Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ (કોણીય અંતર) નું સૂત્ર $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વિધાન $I:$ કારણ કે $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,કોણીય પહોળાઈ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,જો પડદાને દૂર ખસેડવામાં આવે,તો કોણીય અંતર અચળ રહે છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II:$ કારણ કે $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,કોણીય પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે. જો તરંગલંબાઇ વધારવામાં આવે,તો કોણીય અંતર $\theta_w$ વધશે,ઘટશે નહીં. આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) $P$ બિંદુએ અપ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/2$ થાય.
આકૃતિ પરથી,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{D^2+d^2} - D$ છે.
તેથી,$\sqrt{D^2+d^2} - D = \frac{\lambda}{2}$
$\sqrt{D^2+d^2} = D + \frac{\lambda}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $D^2 + d^2 = D^2 + D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
$d^2 = D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
અહીં $\lambda = 400 \ nm = 4 \times 10^{-7} \ m$ અને $D = 0.2 \ m$ છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $d^2 \approx D\lambda/2 = \frac{0.2 \times 400 \times 10^{-9}}{2} = 4 \times 10^{-8} \ m^2$.
તેથી,$d = \sqrt{4 \times 10^{-8}} = 2 \times 10^{-4} \ m = 0.20 \ mm$.

(A) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{7 \lambda}{4}$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{7 \lambda}{4} = \frac{7 \pi}{2}$.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{\max}} = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{2 \times 2}\right) = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$.
$\cos(2 \pi - \theta) = \cos(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2\left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે $n$-મી પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $y_n = \frac{n D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઈઓ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે ઓવરલેપ થવા માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $y_{n_1} = y_{n_2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ ફ્રિન્જના ક્રમ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $n_1 (450 \ nm) = n_2 (650 \ nm)$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{650}{450} = \frac{13}{9}$.
કારણ કે $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્યો $n_1 = 13$ અને $n_2 = 9$ છે.
આમ,$\lambda_2$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જનો ન્યૂનતમ ક્રમ $n = 9$ છે.

(A) સ્લિટમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$.
આપેલ છે કે એક સ્લિટની પહોળાઈ બીજી કરતા $4$ ગણી છે,તેથી તીવ્રતા $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ લેતા.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$ થાય.

(A) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}$,$D = 200 \ \text{cm} = 2 \ \text{m}$,અને $d = 0.3 \ \text{mm} = 3 \times 10^{-4} \ \text{m}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \ \text{m}$ મળે છે.
$n$ માં અધિકતમનું સ્થાન $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા અધિકતમ $(n=3)$ માટે,$y_3 = 3 \times \left( \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \right) \ \text{m} = 10 \times 10^{-3} \ \text{m} = 10 \ \text{mm}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કેન્દ્રબિંદુ પર સફેદ પ્રકાશમાં રહેલી તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta x = n\lambda$ છે,તેથી $n=0$ માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ગમે તે હોય,પથ તફાવત શૂન્ય રહે છે.
તેથી,તમામ રંગો કેન્દ્રબિંદુ પર એકબીજા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે કેન્દ્રમાં સફેદ તેજસ્વી ફ્રિન્જ રચાય છે.
અન્ય ફ્રિન્જ માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\beta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,તેથી અલગ-અલગ રંગો અલગ-અલગ સ્થાનો પર ફ્રિન્જ બનાવશે,જેના પરિણામે કેન્દ્રની સફેદ ફ્રિન્જની આસપાસ થોડી રંગીન ફ્રિન્જ જોવા મળશે.

(A) ધારો કે સ્લિટ્સ પરની તીવ્રતા $I_1 = 4I_0$ અને $I_2 = I_0$ છે। પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 5I_0 + 4I_0 \cos \phi$ છે।
મહત્તમ માટે, $\cos \phi = 1$, તેથી $I_{max} = 9I_0$. ન્યૂનતમ માટે, $\cos \phi = -1$, તેથી $I_{min} = I_0$.
મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n\lambda$ છે, જ્યાં $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.
$(A)$ જો $d = \lambda$ હોય, તો $\sin \theta = n$. $n = 0$ માટે, $\theta = 0$ (મધ્યસ્થ મહત્તમ). $n = \pm 1$ માટે, $\sin \theta = \pm 1$, તેથી $\theta = \pm 90^\circ$. આ અનંત પર છે, તેથી પડદા પર માત્ર મધ્યસ્થ મહત્તમ જોવા મળે છે. આમ, $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ જો $\lambda < d < 2\lambda$ હોય, તો $d/\lambda$ એ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે છે. $n = 1$ માટે, $\sin \theta = \lambda/d < 1$, તેથી $\theta$ નું અસ્તિત્વ છે. આમ, ઓછામાં ઓછું એક વધુ મહત્તમ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $I_1$ ઘટાડીને $I_0$ કરવામાં આવે, તો $I_1 = I_2 = I_0$. $I_{max} = 4I_0$ ($9I_0$ થી ઘટે છે) અને $I_{min} = 0$ ($I_0$ થી ઘટે છે). આમ, $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ જો $I_2$ વધારીને $4I_0$ કરવામાં આવે, તો $I_1 = I_2 = 4I_0$. $I_{max} = 16I_0$ ($9I_0$ થી વધે છે) અને $I_{min} = 0$ ($I_0$ થી ઘટે છે). પ્રકાશિત શલાકાઓ વધે છે, પરંતુ અપ્રકાશિત શલાકાઓ ઘટે છે. આમ, $(D)$ ખોટું છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટ $(VIBGYOR)$ મુજબ,તરંગલંબાઇ જાંબલીથી લાલ તરફ વધે છે.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ છે.
જેથી,$\beta \propto \lambda$ હોવાથી,$\beta_R > \beta_G > \beta_B$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $d = 0.3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$,$D = 1 \text{ m}$,$\lambda = 600 \text{ nm} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$PO = y = 11 \text{ mm} = 1.1 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$(1)$ બિંદુ $O$ $(y=0)$ પર,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \alpha \approx d \alpha$ (નાના $\alpha$ માટે).
આપેલ છે $\alpha = \frac{0.36}{\pi} \text{ ડિગ્રી} = \frac{0.36}{\pi} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન} = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.
પથ તફાવત $\Delta x = (3 \times 10^{-4} \text{ m}) \times (2 \times 10^{-3} \text{ rad}) = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = \lambda$.
કારણ કે $\Delta x = n\lambda$ ($n=1$ માટે),તેથી $O$ પર સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(2)$ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$. આ ફક્ત $D, \lambda, d$ પર આધાર રાખે છે,$\alpha$ પર નહીં. આમ,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(3)$ બિંદુ $P$ પર,પથ તફાવત $\Delta x_P = d \sin \alpha + \frac{dy}{D} \approx d \alpha + \frac{dy}{D}$.
$\Delta x_P = (3 \times 10^{-4})(2 \times 10^{-3}) + \frac{(3 \times 10^{-4})(1.1 \times 10^{-2})}{1} = 6 \times 10^{-7} + 33 \times 10^{-7} = 39 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{39 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 6.5$. તે અર્ધ-પૂર્ણાંક ગુણક હોવાથી,$P$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(4)$ $\alpha = 0$ માટે,$\Delta x_P = \frac{dy}{D} = 33 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{33 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 5.5$. તે અર્ધ-પૂર્ણાંક ગુણક હોવાથી,$P$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(A) ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\lambda_2 = 600 \ nm > \lambda_1 = 400 \ nm$,તેથી $\beta_2 > \beta_1$ થાય. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$y$ અંતરમાં ફ્રિન્જની સંખ્યા $m = \frac{y}{\beta}$ છે. કારણ કે $\beta_2 > \beta_1$,તેથી $m_2 < m_1$ થાય. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$n^{\text{th}}$ અધિકતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે. $\lambda_2$ ના $3^{\text{rd}}$ અધિકતમ માટે,$y = \frac{3 \times 600 \times D}{d} = \frac{1800 D}{d}$.
$n^{\text{th}}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ છે. $\lambda_1$ ના $5^{\text{th}}$ ન્યૂનતમ માટે,$y = \frac{(2 \times 5 - 1) \times 400 \times D}{2d} = \frac{9 \times 400 \times D}{2d} = \frac{1800 D}{d}$.
સ્થાન સમાન હોવાથી,તેઓ સંપાત થાય છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
કોણીય અંતર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે. કારણ કે $\lambda_1 < \lambda_2$,તેથી $\lambda_1$ માટે કોણીય અંતર $\lambda_2$ કરતા ઓછું છે. આમ,$(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A, B, C)$ છે.

(C) ધારો કે પાણીની સપાટી પરના બિંદુનું સ્લિટ્સની વચ્ચેના બિંદુથી અંતર $x$ છે. આ બિંદુનું દરેક સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ થી અંતર $\sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
આ બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta$ એ ઓપ્ટિકલ પથના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_2$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
$S_1$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
આકૃતિ મુજબ,પથ તફાવત $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ થાય છે.
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ મૂકતા:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
આને $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p^2 = 9$ મળે છે,તેથી $p = 3$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રયોગ $\mu > 1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
$\mu > 1$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ ઘટે છે $(\lambda' < \lambda)$,જે શલાકાની પહોળાઈમાં ઘટાડો $(\beta' < \beta)$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,શલાકાઓ નજીક આવે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ છે. $\mu > 1$ હોવાથી,પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ ઘટે છે. પ્રકાશની આવૃત્તિ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તે બદલાતી નથી. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
શલાકાની પહોળાઈમાં ઘટાડો એ તરંગલંબાઇમાં ઘટાડાને કારણે થાય છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપમાં ફેરફારનું પરિણામ છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\beta \propto \lambda$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_R)$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_B)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $\lambda_R > \lambda_B$,લાલ પ્રકાશ માટે ફ્રિન્જની પહોળાઈ વાદળી પ્રકાશ કરતા વધારે હશે $(\beta_R > \beta_B)$.
તેથી,લાલ પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જ વાદળી પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જ કરતા પહોળી (વધારે અંતરે) હોય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,પડદા પરના સમાન સ્થાન પર બંને તરંગલંબાઇ માટે પથ તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\lambda_1 = 480 \ nm$ માટે પ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ $n_1$ છે અને $\lambda_2 = 600 \ nm$ માટે પ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ $n_2$ છે.
સંપાત થવાની શરત: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n_1 \times 480 = n_2 \times 600$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{600}{480} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4}$.
આમ,$n_1$ માટે લઘુત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $5$ છે અને $n_2$ માટે $4$ છે.
તેથી,પ્રથમ સંપાત માટે જરૂરી $480 \ nm$ પ્રકાશની લઘુત્તમ પ્રકાશિત શલાકાઓની સંખ્યા $5$ છે.

(A) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda_m D}{d}$, જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ છે।
આપેલ કિંમતો: $\lambda_0 = 690 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $\mu = 1.44$, $D = 0.72\ \text{m}$, અને $d = 1.5 \times 10^{-3}\ \text{m}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \left( \frac{690 \times 10^{-9}}{1.44} \right) \times \frac{0.72}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.72}{1.44 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.5}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{345 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 230 \times 10^{-6}\ \text{m} = 0.23\ \text{mm}$.

(A) $YDSE$ માં,મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
અહીં,સમાન શલાકા ક્રમ માટે $n$,$D$ અને $d$ અચળ છે.
તેથી,સ્થાન $y$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(y \propto \lambda)$.
આપેલ છે:
$y_1 = 10 \ mm$,$\lambda_1 = 600 \ nm$
$\lambda_2 = 660 \ nm$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
$\frac{y_2}{10 \ mm} = \frac{660 \ nm}{600 \ nm}$
$y_2 = 10 \times \frac{660}{600} \ mm$
$y_2 = 10 \times 1.1 \ mm = 11 \ mm$
આમ,$10^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $11 \ mm$ થશે.

(B) સ્લિટમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ તેની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I \propto w$.
ધારો કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ છે અને બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $2w$ છે. તેથી $I_1 = I_0$ અને $I_2 = 2I_0$ મળે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 + \sqrt{2})^2 = I_0(3 + 2\sqrt{2})$.
તે જ રીતે,$I_{\min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 - \sqrt{2})^2 = I_0(3 - 2\sqrt{2})$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$ થાય.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
શરૂઆતમાં,$d_1 = 0.2 \ mm$. અંતે,$d_2 = 0.4 \ mm$.
કારણ કે $d$ બમણું થાય છે $(d_2 = 2d_1)$,નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2$ એ $\frac{\beta_1}{2}$ થાય છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = \beta_1 - \frac{\beta_1}{2} = \frac{\beta_1}{2}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \beta}{\beta_1} \times 100\% = \frac{\beta_1/2}{\beta_1} \times 100\% = 50\%$ છે.

(B) વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે,બે ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ ઉદગમો સમાન આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરવા જોઈએ.
લાલ ફિલ્ટર ફક્ત લાલ પ્રકાશ (તરંગલંબાઈ $\lambda_R \approx 650 \ nm$) ને પસાર થવા દે છે,જ્યારે લીલું ફિલ્ટર ફક્ત લીલા પ્રકાશ (તરંગલંબાઈ $\lambda_G \approx 550 \ nm$) ને પસાર થવા દે છે.
હવે બંને સ્લિટો અલગ-અલગ આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતી હોવાથી,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે ઝડપથી બદલાશે.
તેથી,આ ઉદગમો અસુસંબદ્ધ છે અને પડદા પર કોઈ સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત રચાશે નહીં.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 4800 \ \mathring{A}$,$\beta_1 = 0.03 \ mm$,અને $\lambda_2 = 6400 \ \mathring{A}$.
ગુણોત્તર $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\beta_2 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \beta_1 = \frac{6400}{4800} \times 0.03 \ mm$.
$\beta_2 = \frac{4}{3} \times 0.03 \ mm = 0.04 \ mm$.

(A) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાનનું સૂત્ર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 10$
$y_{10} = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$
$D = 1 \ m$
$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-3} = \frac{10 \times \lambda \times 1}{1 \times 10^{-3}}$
$\lambda = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{10}$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$
આને એંગસ્ટ્રોમ $( \mathring{A} )$ માં ફેરવતા:
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 5000 \ \mathring{A}$.

(A) $\text{YDSE}$ માં કોઈપણ બિંદુ $P$ પર તીવ્રતા $I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{xd}{D}$ છે.
આમ,$I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi x d}{\lambda D}\right)$.
$(A) x = \frac{D \lambda}{d} \implies I = 4 I_0 \cos^2(\pi) = 4 I_0 \cdot (-1)^2 = 4 I_0$ ($S$ સાથે જોડાય છે).
$(B) x = \frac{D \lambda}{4d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 I_0$ ($Q$ સાથે જોડાય છે).
$(C) x = \frac{D \lambda}{3d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = I_0$ ($P$ સાથે જોડાય છે).
$(D) x = \frac{D \lambda}{6d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 I_0$ ($R$ સાથે જોડાય છે).
તેથી,સાચી જોડ $(A)-S, (B)-Q, (C)-P, (D)-R$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{max}/4$, તેથી $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi/2) = 1/4$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi/2) = 1/2$.
આમ, $\phi/2 = \pi/3$, તેથી કળા તફાવત $\phi = 2\pi/3$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
$\phi = 2\pi/3$ મૂકતા, આપણને $2\pi/3 = (2\pi/\lambda) \Delta x$ મળે છે, જે $\Delta x = \lambda/3$ આપે છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ માટે, પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ છે.
તેથી, $d \sin \theta = \lambda/3$, જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \lambda / (3d)$.
આમ, કોણીય સ્થાન $\theta = \sin^{-1}(\lambda / 3d)$ છે.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ એકવર્ણી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$d$ એ સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે,અને $D$ એ પડદા અને ઉદગમ વચ્ચેનું અંતર છે. ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
પ્રારંભિક શરતો આપેલ છે: $d_1 = d$ અને $D_1 = D$. પ્રારંભિક ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_1 = \frac{D \lambda}{d}$ છે.
નવી શરતો આપેલ છે: $d_2 = 10d$ અને $D_2 = \frac{D}{2}$.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_2$ નીચે મુજબ છે:
$\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈની પ્રારંભિક સાથે સરખામણી કરતા:
$\beta_2 = \frac{1}{20} \left( \frac{D \lambda}{d} \right) = \frac{\beta_1}{20}$
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ ફ્રિન્જની પહોળાઈ કરતા $1/20$ ગણી થાય છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્રયોગ પાણીમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે $(\mu > 1)$.
કારણ કે $\beta \propto \lambda$,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{D \lambda'}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થશે.
ચૂક્યું કે $\mu > 1$ છે,તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ મૂળ ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ કરતા ઓછી હશે. તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટશે.

(B) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આના પરથી,ગુણોત્તર $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{W}$ મળે છે.
બે તરંગ શ્રેણીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ આશરે $\theta \approx \frac{d}{D}$ (રેડિયનમાં) થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7} \ m}{0.12 \times 10^{-3} \ m}$
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}}$
$\theta = 5 \times 10^{-3} \ rad$.

(C) વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્ત્રોત અને પડદા (અથવા આઈપીસ) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\lambda$ અને $D$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ ઉદગમો વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $Z \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તરને $\frac{Z_{A}}{Z_{B}} = \frac{d_{B}}{d_{A}}$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે.
પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ છે.
અપ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{5}{1}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{5}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ મળે છે.
પ્રકાશિત શલાકાનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{max} = a_1 + a_2$ છે અને અપ્રકાશિત શલાકાનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{min} = a_1 - a_2$ છે.
તેથી,પરિણામી કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ થાય.

(C) સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાતની રચના માટે,બે પ્રકાશના ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ. સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જ્યારે એક સ્લિટ લાલ ફિલ્ટરથી અને બીજી વાદળી ફિલ્ટરથી ઢંકાયેલી હોય,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની આવૃત્તિઓ અને તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ હોય છે.
આવૃત્તિઓ અલગ હોવાને કારણે,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે ઝડપથી બદલાશે.
પરિણામે,સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત માટેની શરત સંતોષાતી નથી,અને પડદા પર કોઈ વ્યતિકરણ ભાત જોવા મળશે નહીં.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે $m^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_m = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે શલાકાઓ સંપાત થાય છે,ત્યારે તેમના સ્થાનો સમાન હોય છે:
$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$.
બંને બાજુથી $D$ અને $d$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$n \lambda_1 = \frac{(2m-1) \lambda_2}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2m-1}{2n}$.

(D) $4^{\text{th}}$ અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાની વચ્ચે રચાતી અપ્રકાશિત શલાકા એ $5^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા છે.
$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n - 0.5) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-8} \text{ cm} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = (5 - 0.5) \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$
$\Delta x = 4.5 \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm} = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(C) કોઈપણ એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે,પથ તફાવતની શરત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 3$.
તેથી,$\frac{d^2}{2D} = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{d^2}{D} = 5\lambda$.
હવે,તે જ બિંદુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,ધારો કે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે. શરત છે $\Delta x = (2(1) - 1) \frac{\lambda'}{2} = \frac{\lambda'}{2}$.
પથ તફાવતને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda'}{2}$,જે આપે છે $\frac{d^2}{D} = \lambda'$.
પ્રથમ કિસ્સામાંથી $\frac{d^2}{D}$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda' = 5\lambda$.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5\lambda - \lambda = 4\lambda$ છે.

(C) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$, જ્યાં $\Delta x$ એ પથ તફાવત છે.
$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે, કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{K}{2}$, તેથી $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $I_0 = K$.
$\Delta x = \lambda$ માટે, કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતા $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (1)^2 = I_0$ થાય.
કારણ કે $I_0 = K$, તેથી તીવ્રતા $I_2 = K$ થશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવતનું સૂત્ર કળા તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ રેડિયન.
આમ,$n$ મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે કળા તફાવત $(2n-1) \pi$ છે.

(A) નિશ્ચિત પહોળાઈ $W$ ધરાવતા પડદા પર જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $N$ એ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે,$D$ પડદાનું અંતર છે અને $d$ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$N$ શલાકાઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી કુલ પહોળાઈ $W = N \beta$ હોવાથી,$W = N \frac{\lambda D}{d}$ મળે.
પડદાની નિશ્ચિત પહોળાઈ $W$ માટે,$N \lambda = \text{અચળ}$ થાય.
તેથી,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$.
આપેલ છે કે $N_1 = 18$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$.
કિંમતો મૂકતા: $18 \times 600 = N_2 \times 400$.
$N_2 = \frac{18 \times 600}{400} = \frac{18 \times 6}{4} = \frac{108}{4} = 27$.
આમ,જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $27$ છે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600 \ nm = 6 \times 10^{-7} \ m$,$d = 10^{-3} \ m$,અને $\Delta\beta = 3 \times 10^{-5} \ m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta\beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \Delta D$.
$3 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-4} \Delta D$.
$\Delta D = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{-1} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$.
જો $\Delta\beta$ ધન હોય (વધારો),તો પડદાને $5 \ cm$ દૂર ખસેડવો જોઈએ. જો $\Delta\beta$ ઋણ હોય (ઘટાડો),તો પડદાને સ્લિટ્સ તરફ $5 \ cm$ ખસેડવો જોઈએ. પ્રશ્ન મૂલ્યમાં ફેરફાર વિશે પૂછે છે,તેથી $5 \ cm$ દૂર ખસેડવું અથવા $5 \ cm$ નજીક ખસેડવું બંને ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં $3 \times 10^{-5} \ m$ નો ફેરફાર લાવે છે. આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x$ એ બે સ્લિટથી તે બિંદુ સુધીના અંતરનો તફાવત છે.
ધારો કે સ્લિટ $y = d/2$ અને $y = -d/2$ પર છે. એક સ્લિટની સામેનું બિંદુ $y = d/2$ પર છે.
પ્રથમ સ્લિટથી અંતર $0$ છે.
બીજી સ્લિટથી અંતર $\sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
તેથી,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{D^2 + d^2} - D$ થાય.
$d \ll D$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta x \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{d^2}{D(2n - 1)}$ મળે છે.
$n = 1, 2, 3, \dots$ માટે,તરંગલંબાઈઓ $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \dots$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) $n$-મા ક્રમની મહત્તમનું સ્થાન $x_n = x_0 + n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x_0$ એ શૂન્ય ક્રમની મહત્તમનું સ્થાન છે અને $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે.
$\lambda_1 = 6000 \ Å$ માટે આપેલ છે:
$x_1 = x_0 + 1 \beta_1 = 14.50 \ mm$
$x_{10} = x_0 + 10 \beta_1 = 16.75 \ mm$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $9 \beta_1 = 16.75 - 14.50 = 2.25 \ mm$,તેથી $\beta_1 = 0.25 \ mm$.
તેથી $x_0 = 14.50 - 0.25 = 14.25 \ mm$.
હવે,$\lambda_2 = 5500 \ Å$ માટે,નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2 = \beta_1 \times (\frac{\lambda_2}{\lambda_1}) = 0.25 \times (\frac{5500}{6000}) = 0.25 \times (\frac{11}{12}) \approx 0.229 \ mm$.
શૂન્ય ક્રમની મહત્તમ $x_0$ નું સ્થાન સમાન રહે છે,જે $14.25 \ mm$ છે.
$10$-મા ક્રમની મહત્તમનું નવું સ્થાન $x'_{10} = x_0 + 10 \beta_2 = 14.25 + 10 \times (0.25 \times \frac{11}{12}) = 14.25 + 2.29 = 16.54 \ mm \approx 16.55 \ mm$.
આમ,સ્થાનો $14.25 \ mm$ અને $16.55 \ mm$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ માટેનું સૂત્ર છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\lambda = 6000 \, \text{\AA} = 6000 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 6 \times 10^{-5} \, \text{cm}$, $D = 40 \, \text{cm}$, અને $\beta = 0.012 \, \text{cm}$.
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(6 \times 10^{-5} \, \text{cm}) \times (40 \, \text{cm})}{0.012 \, \text{cm}}$.
$d = \frac{240 \times 10^{-5}}{0.012} \, \text{cm} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-2}} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-1} \, \text{cm} = 0.2 \, \text{cm}$.
તેથી, બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $0.2 \, \text{cm}$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ હોવાથી,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,તીવ્રતાના સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $I = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = I_0 \times \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2:1$ થાય.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(2\pi / 2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ થાય. તેથી,$I_{max} = I$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 6$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = I_{max} \cos^2(\phi_2 / 2) = I \cos^2((\pi / 3) / 2) = I \cos^2(\pi / 6)$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,તેથી $I' = I \times (\sqrt{3} / 2)^2 = I \times (3 / 4) = 3I / 4$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1 \ m$,$n = 3$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_1 = \frac{3 \lambda_1 D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_2 = \frac{3 \lambda_2 D}{d}$ છે.
આપેલ છે $\lambda_2 = 1.5 \lambda_1$,તેથી $y_2 = \frac{3(1.5 \lambda_1) D}{d} = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d}$.
શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = |y_2 - y_1| = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d} - \frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{1.5 \lambda_1 D}{d}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y = \frac{1.5 \times \lambda_1 \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 0.75 \times 10^3 \lambda_1 \ m$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_m = (m - 1/2) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા અને $m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાના અંતરનો ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{y_n}{y_m} = \frac{n \beta}{(m - 1/2) \beta} = \frac{n}{m - 1/2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $n : (m - 1/2)$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બીજું ન્યૂનતમ $n = 2$ માટે મળે છે,તેથી $\Delta x = (2(2) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
આ બિંદુ બરાબર એક સ્લિટની સામે છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{(\frac{d}{2})d}{D} = \frac{3\lambda}{2}$.
$\frac{d^2}{2D} = \frac{3\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{d^2}{3D}$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(X)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = X$ અને $x = D$,આપણને મળે છે:
$X = (\frac{\lambda}{d}) D$
આલેખનો ઢાળ (slope) $m = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય છે:
$\lambda = \text{slope} \times d$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $D' = 2D$ અને નવી સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta'$ માટેના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ચાર ગણી વધે છે.

(D) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $I_0$ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{K}{4}$,તેથી $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $I_0 = \frac{K}{2}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\Delta x = \lambda$,તેથી $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
તીવ્રતા $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (-1)^2 = I_0$.
$I_0 = \frac{K}{2}$ મૂકતા,આપણને $I_2 = \frac{K}{2}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n' = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજું ન્યૂનતમ $(n=2)$ એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે,તેથી મધ્યસ્થ અક્ષથી તેનું અંતર $y_2 = \frac{d}{2}$ થાય.
સૂત્રમાં $n=2$ મૂકતા: $\frac{d}{2} = \frac{(2(2)-1) \lambda D}{2d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{d}{2} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
છેદમાંથી $2$ દૂર કરતા: $d = \frac{3 \lambda D}{d}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{d^2}{3D}$.