Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(C) $O$ બિંદુએ અંધકાર માટે,$S_1$ અને $S_2$ માંથી $O$ સુધી પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
$S_2$ દ્વારા $S$ થી $O$ સુધીનો પથ $SO + OS_2 = D + D = 2D$ છે.
$S_1$ દ્વારા $S$ થી $O$ સુધીનો પથ $SS_1 + S_1O$ છે. અહીં,$SS_1 = \sqrt{D^2 + d^2}$ અને $S_1O = \sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
આમ,$S_1$ દ્વારા કુલ પથ $2\sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = 2\sqrt{D^2 + d^2} - 2D$ છે.
લઘુત્તમ અંધકાર માટે,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ લેતા.
$2\sqrt{D^2 + d^2} - 2D = \frac{\lambda}{2} \implies \sqrt{D^2 + d^2} = D + \frac{\lambda}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $D^2 + d^2 = D^2 + \frac{\lambda D}{2} + \frac{\lambda^2}{16}$.
$d \ll D$ હોવાથી,$\lambda^2$ પદને અવગણતા: $d^2 \approx \frac{\lambda D}{2}$.
તેથી,$d = \sqrt{\frac{\lambda D}{2}}$.

(B) દ્વિ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાના કોણીય સ્થાન માટેની શરત $\theta = \frac{n \lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, Å = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.1 \, cm = 10^{-3} \, m$.
શલાકાનો ક્રમ $n = 10$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{10 \times 6 \times 10^{-7}}{10^{-3}}$
$\theta = 60 \times 10^{-4} \, rad$
$\theta = 6 \times 10^{-3} \, rad$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.1 \ mm = 10^{-4} \ m$,પડદાનું અંતર $D = 20 \ cm = 0.2 \ m$,અને તરંગલંબાઇ $\lambda = 5460 \ \mathring{A} = 5460 \times 10^{-10} \ m$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 2$ થાય.
કોણીય સ્થાન $\theta$ માટેનું સૂત્ર $d \sin \theta = \Delta x = \lambda / 2$ છે.
અહીં $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં).
$\theta = \frac{\lambda}{2d} = \frac{5460 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-4}} = 2730 \times 10^{-6} \ rad$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે $(180 / \pi)$ વડે ગુણતા:
$\theta_{deg} = 2730 \times 10^{-6} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.1564^\circ$.
આમ,અંદાજિત મૂલ્ય $0.16^\circ$ મળે છે.

(B) દ્વિ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\theta$ નું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\theta = 0.2^{\circ}$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે,તેથી $\theta' = \frac{0.2}{4/3} = 0.2 \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$.

(C) ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુ પર તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{max}/4$,તેથી $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,તેથી $\cos(\phi/2) = 1/2$ મળે.
આમ,$\phi/2 = 60^{\circ} = \pi/3$ રેડિયન,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 2\pi/3$.
પથ તફાવત $\Delta$ એ કળા તફાવત સાથે $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times \phi = (\lambda / 2\pi) \times (2\pi/3) = \lambda/3$ સંબંધ ધરાવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta = d \sin \theta$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
$\Delta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $d \sin \theta = \lambda/3$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = \lambda/(3d)$,જે દર્શાવે છે કે $\theta = sin^{-1}(\lambda/3d)$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
આ સંબંધ લંબચોરસ હાઇપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જેમાં $d$ વધતા $\beta$ ઘટે છે.
તેથી,સાચો આલેખ લંબચોરસ હાઇપરબોલા દર્શાવતો આલેખ છે.

(A) $Y.D.S.E$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે।
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર, $d = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$.
પડદાનું અંતર, $D = 1 \, m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} = 5 \times 10^{-4} \, m$.

(D) તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$. તેમજ $I \propto A^2$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{25}{9}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{25}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{5}{3}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$.
તીવ્રતા એ સ્લિટની પહોળાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,બે સ્લિટની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = \frac{16}{1}$ થાય.
તેથી,સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{w_1}{w_2} = \frac{16}{1}$ છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં વ્યતિકરણની ભાતની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે એક કિરણના માર્ગમાં પાતળી કાચની પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વધારાનો પથ તફાવત (path difference) ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે પડદા પરની સમગ્ર વ્યતિકરણ ભાત સ્થાનાંતરિત થાય છે.
જો કે,ભાતની પહોળાઈ $\beta$ માત્ર તરંગલંબાઈ $\lambda$,અંતર $D$ અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. કાચની પ્લેટ મૂકવાથી આમાંથી કોઈ પણ પરિમાણમાં ફેરફાર થતો નથી,તેથી ભાતની પહોળાઈ અચળ રહે છે.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે $n$-માં ન્યૂનતમ (minima) ની શરત $y_n = (2n-1) \frac{D\lambda}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઇઓ માટે અંધકારમય શલાકાઓ એકબીજા પર સંપાત થાય તે માટે: $(2n-1) \frac{D\lambda_1}{2d} = (2m-1) \frac{D\lambda_2}{2d}$.
આ સમીકરણ $(2n-1) \lambda_1 = (2m-1) \lambda_2$ માં ફેરવાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2n-1) 400 = (2m-1) 560$.
$\frac{2n-1}{2m-1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$.
આમ,પ્રથમ સંપાત $2n-1 = 7$ (એટલે કે $n=4$) અને $2m-1 = 5$ (એટલે કે $m=3$) પર થાય છે.
આ પ્રથમ સંપાતનું સ્થાન $y_1 = 7 \times \frac{1 \times 400 \times 10^{-6}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14\, mm$ છે.
આગળનો સંપાત ગુણોત્તર $\frac{21}{15}$ પર થાય છે (જ્યાં $2n-1=21$ અને $2m-1=15$).
આ બીજા સંપાતનું સ્થાન $y_2 = 21 \times \frac{1 \times 400 \times 10^{-6}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42\, mm$ છે.
સંપૂર્ણ અંધકારના બે ક્રમિક પ્રદેશો વચ્ચેનું અંતર $y_2 - y_1 = 42\, mm - 14\, mm = 28\, mm$ છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ થી પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ સુધીના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ પથ તફાવત માટે,પડદા પરના બિંદુઓ $P$ નો બિંદુપથ એક વક્ર બનાવે છે.
સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત $\Delta x = n\lambda$ અથવા $\Delta x = (n + 1/2)\lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે આપેલ વ્યતિકરણની ભાત માટે પથ તફાવત અચળ રહે છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (સ્લિટ્સ) થી અંતરનો તફાવત અચળ હોય તેવા બિંદુઓનો બિંદુપથ એક અતિવલય (Hyperbola) છે.
તેથી,પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણની ભાત અતિવલયાકાર હોય છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતા કરતા અડધી છે,તેથી $\frac{I_{\max}}{2} = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ છે.
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ મળે છે.
મધ્યસ્થ બિંદુથી અંતર $x$ એ $x = \frac{\Delta x \cdot D}{d}$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x = \frac{\lambda D}{4d}$ મળે છે.

(D) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેના અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
જો સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $4$ ગણું વધારવામાં આવે,તો નવું અંતર $d' = 4d$ થાય.
તેથી,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{4d} = \frac{\beta}{4}$ થાય.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $4$ ગણી ઘટશે.

(C) જ્યારે ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર માનવ આંખના કોણીય વિભેદન કરતા ઓછું થાય ત્યારે વ્યતિકરણ ભાત અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.
કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંખનું કોણીય વિભેદન $\Delta\theta = \frac{1}{60}^o = \frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$ છે.
ભાત અદ્રશ્ય થવા માટે,કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ આંખના કોણીય વિભેદન જેટલી હોવી જોઈએ: $\frac{\lambda}{d_0} = \Delta\theta$.
કિંમતો મૂકતા: $d_0 = \frac{\lambda}{\Delta\theta} = \frac{600 \times 10^{-9} \text{ m}}{\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}}$.
$d_0 = \frac{600 \times 10^{-9} \times 60 \times 180}{\pi} \approx \frac{6.48 \times 10^{-3}}{3.14} \approx 2.06 \times 10^{-3} \text{ m}$.
આમ,$d_0 \approx 2 \text{ mm}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\Delta \phi$ એ કળા તફાવત છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ પર,તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે.
આપણે તે સ્થાન $y$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં તીવ્રતા $I$ મહત્તમ તીવ્રતાના અડધા ભાગની થાય,એટલે કે $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $2I_0 = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) \implies \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2} \implies \cos(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,તેથી કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ મળે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,જે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ આપે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{dy}{D}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{dy}{D} = \frac{\lambda}{4} \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા $y = \frac{\beta}{4}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે માઈકા શીટની જાડાઈ $t = 1.8 \times 10^{-6} \ m$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$,અને સ્થાનાંતર $y = (\mu - 1)t \frac{D}{d}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
ત્રીજા કિસ્સામાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda (2D)}{d} = 2\beta$ છે.
શરત $y = \beta'$ આપેલ હોવાથી,$(\mu - 1)t \frac{D}{d} = 2 \frac{\lambda D}{d}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$(\mu - 1)t = 2\lambda$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1.6 - 1) \times 1.8 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$0.6 \times 1.8 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$1.08 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$\lambda = 0.54 \times 10^{-6} \ m = 540 \ nm$.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2 \lambda}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ક્રમિક વ્યતિકરણ મહત્તમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
વિવર્તનના કેન્દ્રીય મહત્તમમાં સમાવિષ્ટ વ્યતિકરણ મહત્તમની સંખ્યા $n$ એ કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ અને વ્યતિકરણ ફ્રિન્જની કોણીય અંતરના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{2 \lambda / b}{\lambda / d} = \frac{2d}{b}$.
આપેલ છે કે $d = 6.1b$,તેથી:
$n = \frac{2 \times (6.1b)}{b} = 12.2$.
મહત્તમની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી કેન્દ્રીય વિવર્તન એન્વલપની અંદર $12$ તીવ્રતાના મહત્તમ જોવા મળે છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે,$d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
$W$ પહોળાઈના દ્રશ્યક્ષેત્રમાં જોઈ શકાતી ફ્રિન્જની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{D\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
આ સંબંધ પરથી,$N \propto \frac{1}{\lambda}$. આમ,જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ વધે છે,અને દ્રશ્યક્ષેત્રમાં જોવા મળતી ફ્રિન્જની સંખ્યા $N$ ઘટે છે. તેનાથી ઉલટું,ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ નાની હોય છે,જેનાથી વધુ ફ્રિન્જ જોઈ શકાય છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે,$n$-મી મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,અને $m$-મી ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (m + 1/2)\lambda$ છે.
ધારો કે પથ તફાવત $\Delta x$ છે. ઇન્ટરફરન્સ પેટર્ન અસ્પષ્ટ થવાની શરત એ છે કે $\lambda_1$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_2$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય.
કિસ્સો $1$: $\lambda_1$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_2$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય:
$\Delta x = n\lambda_1 = (m + 1/2)\lambda_2$
$n(500) = (m + 1/2)(600)$
$5n = 6m + 3$
સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે,જો $m = 2$ લઈએ,તો $5n = 15 \Rightarrow n = 3$.
આમ,$\Delta x = 3 \times 500 = 1500\,nm$.
કિસ્સો $2$: $\lambda_2$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_1$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય:
$\Delta x = n\lambda_2 = (m + 1/2)\lambda_1$
$n(600) = (m + 1/2)(500)$
$6n = 5m + 2.5 \Rightarrow 12n = 10m + 5$.
આ કિસ્સો પૂર્ણાંક $n, m$ માટે શક્ય નથી.
તેથી,અસ્પષ્ટતાનું પ્રથમ બિંદુ $\Delta x = 1500\,nm$ પર મળે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે.
અહીં $d = 1.8 \lambda$ આપેલ છે,તેથી શરત $1.8 \lambda \sin \theta = n \lambda$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $n = 1.8 \sin \theta$ મળે છે.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,$n$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1.8 \times 1 = 1.8$ થાય.
આમ,$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, \pm 1$ છે.
તેથી,મહત્તમની કુલ સંખ્યા $1$ ($n=0$ માટે) $+ 2$ ($n=1$ અને $n=-1$ માટે),એટલે કે કુલ $3$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} - 1)^2}$
જ્યાં $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ બે સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે કે સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{25}$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{1}{25}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{1}{25}} - 1)^2} = \frac{(\frac{1}{5} + 1)^2}{(\frac{1}{5} - 1)^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\frac{6}{5})^2}{(\frac{-4}{5})^2} = \frac{\frac{36}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9 : 4$ છે.

(D) પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
અહીં $d = 0.320 \, mm = 0.320 \times 10^{-3} \, m$ અને $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$ આપેલ છે.
$\theta = 30^\circ$ પર મહત્તમ પથ તફાવત $\Delta X_{\max} = d \sin 30^\circ = 0.320 \times 10^{-3} \times 0.5 = 0.16 \times 10^{-3} \, m$ છે.
મહત્તમ ક્રમ $n = \frac{\Delta X_{\max}}{\lambda} = \frac{0.16 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{0.16 \times 10^6}{500} = 320$ મળે છે.
ગાળો $-30^\circ \le \theta \le 30^\circ$ હોવાથી,આપણે $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 320$ માટે પ્રકાશિત શલાકાઓ જોઈ શકીએ છીએ.
તેથી,પ્રકાશિત શલાકાઓની કુલ સંખ્યા $2n + 1 = 2(320) + 1 = 641$ થાય.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
અહીં $\theta$ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta = \frac{1}{40}\, rad$.
આપેલ છે કે $d = 0.1\, mm = 10^{-4}\, m$.
તેથી શરત $d \theta = n \lambda$ થાય,એટલે કે $\lambda = \frac{d \theta}{n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{10^{-4} \times (1/40)}{n} = \frac{10^{-4}}{40n} = \frac{10^{-5}}{4n} = \frac{2500\, nm}{n}$.
$\lambda$ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની રેન્જ ($380\, nm$ થી $740\, nm$) માં હોવા માટે:
જો $n=4$ લઈએ,તો $\lambda = \frac{2500}{4} = 625\, nm$.
જો $n=5$ લઈએ,તો $\lambda = \frac{2500}{5} = 500\, nm$.
આ બંને મૂલ્યો $625\, nm$ અને $500\, nm$ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની રેન્જમાં છે. તેથી,તરંગલંબાઈઓ $625\, nm$ અને $500\, nm$ છે.

(A) બિંદુ $P$ (સીધું $S_1$ ની સામે) પર પ્રથમ ન્યૂનતમ મળે તે માટે,$S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$S_1$ થી $P$ નું અંતર $2d$ છે.
$S_2$ થી $P$ નું અંતર $\sqrt{(2d)^2 + d^2} = \sqrt{4d^2 + d^2} = \sqrt{5}d$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{5}d - 2d = d(\sqrt{5} - 2)$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવતને $\frac{\lambda}{2}$ સાથે સરખાવતા:
$d(\sqrt{5} - 2) = \frac{\lambda}{2}$
તેથી,સ્લિટનું અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે:
$d = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 2)}$

(B) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે.
પ્રકાશિત શલાકાના કેન્દ્ર પર,કળા તફાવત $0$ હોય છે,તેથી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 2I_0(1 + \cos 0) = 4I_0$ થાય.
આપેલ બિંદુએ,તીવ્રતા $I = 2I_0(1 + \cos(\pi/4)) = 2I_0(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{max}} = \frac{2I_0(1 + 1/\sqrt{2})}{4I_0} = \frac{1 + 0.707}{2} = \frac{1.707}{2} \approx 0.85$ મળે છે.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I_1/I_2 = w_1/w_2 = 4/1$ થાય.
ધારો કે $I_1 = 4I_0$ અને $I_2 = I_0$.
કંપવિસ્તાર $a_1 = \sqrt{I_1} = 2\sqrt{I_0}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{I_0}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0}}{2\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0}} \right)^2 = \left( \frac{3\sqrt{I_0}}{\sqrt{I_0}} \right)^2 = (3)^2 = 9/1$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $(\beta_{\theta})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$
આપેલ છે:
કોણીય પહોળાઈ $\beta_{\theta} = 0.1 \ radian$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$
આપણે બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ શોધવાનું છે:
$d = \frac{\lambda}{\beta_{\theta}}$
$d = \frac{6 \times 10^{-7} \ m}{0.1}$
$d = 6 \ \times 10^{-6} \ m$
કારણ કે $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,તેથી:
$d = 6 \ \mu m$
આમ,બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $6 \ \mu m$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટના અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\beta \propto \frac{1}{d}$).
તેથી,જો આપણે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ ઘટાડીએ,તો ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ વધશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,તેમ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટે છે.
જેમ $d$ વધતું જાય છે,તેમ શલાકાની પહોળાઈ એટલી નાની થઈ જાય છે કે અંતે શલાકાઓ અલગ પારખી શકાતી નથી અને અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશિત શલાકાઓ રચવાની શરત $y = \frac{n D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શલાકાઓ એક જ બિંદુએ રચાતી હોવાથી,તેમના સ્થાન સમાન છે: $y_{\text{blue}} = y_{\text{red}}$.
$(n + 4)^{th}$ ભૂરી પ્રકાશિત શલાકા માટે: $y_{\text{blue}} = (n + 4) \frac{D \lambda_{\text{blue}}}{d}$.
$n^{th}$ લાલ પ્રકાશિત શલાકા માટે: $y_{\text{red}} = n \frac{D \lambda_{\text{red}}}{d}$.
બંનેને સરખાવતા: $(n + 4) \lambda_{\text{blue}} = n \lambda_{\text{red}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(n + 4) \times 5200\,\mathring{A} = n \times 7800\,\mathring{A}$.
બંને બાજુને $2600\,\mathring{A}$ વડે ભાગતા: $(n + 4) \times 2 = n \times 3$.
$2n + 8 = 3n$.
$n = 8$.

(C) ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ તેનો વેગ છે.
$Y.D.S.E.$ માં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda$ નું સૂત્ર શલાકાની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{hD}{mvd}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટે છે.

(A) એક તરંગલંબાઇની $n^{th}$ શલાકા અને બીજી તરંગલંબાઇની $(n+1)^{th}$ શલાકાના સંપાત થવાની શરત $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ છે.
અહીં,$n_1 = n$,$\lambda_1 = 7800 \, \mathring{A}$,$n_2 = n+1$,અને $\lambda_2 = 5200 \, \mathring{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n \times 7800 = (n + 1) \times 5200$.
બંને બાજુ $2600$ વડે ભાગતા: $n \times 3 = (n + 1) \times 2$.
$3n = 2n + 2$.
$n = 2$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 4\, mm = 4 \times 10^{-3}\, m$.
પડદાનું અંતર $D = 2\, m$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 2}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{12 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = 3 \times 10^{-4}\, m$.
મીટરને મિલીમીટરમાં ફેરવતા:
$\beta = 3 \times 10^{-4} \times 10^3\, mm = 0.3\, mm$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I_2 = I_0$ આપેલ છે,તેથી સૂત્ર $I = 2I_0 + 2I_0 \cos(\Delta\phi) = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta\phi}{2})$ બને છે.
એક સ્લિટની સામેનું સ્થાન $y = \frac{d}{2}$ ને અનુરૂપ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \cdot \frac{y}{D}$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{d}{2}$ અને $D = 10d$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = d \cdot \frac{d/2}{10d} = \frac{d}{20}$ મળે છે.
$d = 5\lambda$ આપેલ હોવાથી,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{5\lambda}{20} = \frac{\lambda}{4}$ થાય છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
હવે,તીવ્રતા $I = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$ મળે છે.

(D) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપનવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
અહીં બે સ્ત્રોતોના કંપનવિસ્તાર $A_1 = 3a$ અને $A_2 = a$ આપેલા છે.
પ્રકાશિત શલાકા માટે મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ નીચે મુજબ મળે છે: $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2 = (3a + a)^2 = (4a)^2 = 16a^2$.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{\min})$ નીચે મુજબ મળે છે: $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2 = (3a - a)^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
તેથી,પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{16a^2}{4a^2} = \frac{4}{1}$ થશે.

(C) મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાન માધ્યમ પર આધારિત નથી,તેથી તે $Y = 2 \, cm$ પર જ રહેશે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે તેને $n = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ થાય છે.
આમ,નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\beta}{n} = \frac{\beta}{1.5}$ થાય છે.
શરૂઆતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમ અને $10$ માં અધિકતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta Y = 5 \, cm - 2 \, cm = 3 \, cm$ છે.
પ્રવાહીમાં,નવું અંતર $\Delta Y' = \frac{\Delta Y}{n} = \frac{3 \, cm}{1.5} = 2 \, cm$ થશે.
તેથી,$10$ માં અધિકતમનું નવું સ્થાન $Y' = Y_{central} + \Delta Y' = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ થશે.

(C) ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi / 2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{max} / 4$,તેથી $I_{max} / 4 = I_{max} \cos^2(\phi / 2)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi / 2) = 1/4$ મળે,તેથી $\cos(\phi / 2) = 1/2$.
આમ,$\phi / 2 = 60^{\circ}$ અથવા $\pi / 3$ રેડિયન,જેનો અર્થ છે કે કળા તફાવત $\phi = 120^{\circ}$ અથવા $2\pi / 3$ રેડિયન છે.
પથ તફાવત $\Delta$ એ કળા તફાવત સાથે $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times \phi$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\phi = 2\pi / 3$ મૂકતા,આપણને $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times (2\pi / 3) = \lambda / 3$ મળે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta = d \sin \theta$ થાય,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
તેથી,$d \sin \theta = \lambda / 3$,જે આપે છે $\sin \theta = \lambda / (3d)$.
આમ,કોણીય સ્થાન $\theta = \sin ^{-1}(\lambda / 3d)$ છે.

(A) હવામાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,અને પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$.
પ્રથમ,હવામાં ફ્રિન્જની પહોળાઈની ગણતરી કરો: $\beta = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 300 \times 10^{-6} \, m = 0.3 \, mm$.
જ્યારે સિસ્ટમને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{0.3}{4/3} = 0.3 \times \frac{3}{4} = 0.225 \, mm$ થશે.

(B) $Y.D.S.E.$ માં મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે.
મહત્તમ શક્ય ક્રમ $n$ માટે,આપણે $\theta \to 90^{\circ}$ ની મર્યાદા લઈએ છીએ,તેથી $\sin \theta \to 1$ થાય.
આમ,$n < \frac{d}{\lambda}$.
અહીં $d = 700 \ nm$ અને $\lambda = 200 \ nm$ આપેલ છે,તેથી $n < \frac{700}{200} = 3.5$.
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ છે.
કુલ મહત્તમની સંખ્યા $= 2n_{max} + 1 = 2(3) + 1 = 7$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ માં પ્રકાશિત શલાકા (અધિકતમ) નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
અહીં,$n = 4$ (ચોથા અધિકતમ માટે),$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
બંને પ્રયોગો માટે $n$,$D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,સ્થાન $x$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(x \propto \lambda)$.
આપેલ છે કે $\lambda_{blue} = 4360 \, \mathring{A}$ અને $\lambda_{green} = 5460 \, \mathring{A}$.
કારણ કે $\lambda_{blue} < \lambda_{green}$,તેથી $X_{blue} < X_{green}$ થાય છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ સમાન રાખવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{D}{d}$ અચળ રહેવો જોઈએ.
જો સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે (એટલે કે $d' = 2d$),તો $\beta$ ને સમાન રાખવા માટે,આપણે $\frac{D'}{d'} = \frac{D}{d}$ હોવું જોઈએ.
$d' = 2d$ મૂકતા,આપણને $\frac{D'}{2d} = \frac{D}{d}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $D' = 2D$.
તેથી,અંતર $D$ ને બમણું કરવું આવશ્યક છે.

(A) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટને એક કિરણના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
મૂળ મધ્યસ્થ અધિકતમની સ્થિતિ પર તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે તે માટેની શરત એ છે કે નવો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,જેથી કળા તફાવત $2\pi$ નો ગુણાંક બને.
તીવ્રતા સમાન રહે (એટલે કે સહાયક વ્યતિકરણ) તે માટે,પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ હોવો જોઈએ,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ ક્રમના સહાયક વ્યતિકરણ $(n = 1)$ માટે પથ તફાવતને સરખાવતા:
$(\mu - 1)t = \lambda$
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે:
$(1.5 - 1)t = \lambda$
$0.5t = \lambda$
$t = 2\lambda$
આમ,ન્યૂનતમ જાડાઈ $2\lambda$ છે.

(C) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $\beta_{\theta} = 1^o = \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$ અને $d = 0.01\,mm = 10^{-5}\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \beta_{\theta} \times d = \frac{\pi}{180} \times 10^{-5}\,m$.
$\lambda = 0.01745 \times 10^{-5}\,m = 1.745 \times 10^{-7}\,m$.
માઇક્રોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 0.1745 \times 10^{-6}\,m = 0.1745\,\mu m \approx 0.174\,\mu m$.

(C) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 5 \times 10^{-7} \, m$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_{bright} = n \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=5)$: $y_1 = 5 \frac{D \lambda}{d}$.
$n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_{dark} = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{rd}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=3)$: $y_2 = (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 2.5 \frac{D \lambda}{d}$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = |y_1 - y_2| = |5 - 2.5| \frac{D \lambda}{d} = 2.5 \frac{D \lambda}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta y = 2.5 \times \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \, m$
$\Delta y = 2.5 \times 5 \times 10^{-4} \, m = 12.5 \times 10^{-4} \, m = 1.25 \times 10^{-3} \, m = 1.25 \, mm$.

(D) $YDSE$ માં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને નવું અંતર $D' = 2D$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\omega'$ આ મુજબ થશે: $\omega' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\omega$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણી થશે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \lambda \frac{D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે ત્રીજા ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_1 = 3 \lambda_1 \frac{D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે ચોથા ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_2 = 4 \lambda_2 \frac{D}{d}$ છે.
આપેલ છે કે શલાકાઓ સંપાત થાય છે,તેથી $y_1 = y_2$.
તેથી,$3 \lambda_1 \frac{D}{d} = 4 \lambda_2 \frac{D}{d}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ (ફ્રિન્જ સેપરેશન) માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર,$d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$.
પડદાનું અંતર,$D = 1\, m$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m = 5 \times 10^{-7}\, m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} = 5 \times 10^{-4}\, m$.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $5 \times 10^{-4}\, m$ છે.

(A) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \frac{25}{9}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{5}{3}$ મળે છે.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ મળે છે.
સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $(w_1/w_2)$ એ તેમના કંપવિસ્તારના વર્ગના ગુણોત્તર $(A_1^2/A_2^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{w_1}{w_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{16}{1}$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટે,પ્રકાશના સ્ત્રોતો સુસંગત (coherent) હોવા જોઈએ.
$(1)$ પ્રકાશનો સામાન્ય વિસ્તૃત સ્ત્રોત યાદચ્છિક કળા તફાવત ધરાવતા તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે. એક સાંકડી સ્લિટ ગૌણ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જે અવકાશી સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરે છે,જે વ્યતિકરણ માટે જરૂરી છે.
$(2)$ પ્રકાશનો સારી રીતે કોલિમેટેડ બીમ (જેમ કે લેસર) સ્વાભાવિક રીતે સુસંગત હોય છે. તેથી,સુસંગતતા સ્થાપિત કરવા માટે પ્રારંભિક સ્લિટની જરૂર નથી.
$(3)$ અવકાશી રીતે સુસંગત બિંદુ સ્ત્રોત પહેલેથી જ અચળ કળા સંબંધ ધરાવતા તરંગો પૂરા પાડે છે. તેથી,સુસંગતતા બનાવવા માટે કોઈ વધારાની સ્લિટની જરૂર નથી.
ત્રણેય વિધાનો વ્યતિકરણ પ્રયોગોમાં સુસંગતતા પ્રાપ્ત કરવા માટેની માન્ય શરતોનું વર્ણન કરે છે,તેથી બધા વિધાનો સાચા છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,$\lambda$ તરંગલંબાઇ માટે $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઇઓ $\lambda_1 = 2500 \,\mathring{A}$ અને $\lambda_2 = 3500 \,\mathring{A}$ માટે એક જ સ્થાન $y$ પર સંપાત થવા માટે:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n_1 \times 2500 = n_2 \times 3500$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
આનો અર્થ એ છે કે $1^{st}$ સ્ત્રોત $(\lambda_1 = 2500 \,\mathring{A})$ ની $7^{th}$ ક્રમની શલાકા એ $2^{nd}$ સ્ત્રોત $(\lambda_2 = 3500 \,\mathring{A})$ ની $5^{th}$ ક્રમની શલાકા સાથે સંપાત થાય છે.