sin \theta \approx d \frac{y}{D} = n \lambda$
આપેલ છે: $y = 1.0 \, mm = 10^{-3} \, m$,$d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$,$D = 50 \, cm = 0.5 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$n \lambda = \frac{d \cdot y}{D} = \frac{(0.5 \times 10^{-3} \, m) \times (1.0 \times 10^{-3} \, m)}{0.5 \, m} = 1.0 \times 10^{-6} \, m = 1000 \, nm$.
તેથી,$\lambda = \frac{1000}{n} \, nm$.
$n = 1$ માટે,$\lambda = 1000 \, nm$ (રેન્જમાં નથી).
$n = 2$ માટે,$\lambda = 500 \, nm$ (રેન્જમાં છે).
$n = 3$ માટે,$\lambda = 333.3 \, nm$ (રેન્જમાં નથી).
આમ,પ્રબળ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઈ $500 \, nm$ છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
$\Delta \phi$ ની કિંમત મૂકતા,$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \times \frac{3}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = \frac{3}{4}$ મળે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ ને $3$ ગણું કરવામાં આવે છે,તેથી નવું અંતર $d' = 3d$ થાય.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ મળે: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d}$.
મૂળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\beta' = \frac{1}{3} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{3}$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $\frac{1}{3}$ ગણી થાય છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે નવું સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે અને સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું નવું અંતર $D' = 2D$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ નીચે મુજબ મળે:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ ફ્રિન્જની પહોળાઈ કરતા ચાર ગણી થઈ જશે.

(C) $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{th}}$ મહત્તમ $(n=5)$ માટે,$y_5 = \frac{5 \lambda D}{d}$.
$n^{\text{th}}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{\text{rd}}$ ન્યૂનતમ $(n=3)$ માટે,$y'_3 = \frac{(2(3)-1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d}$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_5 - y'_3 = \frac{5 \lambda D}{d} - \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d}$ છે.
ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,અંતર $\Delta y = 2.5 \beta$ થાય.
તેથી,અંતર ફ્રિન્જ વિડ્થ કરતાં $2.5$ ગણું છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોય છે $(\lambda_{\text{violet}} < \lambda_{\text{blue}})$.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\beta \propto \lambda)$,તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો થવાથી શલાકાની પહોળાઈમાં પણ ઘટાડો થાય છે.
તેથી,જ્યારે સ્ત્રોતને વાદળીમાંથી જાંબલીમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે શલાકાઓની પહોળાઈ ઘટે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકીએ છીએ.
$\Delta x = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = (6 - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
તેથી,ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવત $\frac{5 \lambda}{2}$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમના મહત્તમ માટેની શરત $y = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
અહીં અવલોકન બિંદુ $y$ સમાન રહેતું હોવાથી,બંને ઉદગમો માટે $n \lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહેશે.
તેથી,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 10$,$\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A}$,અને $\lambda_2 = 5000 \; \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times 7000 = n_2 \times 5000$.
$n_2 = \frac{10 \times 7000}{5000} = \frac{70000}{5000} = 14$.
આમ,તે જ બિંદુ પર $14^{th}$ ક્રમનું મહત્તમ મળશે.

(A) કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\alpha$ નું સૂત્ર $\alpha = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $d = \frac{\lambda}{\alpha}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $\lambda = 6280 \; \mathring{A} = 6280 \times 10^{-10} \; m$ અને $\alpha = 1^{\circ}$ છે.
પ્રથમ,કોણીય પહોળાઈને ડિગ્રીમાંથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરો: $\alpha = 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx \frac{3.14}{180} \text{ rad}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{6280 \times 10^{-10} \times 180}{3.14}$.
$d = \frac{6280 \times 10^{-10} \times 180}{3.14} = 2000 \times 10^{-10} \times 180 = 360000 \times 10^{-10} \; m$.
$d = 3.6 \times 10^{-5} \; m$.
મીટરને મિલીમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$10^3$ વડે ગુણો:
$d = 3.6 \times 10^{-5} \times 10^3 \; mm = 3.6 \times 10^{-2} \; mm = 0.036 \; mm$.

(D) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન $y_n = n\beta$ છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
પ્રથમ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,$y_{max,1} = 1\beta$.
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા (ન્યૂનતમ) નું સ્થાન $y'_n = (n - 0.5)\beta$ છે.
પાંચમી ન્યૂનતમ $(n=5)$ માટે,$y_{min,5} = (5 - 0.5)\beta = 4.5\beta$.
પ્રથમ મહત્તમ અને પાંચમી ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $y_{min,5} - y_{max,1} = 4.5\beta - 1\beta = 3.5\beta = 7\,mm$ આપેલ છે.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{7\,mm}{3.5} = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $D = 50\,cm = 0.5\,m$ અને $d = 0.15\,mm = 0.15 \times 10^{-3}\,m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{(2 \times 10^{-3}\,m)(0.15 \times 10^{-3}\,m)}{0.5\,m} = \frac{0.3 \times 10^{-6}}{0.5}\,m = 0.6 \times 10^{-6}\,m = 600 \times 10^{-9}\,m = 600\,nm$.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર,$D = 1\,m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 600\,nm = 600 \times 10^{-9}\,m$.
$n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન,$y_n = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$.
શલાકાનો ક્રમ,$n = 5$.
$n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-2} = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 1}{d}$
$d$ ને કર્તા બનાવતા:
$d = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}}$
$d = 600 \times 10^{-7}\,m = 60 \times 10^{-6}\,m$
કારણ કે $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$,તેથી:
$d = 60\,\mu m$.

(C) $P$ બિંદુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = A_2 P - A_1 P = \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$A_1 P = D$ અને $A_2 P = \sqrt{D^2 + a^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{D^2 + a^2} - D = \frac{\lambda}{2}$.
$a \ll D$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sqrt{D^2 + a^2} = D(1 + \frac{a^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{a^2}{2D^2}) = D + \frac{a^2}{2D}$.
આને પથ તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા: $(D + \frac{a^2}{2D}) - D = \frac{\lambda}{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે,જે $a = \sqrt{\lambda D}$ આપે છે.
અહીં $\lambda = 800 \, nm = 800 \times 10^{-9} \, m = 8 \times 10^{-7} \, m$ અને $D = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે.
$a = \sqrt{8 \times 10^{-7} \times 0.05} = \sqrt{40 \times 10^{-9}} = \sqrt{400 \times 10^{-10}} = 20 \times 10^{-5} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,$I_2 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = I_0$.
તેથી,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = 3$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે શલાકાની પહોળાઈ $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 800 \, nm = 8 \times 10^{-7} \, m$,$\lambda_2 = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 7 \, m$,અને $d = 0.35 \, mm = 3.5 \times 10^{-4} \, m$.
શલાકાની પહોળાઈની ગણતરી:
$\omega_1 = \frac{8 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 16 \times 10^{-3} \, m = 16 \, mm$.
$\omega_2 = \frac{6 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.
પ્રકાશિત શલાકાઓ મધ્યસ્થ અધિકતમથી $y$ અંતરે સંપાત થાય છે જ્યાં $y = n_1 \omega_1 = n_2 \omega_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક છે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $\omega_1$ અને $\omega_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીએ છીએ.
$LCM(16, 12) = 48 \, mm$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $48 \, mm$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં રેખીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પડદાને સ્લિટના સમતલથી દૂર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $D$ વધે છે.
કારણ કે $\beta \propto D$,તેથી $D$ માં વધારો થવાથી રેખીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta$ માં વધારો થાય છે.
આમ,ફ્રિન્જનું રેખીય અંતર વધે છે.

(C) આપેલ છે: $\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \; m$,$\lambda_2 = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$,$d = 2.5 \; mm = 2.5 \times 10^{-3} \; m$,$D = 150 \; cm = 1.5 \; m$.
પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થવાની શરત $y_n = y_m$ છે,જ્યાં $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ અને $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$n \lambda_1 = m \lambda_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n}{m} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5500}{7000} = \frac{11}{14}$.
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $n = 11$ અને $m = 14$ લઈએ છીએ.
અંતર $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \times 7000 \times 10^{-10} \times 1.5}{2.5 \times 10^{-3}}$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{11 \times 7000 \times 1.5}{2.5} \times 10^{-7} = \frac{115500}{2.5} \times 10^{-7} = 46200 \times 10^{-7} = 462 \times 10^{-5} \; m$.
આને $n \times 10^{-5} \; m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 462$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં છે: $\beta \propto \lambda$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આપેલ છે કે $\beta_1 = 2\,mm$,$\lambda_1 = 400\,nm$,અને $\lambda_2 = 600\,nm$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\beta_2}{2\,mm} = \frac{600\,nm}{400\,nm} = \frac{3}{2}$.
$\beta_2$ માટે ગણતરી કરતા: $\beta_2 = 2\,mm \times 1.5 = 3\,mm$.

(C) સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા બે તરંગો માટે કળા તફાવત $\phi$ હોય ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \pi/3$ છે. તેથી તીવ્રતા $I_P$:
$I_P = 2I_0(1 + \cos(\pi/3)) = 2I_0(1 + 0.5) = 3I_0$.
બિંદુ $Q$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \pi/2$ છે. તેથી તીવ્રતા $I_Q$:
$I_Q = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_P}{I_Q} = \frac{3I_0}{2I_0} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3:2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે બે સ્લિટ્સમાંથી આવતા પ્રકાશના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9:1$ છે.