Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(A) આપેલ વ્યતિકરણ ભાત પરથી,ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ એ બે ક્રમિક ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ વચ્ચેનું અંતર છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રથમ ન્યૂનતમ $\theta = 0.75^{\circ}$ પર છે.
ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\Delta\theta = 0.75^{\circ}$ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ માટે,પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin\theta = \frac{\lambda}{2}$ છે.
$\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin\theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં).
તેથી,$d \theta = \frac{\lambda}{2} \Rightarrow d = \frac{\lambda}{2\theta}$.
$\theta$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta = 0.75^{\circ} = 0.75 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{3}{4} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{240} \text{ rad}$.
આપેલ છે $\lambda = 520 \times 10^{-9} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{520 \times 10^{-9}}{2 \times (\pi / 240)} = \frac{520 \times 10^{-9} \times 120}{\pi} \approx \frac{62400 \times 10^{-9}}{3.14} \approx 1.987 \times 10^{-5} \text{ m}$.
mm માં ફેરવતા: $d \approx 1.987 \times 10^{-2} \text{ mm} \approx 2 \times 10^{-2} \text{ mm}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$9^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,$y_9 = \frac{9 \lambda D}{d}$.
$m^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^{nd}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$y'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $y_9 - y'_2 = 7.5 \, mm = 7.5 \times 10^{-3} \, m$ છે.
$\frac{9 \lambda D}{d} - \frac{3 \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3}$.
$\frac{(18-3) \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3} \implies \frac{15 \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3}$.
અહીં $d = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ અને $D = 1 \, m$ આપેલ છે.
$\lambda = \frac{7.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 0.5 \times 10^{-3}}{15 \times 1} = \frac{7.5 \times 10^{-6}}{15} = 0.5 \times 10^{-6} \, m = 5000 \, \mathring{A}$.

(B) સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = 0.75 I_{\max}$,તેથી $0.75 = \cos^2(\phi/2)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi/2) = \pm \sqrt{3}/2$.
આમ,$\phi/2 = \pi/6$ અથવા $5\pi/6$,જેનાથી કળા તફાવત $\phi = \pi/3$ અથવા $5\pi/3$ મળે છે.
પથ તફાવત $\Delta x = (\lambda/2\pi) \phi = yd/D$ છે.
$\phi_1 = \pi/3$ માટે,$y_1 = (\lambda D / 2\pi d) \times (\pi/3) = \lambda D / 6d$.
$\phi_2 = 5\pi/3$ માટે,$y_2 = (\lambda D / 2\pi d) \times (5\pi/3) = 5\lambda D / 6d$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 1 \, m$,$d = 10^{-3} \, m$.
$y_1 = (6 \times 10^{-7} \times 1) / (6 \times 10^{-3}) = 10^{-4} \, m = 0.1 \, mm$.
$y_2 = 5 \times 0.1 \, mm = 0.5 \, mm$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = 0.5 - 0.1 = 0.4 \, mm$ છે.

(C) ધારો કે એક સ્લિટને કારણે તીવ્રતા $I_0$ છે. ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0}\sqrt{I_0}\cos\phi = 2I_0(1 + \cos\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બિંદુ પરની તીવ્રતા એક સ્લિટ જેટલી જ છે,તેથી $I = I_0$.
$I_0 = 2I_0(1 + \cos\phi) \Rightarrow 1 = 2(1 + \cos\phi) \Rightarrow \frac{1}{2} = 1 + \cos\phi$.
$\cos\phi = -\frac{1}{2} \Rightarrow \phi = \frac{2\pi}{3}$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$ છે.
$\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{\lambda}{3}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{dy}{D}$ થાય.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{dy}{D} = \frac{\lambda}{3} \Rightarrow y = \frac{D\lambda}{3d}$.

(D) $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = n \frac{D \lambda_1}{d}$ છે. $n = 4$ અને $\lambda_1 = 6300 \, \mathring{A}$ માટે,$y_4 = 4 \frac{D \times 6300}{d}$ થાય.
$m^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_m = (m - \frac{1}{2}) \frac{D \lambda_2}{d}$ છે. $m = 5$ અને $\lambda_2 = \lambda$ માટે,$y_5 = (5 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 4.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{9}{2} \frac{D \lambda}{d}$ થાય.
શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,$y_4 = y_5$:
$4 \frac{D \times 6300}{d} = \frac{9}{2} \frac{D \lambda}{d}$.
બંને બાજુથી $\frac{D}{d}$ દૂર કરતા:
$4 \times 6300 = 4.5 \times \lambda$.
$\lambda = \frac{4 \times 6300}{4.5} = \frac{25200}{4.5} = 5600 \, \mathring{A}$.

(A) જ્યારે બે અલગ-અલગ તરંગલંબાઇની પ્રકાશિત શલાકાઓ મધ્યસ્થ અધિકતમથી $x$ અંતરે સંપાત થાય,ત્યારે શરત નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
આનો અર્થ એ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ પ્રકાશિત શલાકાઓના ક્રમ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5200 \mathring{A}}{6500 \mathring{A}} = \frac{4}{5}$
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો લઈએ છીએ: $n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$.
હવે,આ કિંમતોને $x$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} \times 1.2 \text{ m}}{2 \times 10^{-3} \text{ m}}$
$x = \frac{4 \times 6500 \times 1.2 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-3}} \text{ m} = 15600 \times 10^{-7} \text{ m} = 1.56 \times 10^{-3} \text{ m}$
$x = 0.156 \text{ cm}$.

(A) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે પડદાના અંતરમાં ફેરફાર $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \ m$ અને ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \ m$ છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર એ અંતરના ફેરફાર સાથે $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \ m) \times (10^{-3} \ m)}{5 \times 10^{-2} \ m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(A) ધારો કે $d$ એ સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,પડદાના કેન્દ્ર $C$ પર સ્લિટ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan(\theta/2) = \frac{d/2}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\tan(\theta/2) \approx \theta/2 = \frac{d}{2D}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{d}{D}$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ ને $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈના સમીકરણમાં $d/D = \theta$ મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{\lambda}{\theta}$ મળે છે.

(C) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પરની તીવ્રતા $I_P = I_{\max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{yd}{D}$,જ્યાં $y$ એ કેન્દ્ર $O$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર છે,$d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$y = 0$,તેથી $\phi = 0$ અને $I_O = I_{\max}$.
બિંદુ $P$ પર,શરૂઆતમાં પ્રથમ મહત્તમ જોવા મળે છે,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 2\pi$.
જેમ પડદાને દૂર ખસેડવામાં આવે છે,તેમ $D$ વધે છે. કારણ કે $\phi = \frac{2\pi yd}{\lambda D}$,જેમ $D$ વધે છે,તેમ $\phi$ એ $2\pi$ થી ઘટીને $0$ તરફ જાય છે.
જેમ $\phi$ એ $2\pi$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,તેમ $\cos^2(\phi/2)$ નું મૂલ્ય $\cos^2(\pi) = 1$ થી વધીને $\cos^2(0) = 1$ થાય છે,જે $\phi = \pi$ (પ્રથમ ન્યૂનતમ) પર $0$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,તીવ્રતા $I_P$ પહેલા ઘટે છે (કારણ કે તે મહત્તમથી ન્યૂનતમ તરફ જાય છે) અને પછી વધે છે (કારણ કે તે ન્યૂનતમથી કેન્દ્રીય મહત્તમ તરફ જાય છે). આમ,ગુણોત્તર $I_P/I_O$ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_{max}}{2}$,તેથી $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $\phi = \frac{\pi}{2}$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે. તેથી,$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,જે આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ આપે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ થાય છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $y = \frac{\lambda D}{4d}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 5 \times 10^{-7}\, m$,$D = 1\, m$,અને $d = 10^{-3}\, m$.
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4}\, m$.

(C) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 0.3\, mm = 0.3 \times 10^{-3}\, m$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટે,પથ તફાવત $d \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપણે $-30^{\circ} < \theta < 30^{\circ}$ ની રેન્જમાં મહત્તમની સંખ્યા શોધવાની છે.
તેથી,$\sin \theta < \sin 30^{\circ} = 0.5$.
શરત $d \sin \theta = n \lambda$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$n \lambda < d \sin 30^{\circ}$
$n < \frac{d \sin 30^{\circ}}{\lambda} = \frac{0.3 \times 10^{-3} \times 0.5}{500 \times 10^{-9}}$
$n < \frac{0.15 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.15}{5} \times 10^4 = 0.03 \times 10^4 = 300$.
કારણ કે $n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $|n| < 300$,તેથી $n$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 299$ છે.
મહત્તમની કુલ સંખ્યા $299$ (ધન) $+ 299$ (ઋણ) $+ 1$ (મધ્યસ્થ મહત્તમ $n=0$ પર) $= 599$ થાય.

(C) $YDSE$ પ્રયોગમાં,સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
સ્ક્રીનના મધ્યબિંદુ પર,ભૂમિતિને કારણે પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતો સ્લેબ એક સ્લિટની સામે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ ઉમેરાય છે.
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} (\mu - 1)t$ છે.
મધ્યબિંદુ પર તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi t}{\lambda}(\mu - 1))$ છે.
જેમ જેમ $\mu$ એ $1$ થી વધે છે,તેમ પદ $(\mu - 1)$ વધે છે,જેના કારણે કળા તફાવત $\phi$ વધે છે.
તીવ્રતા $I$ એ $\cos^2$ ફેરફારને અનુસરે છે,જે $\mu = 1$ (જ્યાં $\phi = 0$) પર મહત્તમ મૂલ્ય $(4I_0)$ થી શરૂ થાય છે અને જેમ $\mu$ વધે છે તેમ ઘટે છે,જે સ્ક્વેર્ડ કોસાઇન વિધેયના આકારને અનુસરે છે.

(A) ધારો કે માઈકા શીટ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવેલ કળા તફાવત $\phi$ છે. પડદાના કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $I = 0.75 I_0$,તેથી $\cos^2(\phi/2) = 3/4$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi/2) = \pm \sqrt{3}/2$. આમ,$\phi/2 = n\pi \pm \pi/6$,અથવા $\phi = 2n\pi \pm \pi/3$.
$n=1$ માટે,$\phi = 2\pi \pm \pi/3$,જે $\phi = 5\pi/3$ અથવા $7\pi/3$ આપે છે.
$n=2$ માટે,$\phi = 4\pi \pm \pi/3$,જે $\phi = 11\pi/3$ અથવા $13\pi/3$ આપે છે.
$n=3$ માટે,$\phi = 6\pi \pm \pi/3$,જે $\phi = 17\pi/3$ અથવા $19\pi/3$ આપે છે.
બીજું ન્યૂનતમ કેન્દ્રની ઉપર અને ત્રીજું મહત્તમ કેન્દ્રની નીચે હોવાની શરત મુજબ,$\phi$ નું મૂલ્ય $3\pi < \phi < 4\pi$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\pi/3$ આ શ્રેણીમાં આવતું નથી.

(A) ઘણા દૂરના બિંદુઓ $(|x| >> d)$ માટે,પાસપાસેના ઉદગમોમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d \cos \theta$ છે. $x$-અક્ષ પરના દૂરના બિંદુ માટે,$\theta = 0$,તેથી $\Delta x = d$.
દૂરના બિંદુએ કુલ કંપવિસ્તાર ચાર તરંગોનો સરવાળો છે: $A = A_0(1 + e^{ikd} + e^{i2kd} + e^{i3kd})$,જ્યાં $k = 2\pi / \lambda$.
આ $r = e^{ikd}$ સાથેની ભૌમિતિક શ્રેણી છે. સરવાળો $A = A_0 \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}}$ થાય છે.
તીવ્રતા $I$ એ $|A|^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે: $I \propto A_0^2 \left| \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}} \right|^2 = A_0^2 \frac{\sin^2(2kd)}{\sin^2(kd/2)}$.
અંધારા બિંદુઓ (તીવ્રતા = $0$) માટે,આપણે $\sin(2kd) = 0$ જોઈએ,પરંતુ $\sin(kd/2) \neq 0$.
$2kd = n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે). $n=1$ માટે,$2(2\pi/\lambda)d = \pi \implies d = \lambda / 4$.
આમ,જો $d = \lambda / 4$ હોય,તો તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે અને બિંદુઓ અંધારા દેખાય છે.

(D) $YDSE$ ગોઠવણીમાં,મધ્યસ્થ અક્ષથી $y$ અંતરે આવેલા પડદા પરના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ માટે,મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ છે.
આ કિંમતને પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ગેરહાજર તરંગલંબાઈ) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $m = 0, 1, 2, ...$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{d^2}{(2m + 1)D}$.
$m = 0$ માટે,$\lambda = \frac{d^2}{D}$.
$m = 1$ માટે,$\lambda = \frac{d^2}{3D}$.
આમ,બંને તરંગલંબાઈઓ $\frac{d^2}{D}$ અને $\frac{d^2}{3D}$ ગેરહાજર છે.

(D) સફેદ પ્રકાશ સાથેના $YDSE$ માં,મધ્યસ્થ શલાકા માટે પથ તફાવત તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે $0$ હોય છે. કેન્દ્ર પર તમામ તરંગલંબાઇઓ એકબીજા પર સંપાત થતી હોવાથી,મધ્યસ્થ શલાકા સફેદ દેખાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ વધે છે. કોઈ ચોક્કસ બિંદુ માટે,અલગ-અલગ તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ સ્થાનો પર સહાયક વ્યતિકરણની શરત સંતોષે છે. જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સૌથી ટૂંકી હોવાથી,જાંબલી રંગની પ્રથમ ક્રમની મહત્તમ શલાકા મધ્યસ્થ શલાકાની સૌથી નજીક દેખાય છે.
વિવિધ તરંગલંબાઇઓ માટે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ શલાકાઓના સ્થાનો અલગ-અલગ હોવાથી,શલાકાઓ એકબીજા પર નોંધપાત્ર રીતે સંપાત થાય છે,જેના કારણે સંપૂર્ણ અંધારી શલાકા (જ્યાં તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે તીવ્રતા શૂન્ય હોય) બનતી નથી.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્ક્રીન અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,જ્યારે સ્ત્રોતને લાલથી વાદળીમાં બદલવામાં આવે ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટે છે.
જેમ $\beta$ ઘટે છે,તેમ ક્રમિક શલાકાઓ એકબીજાની નજીક આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈ ઘટતી હોવાથી,સ્ક્રીન પર સમાન જગ્યામાં વધુ શલાકાઓ સમાઈ શકે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્ક્રીન પર બનતા મહત્તમની સંખ્યા વધે છે.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રિન્જ એકબીજાની વધુ નજીક હોય તે માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ ઘટવી જોઈએ.
સૂત્ર પરથી,$\beta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\beta \propto \lambda)$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$,લીલા પ્રકાશને બદલે વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટશે,જેનાથી ફ્રિન્જ એકબીજાની વધુ નજીક આવશે.

(B) $YDSE$ માં,સ્લિટ્સમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા સ્લિટ્સની પહોળાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જો સ્લિટ્સની પહોળાઈ અસમાન હોય,તો બે સ્લિટ્સમાંથી આવતા તરંગોના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ અસમાન હશે $(a_1 \neq a_2)$.
વ્યતિકરણ ભાતની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ થાય છે.
અહીં $I_1 \neq I_2$ હોવાથી,$I_{min} \neq 0$ થાય છે. તેથી,ન્યૂનતમ તીવ્રતાના સ્થાનો સંપૂર્ણપણે અંધારા હોતા નથી.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$,જેનો અર્થ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે. આ વિધાન $(B)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
$n$-મા ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $y_n$ એ $d$ પર આધાર રાખે છે,તેથી $d$ બદલવાથી સ્ક્રીન પરના તમામ ન્યૂનતમ સ્થાનો બદલાઈ જશે. આ વિધાન $(C)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સ્પષ્ટ વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટેની શરત એ છે કે સ્ત્રોત સ્લિટ સાંકડી હોવી જોઈએ અને પ્રકાશ સુસંબદ્ધ હોવો જોઈએ.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્લિટ અને ડબલ સ્લિટ $S_1S_2$ વચ્ચેનું અંતર $\ell$ ઘટે છે,ત્યારે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ સુધી પહોંચતા પ્રકાશની અવકાશી સુસંબદ્ધતા (spatial coherence) ઘટે છે.
$1$. જેમ $\ell$ ઘટે છે,તેમ સ્લિટ્સ પરથી જોતા સ્ત્રોતની કોણીય પહોળાઈ વધે છે,જે ફ્રિન્જની દ્રશ્યતા ઘટાડે છે. જો $\ell$ ખૂબ નાનું થઈ જાય,તો ફ્રિન્જ પેટર્ન અદ્રશ્ય થઈ શકે છે (વિકલ્પ $A$).
$2$. અવકાશી સુસંબદ્ધતામાં ઘટાડો થવાને કારણે ફ્રિન્જ તેમની તીક્ષ્ણતા ગુમાવે છે (વિકલ્પ $B$).
$3$. ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\beta$ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d$,અને પડદા સુધીનું અંતર $D$ પર આધાર રાખે છે,તેથી જ્યારે $\ell$ બદલાય ત્યારે તે બદલાતી નથી (વિકલ્પ $C$).
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે જાણીતા પ્રકાશની $( \lambda_1 = 590 \ nm)$ $3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકા અજ્ઞાત પ્રકાશની $( \lambda_2 = \lambda)$ $4^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે:
$\frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
$3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{3}{4} \times 590 \ nm$
$\lambda_2 = 0.75 \times 590 \ nm = 442.5 \ nm$.

(B) પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,પથ તફાવત બંને તરંગલંબાઇઓના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોવો જોઈએ. ધારો કે $\lambda_1 = 650 \ nm$ માટે ક્રમ $n_1$ છે અને $\lambda_2 = 520 \ nm$ માટે ક્રમ $n_2$ છે.
સંપાત થવાની શરત $y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{520 \ nm}{650 \ nm} = \frac{4}{5}$.
લઘુત્તમ અંતર માટે,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંકો $n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$ લઈએ છીએ.
હવે,$n_1 = 4$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1.5 \ m$,અને $d = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ નો ઉપયોગ કરીને સ્થાન $y$ ની ગણતરી કરીએ:
$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 650 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} \ m$.
$y = \frac{4 \times 650 \times 1.5}{0.5} \times 10^{-6} \ m = 7800 \times 10^{-6} \ m = 7.8 \times 10^{-3} \ m = 7.8 \ mm$.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે $\theta = 60^o$,તેથી $\frac{\lambda}{d} = \sin(30^o) = 0.5$.
આમ,$\lambda = 0.5 \times d = 0.5 \times 1 \mu m = 0.5 \mu m$.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d'}$ છે,જ્યાં $d'$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે $\beta = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$,અને $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$.
$10^{-2} = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.5}{d'}$.
$d' = \frac{0.25 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-4} \ m = 25 \mu m$.

(B) $YDSE$ પ્રયોગમાં તીવ્રતાનું વિતરણ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{min})$ શૂન્ય છે. કારણ કે $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$,$I_{min} = 0$ નો અર્થ એ છે કે $I_1 = I_2$. આમ,ઉદગમો સમાન તીવ્રતા ધરાવતા હોવા જોઈએ.
વધુમાં,પડદા પર સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત જોવા મળે તે માટે,ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ. સુસંબદ્ધ ઉદગમો એટલે એવા ઉદગમો જે સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે. તેથી,$S_1$ અને $S_2$ વચ્ચે અચળ કળા તફાવત હોવો એ અવલોકિત વ્યતિકરણ ભાત માટેની પાયાની જરૂરિયાત છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ માટે,$n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવતની શરત $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકા $(n = 1)$ માટે,શરત $d \sin \theta = \lambda$ બને છે.
જ્યારે સાધન હવામાં હોય,ત્યારે $\lambda_{air} = \lambda$ અને $\theta_1 = 45^{\circ}$ હોવાથી,$d \sin 45^{\circ} = \lambda$ મળે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda_{liquid} = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે. નવો ખૂણો $\theta_2 = 30^{\circ}$ છે,તેથી $d \sin 30^{\circ} = \frac{\lambda}{\mu}$ મળે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{d \sin 45^{\circ}}{d \sin 30^{\circ}} = \frac{\lambda}{\lambda / \mu} = \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I \propto w$. આમ,બે સ્લિટની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{4}$ છે.
જેમ કે $I \propto a^2$ (જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે),તેથી કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય.
ધારો કે $a_1 = a$ અને $a_2 = 2a$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a + 2a)^2}{(a - 2a)^2} = \frac{(3a)^2}{(-a)^2} = \frac{9a^2}{a^2} = \frac{9}{1}$.

(C) $YDSE$ માં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{\max} = 4I_0$ અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતા કરતાં અડધી થાય છે,તેથી $I = I_{\max}/2 = 2I_0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \Rightarrow \cos^2(\phi/2) = 1/2 \Rightarrow \phi/2 = \pi/4 \Rightarrow \phi = \pi/2$.
$t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી માઈકા શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો કળા તફાવત $\phi = (2\pi/\lambda)(\mu - 1)t$ છે.
$\phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\pi/2 = (2\pi/\lambda)(3/2 - 1)t$.
$\pi/2 = (2\pi/\lambda)(1/2)t = \pi t / \lambda$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \lambda/2$ મળે છે.

(A) $YDSE$ માં,મધ્યસ્થ બિંદુ $(y=0)$ પર પથ તફાવત $\Delta x = 0$ તમામ તરંગલંબાઈઓ માટે સમાન હોય છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta x = n\lambda$ છે,તેથી $n=0$ માટે,$\Delta x = 0$ એ સફેદ પ્રકાશમાં રહેલી તમામ તરંગલંબાઈઓ $\lambda$ માટે સંતોષાય છે.
તેથી,તમામ તરંગલંબાઈઓ તેમના શૂન્ય ક્રમના મહત્તમ મધ્યસ્થ બિંદુ $(y=0)$ પર ઉત્પન્ન કરે છે.
કેન્દ્ર પર બધા રંગો એકબીજા પર સંપાત થતા હોવાથી,તેઓ ભેગા મળીને સફેદ શલાકા બનાવે છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ફ્રિન્જ સ્થાનાંતર $x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
બંને કિસ્સાઓ માટે $t$,$D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $(\mu - 1)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
પ્રથમ પ્લેટ માટે: $x \propto (\mu_1 - 1)$,જ્યાં $\mu_1 = 1.5$.
બીજી પ્લેટ માટે: $\frac{3}{2}x \propto (\mu_2 - 1)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{(3/2)x}{x} = \frac{\mu_2 - 1}{\mu_1 - 1}$.
$\frac{3}{2} = \frac{\mu_2 - 1}{1.5 - 1}$.
$\frac{3}{2} = \frac{\mu_2 - 1}{0.5}$.
$\mu_2 - 1 = \frac{3}{2} \times 0.5 = 0.75$.
$\mu_2 = 1.75$.

(B) ધારો કે દરેક ઉદગમની તીવ્રતા $I_0$ છે. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે.
આપણે એવા બિંદુઓ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં તીવ્રતા $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 2I_0$ મૂકતા,આપણને $2I_0 = 2I_0(1 + \cos \phi)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 + \cos \phi = 1$,તેથી $\cos \phi = 0$.
આનાથી કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ કળા તફાવત સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આમ,$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,જે $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ આપે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \theta$ છે.
તેથી,$d \theta = \frac{\lambda}{4}$,જે $\theta = \frac{\lambda}{4d}$ આપે છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ બિંદુઓ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\Delta \theta = \theta - (-\theta) = 2\theta = 2 \times \frac{\lambda}{4d} = \frac{\lambda}{2d}$ છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $D' = 2D$ અને નવી સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
આ કિંમતોને નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(2D) \lambda}{(d/2)} = 4 \left( \frac{D \lambda}{d} \right) = 4\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ચાર ગણી થાય છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ પડદાને સ્લિટથી દૂર ખસેડવામાં આવે છે,તેમ અંતર $D$ વધે છે.
$\beta \propto D$ હોવાથી,$D$ માં વધારો થવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે વ્યતિકરણની શલાકાઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે.
વધુમાં,જેમ પડદો દૂર જાય છે,તેમ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ અને બીમના ફેલાવાને કારણે પડદા પર પહોંચતા પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટે છે,જેનાથી ભાત ઓછી તેજસ્વી બને છે.
તેથી,ભાત ઓછી તેજસ્વી બને છે અને શલાકાઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $n^{th}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે $m^{th}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે મહત્તમ મૂલ્યો એક સ્લિટની બરાબર સામે સંપાત થાય છે,તેથી મધ્યસ્થ શલાકાથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ છે.
આમ,$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{d}{2} \implies n \lambda_1 = \frac{d^2}{2D} = \frac{(3 \times 10^{-3})^2}{2 \times 1.5} = \frac{9 \times 10^{-6}}{3} = 3 \times 10^{-6} \ m = 30000 \ \mathring{A}$.
તે જ રીતે,$m \lambda_2 = 30000 \ \mathring{A}$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $n=5, m=6$. તો $\lambda_1 = \frac{30000}{5} = 6000 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_2 = \frac{30000}{6} = 5000 \ \mathring{A}$.
બંને તરંગલંબાઇઓ $6000 \ \mathring{A}$ અને $5000 \ \mathring{A}$ એ આપેલી રેન્જ $4500 \ \mathring{A} < \lambda < 7000 \ \mathring{A}$ માં આવે છે.
તેથી,સાચા મૂલ્યો $n=5, m=6, \lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$ છે.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય.
$\Delta x = \lambda$ પર આપેલી તીવ્રતા $I = k$ હોવાથી,$k = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ મળે. તેથી,$I_{max} = k$.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/4$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = k \cos^2(\pi/4) = k \cdot (1/\sqrt{2})^2 = k/2$ થશે.

(A) જ્યારે એક કિરણના માર્ગમાં $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ મધ્યસ્થ સ્થાન પર તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે તે માટે,તે બિંદુએ નવો પથ તફાવત સહાયક વ્યતિકરણની શરત મુજબ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
તીવ્રતા સમાન રહેતી હોવાથી,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ. ન્યૂનતમ જાડાઈ માટે,આપણે સૌથી નાનો શૂન્યતર પૂર્ણાંક $n = 1$ લઈએ છીએ.
$(\mu - 1)t = 1 \cdot \lambda$
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $(1.5 - 1)t = \lambda$.
$0.5t = \lambda \implies t = 2\lambda$.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{b})$ એ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{y})$ કરતા ઓછી હોવાથી,એટલે કે $\lambda_{b} < \lambda_{y}$.
જેમ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી જ્યારે પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.

(B) પડદા પરના ભાગની પહોળાઈ અચળ રહે છે. શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ શલાકાઓ ધરાવતા ભાગ માટે,કુલ પહોળાઈ $W = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ થાય.
કારણ કે બંને તરંગલંબાઇ માટે ભાગની પહોળાઈ $W$ સમાન રહે છે,તેથી:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
અહીં $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,અને $\lambda_2 = 400 \ nm$ આપેલ છે:
$12 \times 600 = n_2 \times 400$
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400}$
$n_2 = 18$
તેથી,$18$ શલાકાઓ જોવા મળશે.

(B) $YDSE$ માં મહત્તમ માટેની શરત $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
અહીં $d = 700 \, nm$ અને $\lambda = 200 \, nm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $700 \sin \theta = n \times 200$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{200n}{700} = \frac{2n}{7}$.
કારણ કે $\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી $|\frac{2n}{7}| \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $|n| \le \frac{7}{2} = 3.5$.
તેથી,$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ છે.
આ મૂલ્યો ગણતા: $0, 1, -1, 2, -2, 3, -3$,કુલ $7$ મહત્તમ મળે છે.

(C) બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ પર કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{xd}{D}$ છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\phi = \frac{2\pi x}{\beta}$.
કોઈપણ બિંદુ પર તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા મળે છે. જો $I_1 = I_2 = I$ લઈએ,તો $I = 2I + 2I \cos \phi = 4I \cos^2 \frac{\phi}{2}$ થાય.
મધ્યસ્થ અધિકતમ પરની તીવ્રતા $I_0 = 4I$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{I_0}{4}$ અને $\phi = \frac{2\pi x}{\beta}$ મૂકતા:
$I_P = 4 \left( \frac{I_0}{4} \right) \cos^2 \left( \frac{2\pi x / \beta}{2} \right) = I_0 \cos^2 \frac{\pi x}{\beta}$.

(B) $YDSE$ માં,$n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $y_n = y_m$.
તેથી,$n \lambda_1 = m \lambda_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(6000) = m(5500)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n}{m} = \frac{5500}{6000} = \frac{11}{12}$ મળે છે.
$n$ અને $m$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્યો $n = 11$ અને $m = 12$ છે.

(B) આપેલ છે: $\lambda = 6.5 \times 10^{-7} \, m$,$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,$D = 1 \, m$.
$n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n, bright} = n \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=5)$:
$x_{5, bright} = 5 \times \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 32.5 \times 10^{-4} \, m = 3.25 \, mm$.
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n, dark} = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=3)$:
$x_{3, dark} = (2 \times 3 - 1) \times \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 5 \times \frac{6.5 \times 10^{-4}}{2} = 16.25 \times 10^{-4} \, m = 1.625 \, mm$.
પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા અને ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta x = |x_{5, bright} - x_{3, dark}| = |3.25 - 1.625| \, mm = 1.625 \, mm \approx 1.63 \, mm$.

(A) પડદા પર એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\delta = \frac{b^2}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ગેરહાજર તરંગલંબાઇ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\delta = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
$\delta = \frac{b^2}{2d}$ મૂકતા,આપણને $\frac{b^2}{2d} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ મળે છે.
$n=1$ માટે,$\frac{b^2}{2d} = \frac{\lambda_1}{2} \implies \lambda_1 = \frac{b^2}{d}$.
$n=2$ માટે,$\frac{b^2}{2d} = \frac{3\lambda_2}{2} \implies \lambda_2 = \frac{b^2}{3d}$.
આમ,ગેરહાજર તરંગલંબાઇઓ $\frac{b^2}{d}$ અને $\frac{b^2}{3d}$ છે.

(C) ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ માટેનું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
અહીં દરેક સ્લિટમાંથી મળતી તીવ્રતા $I_1 = I_2 = I$ છે અને કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 60^{\circ}$
$I_R = 2I + 2I \cdot (1/2)$
$I_R = 2I + I = 3I$.
તેથી,પરિણામી તીવ્રતા $3I$ મળે છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
$\Delta \phi$ ની કિંમત મૂકતા,$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \cdot \frac{3}{4}$.
આમ,$\frac{I}{I_0} = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ સહાયક કે વિનાશક વ્યતિકરણની શરત બે સ્લિટમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેના પથ તફાવત પર આધારિત છે.
ધારો કે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ પર છે. પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે,પથ તફાવત $\Delta = S_2P - S_1P = n\lambda$ (મહત્તમ માટે) અથવા $(n + 1/2)\lambda$ (ન્યૂનતમ માટે) હોય છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (સ્લિટ્સ) થી સમાન પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એક અતિવલય (Hyperbola) છે.
તેથી,પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણની ભાત અતિવલયાકાર હોય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-મી મહત્તમનું સ્થાન $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે સાતમી મહત્તમ $(n=7)$ નું મધ્યસ્થ મહત્તમથી અંતર $d_1 = \frac{7 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે સાતમી મહત્તમ $(n=7)$ નું મધ્યસ્થ મહત્તમથી અંતર $d_2 = \frac{7 \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંને અંતરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{\frac{7 \lambda_1 D}{d}}{\frac{7 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગ માટે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$
$D = 1 \, m$
$d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 1}{0.6 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{6}{0.6} \times 10^{-4} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, m$
કારણ કે $10^{-3} \, m = 1 \, mm$,તેથી બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $1 \, mm$ છે.

(B) પડદા પરના મધ્યબિંદુ $O$ પાસે પથ તફાવત,જ્યારે સ્ત્રોત $S$ મધ્ય અક્ષથી $y$ અંતરે હોય,ત્યારે $\Delta x = \frac{a y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યબિંદુ પર સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તેજસ્વિતા) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = n \lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
તેથી,$\frac{a y}{h} = n \lambda \Rightarrow y = \frac{n \lambda h}{a}$.
સ્ત્રોતનો વેગ $v = \frac{dy}{dt}$ છે.
ક્રમ $n$ માં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dn}{dt} = \frac{a}{h \lambda} \frac{dy}{dt} = \frac{a v}{h \lambda}$ દ્વારા મળે છે.
આ મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી ફ્રિન્જની આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જે તેજસ્વિતામાં થતા ફેરફારની આવૃત્તિને અનુરૂપ છે.

(D) સહાયક વ્યતિકરણ માટે,$n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 3$,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = 3\lambda$ થશે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 3\lambda = 6\pi$ મળે છે.
તેથી,કળા તફાવત $6\pi$ છે.